离散时间系统的状态空间描述
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
离散系统的状态空间描述
x1(k)
y(k) 1
0
0
x2
(k
)
x3 (k )
4 离散状态方程求解
1. 迭代法
离散状态方程的通式 x(k 1) Fx(k) Gu(k)
已知k=0时系统状态x(0)以及 k 0 k 之间各个时刻的输入量 u(0),u(1), ,u(k)
得到现时刻k的状态
k 1
x(k) F k x(0) F ki1Gu(i) i0
x1(k x2 (k
1) 1)
h1u (k ) h2u(k )
xn (k) xn1(k 1) hn1u(k)
则可得到离散系统状态方程，且有：
式中
h0 b0 h1 b1 a1h0
hh32
b2 b3
a1h1 a1h2
a2h0 a2h1
a3h0
hn bn a1hn1 a2hn2
I
AT
I
AT 2
I
AT 3
I
AT L 1
I
AT L
计算项数L可由精度要求确定。
输入矩阵
G(T ) T eAt Bdt (eAT I ) A1B T AiT i B
0
i0 (i 1)!
T
I
AT 2
I
AT 3IAT L 1 NhomakorabeaI
AT L
B
2. 状态转移阵的求解——(2)拉普拉斯变换
可得方程 （有不同方法）
x3(k 1) 0.9x3(k) e(k)
u(k) 0.01x3(k) 0.9e(k)
（2）广义被控对象部分：
被控对象连 续状态方程
x1 x2
0 0
1 1
x1 x2
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
线性离散系统的状态空间描述
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
离散系统的状态空间描述状态方程
状态方程：y( kT ) c1
c2
x1 ( kT ) x ( kT ) Du( kT ) cn 2 x ( kT ) n
（T为采样周期，经常省去不写） 写成矩阵形式，得离散系统的状态空间描述：
x ( k 1) Gx( k ) Hu( k ) y( k ) Cx ( k ) Du( k )
an 2
x1 ( k ) x ( k ) y( k ) 1 0 0 2 h0 u( k ) x ( k ) n
2019/1/5
14
模拟结构图：
u( k )
hn
xn ( k 1)
hn1
xn ( k )
h2
x2 ( k 1)
9
2019/1/5
化为一阶差分方程组：
x1 ( k 1) y( k 1) x2 ( k ) x2 ( k 1) y( k 2) x3 ( k ) xn1 ( k 1) y( k n 1) xn ( k ) x ( k 1) y( k n) n a0 y( k ) a1 y( k 1) an1 y( k n 1) b0 u( k ) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) b0 u( k )
采样器：将连续信号r(t)调制成离散信号r*(t)。 零阶保持器：将离散信号r*(t)转为阶梯信号u(t) r(t ) r* (t )
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
离散系统的基本概念
06
CATALOGUE
离散系统的发展趋势与展望
离散系统的新理论与方法
离散系统的新理论
随着科技的不断发展，离散系统的新理论也在不断涌现。例如，离散概率论、离散控制论、离散信息论等，这些 新理论为离散系统的发展提供了重要的理论支持。
离散系统的新方法
在实践中，人们不断探索新的方法来处理离散系统的问题。例如，离散数学、离散优化算法、离散模拟技术等， 这些新方法为离散系统的研究提供了更有效的工具。
状态转移图的绘制方法
根据状态方程，通过计算或模拟得到状态变量的时间序列解，并绘 制成图形。
状态转移图的应用
通过观察状态转移图，可以直观地了解系统动态行为和变化趋势。
04
CATALOGUE
离散系统的稳定性分析
线性离散系统的稳定性分析
定义
线性离散系统是指系统 的数学模型可以表示为 离散时间的线性方程组 ，如差分方程或离散时 间状态方程。
状态方程
1
状态方程是描述离散时间动态系统状态变化的基 本方程，通常表示为离散时间序列的递推关系。
2
状态方程通常由当前状态和输入量来预测下一个 状态，是离散系统分析的重要基础。
3
状态方程的解法包括递归法和矩阵法等，其中递 归法较为直观，而矩阵法适用于大规模系统。
转移矩阵
转移矩阵是描述离散系统状态转移关系的矩阵，其元素表示状态之间的转 移概率。
社会科学领域
在社会学、经济学、管理学等领域中，离散系统也有着广泛的应用。例如，在经济学中，离散模型被用 于描述经济活动中的离散事件；在社会学中，离散模型被用于描述社会结构和社会动态。
离散系统未来的研究方向
要点一
复杂离散系统的研究
随着科技的不断发展，复杂离散系统 的研究已经成为一个重要的研究方向 。例如，复杂网络、离散事件动态系 统等，都是复杂离散系统的研究重点 。
现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
《现代控制理论》MOOC课程1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式一. 时间离散系统离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k)二. 线性时变系统其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数；线性时变系统的状态空间表达式为：x =A t x +A t u y=C t x +D t u三. 非线性系统x =f (x,u , t ）y=g (x,u,t)1.非线性时变系统的状态空间表达式式中，f ，g 为函数向量；x =f (x,u ）y=g (x,u)2.非线性定常系统的状态空间表达式当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统3.非线性系统的线性化x =f (x,u ）y =g (x,u)设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。
f (x 0,u 0)=0 , y 0=g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。
x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项：x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0+ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x −x 0=ðf ðx x 0,u 0δx +ðf ðu x0,u 0δu δy =y −y 0=ðg ðx x 0,u 0δx +ðg ðu x 0,u 0δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为：δx ，δu ，δy x ，u ，y x=A x +B u y=C x +D u 其中,A =ðf ðx x 0,u 0,B =ðf ðu x 0,u 0,C =ðg ðx x 0,u 0,D =ðg ðu x 0,u 0第一章控制系统的状态空间表达式第一章小结状态变量、状态空间、状态空间表达式的定义建立系统状态空间表达式的方法，特别是状态变量选取的方法；状态空间表达式非奇异线性变换的方法；由状态空间表达式导出传递函数矩阵的方法；组合系统状态空间表达式的建立方法；离散系统、非线性系统状态空间的基本形式；。
第2章离散时间系统
Φ e1 0.3679
Γ0
0.4 esds 1 e0.4 0.3297
0
Γ1 e0.4
0.6 esds e0.4 e1 0.3024
0
具有内部时延的系统
设系统由下列方程描述：
S1 :
dx1 (t ) dt
得到：
eh a 1 ln a
h
(eh 1) b
1 lna b
h
a 1
表明：当a>0时，才能得到一个具有实系数的连续时间系统。
一般情况下，从式(2.6)可以得到：
A
0
B
0
1 h
ln
Φ
0
Γ
I
此处的ln()为矩阵对数函数。 表明：连续时间系统可由对一个方阵取它的矩阵对数得到。当
矩阵在负实轴上没有特征值时。对数才唯一存在。
第2章 离散时间系统
2.1 引 言
问题： 通过考察信号在采样时刻的行为，如何把一个连续时间系 统转换为一个离散时间系统？
注意： 1. 采样数据系统是一个时变系统，本章回避这个问题，仅研 究与计算机时钟相同步的那些时刻的信号。 2. 面向计算机的数学模型仅仅给出在采样点上的特性，而物 理过程本身仍是一个连续时间系统。
式(2.8)在一个采样周期上的积分为：
x(kh h) eAh x(kh)+ khh eA(khh-s)Bu(s )ds kh
(2.9)
1. 信号u(t)在整个采样间隔上是分段恒定的，故，延迟信号
u(t-)也是分段恒定的；
2. 延迟信号在各个采样时刻之间会有变化。 要计算式(2.9)的积分项，方便的办法是：把积分区间分成
数字控制(徐丽娜)第3章
对照 连续系统微分方程解析法求通解 对照：连续系统微分方程解析法求通解
连续系统的齐次方程为 y ( n ) a 1 y ( n 1) a n y ( t ) 0 它的特征方程为 x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n 0
3.4 Z变换
3.4.1 Z变换定义
采样过程： L 氏变换： 氏变换
引入新变量：
f * (t ) F * (s)
k 0
f ( kT ) ( t kT ) f ( kT )e kTs
k 0
z e sT
则F * (s) F (z)
f ( kT ) z k
例3 4 5求F ( s ) Z[
a 的Z变换。 s( s a )
a ] s( s a )
1 1 Z[ ] s sa z z z 1 z e aT
3 留数计算法
已知连续函数 f ( t )的 L 氏变换及全部极点 s i，则可用 留数计算式求得 f ( t )的 Z 变换： F (z)
res [ F ( s i )
i 1 n
n
z ] siT ze z ( s s ) m F ( s ) i z e sT s si 。
1 d m 1 m 1 i 1 ( m 1 )! ds
例3 4 6 Z[
式中： m 为重极点 s i的个数； 个 n 为彼此不等的极点个数 等 个
k 0
在 Z 变换中，因为只考虑采
样点上的值，
所以 f ( t )与 f * ( t )的 Z 变换是相同的，记为 Z [ f ( t )] Z [ f * ( t )] F ( z ) F * ( s )
(优选)线性系统的状态空间描述第二
u
1
an1
n
y 1 0
0 x bnu
0 bn
1 bn1 an 1 0
2 bn2 an11 an20
n b0 an1n1 an2n2 a11 a00
结论2.3：
g(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 , (m n) a1s a0
非零常阵
limG(s)
s
零阵
（3） Gsp (s) G(s) G()
真的 严格真的
（4）G(s)的特征多项式 G (s)
G(s)所有1阶，2阶、…、max(q,p)阶子式的最小公分母
G(s)的最小多项式 G (s) G(s)所有1阶子式的最小公分母
若传递函数极点 1, 2 , , n 为互异实数
令
ki
lim
si
g(s)(s
i ),
i 1, 2, , n
1
x
2
k1
x
k2
u
n
kn
y 1 1 1 x
证：
g(s)
s
k1
1
s
k2
2
kn
s n
yˆ(s) k1 uˆ(s) k2 uˆ(s)
s 1
s 2
xˆi (s)
0
x3 640
1 0 194
0 x1 0
1
x2
0
u
16 x3 1
x1
y 1840
616
64
x2
4
u
x3
结论
2.2：g(s)
yˆ(s) uˆ(s)
bnsn bn1sn1 sn an1sn1
离散时间控制系统
离散时间控制系统离散时间控制系统（Discrete-time control system）是工程系统中常用的一种控制系统。
它是指系统在离散时间点上进行观测和控制的一种方法，与连续时间控制系统相对应。
在离散时间控制系统中，系统的状态、输入和输出均在特定的离散时间点上进行采样和更新。
这些离散时间点称为采样时间点，通常由控制系统的设计要求和性能要求决定。
与连续时间控制系统相比，离散时间控制系统具有采样和计算简单、实时性好等优势。
离散时间控制系统通常由以下基本元素组成：传感器（sensors）、执行器（actuators）、系统状态（system states）、控制器（controller）、采样器（sampler）和计算器（calculator）。
其中，传感器用于采集系统的输入和输出信号，执行器用于控制系统的行为，系统状态用于表示系统的内部状态，控制器用于根据输入信号和系统状态生成控制信号，采样器用于确定采样时间点，计算器用于执行控制算法和计算控制信号。
离散时间控制系统的设计和分析主要涉及系统建模、传递函数、状态空间和系统稳定性等概念。
通过对系统进行建模和分析，可以确定适当的控制策略和参数，实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统广泛应用于自动化控制领域，如工业生产过程控制、机械设备控制、电力系统控制等。
它可以根据离散时间点上的观测和控制信号，对系统进行实时监测和调整，以满足设计要求和性能要求。
总之，离散时间控制系统是一种在特定离散时间点上进行观测和控制的控制系统。
它具有采样和计算简单、实时性好等优势，并广泛应用于自动化控制领域。
通过合理的设计和分析，离散时间控制系统可以实现对系统的控制和优化。
离散时间控制系统（Discrete-time control system）在工程系统中扮演着至关重要的角色。
它可以帮助工程师们实时监测和调整系统状态，以满足设计要求和性能要求。
在本文中，我们将进一步探讨离散时间控制系统的一些关键概念、方法和应用。
状态空间描述(一)
0 1 L
−
1
C R
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ x1
⎢ ⎣
x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
0 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
u
L⎦
⎣L⎦
⎪
⎪ ⎪
y
=
[1
⎩
0]
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(1-6)
1.2.2 系统的状态空间表达式的一般形式
状态空间表达式——描述系统u(t)、x(t)、y(t) 之间关系的状态方程和输出方程总合。构成了对 系统动态行为的完整描述。
�其决定系统状态变量的动态变化。
�输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关 系。
�系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况 ,
�它主要决定系统的动态特性。
�输入矩阵B又称为控制矩阵,
�它表示输入对状态变量变化的影响。
�输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 �直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响 ,许多系
�因而是一种对系统的外部动态特性的描述，这 就使得它在实际应用中受到很大的限制。
�现代控制理论是在引入状态和状态空间概 念的基础上发展起来的。
�在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性 是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述 的。
�它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能 同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可 以方便地处理述是内部描述的基本形式， 这种描述 是基于系统内部结构分析的一类数学模型 。其由两个 数学方程组成:
一个是反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn 和输入变 量u1,u2,…,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方 程，其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微 分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组 ;
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
离散时间系统的状态空间描述
燕山大学课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述学院(系）：电气工程学院年级专业：_11级精仪1班学号： 110103020058学生姓名：指导教师：教师职称：电气工程学院《课程设计》任务书课程名称：数字信号处理课程设计说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科摘要摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。
文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。
关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数目录第一章离散时间系统与状态空间描述 (1)1.1 离散时间系统 (1)1.2 状态空间描述 (3)1.3 LSI系统的求解方法 (5)第二章软件仿真设计 (5)2.1状态方程 (5)2.2输出方程 (6)2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7)第三章仿真结果分析 (10)3.1状态方程 (10)3.2 输出方程 (10)3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11)第四章学习心得 (11)第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)第一章相关离散时间系统的知识1.1离散时间系统离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。
差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。
分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1 (t0 ), x2 t0 ,, xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
R1
C
iC
duc di L u c R 2C L 0 dt dt duc di L R1i L R1C L e dt dt
1 uc ( R1 R2 )C i R1 L L( R1 R2 ) R2 u R2 R1 R2
x Ax Bu y Cx Du
机电系统状态空间描述的列写示例
R a i a La
dia c e e dt d c M i a f J dt c Ra e 1 ia La ia La L e f a cM 0 J J i
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的两类数学描述
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
y1
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
2.离散系统状态空间表达式
y 1
0
x1 (k ) x2 ( k ) 0 xn ( k )
离散时间系统差分方程表示：
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k )
bnu (k n) bn1u (k n 1) b1u k 1 b0u (k )
2、把高阶差分方程化为一阶差分方程组：
x1k 1 y(k 1) x2 k
x2 k 1 y (k 2) x3 k
xn1 k 1 y (k n 1) xn k 1 y (k n) a0 x1 (k ) a1 x2 (k ) an1 xn (k ) b 0u (k )
x(k 1) Gx(k ) Hu (k ) y (k ) Cx(k ) Du k
D u(k) x(k+1) H + G
Z 1
x(k
C
+ y(k)
图 1.6.1
一、差分方程中不包含输入函数的差分情况
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k ) b0u k
2.6 离散时间系统状态空间表达式
线性离散系统状态空间描述，形式上类似于 连续系统，一般形式为
x(k 1) G (k ) x(k ) H (k )u (k ) y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
其中： x(k ) R n ：n 维状态向量
1、选择状态变量：
x1k y(k ) x2 k y(k 1)
xn1 k y (k n 2) xn k y (k n 1)
第二章控制系统的状态空间表达式
第二章控制系统的状态空间表达式一、主要内容1.状态空间描述的几个重要概念2.状态空间表达式的一般形式1)非线性系统的状态空间描述2)线性时变系统的状态空间描述3)线性定常系统的状态空间描述4)离散系统的状态空间描述3.系统状态空间表达式的特点4.状态空间表达式的建立1)由物理系统的机理直接建立状态空间表达式2)由系统高阶微分方程化为状态空间描述3)由系统传递函数化为状态空间描述4)由系统状态变量图列写状态空间描述5)由系统方块图列写状态空间描述5.状态向量的线性变换1)系统状态空间表达式的非唯一性2)系统特征值的不变性3)将状态方程化为型规范型（对角线型和约当型）二、教学基本要求1、正确理解状态变量和状态空间描述的概念、涵义和特点。
2、熟练掌握建立状态空间表达式的不同方法，能够依据不同的已知条件建立系统相应的状态空间表达式。
3、熟练掌握线性变换方面的知识。
理解坐标变换的概念，了解系统特征方程和特征值不变性及传递函数不变性的特点，熟练掌握将系统状态空间描述化为规范型的方法。
三、重点内容概要1. 状态空间描述的几个重要概念状态变量 是指能完整地、确定地描述系统的时域行为的最小一组变量。
给定了这个变量组在初始时刻0t t =的值和时刻0t t ≥系统的输入函数，那么系统在时刻0t t ≥的行为就可以完全确定。
这样一组变量就称为状态变量。
状态矢量 以状态变量为元组成的向量，称为状态矢量。
状态空间 以状态变量)(,),(),(21t x t x t x n 为坐标轴构成的n 维空间称为状态空间，记作n R 。
状态方程 状态变量和输入变量之间的关系用一组一阶微分方程来描述。
输出方程 系统的输出变量与状态变量、输入变量之间的数学表达式。
状态空间表达式 状态方程和输出方程综合起来，在状态空间中建立的对一个系统动态行为的完整描述（数学模型），称为系统的状态空间表达式。
2. 状态空间表达式的一般形式 (1) 非线性系统的状态空描述⎩⎨⎧==),,()),(),(()(t u g y t t u t f t X X X（2.1） 其中，n R X ∈为状态向量；p R u ∈为输入向量；q R y ∈为输出向量。
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燕山大学课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述学院（系）：电气工程学院年级专业： 11级精密仪器二班学号：徐。
学生姓名：指导教师：教师职称：电气工程学院《课程设计》任务书课程名称：数字信号处理课程设计说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。
2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。
电气工程学院教务科目录摘要 (4)一、课题总体描述 (5)二、计算过程(一)状态变量及状态空间表达式 (6)1.状态变量 (6)2.状态矢量 (6)3.状态空间 (6)4.状态方程 (6)5.输出方程 (6)6.状态空间表达式 (7)(二)MATLAB语句分析1.用到的MATLAB函数 (8)2.Tf2ss：传递函数到状态空间模型 (9)3.转换为零极点增益模型 (12)4.用传递函数求冲击响应 (13)5.状态空间模型求冲击响应 (15)三、心得体会 (17)四、参考文献 (18)摘要数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
简单的说，数字信号处理就是用数值计算的方式对信号进行加工的理论和技术。
信号是信息的物理体现形式，或是传递信息的函数，而信息则是信号的具体内容，信号处理的内容包括滤波，变换，检测，谱分析，估计，压缩，识别等一系列的加工处理。
MATLAB是一个功能强大的用于算法开发，数据可视化，数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，通过将数字信号处理与MATLAB结合运用的过程可以方便地处理各种运算，包括将传递函数变换为状态方程，输出方程，或者由状态方程求其单位冲击响应，通过MATLAB的辅助都使计算变得异常简便。
根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图像，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。
信号处理理论和分析方法已应用于许多领域和学科中。
信号处理方面的课程，如“信号与系统”，“数字信号处理”等不仅是无线电，通信，电子工程等专业的主干课程，也成为相关工科专业非常实用的课程。
一、课题总体描述本课题包括两部分内容：第一，由传递函数求状态方程和输出方程，第二，由状态方程求其单位冲击响应。
通过查询和学习MATLAB相关资料我知道了如何将传递函数转化为零极点分布，并且如何运用函数进行传递函数到状态方程的转化，运用tf2ss函数可以将传递函数转化到状态方程，进而求出输出方程，通过分析其零极点分布可以得出系统的稳定性和其他的性质，单位冲击响应可以由状态方程求取，也可以由传递函数求取其单位冲击响应，并且绘制出函数曲线，根据曲线可以求出其稳定性。
由单位脉冲响应也可求其函数曲线，同样可以判断其稳定性。
对系统函数的零极图而言：①极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。
②当极点处于单位圆内，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。
③系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。
二、计算过程(一)状态变量及状态空间表达式1.状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。
一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无疑了。
因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。
因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个数。
综上所述，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量，当其在t=t0时刻的值已知时，则在给定错误！未找到引用源。
时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何错误！未找到引用源。
时刻的输入作用下，便能完全确定系统在任何错误！未找到引用源。
时刻的行为。
2.状态矢量如果n个状态变量用错误！未找到引用源。
(t)，错误！未找到引用源。
(t)，…错误！未找到引用源。
(t)表示，并把这些状态变量看作是矢量x(t)，的分量，则x(t)就称为状态矢量，记作：或3.状态空间以状态变量错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，…，错误！未找到引用源。
为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。
在特定时刻t，状态矢量x(t)在状态空间中是一点。
已知初始时刻错误！未找到引用源。
的状态x(错误！未找到引用源。
)，就得到状态空间中的一个初始点。
随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
4.状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组成为系统的状态方程。
如常见的R-L-C网络，系统中有两个储能元件即电容C和电感L，所以应有两个状态变量。
根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组：错误！未找到引用源。
= iL错误！未找到引用源。
+Ri+错误！未找到引用源。
亦即错误！未找到引用源。
=-错误！未找到引用源。
(1.1)式（1.1）就是系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号错误！未找到引用源。
表示，即令错误！未找到引用源。
；并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
u或错误！未找到引用源。
=Ax+bu式中错误！未找到引用源。
，A=错误！未找到引用源。
，b=错误！未找到引用源。
5.输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。
在1.的系统中，指定错误！未找到引用源。
作为输出，输出一般用y表示，则有：y=错误！未找到引用源。
或y=错误！未找到引用源。
(1.3)式1.3就是1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为：y=错误！未找到引用源。
或y=cx (1.4) 式中c=错误！未找到引用源。
6.状态空间表达式状态方程和输出方程总和起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。
如式（1.1）和式（1.3）所示，而式（1.2）和式（1.4）就是1.1系统的状态空间表达式。
设单输入单输出定常系统，其状态变量为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
…错误！未找到引用源。
，则状态方程的一般形式为：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
u错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
u错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
u输出方程式则有如下形式：y=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…错误！未找到引用源。
用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：式中，x=错误！未找到引用源。
为n维状态矢量；A=错误！未找到引用源。
为系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为n错误！未找到引用源。
方阵；b=错误！未找到引用源。
为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为错误！未找到引用源。
的列阵；c=错误！未找到引用源。
为输出矩阵，这里为错误！未找到引用源。
的行阵。
对于一个复杂系统，具有r个输入，m个输出，此时状态方程变为：错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
+…错误！未找到引用源。
因而多输入多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：错误！未找到引用源。
=Ax+Buy=Cx+Du式中，x和A为同单输入系统，分别为n维状态矢量和错误！未找到引用源。
系统矩阵；u=错误！未找到引用源。
为r维输入（或控制）矢量；错误！未找到引用源。
为m维输出矢量；B=错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
输入（或控制）矩阵；C=错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
输出矩阵；D=错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
直接传递矩阵。
(二)M atlab语句分析1.用到的MATLAB函数MATLAB的工具箱，为同一离散系统的不同系统模型间的多种表达方式的变换，提供了很多功能丰富快捷的MATLAB函数，如表1所示表1 离散系统模型变换MATLAB函数2.Tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型调用方式：[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)：向量num为系统传递函数模型的分子所组成的向量，而向量den则为系统传递函数模型的分母所组成的向量。
需要注意的是：系统传递函数模型的分子多项式和分母多项式的长度必须相等，否则需进行补零。
应用说明例：将系统H(z)=错误！未找到引用源。
变换成状态空间模型。
>>num=[1 3 5 0]; %进行补零；>>den=[1 8 1 3];>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)运行结果A =B =C =D =而对于题目要求的H（z）=错误！未找到引用源。
在MATLAB中输入下列语句：>> num=[1 0.8 -1 -0.8];den=[1 -1.7 1.53 -0.684];>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)可以将其转化为状态空间表达式各项系数矩阵：A =1.7000 -1.5300 0.68401.0000 0 00 1.0000 0B =1C =2.5000 -2.5300 -0.1160D =1即系统的状态方程为：x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)系数如上所示，接下来运行如下程序：>> sys=ss(A,B,C,D,0.01) %创建离散时间模型，采样间隔0.01秒；可得到如下运行结果：a =x1 x2 x3x1 1.7 -1.53 0.684x2 1 0 0x3 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0c =x1 x2 x3y1 2.5 -2.53 -0.116d =u1y1 1即状态空间模型。
然后运行以下程序：>> bode(sys)； %画出离散模型的伯德图；3.转换为零极点增益模型：>> num=[1 0.8 -1 -0.8];den=[1 -1.7 1.53 -0.684];>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)z =1.0000-1.0000-0.8000p =0.4265 + 0.7910i0.4265 - 0.7910i0.8470k =1很显然系统的增益为1，则零极点增益的表达式为：H(z)= 错误！未找到引用源。