第6讲 二次函数与线段长

第6讲二次函数与线段长

模块一平行轴类线段长

例1．如图，直线y＝ax2＋bx－4都经过点A（－1，0），C（3，－4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值，并求出此时P点坐标．

练习．如图，抛物线y＝ax2－3ax＋b与x轴交于A和B（4，0），与y轴交于C点，并且OB＝OC，点P 为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为抛物线上位于第一象限上的一点，PH⊥x轴于H，交BC于Q点，当线段PQ最长时，求PQ︰QH，并求出此时P点坐标．

例2．如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1交于A,B两点，直线AB上任一点P，过P作x轴的垂线交抛物线于Q．

（1）求A,B坐标；

（2）①若PQ＝1，求P点坐标；②若PQ＝10，求P点坐标．

练习．（2016年江夏区期中第1、2问）如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图像与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）求A,B,C的坐标；

（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG

AC，求点F的坐标．

例3．（2014年粮道街中学期中第1、2问）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A,B,C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F．连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

例4．（2017年洪山区期中第1、2问）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c的图像与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A,B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时△AEM的面积．

模块二非平行轴类线段长

例5．（1）已知抛物线y＝x2＋x－2与直线y＝3x＋1交于A,B两点，求线段AB的长；

（2）已知抛物线y＝x2＋x－2与直线y＝3x＋b交于A,B两点，若AB＝410，求b的值．

例6．（2016年武昌C组联盟期中第1、3问）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx－a2关于y轴对称且有最小值－1．

（1）求抛物线C1的解析式；

（2）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y＝x交于C,D两点，求线段CD的长．

例7．如图，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3交y轴于点C，将抛物线C1在y轴左侧的部分沿y轴翻折得到抛物线C2的一部分，将两部分的图形结合起来记为图形C3，直线l过C点且分别交图形C3于M,N两点（M在N的左侧）．

（1）若MN＝

l的解析式；

（2）求线段MN长度的最小值．

例8．（2014年江岸区期中第1、2问）已知抛物线y＝x2－2ax＋a2－2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，P A＝3．

（1）求A,P点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值．

基础巩固

1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与直线y＝x＋3交于A,B两点，直线AB上任一点P，过P作x轴的垂线交抛物线于Q．

（1）求A,B坐标；

（2）①若PQ＝2，求P点坐标；②若PQ＝4，求P点坐标．

2．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH∥x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值．

3．（1）已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与直线y＝2x－1交于A,B两点，求线段AB的长；

（2）已知抛物线y＝x2－x－3与直线y＝2x＋b交于A,B两点，若AB＝，求b的值．

综合训练

4．已知抛物线C：y＝－(x－2)2＋5，试写出把抛物线C向左平移2个单位后，所得的新抛物线C1的解析式；以及C关于x轴对称的曲线C2的解析式．求：

（1）x的值在什么范围时，抛物线C1和C2都是下降的；

（2）x的值在什么范围时，抛物线C1和C2围成一个封闭图形？求在C1和C2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度最大值．