第6讲 二次函数与线段长
2023年中考数学专题复习课件： 二次函数线段问题
典例精析
例 如图，抛物线y＝－ 1 x2＋ 5 x－2与x轴交于A
22
，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C.
(1)如图①，点P是线段AC上方抛物线上一动点， 过点P作PG⊥x轴且交x轴于点F，交AC于点G， 当PF＝ 1 FG时，求点P的坐标；
2
例题图①
【思维教练】要求点P的坐标，用含x的函数解析式与点的特征设出点坐
D
第4题图①
∟
(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7. 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)解：存在点M，使得2OH－OG＝7. 如图，过点M作 ME⊥x轴，垂足为点E
∵M(m，－m2＋4)，∴OE＝m，ME＝－m2＋4，∵B(2，0)，∴OB＝2，
∴AF＝3.设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)， F
则点D的坐标为(n，－n＋2)，∴PD＝－n2＋4n＋5－(－n＋2)＝－n2＋5n＋3 D
PN PD n2 5n 3 1 (n 5 )2 37
AN AF
3
3 2 12
第1题图②
∵－ 1 ＜0，－1＜n＜5，
3
∴当n＝ 5 时，PN 有最大值，最大值为 37 .
将M，F的坐标代入，得
2k 5k
b b
0 3
，解得
k b
1 2
，∴射线MF的解析式为y＝x－2(x≥2)；
第1题图①
(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线 EMF有两个交点时，设两个交点的
横坐标是x1，x2(x1＜x2)，求 x1＋x2的值；
(2)如图，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。
专题复习二次函数之线段问题
变式2：点P是抛物线对称轴 上的一个动点， 求PB-PC的最大值。
探究二：
设点Q是线段BC上方抛物线上的一动点， 作QD⊥x轴，交BC于点D，求线段DQ长度的最 大值．
变式：
接着上面问题，你能求出△BQC面积的最大 值吗 ？
小组合作
请再提出一个数学问题并能解答出来
跟踪练习
如图所示，已知点A（-1，0），B（3，0），C （0，t），且t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、 B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线l：
y=k（x+1）的一个交点． 必做（1）求抛物线和直线l的表达式;
（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小 值和此时Q点的坐标； 选做
（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动， 求△AM课的收获！
学
不变应万变
研
数
学 ❖ 今天我们研究了什么?
知识点链接
一：线段长度的计算
1、分别求出数轴上两点间的距离： （1）表示数6的点与表示数2的点； （2）表示数2的点与表示数-5的点； （3）表示数-1的点与表示数-6的点． 请思考数轴上任意两点（A、B）间线段的长 度如何求？
2、推广到平面直角坐标系内，AB长度如何求？
二、常见线段最值问题 1、“将军饮马”模型PA+PB最小值问题
线 段
知
最
识
方 ❖ 我们得到了哪些成果?
值 问
法
题
， 取
❖ 在研究过程中有何体会?
， 展
其
其
精
学习梳理
本
髓
质
2、变式：当A、B位于直线l异侧时，求PA-PB 最大值问题
探究一（模型思想的应用）
如图，已知抛物线 与 轴交于点C，与 轴交于 A，B两点，点B的坐标为（3，0）。
重难点 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题(解析版)--2024年中考数学
重难点二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B 的坐标．(2)如图，点P 为线段BC 上的一个动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值．(3)动点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点C 向点B 运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO 上由点B 向点O 运动，在平面内是否存在点N ，使得以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3，(-3，0)(2)94(3)-3,-32或(-2，1)或0,3-32【分析】(1)将A ，C 两点坐标代入抛物线的解析式求得a ，c 的值，进而得出解析式，当y =0时，求出方程的解，进而求得B 点坐标；(2)由B ，C 两点求出BC 的解析式，进而设出点P 和点Q 坐标，表示出PQ 的长，进一步得出结果；(3)要使以点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，只需△PMB 是等腰三角形，所以分为PM =BM ，PM =PB 和BP =BM ，结合图象，进一步得出结果．【详解】(1)解：把点A (1，0)，C (0，-3)代入y =ax 2+2x +c 得：c =-3a +2×1+c =0 ，解得：c =-3a =1 ，∴抛物线解析式为y =x 2+2x -3；令y =0，则x 2+2x -3=0，解得：x 1=1,x 2=-3，∴点B 的坐标为(-3，0)；(2)解：设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B (-3，0)，C (0，-3)代入得：b =-3-3k +b =0 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =-x -3，设点P m ,-m +3 ，则Q m ,m 2+2m -3 ，∴PQ =-m -3 -m 2+2m -3 =-m 2-3m =-m +322+94，∴当m =-32时，PQ 最大，最大值为94；(3)解：存在，根据题意得：PC =2t ,BM =t ，则PB =32-2t ，如图，当BM =PM 时，∵B (-3，0)，C (0，-3)，∴OB =OC =3，∴∠OCB =∠OBC =45°，延长NP 交y 轴于点D ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ∥x 轴，BN ∥PM ，即DN ⊥y 轴，∴△CDP 为等腰直角三角形，∴CD =PD =PC ⋅sin ∠OCB =2t ×22=t ，∵BM =PM ，∴∠MPB =∠OBC =45°，∴∠PMO =∠PDO =∠MOD =90°，∴四边形OMPD 是矩形，∴OM =PD =t ，MP ⊥x 轴，∴BN ⊥x 轴，∵BM +OM =OB ，∴t +t =3，解得t =32，∴P -32,-32，∴N -3,-32；如图，当PM =PB 时，作PD ⊥y 轴于D ，连接PN ，∵点P ，M ，B ，N 为顶点的四边形是菱形，∴PN ⊥BM ，NE =PE ，∴BM =2BE ，∴∠OEP =∠DOE =∠ODP =90°，∴四边形PDOE 是矩形，∴OE =PD =t ，∴BE =3-t ，∴t =2(3-t )，解得：t =2，∴P (-2，-1)，∴N (-2，1)；如图，当PB =MB 时，32-2t =t ，解得：t =6-32，∴PN =BP =BM =6-32，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴PE ⊥PM ，∴∠EON =∠OEP =∠EPN =90°，∴四边形OEPN 为矩形，∴PN =OE ，PN ⊥y 轴，∵∠OBC =45°，∴BE =PE =PB ⋅sin ∠OBC =6-32 ×22=32-3，∴OE =OB -BE =3-32-3 =6-32，∴点N 在y 轴上，∴N 0,3-32 ，综上所述，点N 的坐标为-3,-32或(-2，1)或0,3-32 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2(2021·西藏·统考中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点．与y 轴交于点C ．且点A 的坐标为(-1，0)，点C 的坐标为(0，5)．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图(甲)．若点P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标；(3)图(乙)中，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2+4x +5；(2)P 52，354；(3)存在，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【分析】(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c ，即可得抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y =-x 2+4x +5可得B (5，0)，故OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =PQ2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，PQ =-m -52 2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC的距离最大，此时P 52，354 ；(3)抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组s +22=5+02-s 2+4s +5+t 2=0+52，即可解得M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得M (7，-16)．【详解】解：(1)将A 的坐标(-1，0)，点C 的坐(0，5)代入y =-x 2+bx +c 得：0=-1-b +c 5=c ，解得b =4c =5 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5；(2)过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，如图：在y =-x 2+4x +5中，令y =0得-x 2+4x +5=0，解得x =5或x =-1，∴B (5，0)，∴OB =OC ，△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBO =45°，∵PD ⊥x 轴，∴∠BQD =45°=∠PQH ，∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =PQ2，∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y =kx +5，将B (5，0)代入得0=5k +5，∴k =-1，∴直线BC 解析式为y =-x +5，设P (m ，-m 2+4m +5)，(0<m <5)，则Q (m ，-m +5)，∴PQ =(-m 2+4m +5)-(-m +5)=-m 2+5m =-m -52 2+254，∵a =-1<0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P 52，354；(3)存在，理由如下：抛物线y =-x 2+4x +5对称轴为直线x =2，设M (s ，-s 2+4s +5)，N (2，t )，而B (5，0)，C (0，5)，①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴s +22=5+02-s 2+4s +5+t2=0+52，解得s =3t =-3 ，∴M (3，8)，②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴s +52=2+02-s 2+4s +4+02=t +52，解得s=-3t =-21 ，∴M (-3，-16)，③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：s +02=2+52-s 2+4s +5+52=t +02，解得s =7t =-11 ，∴M (7，-16)；综上所述，M 的坐标为：(3，8)或(-3，-16)或(7，-16)．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3(2021·山东泰安·统考中考真题)二次函数y =ax 2+bx +4(a ≠0)的图象经过点A (-4,0)，B (1,0)，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-3x +4；(2)y =-158x +158；(3)PQ QB有最大值为45，P 点坐标为(-2,6)【分析】(1)将A (-4,0)，B (1,0)代入y =ax 2+bx +4(a ≠0)中，列出关于a 、b 的二元一次方程组，求出a 、b 的值即可；(2)设BP 与y 轴交于点E ，根据PD ⎳y 轴可知，∠DPB =∠OEB ，当∠DPB =2∠BCO ，即∠OEB =2∠BCO ，由此推断△OEB 为等腰三角形，设OE =a ，则CE =4-a ，所以BE =4-a ，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，解出点E 的坐标，用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可；(3)设PD 与AC 交于点N ，过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标可得AC 所在直线表达式，求得M 点坐标，则BM =5，由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，PQ QB=PN BM =PN5，设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)PQ QB =-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：(1)由题意可得：a ⋅(-4)2+b ⋅(-4)+4=0a +b +4=0解得：a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)设BP 与y 轴交于点E ，∵PD ⎳y 轴，∴∠DPB =∠OEB ，∵∠DPB =2∠BCO ，∴∠OEB =2∠BCO ，∴∠ECB =∠EBC ，∴BE =CE ，设OE =a ，则CE =4-a ，∴BE =4-a ，在Rt △BOE 中，由勾股定理得BE 2=OE 2+OB 2，∴(4-a )2=a 2+12解得a =158，∴E 0,158，设BE 所在直线表达式为y =kx +e (k ≠0)∴k ⋅0+e =158,k ⋅1+e =0.解得k =-158,e =158. ∴直线BP 的表达式为y =-158x +158．(3)设PD 与AC 交于点N ．过B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ．由A 、C 两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC 所在直线表达式为y =x +4∴M 点坐标为(1,5)，BM =5由BM ⎳PN ，可得△PNQ ∽△BMQ ，∴PQ QB=PN BM =PN 5设P (a 0,-a 20-3a 0+4)(-4<a 0<0)，则N (a 0,a 0+4)∴PQ QB=-a 20-3a 0+4-(a 0+4)5=-a 20-4a 05=-(a 0+2)2+45，∴当a 0=-2时，PQQB 有最大值0.8，此时P 点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4(2020·辽宁阜新·中考真题)如图，二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A -3,0 ，B 1,0 ，交y 轴于点C ．点P m ,0 是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3；(2)①94，②存在，Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【分析】(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中求出b ，c 的值即可；(2)①由点P m ,0 得M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ，从而得MN =(-m -3)-m 2+2m -3 ，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN =MC 和MC =2MN 两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把A (-3,0),B (1,0)代入y =x 2+bx +c 中，得0=9-3b +c ,0=1+x +c .解得b =2,c =-3. ∴y =x 2+2x -3．(2)设直线AC 的表达式为y =kx +b ，把A (-3,0),C (0,-3)代入y =kx +b ．得，0=-3k +b ,-3=b . 解这个方程组，得k =-1,b =-3. ∴y =-x -3．∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m=-m +32 2+94．∵a =-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动，且-3<-32<0∴当m =-32时，MN 有最大值94． ②∵点P m ,0 是x 轴上的一动点，且PM ⊥x 轴．∴M (m ,-m -3),N m ,m 2+2m -3 ． ∴MN =(-m -3)-m 2+2m -3 =-m 2-3m(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，∵C (0，-3)∴MC =(m -0)2+(-m -3+3)2=2m 2∴-m 2-3m =2m 2整理得，m 4+6m 3+7m 2=0∵m 2≠0，∴m 2+6m +7=0，解得，m 1=-3+2，m 2=-3-2∴当m =-3+2时，CQ =MN =32-2，∴OQ =-3-(32-2)=-32-1∴Q (0，-32-1)；当m =-3-2时，CQ =MN =-32-2，∴OQ =-3-(-32-2)=32-1∴Q (0，32-1)；(ii )若MC =2MN ，如图，则有-m 2-3m =22×2m 2整理得，m 2+4m =0解得，m 1=-4，m 2=0(均不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为Q 1(0,-32-1),Q 2(0,32-1)【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．5(2020·天津·中考真题)已知点A (1,0)是抛物线y =ax 2+bx +m (a ,b ,m 为常数，a ≠0,m <0)与x 轴的一个交点．(1)当a =1,m =-3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为M (m ,0)，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，EF =22．①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE =EF 时，求点F 的坐标；②取EF 的中点N ，当m 为何值时，MN 的最小值是22？【答案】(1)抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；(2)①点F 的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m 的值为-32或-12时，MN 的最小值是22．【分析】(1)根据a =1,m =-3，则抛物线的解析式为y =x 2+bx -3，再将点A (1，0)代入y =x 2+bx -3，求出b 的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；(2)①首先用含有m 的代数式表示出抛物线的解析式，求出C (0,m )，点E (m +1,m ).过点A 作AH ⊥l 于点H ,在Rt △EAH 中，利用勾股定理求出AE 的值，再根据AE =EF ，EF =22，可求出m 的值，进一步求出F 的坐标；②首先用含m 的代数式表示出MC 的长，然后分情况讨论MN 什么时候有最值.【详解】解：(1)当a =1，m =-3时，抛物线的解析式为y =x 2+bx -3．∵抛物线经过点A (1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3．∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)，m<0，∴0=a+b+m，0=am2+bm+m，即am+b+1=0．∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m．根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=EH2+HA2=-2m．∵AE=EF=22，∴-2m=22．解得m=-2．此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．∴点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)．②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为MC-NC=-2m-2=22，解得m=-3 2；当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC-MC=2-(-2m)=22，解得m=-1 2．∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)y =14x 2+14x -3(2)PD 取得最大值为45，P -2,-52 (3)Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可求解；(2)直线AC 的解析式为y =-34x -3，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，则PD =45PQ ，进而根据二次函数的性质即可求解；(3)根据平移的性质得出y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ，F 0,2 ，勾股定理分别表示出EF 2,QE 2,QF 2，进而分类讨论即可求解．【详解】(1)解：将点B 3,0 ，C 0,-3 ．代入y =14x 2+bx +c 得，14×32+3b +c =0c =-3解得：b =14c =-3 ，∴抛物线解析式为：y =14x 2+14x -3，(2)∵y =14x 2+14x -3与x 轴交于点A ，B ，当y =0时，14x 2+14x -3=0解得：x 1=-4,x 2=3，∴A -4,0 ,∵C 0,-3 ．设直线AC 的解析式为y =kx -3，∴-4k -3=0解得：k =-34∴直线AC 的解析式为y =-34x -3，如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点Q ，设P t ,14t 2+14t -3 ，则Q t ,-34t -3 ，∴PQ =-34t -3-14t 2+14t -3 =-14t 2-t ，∵∠AQE =∠PQD ，∠AEQ =∠QDP =90°，∴∠OAC =∠QPD ，∵OA =4,OC =3，∴AC =5，∴cos ∠QPD =PD PQ =cos ∠OAC =AO AC=45，∴PD =45PQ =45-14t 2-t =-15t 2-45t =-15t +2 2+45，∴当t =-2时，PD 取得最大值为45，14t 2+14t -3=14×-2 2+14×-2 -3=-52，∴P -2,-52 ；(3)∵抛物线y =14x 2+14x -3=14x +12 2-4916将该抛物线向右平移5个单位，得到y =14x -92 2-4916，对称轴为直线x =92，点P -2,-52 向右平移5个单位得到E 3,-52 ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令x =0，则y =14×92 2-4916=2，∴F 0,2 ,∴EF 2=32+2+52 2=1174∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设Q 92,m ，∴QE 2=92-3 2+m +52 2，QF 2=92 2+m -2 2，当QF =EF 时，92 2+m -2 2=1174，解得：m =-1或m =5，当QE =QF 时，92-3 2+m +522=92 2+m -2 2，解得：m =74综上所述，Q 点的坐标为92,-1 或92,5 或92,74．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
北师大版初中数学九年级下册知识讲解(教学资料)：第6讲二次函数y=a(x-h)^2+ k(a≠0)的图像与性质(提高)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax =2y ax k =+2()y a x h =-2()+(0y a x h k a =-≠）⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k，h k c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(22()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，1h =，． (2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大； 当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． （1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.212y x =-21(1)22y x =--+12a =-2k =21(1)22y x =--+212y x =-21(1)22y x =--+1x <1x >212y x =-2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+21(1)12y x =-+-2()y a x h k =-+1,1,52a h k =-==-2. 已知函数，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数 的图象如图： ，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3.（2019秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∵y=（x ﹣2）2﹣1， ∵对称轴为：直线x=2， ∵顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∵（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∵x 1=1，x 2=3，∵与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2019秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得，∴ ．由待定系数法可求出，∴(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知．∴ ． (3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．二次函数y=a （x -h)2+k(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题213(1)y x +2y kx b =+12y y >211)y x +y =A b =k =2y 211)y x +(B -122ABC S =⨯=△0x >1x <-12y y >1. 不论m 取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点都( )A.在y=x 直线上B.在直线y=－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上 2．二次函数的最小值是( )．A ．-2B ．2C ．-lD ．13．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是( )． A ． B ． C ． D ．，0n ＜第3题 第5题4．（2019•牡丹江）将抛物线y=（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（ ）．A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（0，4）D ．（0，7） 5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是( )． A ． B ． C ． D ．6．若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）A ．=lB ．>lC ．≥lD ．≤l二、填空题 7．（2019•巴中模拟）抛物线y=x 2+2x+7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ．8．若点A （３，－４)在函数的图象上，则_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是 ．9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为 ；的值为 . 10．请写出一个二次函数，图象顶点为(-1，2)，且不论x 取何值，函数值y 恒为正数．则此二次函数为______ __． 11．若二次函数中的x 取值为2≤x ≤5，则该函数的最大值为 ；最小值为 ．12．已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点，则y 1的值是_____.三、解答题2(1)2y x =-+h m =k n =k n >0k>3x >3x <1x >1x <2()1y x m =--x y x m m m m m 2)(m x y --==m 2)(b x a y +=3)2(212-+=x y a b 23(1)2y x =-+13．抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长．14.（2019秋•湘西州期末）已知二次函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+2m﹣m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B、C．（1）求B、C两点的坐标．（2）求∵ABC的面积．15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE•的垂直平分线交AB于M，交DC于N．（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a ≠0)的顶点为（-m,m ）,所以顶点在直线y=－x 上. 2.【答案】B ；【解析】当时，二次函数有最小值为2． 3.【答案】B ；【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，0n ＜． 4.【答案】B ；【解析】抛物线y=（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x 2+3，所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B ．5.【答案】C ；【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y 随x 的增大而减小． 6.【答案】C ；【解析】画出草图进行分析得出结论.二、填空题 7．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）． 【解析】∵y=x 2+2x+7，而a=1＞0， ∵开口方向向上，∵y=y=x 2+2x+7=（x 2+2x+1）+6=（x+1）2+6， ∵对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．8．【答案】５或１； 直线x=5或直线x=1； 或（－１，－４）；【解析】因为点A （３，－４)在函数的图象上，所以把点A （３，－４)代入函数得或；对称轴是直线x=5或直线x=1；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是或（－１，－４）.9．【答案】 ，； 【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.1x =2(1)2y x =-+h m =k n >0k >1x =1x >(7,4)-2)(m x y --=2)(m x y --=5m =1m =(7,4)-12a =5b =2)(b x a y +=2()3y a x b =+-2(3)3y a x b =+--2(3)3y a x b =+--3)2(212-+=x y 12a =5b =10．【答案】 等；【解析】答案不唯一，只要抛物线开口向上即可，即，所以或等均可． 11．【答案】50；5.【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，当时，y 随x 的增大而增大，当x ＝5时，函数在2≤x ≤5范围内的最大值为50； 当x ＝2时，函数的最小值为．12．【答案】；【解析】把1(,)4a -代入y=x 2+x+b 2得22104a a b +++=，221()02a b ++=， ，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】∵ 抛物线y=3(x －2)2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴ A(2，0)，B(0，12)，∴ S △AOB =12，△AOB 的周长为14十．14.【答案与解析】解：由二次函数y=﹣x 2+2（m ﹣1）x+2m ﹣m 2的图象关于y 轴对称，得m ﹣1=0． 解得m=1．函数解析式为y=﹣x 2+1， 当y=0时，﹣x 2+1=0． 解得x 1=﹣1，x 2=1， 即B （﹣1，0），C （1，0）； （2）当x=0时，y=1，即A （0，1）， S △ABC =×2×1=1． 15.【答案与解析】（1）连接ME ，设MN 交BE 交于P ， 根据题意得MB=ME ，MN ⊥BE ．2(1)2y x =++0a >2(1)2y x =++22(1)2y x =++23(1)2y x =-+30a =>1x >23(21)25y =⨯-+=最小过N 作NF ⊥AB 于F ，在Rt △MBP 和Rt △MNF 中，∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF ，又AB=FN ，Rt △EBA ≌Rt △MNF ，MF=AE=x ． 在Rt△AME 中，由勾股定理得 ME 2=AE 2+AM 2，所以MB 2=x 2+AM 2，即（2-AM ）2=x 2+AM 2，解得AM=1-x 2． 所以四边形ADNM 的面积S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x 2）+x=-x 2+x+2． 即所求关系式为S=-x 2+x+2． （2）S=-x 2+x+2=-（x 2-2x+1）+=-（x-1）2+． 当AE=x=1时，四边形ADNM 的面积S 的值最大，此时最大值是．1422AM DN AM AF AD ++⨯=141212121252125252。
二次函数与线段问题
二次函数与线段问题一、引言二次函数与线段问题是高中数学中的重要内容，也是考试中常出现的题型。
本文将介绍二次函数与线段问题的相关知识，并提供一个全面详细的函数来解决这类问题。
二、二次函数基础知识1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
2. 二次函数图像当a>0时，二次函数图像开口向上；当a<0时，二次函数图像开口向下。
对于所有的二次函数图像来说，都有一个最值点（顶点），其横坐标为-x轴上的值-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
3. 二次函数性质（1）对称轴：对于任意一条经过顶点且垂直于x轴的直线l，它将平面分成两个部分，在这两个部分上y值相等的点在对称轴上关于顶点对称。
（2）奇偶性：当a=0时，f(x)=bx+c是一个一次函数；当b=0时，f(x)=ax²+c是一个偶函数；当c=0时，f(x)=ax²+bx是一个奇函数。
（3）零点：二次函数的零点可以通过求解ax²+bx+c=0的解得，其中Δ=b²-4ac称为判别式。
当Δ>0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ<0时，有两个共轭复数根。
三、线段基础知识1. 线段的定义线段是指在平面直角坐标系上由两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)确定的一条有限长的直线部分。
2. 线段长度公式线段AB的长度可以用勾股定理求得：AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
3. 线段中点公式线段AB的中点M坐标为[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]。
四、二次函数与线段问题综合应用在实际问题中，我们经常需要用到二次函数和线段知识来解决问题。
下面我们将通过一个例题来详细介绍如何应用这些知识。
例题：已知二次函数f(x)=x²-6x+9和直线y=-3x+12，求它们之间距离最短时，距离为多少？解题思路：（1）画出二次函数f(x)=x²-6x+9的图像，并求出顶点坐标。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点 (第一讲 )一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y2ax bx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐对称标性质轴x 0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a 0向上0，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值 0 ．x 0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a 0向下0，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值 0 ．2.2c 的性质：（上加下减）y axa 的符号开口方向顶点坐对称性质标轴x0 时，y随x的增大而增大； x0 时，y随a0向上0，c y 轴x 的增大而减小；x 0 时，y有最小值c．x0 时，y随x的增大而减小； x0 时，y随a0向下0，c y 轴x 的增大而增大；x 0 时，y有最大值c．3. y a x h 2 的性质：（左加右减）a 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，0 X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下h ，0X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ．4. y a x2k 的性质：ha 的符号开口方向顶点坐对称 性质标轴x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a 0向上h ，k X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a 0向下 h ，kX=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 ( k>0)【或向下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 (h<0) 】 向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0) 【或左 ( h<0) 】 平移 |k| 个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y ax2bx c m （或 y ax 2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax2bx c 变成y a(x m) 2b( x m) c （或 y a( x m) 2b(x m) c ）四、二次函数y a x h2k 与 y ax2bxc 的比较从解析式上看， y a x h 2k 与 y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到2b2b，k4ac b2前者，即 y a x b4ac，其中 h．2a4a2a4a五、二次函数 y ax 2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a( x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c、以及 0，c关于对称轴对称的点2h ，c 、与x轴的交点x1，0 ，x2，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax2bx c 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b，顶点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a当 x b时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 有2a2a2a最小值4acb2．4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x b，顶点坐标为 b ，4ac b2．当 x b时， y2a2a4a2a随 x 的增大而增大；当x b时， y 随 x 的增大而减小；当x b时， y 有最大值4acb2．2a2a4a 七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2 ax2.顶点式： y a( x3.两根式： y a(x bx c （a， b ，c为常数， a0 ）；h) 2k （a， h ， k 为常数， a0 ）；x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1， x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a0 的前提下，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定： 对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab0 ，概括的说就2a是“左同右异” 总结：3. 常数项 c⑴ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； ⑶ 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称2关于轴对称后，得到的解析式是y ax 2bx c；y a x b x c xy a x2y a2 hk 关于x轴对称后，得到的解析式是x hk ；2.关于 y 轴对称y2b x 关c于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；a xy a x2y a x h2hk 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bx c ；2关于原点对称后，得到的解析式是2；y a x h y a x h kk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y2 b x 关c于顶点对称后，得到的解析式是y ax2bx b2a x c；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2．h k5. 关于点m，n 对称22k y a x hk 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0，B x2，0( x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2x1b24ac .a② 当0 时，图象与x轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线y ax2bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y ( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y kx2bx 1 的图像大致是（）y y y y110 x o-1 x0 x0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第6讲 二次函数的概念及图像
二次函数是九年级上学期第三章的内容，包括二次函数的概念及其图像．基本要求是理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数的图像，会用二次函数的解析式来表达相应的抛物线，并掌握二次函数2y ax=的图像平移得到二次函数2y ax c=+、()2y a x m=+和()2y a x m k=++的图像的规律．重点是二次函数的图像的特征及画法．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念及图像内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲2 / 18【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =-B ．2y ax bx c =++C ．221s t =+D ．21y x x=+【例2】 二次函数23y x =--中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．【例3】 二次函数2321y x x =--，当1x =-时，y = ______；当x = ______时，y = 0．【例4】 当m ______时，函数()()22423y m x m x =-+-+是二次函数．【例5】 用一根80 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，求它的最大面积．请设变量，并列出函数解析式：______________________________________________________．【例6】 已知二次函数2y x bx c =++，当x = 0时，y = 1；当x = 2时，1y =-．求当3x =-时y 的值．例题解析ABCDE【例7】 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点（1，1），则1a b ++的值是（ ） A ．3- B ．1-C ．2D ．3【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC = 2，D 是BC 上异于B 、C 的一个动点，过点D 作45ADE ∠=︒，DE 交AC 于点E ．设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4 / 181、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x… -2 112- -1 12- 0 121 1122 … 2y x =…4124 114 014 11244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：特殊二次函数的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图23、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 4、 二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 5、 二次函数()2y a x m k =++的图像二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．6 / 18【例9】 二次函数213y x =-的图像是______，开口方向______，顶点坐标为______．【例10】 抛物线2y ax c =+的顶点坐标为______，对称轴为______．【例11】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点【例12】 抛物线()21y a x =-有最高点，则a 的取值范围为______，最高点的坐标为______．【例13】 抛物线()2213y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（1，3-） C ．（1-，3） D ．（1-，3-）【例14】 抛物线()21y x =-+上有三点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），且110x -<<，230x x <<，则比较1y ，2y ，3y 的大小为____________．例题解析【例15】 将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点（1，3），则a 的值为______．【例16】 将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2523y x =++ B ．()2523y x =+- C ．()2523y x =-+D ．()2523y x =--【例17】 若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线()21y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例18】 抛物线上有两点（3，8-）和（5-，8-）则它的对称轴是（ ） A ．直线1x =- B ．直线1x = C ．直线2x = D ．直线3x =【例19】 把抛物线()22y x m =+向上平移n 个单位，使新得到的抛物线2y ax bx c =++通过点（2，5）与（1，1），求a ，b ，c ，m ，n 的值．【例20】 如图，抛物线2y ax =上的点B 、C 与x 轴上的两点A （6-，0）、D （2，0）构成A B CDO xyE平行四边形，BC与y轴相交于点E（0，6），求系数a的值．8/ 181、 二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a -）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 2、 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点的个数判断二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数，即为判断一元二次方程20ax bx c ++=的解的个数，这样就可以利用一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-来进行解题．模块三：二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像知识精讲10 / 18xyO1【例21】 说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？是多少？【例22】 二次函数2y ax bx c =++的图像如上右图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+这五个式子中，值为正数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例23】 将抛物线213662y x x =-++先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是__________________________．【例24】 已知二次函数25y x bx =-++，它的图像经过点（2，3-）． （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标；（2）当x 为何值是，函数y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而减小？【例25】 若直线y = x + 2与抛物线22y x x =+有交点，则它的坐标是______．【例26】 已知二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值是______，最小值是______．例题解析A BOxyy【例27】 已知抛物线22y x x a =-+的顶点A 在直线3y x =-+上，直线3y x =-+与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点．（1）求点B 的坐标与a 的值； （2）求AOB ∆的面积．【例28】 已知抛物线()229y x a x =-++的顶点在坐标轴上，求a 的值．【例29】 若对于任何实数x ，二次函数()2123y m x mx m =-+++的图像全在x 轴上方，求m的取值范围为．【例30】 如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹的锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：○1PD + DQ 的最大值；○2PD DQ 的最大值．12/ 18【习题1】 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．212y x =- B ．()2214y x =+- C ．()()1142y x x =-+D ．()2221y x x =--+【习题2】 抛物线()223y x =-的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．x 轴上 D ．y 轴上【习题3】 已知抛物线243y x x =++，请回答以下问题：（1）它的开口方向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______； （2）图像与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．【习题4】 有下列4个函数关系式：○1正方形的面积S 与边长x 的关系；○2圆的面积S 与圆周长l 的关系；○3已知周长为l 的矩形中，面积S 与一边长x 的关系；○4已知面积为S 的矩形中，周长l 与一边长x 的关系．其中二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题5】 抛物线22y ax bx =++经过点（2-，3），则36b a -=______．【习题6】 已知函数()()221mmy m x m x -=+++，（m 为常数）．随堂检测14 / 18xy（A ） B CDO （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【习题7】 把抛物线()222y x =-+向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后抛物线的函数解析式，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴．【习题8】 已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线x = 1． （1）求证：2a + b =0；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根．【习题9】 如图，已知矩形ABCD 的宽CD = 1，点C 在y 轴右侧沿抛物线2610y x x =-+滑动，滑动过程中保持CD // x 轴．当点D 在y 轴上时，AB 正好在x 轴上．（1）求矩形的长BC ；（2）当矩形在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积之比为1 : 4时，求点C 的坐标．【习题10】 如图，二次函数1L ：223y ax ax a =-++（a > 0）和二次函数2L ：()211y a x =-++xyAE F N MO （a > 0）的图像的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F ．（1）函数223y ax ax a =-++（a > 0）的最小值为______；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是_________________；（2）当EF = MN ，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数2L 的图像与x 轴的右交点为A （m ，0），当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解．16 / 18【作业1】 对于任意实数x ，二次函数2y ax =的值总是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤【作业2】 抛物线2243y x x =--，当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ______时，函数取最______值为______．【作业3】 抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业4】 给任意实数n ，得到不同的抛物线2y x n =+，当n = 0，1或1-时，关于这些抛物线有以下结论：○1开口方向不同；○2对称轴不同；○3都有最低点；○4可以通过一个抛物线平移得到另一个，其中判断正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业5】 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m ______时，它是二次函数．【作业6】 抛物线()2612y x =+-可由抛物线262y x =-向______平移______个单位得到．课后作业xyxyOOA BA BCD Em n【作业7】 二次函数()22y x m =-+的图像顶点在______轴上，对称轴直线x = 1，则函数解析式为______．【作业8】 已知抛物线()()2y x m x m =---，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线52x =．○1求该抛物线的函数解析式； ○2该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【作业9】 如图1，一次函数y kx b =+的图像与二次函数2y x =的图像相交于A 、B 两点，点A 、B 的横坐标分别为m 、n （m < 0，n > 0）．（1）当1m =-，n = 4时，k =______，b =______；当2m =-，n = 3时，k =______，b =______．（2）用含m 、n 的代数式分别表示k 与b ． （3）利用（2）的结论，解答下面问题：如图2，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点A 关于y 的对称点为E ，连接AO 、OE 、ED ．○1当3m =-，n > 3时，求AOD AOEDS S ∆∆四边形的值（用含n 的代数式表示）○2当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系为_________________；当四边形AOED 为正方形时，m =______，n =______．18 / 18ABCDO xy【作业10】 如图，两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =---（其中a为常数）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M 、N 两点（M 在N 的左边），221y ax ax =---与x 轴分别交于E 、F 两点（E 在F 的左边），观察M 、N 、E 、F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确的结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A 、B 两点，直线l 、1l 、2l 都垂直于x 轴，1l 、2l 分别经过A 、B 两点，l 在1l 、2l 之间，且l 与两条抛物线分别交于C 、D 两点，求线段CD 的最大值．。
二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思
二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思四川外国语大学附属外国语学校 肖庆笔者在初三复习二次函数中线段长度的最值问题时，用一题多变的形式将其各种题型逐一呈现，在层层递进中归纳出通性通法，同时也对相关的解题技巧进行了梳理。
现将教学实例及课后反思总结出来，希望能抛砖引玉，与大家共同探讨。
我将二次函数中线段长度的最值问题分成了两个大类:，第一类：可求出线段长度的解析式，再利用二次函数知识求最值；第二类：用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题。
第一类问题复习中，我遵循“由浅入深”的原则先给出了此类问题中最简单，最基础的一个作为复习的例题。
例1：如图1，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
教学引导：点P 和Q 点的横坐标相同，可先假设出来，然后利用函数的解析式表示出两个点的纵坐标，相减后可得线段PQ 长度的解析式， 再利用二次函数相关知识求其最大值。
过点P 可作的y 轴平行线，当然也可作X 轴的平行线，引出变例1。
变例1：如图2，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的 平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。
教学引导：点P 和Q 点的纵坐标相同，但要用假设的纵坐标表示出横坐标 有一定难度，可考虑利用例1的方法解变例1。
即过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，可证明D 30PQ CBO ∠=∠=︒，则PQ =。
除了过点P 作坐标轴的平行线外，我再将条件更改为过点P 作直线BC 的平行垂线，引出变例2。
变例2：如图3，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。
二次函数背景下的几何问题线段最值问题公开课优秀教案
课题：二次函数背景下的几何问题------线段最值问题公开课教学设计1．教材分析二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，它位居初中阶段三大函数中的首位，是初中数学学习的重点与难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受中考命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的.命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．而二次函数背景下的线段最值问题近年来屡屡出现在各地的中考试卷中，这类问题往往是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探究几何元素之间位置关系和数量关系的能力与识别能力，体现新课程对学生几何探究活动过程、合情推理能力的要求.2.学情分析本节课是基于学生完成第一轮知识板块复习所进行的提高数学解题技能的专项复习，虽然学生在七年级时已经学习过最短路径问题，但很多学生对于从复杂图形中分离出基本图形仍有困难，通过本节课的学习，目的不仅是培养学生能正确、快速地分离基本图形，找到解决问题的突破口，而且通过几何模型、函数模型的逐渐深入地学习，学生能进一步体会到解决线段最值问题的实质.学生观察，操作，猜想能力较强，但演绎推理，归纳，运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导.学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强.3．教学目标分析1.知识与技能目标：（1）通过复习进一步落实用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图像和性质，会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等.（2）熟练掌握基本事实——两点之间线段最短、垂线段最短及三角形的三边关系，根据问题建构几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（3）能利用二次函数的图像和性质，根据问题建构函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.2.过程与方法目标：（1）在探索用几何模型求线段最值问题中挖掘图形本质，最基本的原理、法则，实现多题归一.（2）经历探究用函数模型求线段最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性.（3）让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模等数学思想方法的具体体现和运用.3.情感、态度与价值观目标：（1）通过观察、分析、对比等方法，培养并提高学生的合情推理能力、分析问题、解决问题的能力.（2）由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动，从中体会及感悟科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，并加强学生之间的合作交流，培养学生的问题意识，提高应用数学的能力.4.教学重难点重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力，掌握模式识别的解题策略.5.教学策略（1）探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导.（2）自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围，使学生真正成为教学的主体.（3）问题串设计策略：运用有序的问题串有层次地灵活呈现问题，组织教学内容，提出有启发性的引申问题，激发学生的学习兴趣，积极地参与到探究规律的学习当中.（4）鼓励、激励策略：积极肯定学生的学习成果，及时评价学生的课堂表现，让学生体会成功的喜悦.6.设计理念：从近年的中考数学题型来看，经常考查二次函数背景下的线段最值问题，而这部分题目在中考分析中，失分率很高，应该引起我们的重视，线段最值问题在教课书虽然没有专题讲解，但却给出了它的模型.学生对线段最值模型的陌生由于当时的学生理解水平有限等条件下，教师在当时的教学中对教材例习题的拓展延伸程度相对低，因此在初三的综合复习中对此进行专题复习是很有必要的.所以我设计本节课的思路是想通过对此类题进行深层次的挖掘、拓展、再创造，利用例题、习题的潜在的价值，改变学生的学习方式由“重结论轻过程”向“过程与结果”并重的方向发展，使学生挖掘隐含问题的本质属性，从而达到“做一题，会一类，通一片”的解题境界.希望能通过此复习达到预想的目标.7.教学准备:（1）教学课件,导学练，教案（2）课前让学生分组合作交流,提前完成导学练,并让学生在小组内探讨如何充当小老师讲解导学练上的练习题.8.教学过程:一、导入课题：二次函数背景下的线段最值问题是历年中考压轴题的一个典型的考点，这类问题在近年中考试题中频繁现身，如2015年漳州第25题、2016年漳州第24题，在中考中，一些考生由于没有掌握此类试题的解题方法，在解题时往往不知所措，导致失分率很高.因此，今天我们将一起来学习如何解答此类问题.二、自主探究：探究一：1.活动：播放视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题.设计意图：通过回顾“将军饮马“问题，烘托问题情境，利用视频短片吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究的欲望，定位了问题的取向，把学生引领到研究的航道上.2.教师活动：板书几何模型——线段和最小值（“将军饮马“问题）模型一：如图1，点P在直线l上运动，找出一点P使PA+PB取最小值.思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）基本解法：轴对称法目标：和最小基本原理：两点之间线段最短操作：对称到异侧基本思想：转化（化同侧为异侧，化折为直）设计意图:为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型.将归纳总结基本模型作为先行组织者，在温故中实现引新，为展开模型应用提供知识、方法及经验的支持.以此作为模型我们可以解决下列求线段和最小值的问题.3.学生活动：模型应用已知：如图，A （-1,0），B （3,0），C （0,3），抛物线经过点A 、B 、C ，抛物线的顶点为D ．⑴求解析式和抛物线的顶点D ；(2)点P 在对称轴上，PA+PC 取最小值时，求点P 的坐标；教学活动:请一位学生上台讲题,将他的解答过程通过投影仪展示出来.教师给予点评,并板演解答过程,规范书写格式.分析：（1）可设交点式或一般式，将点代入求解，求顶点坐标可用公式法或配方法；(2) 利用模型找出点P ，再求直线BC 的解析式，最后将P 点横坐标代入直线BC 的解析 式求它的纵坐标.板书规范写出解题过程：解：如图，连接BC A 、B 两点关于对称轴对称∴线段BC 与对称轴1=x 的交点即为使PA+PC 最小的点PPA=PB ∴PA+PC=PB+PC=BC设直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y ，将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k ∴直线BC 的解析式为3+-=x y 当1=x 时，231=+-=y此时，点P （1，2）能够使得PA+PC 的值最小.变式：点P 在对称轴上，△PAC 周长最小，求点P 的坐标.分析:要使△PAC 的周长最小，已知AC 为定值，只需求一点P 使得PA ＋PC 最小即可． 解题步骤归纳：1）找对称点 2）连线并求直线解析式 3）求点坐标设计意图：（1）二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，属于送分题.通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心.这个问题也是为下面的问题作铺垫的，这节课所要研究的一系列问题都是在这个二次函数背景下的展开的.（2）在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本质：利用对称思想把复杂的问题简单化，它与抛物线（轴对称图形）相结合，在几何求最值问题中展现了特殊的魅力.变式与（2）属于等价问题，变式的设置对提高学生利用数形结合思想以及转化策略进行解题的能力起到了很好的作用.刚才我们研究了线段和的最值问题可以用几何模型解决，那么线段差的最值问题是否也有对应的几何模型呢？活动内容：1.问题:在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的值最大师生合作交流:这时还需要作对称点吗？（不需要）那应该怎么解决这个问题？（先在直线l上任意取一点P’，连接AP’,BP’,AB,得到一个三角形，AP’,BP’是这个三角形的两条边，就要满足P’A-P’B＜AB，那么现在我们只要看P’A-P’B有没有可能等于AB，若能等于AB，AB就是这两条线段之差的最大值了？（有可能，当P、B、A三点共线时）若A、B两点异侧，你还能在一条直线l上，找一点P，使|P A－PB|的差最大吗？(能,利用轴对称化异侧为同侧)2.教师活动：板书几何模型——线段差最大值模型二：思路分析：特征：定点A、B（同侧）动点P（定直线）目标：差最大操作：连接AB并延长交l于P基本解法：使A、B、P三点共线基本原理：三角形两边之差小于第三边基本思想：转化（化折为直）设计意图：经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型,培养学生的逻辑思维能力,为下面该模型的应用打下坚实基础..3.学生活动:模型应用最大，求点P的坐标；(3)点P在对称轴上，PA PC最小，求点P的坐标；变式： (4)点P在对称轴上，PA PC(5)点P在线段BC上，P A取最小值时，求点P的坐标；分析:（3）第一步，应用模型找到点P的位置；第二步，因为P点在直线AC上，所以求出直线AC的解析式；第三步，P点又在对称轴上，其横坐标已知，代入直线AC的解析式求其纵坐标.（4）第一步，找点P.要使|PA－PC|最小，只要PA=PC即可，由线段垂直平分线的逆定理可知：点P在线段AC的垂直平分线上，因此线段AC垂直平分线与对称轴的交点即为所求的点P.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.（5）第一步，找点P，利用直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.第二步，解析法或几何法求点P的坐标.教师活动：板书几何模型——垂线段最短模型三：思路分析：特征：定点A 动点P（定直线）目标：线段AP值最小操作：过A作A P⊥l于P基本原理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短设计意图：通过交流讨论、思维碰撞，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解数学模型.强化模型的应用，通过变式训练来提高学生举一反三、触类旁通的能力.【链接中考】1．（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；设计意图：中考真题体验，使学生从解题过程中获取成功的喜悦，提升学习数学的信心.探究二：上面的第（5）个问题属单条线段最值问题，我们是从“形”的角度构造“垂线段最短”这种几何模型求解的，那么单条线段最值问题我们能不能从“数”的角度进行分析来解决问题呢？（建立函数模型）(6)点P 在第一象限的抛物线上，P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，求PQ 的最大值；思路分析：第一步，设在抛物线中动点P 的横坐标为x,则该点纵坐标即可用含x 的式子表示；第二步，因为P Q ⊥x 轴交BC 于Q ，所以Q 点的横坐标也为x,又因为Q 在BC 上，因此求出直线BC 的解析式，即可用含x 的式子表示Q 点的纵坐标，接着就能确定PQ 的表达式；第三步，用配方法或公式法求最值，注意自变量的取值范围.活动：通过题目思路分析后，让学生自己纠正原来导学练上的问题，教师巡查，及时帮助学习困难的同学解决问题或者借助小组合作交流学习的方式让已经掌握的学生帮助他们.最后通过板书或多媒体展示的方式规范解题过程.解:设P ()()3032,2<<++-a a a a ,直线BC 的解析式为)0(≠+=k b kx y , 将B （3，0），C （0，3）代入，得：⎩⎨⎧==+303b b k 解得：⎩⎨⎧=-=31b k∴直线BC 的解析式为3+-=x y Q BC x PQ 于轴交⊥()3,+-∴a a Q ()()49)23(3332222+--=+-=+--++-=∴a a a a a a PQ ∴当23=a 时，()49max =PQ 变式：点P 在第一象限的抛物线上，求出△BCP 面积的这个最大值及此时P 点的坐标. 分析：如图，可将△BCP 分割为两个小三角形，两个小三角形的底都为PQ ，高分别为21,h h而21h h +始终等于OB 的长，那么△BCP 的面积就等于OB PQ •21，这实际上就是我们之前学习过的求三角形面积的的新方法水平宽铅垂高⨯21，此时PQ 为铅垂高，OB 为水平宽.而OB 长为定值，那么要求△BCP 的最大值实际上就是求线段PQ 的最大值.设计意图:问题（6）设置对培养学生会用不同角度分析问题解决问题的能力起到了很好的作用，求△BCP 面积的最大值是用函数模型求线段最值的变式应用，利用问题的潜在的价值，使学生挖掘隐含问题的本质属性，对学生的思维能力提出了较高的要求.【链接中考】(2016•漳州)如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作MN//y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值；设计意图：及时练习巩固，体现学以致用的理念，消除学生学无所用的思想顾虑，有效地促进学生对函数模型法的理解与掌握.三、归纳小结，整理反思问题：①本节课你学习了哪两种方法求线段最值问题？②对于线段最值问题，你认为还可以在哪些图形背景下研究呢？③本节课涉及到的数学思想方法有哪些？师生共议：①几何模型法：先确定几何模型，再利用模型找出点，最后求点坐标，函数模型法：把线段长用二次函数关系式表示出来再求最值（要注意自变量的取值范围）；②还可以在直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆等轴对称图形背景下来研究；③化归与转化、数形结合、函数与方程、数学建模思想. 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段.用模型分析实际事物，锻炼我们的创新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法.设计意图:对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展．这是一次知识与情感的交流，浓缩知识要点，突出内容本质，渗透思想、方法．培养学生自我反馈、自主发展的意识．四、课后反馈作业：A组：《连接中考》P224第6题B组：《连接中考》P226第7题C组：《连接中考》P228第5题设计意图:作业分三类，让不同的学生在数学上得到不同的发展.五、板书设计1.“将军饮马”视频引入，学生很感兴趣。
二次函数常用公式、结论及训练
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、 常用公式或结论（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。
纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。
（2）点轴距离：点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。
（3）两点间的距离公式：若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离：点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022Ax By Cd A B++=+（5）中点坐标公式:若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）（6）直线的斜率公式：若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。
（8）两直线垂直的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1•k 2 =-1；②若k 1•k 2 =-1，则l 1┴l 2（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+证明如下：设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1∙x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
二次函数的图像和性质
二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。
2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。
4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。
二次函数讲义(六)：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数与y=a+bx+c的图像和性质【知识要点梳理】知识点1:二次函数y=a+bx+c图象的特征①图象是抛物线;②对称轴是直线x=;③顶点是(,)。
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。
知识点2:二次函数y=a+bx+c图象的性质从二次函数y=a+bx+c图象可知:①如果a>0,当x<时,y随x的增大而减小,当x>时,y随x的增大而增大;②如果a<0,当x<时,y随x的增大而增大,当x>时,y随x的增大而减小。
注意：不同表达形式的二次函数的图象的增减性都取决于抛物线的开口方向及对称轴,当抛物线开口向上且在对称轴的右侧(或开口向下且在对称轴的左s侧)时,y随x的增大而增大;当抛物线开口向上且在对称轴的左侧(或开口向下且在对称轴的右侧)时,y随x的增大而减小知识点3: 二次函数y=a+bx+c与二次函数y=a+k的关系1.利用配方法可以将y=a+bx+c转化为顶点式y=a+k，即：y=a+bx+c=a()=a=a2.利用平移法画二次函数y=a+bx+c的图象时,首先将函数化为y=a+k的形式,再作出函数y=a的图象,最后将函数y=a的图象平移,使其顶点平移到点(h,k)的位置。
〖名师点拨〗利用二次函数y=a+bx+c的图象信息判断各项系数的符号的方法：1.a决定抛物线的开口方向,简记为“上正下负”;2.c决定抛物线与y轴的交点位置,简记为“上正下负原点0”;3.a,b的符号共同决定对称轴的位置,筒记为“左同右异,y轴b的值为0”.另外还要注意特殊值的意义,如x=1,-1,2时y的值的符号.可以由图象的位置来判断各项系数的符号,也可以由各项系数的符号来判断图象的位置。
【知识点过关训练】知识点1:二次函数y=a+bx+c的图象和性质1. 已知二次函数y=−4x+5的顶点坐标为（）A. (−2,−1)B. (2,1)C. (2,−1)D. (−2,1)2. 如果在二次函数的表达式y=a+bx+c中，a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是( )3. 把二次函数y=−−x+3用配方法化成y=a+k的形式（）A. y=−+2B. y=+4C. y=−+4D. y=+34. 下列对二次函数y=−x的图象的描述，正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的5. 对于抛物线y=a+(2a−1)x+a−3，当x=1时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 以x为自变量的二次函数y=-2(b−2)x+−1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A. B. 或 C. D.7.如图,若抛物线y=a+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为_______.8.飞机着陆后滑行的距离s(m)与滑行的时间t(s)之间的函数关系式是s=60t-1.5。
二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题—备战2024年中考数学(全国通用)(解析版)
二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】(1)234y x x =−++；(2)PM 的最大值为(3)点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【分析】（1）将点()10A −，代入()22131y x n x n =−++++，求得1n =，即可得解；（2）求得点B 和C 的坐标，推出45OAB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，得到PEM △是等腰直角三角形，2PM PE =，设()234P m m m −++，，求得PM 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，求得BC =ACO GCB ∠=∠，利用正切函数的定义求得BG ，证明HBG 是等腰直角三角形，求得()31G −，，再求得直线CG 的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，， ∴()121310n n −−+++=，解得1n =，∴抛物线的函数解析式为234y x x =−++； （2）解：当0x =时，4y =；当0y =时，2340x x −++=，解得4x =或=1x −；∴()40B ，，()04C ，，∴4OA OB ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，∴9045PEM BEF OBC ∠=∠=︒−∠=︒，∴PEM △是等腰直角三角形，∴PM =，设直线BC 的解析式为4y kx =+，把()40B ，代入得044k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为4y x =−+，设()234P m m m −++，，则()4E m m −+，，∴))223442PM PE m m m m ==−+++−=−+∵0>，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，∵()10A −，，()40B ，，()04C ，，∴1OA =，4OB OC ==，BC =∵45ACQ ∠=︒，45OCB ∠=︒，∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠，即OA BG OC BC =，∴14=∴BG ，∵45OBC ∠=︒，∴45HBG ∠=︒，∴HBG 是等腰直角三角形，∴1BH GH ==，∴413OH =−=，∴()31G −，，同理直线CG 的解析式为543y x =−+， 联立得235434x x x =−+++−，解得0x =或143x =； 当143x =时，514344339y =−⨯+=−， ∴点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A ，，(B ；(2)①EDA ∠的大小不变，理由见解析；②线段BF 的长度存在最大值为12【分析】（1）0y =得20+=，解方程即可求得A 的坐标，把2y =+化为顶点式即可求得点B 的坐标；（2）①在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，证明AED △是等边三角形即可得出结论；②证BDF OAD ∽，利用相似三角形的性质得BD BF OA OD =即22x BF x −=，解得()211122BF x =−−+进而利用二次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：∵)221y x =+=−+∴顶点为(B ，令0y =，20+=，解得0x =或2x =，∴()20A ，；（2）解：①EDA ∠的大小不变，理由如下：在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，∵)21y x =−∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60C ∠=︒，∵()20A ，，(B ，()00O ，，1ON =，∴2OA =，OB =2，AB =2=，∴OA OB AB ==，∴OAB 是等边三角形，2OA OB AC BC ====，∴60∠=∠=∠=︒OAB OBA AOB ，∵60MBE ∠=︒，BM BE =，∴BME 是等边三角形，∴60BME ABE ∠∠=︒=，ME BE BM ==，∴180120AME BME ∠∠=︒−=︒，BD EM ∥，∵120DBE ABO ABC ∠∠∠=+=︒，∴DBE AME ∠∠=，∵BD EM ∥，∴18012060FEM BED AEF MEA FEM ∠∠∠∠∠+=︒−︒=︒==+，∴BED MEA ∠∠=，∴BED MEA ≌，∴DE EA =，又60AED ∠=︒，∴AED △是等边三角形，∴60ADE ∠=︒，即ADE ∠的大小不变；②设OD x =，则2BD x =−，∵OAB 是等边三角形，60ADE ∠=︒，∴60DOA FBD ADE ∠∠∠===︒，∵BDA BDF ADE DOA OAD ∠∠∠∠∠=+=+，∴BDF OAD ∠∠=，∴BDF OAD ∽，∴BD BF OA OD =即22x BF x −=， ∴()211122BF x =−−+，∴当1x =时，BF 有最大值为12．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)−．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =−−(2)当32m =时，PD取得最大值为．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =−−；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x −−=，解得=1x −或3，∴(3,0)B设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=−⎩，解得：113k b =⎧⎨=−⎩∴3y x =−设点()2,23P m m m −−（03m <<），则3G m m −（，）， ∴()()223233PG m m m m m =−−−−=−， ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45BGH ∠=︒∴45PGD BGH ∠=∠=︒，∴PD =．)22332228PD m m m ⎫=−+=−−+⎪⎝⎭ ∴当32m =时，PD取得最大值为8．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）在EB 上存在点M ，使CMN 为直角三角形．抛物线顶点(1,4)E −，设直线BE 的解析式为：22y k x b =+，则2222430k b k b +=−⎧⎨+=⎩，解得：2226k b =⎧⎨=−⎩，∴26y x =−．设26M n n −（，）13n ≤<（），①∵90CNM ONC ∠=︒−∠，∴90CNM ∠<︒，不可能为直角；②当90CMN ∠=︒时，则90CMN MNB ∠=∠=︒ ∴//MC x 轴，则263n −=−，∴32n =，∴3,32M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ③当90MCN ∠=︒时，过点M 作MF y ⊥轴于点F ．∵90MCF NCO ∠+∠=︒，90CNO NCO ∠+∠=︒，∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽， ∴CF MF NO CO =， ∴()3263n nn −−−=，∴2690n n +−=，解得：123,3n n ==−．∵13n ≤<，∴23n =−不合题意，应舍去，∴3n =∴()12M综上所述，CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．【答案】(1)211344y x x =+−；(2)PD 的最大值为45，此时点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； (3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出2EF ，2QE ，2QF 进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C −，代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=−⎩，解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+−； （2）∵211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +−=，解得：124,3x x =−=， ∴()4,0A −， ∵()0,3C −， 设直线AC 的解析式为3y kx =−，∴430k −−=， 解得：34k =−，∴直线AC 的解析式为334y x =−−，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=−−−+−=−− ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==−−=−−=−++ ⎪⎝⎭， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=⨯−+⨯−−=−， ∴52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； （3）∵抛物线211344y x x =+−211494216x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =， 点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， ∴()0,2F ， ∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 当QF EF =时，()229117224m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：1m =−或5m =，当QE QF =时，()222295932222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：74m =， 综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数213442y x x =−−的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A −，，()80B ，，()04C −，，直线BC 的表达式为1y x 42=−；(2)线段MN长的最大值为(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得MN ，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x −−=，解得12x =−，28x =，令0x =，则4y =−，∴()20A −，，()80B ，，()04C −，，设直线BC 的表达式为4y kx =−，代入()80B ，得084k =−，解得12k =， ∴直线BC 的表达式为1y x 42=−； （2）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，，∴2OA =，8OB =，4OC =， 设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，2211314422424PM m m m m m ⎛⎫=−−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠， ∴41tan tan 82OC PNM OBC OB ∠=∠===，∴2PN PM =，MN ，∴)221244MN m m m ⎫=−+=−+⎪⎭∵0<，∴当4m =时，线段MN 长的最大值为 （3）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，， ∴对称轴为直线2832x −+==， ∴()30D ，，∴()325AD =−−=，5CD ==，AC == ∴5AD DC ==，作DG AC ⊥于点G ，∴12AG CG AC ===∴DG == ∴tan 2DG DCA CG ∠==， ∵tan 2OB BCO OC ∠==，∴DCA BCH ∠=∠，以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似，则分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =−+， 联立得241234412x x x −−−+=，解得14x =−，28x =（舍去），()14462y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为()46−，；①当BH CH =时，设()0H t ，，则2264BH t =+，()2224816CH t t t =+=++，∴2264816t t t +=++，解得6t =，∴()06H ，，同理求得直线BH 的表达式为364y x =−+， 联立得261434432x x x −−−+=，解得15x =−，28x =（舍去），()3395644y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 综上，点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA MC ''+的最小值为 ．【答案】(1)()0,2M −，2722y x x =−++ (2)()2,5P(3)1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】（1）解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得：21640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =−++（2）解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得：240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p << 则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=−++−−+=−+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P ；（3）1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值， 显然点M '在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y −C ''，()4,0C ∴()4,4C ''−，∴()()min min MA MC M A M C AC ''''''+=+== 设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''−代入得：111244b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：11322k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =−+令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M ⎛⎫'− ⎪⎝⎭，∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫− ⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭ 故答案是：1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =−＋与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点()4,4B −，点()0,4C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =−＋的表达式；(2)当BP =1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值．【答案】(1)抛物线的表达式为23y x x =−+ (2)平行四边形，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法将B 点坐标代入抛物线2y x bx =−+中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD 的长，PD OC =，PD OC ∥，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明()SAS CBP MOQ ≌，CP BQ +的最小值为MB ，根据勾股定理求出MB 即可解答． 【详解】（1）解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B −，1644b ∴−+=−，3b ∴=，23y x x ∴=−+．即抛物线的表达式为23y x x =−+． （2）解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=︒，连接BC ，4OC BC ==，OB ∴= 2BP =OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴===，当2D x =时，4322D DH y ==−+⨯=，224PD DH PH ∴=+=+=， (0,4)C −，4OC ∴=，PD OC ∴=，OC x ⊥Q 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴∥，∴四边形OCPD 是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，4OC BC ==，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM ，(SAS)CBP MOQ ∴△≌△，CP MQ ∴=，CP BQ MQ BQ MB ∴+=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），CP BQ ∴+的最小值为MB ，454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MB ∴即CP BQ +的最小值为答：CP BQ +的最小值为【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB −的最大值．【答案】(1)24.y x x =- (2)()2,8B (3)()2,12,P - PA PB −的最大值为【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx = 解得：1,k = 可得直线OA 为：,y x = 则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯−列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a +=⎧⎪∴⎨−=⎪⎩ 解得：1,4a b =⎧⎨=−⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \= 解得：1,k =∴ 直线OA 为：,y x =()2,2,Q ∴ ()12OAB BOQ ABQ A O SS S BQ x x ∴=+=⨯⨯− 12515,2y =−⨯=解得：8y =或4,y =−∵0,y > 则8,y =()2,8.B ∴（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，()()5,5,2,8,A BAB ∴=设AB 为：,y k x b ''=+ 代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩' ，解得：1,10k b =−⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =−+⎧∴⎨=−⎩ 解得：52,,512x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB −最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)245y x x =−++，对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，；(2)QAC △(3)直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【分析】（1）求得点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；（2）先求得直线BC 的解析式，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ CQ +转化为BC ，在Rt AOC 中求AC ，在Rt BOC 中求BC 即可求解；（3）如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，证明MDH DNG ∽△△，求得()250mn m n −++=，再利用待定系数法求得直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵5OB OC ==，∴点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，∴25505b c c −++=⎧⎨=⎩，解得4b =，∴抛物线的解析式为245y x x =−++， ∵()224529y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，； （2）解：∵点A 与点()50B ，关于直线2x =对称，∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA QC +最小时位置，设直线BC 的解析式为5y kx =+，代入点()50B ，得055k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为5y x =−+，当2x =，253y =−+=，∴()23Q ，，∵点()10A −，，∵ACAQ CQ CB +===∴QAC △（3）解：如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为H ，G ，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，∵顶点D 的坐标为()29，， ∴()()222945442MH m m m m m =−−++=−+=−，2DH m =−，()()222945442GN n n n n n =−−++=−+=−，2DG n =−，由题意得90H G MDN ∠=∠=∠=︒，∴90MDH NDG DNG ∠=︒−∠=∠， ∴MDH DNG ∽△△， ∴MH HD DG NG =，即()()222222m mn n −−=−−，∴()()221m n −−=−， ∴()250mn m n −++=，∵点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，设直线MN 的解析式为11y k x b =+，∴2112114545mk b m m nk b n n ⎧+=−++⎨+=−++⎩①②，−①②得()()()2214m n k m n m n −=−−+−， ∵m n ≠，∴14k m n =−−+，将14k m n =−−+代入①得()21445m m n b m m −−++=−++，求得15b mn =+；∴直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++， ∵()250mn m n −++=，即()25m n mn +=+， ∴()()428y m n x =−−+−+， ∴当20x −=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，， ∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2Ly ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．【答案】(1)3y x =−+，223y x x =−++；(2)点P 的横坐标为时，PD AD +有最大值； (3)2154y x x =−−+．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；（2）设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+，先证明ACD 为等腰直角三角形，得到)AD t =−，进而得到2PD AD t ⎛+=−+ ⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解；（3）设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得23()4x x m −+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，由B 为MN 的中点可得210m +=，求出m 即可求解；本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线2L y ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =，930312a b c c b a ⎧⎪++=⎪∴=⎨⎪⎪−=⎩，解得123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线L 的解析式为223y x x =−++；设直线AB 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把(3,0)A 代入得，330k +=，解得1k =−，∴直线AB 的解析式为3y x =−+；（2）解：设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+， 3AC t ∴=−，23PD t t =−+，(3,0)A ，(0,3)B −，3OA OB ∴==，AOB ∴为等腰直角三角形，45OAB ∴∠=︒，PC x ⊥轴， ACD ∴为等腰直角三角形，)AD t ∴==−，∴223PD AD t t t ⎛+=−++=− ⎝⎭，∴当t =时，PD AD +有最大值，即点P的横坐标为32时，PD AD +有最大值；（3）解：由（1）可知，直线AB 的解析式为3y x =−+，抛物线L 为：2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得，()234y x y x m =−+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩，23()4x x m ∴−+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，1221x x m ∴+=+，∵B 为MN 的中点，∴120x x +=，∴210m +=， 解得12m =−，∴抛物线L '的解析式22115424y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭．题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A −、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N，求AN 的最大值．【答案】(1)22y x =−+(2)496【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，先求出一次函数AC 的解析式，用解直角三角形的方法求出30OAC ∠=︒，表示出MN =，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，分别表示出EF ME AE MN ，，，，最后得到249=26AN m ⎛−+ ⎝⎭，求出最后结果即可．【详解】（1）解：点()A −，对称轴为x =(2a c ∴−−+=，2c =，2b a −=解得：1a =−，b = ∴抛物线的表达式为：22y x =−+；（2）如图，过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，设AC 的解析式为y kx b =+，02b b ⎧−+=⎪∴⎨=⎪⎩，2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式为2y =+，2AO =2CO =，tan CO OAC AO ∴∠==，30OAC ∴∠=︒，90AFE MNE ∠=︒=∠，AEF MEN ∠=∠， 30M OAC ∴∠=∠=︒，2AE EF ∴=，12EN ME =，sin MN ME ACO ∴=⋅∠=，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2EF ∴=+，2222ME m m ∴=−+−=−−，24AE EF ∴==+，21122EN ME m ==−，23MN m==−，AN ∴，AE EN=+2213422m m =+−−−224m =−+24926m ⎛=−++ ⎝⎭，20−<，∴当m =时，AN 的最大值为496．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值． 【答案】(1)214433y x x =−−+(2)①()2,2E −−；②【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出4BM OA ==，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP长度不变，当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO BH −，然后代入计算即可．【详解】（1）解：①抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ， ∴366404240a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：1343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ ∴214433y x x =−−+；（2）解：214433y x x =−−+4∴=OA ，设直线BQ 的解析式为1y kx b =+， ()6,0B −，713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪−+=⎩，解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BQ 的解析式为123=+y x ，N Q 为BQ 与y 轴交点， ()0,2N ∴，2AN ∴=，四边形ANEM 是平行四边形，∴AN EM ∥且2EM AN ==，且点E 在点M 下方， 点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，4BM OA ∴==， ()6,0B −， ()2,0M ∴−或()10,0−，若M 为()2,0−，90BME AOM ∠=∠=︒，故()2,2E −−， 若M 为()10,0−，2OM ME ==，此时10OM =，(矛盾，舍去)，综上，点E 的坐标为()2,2−−；②如图，设AM 的解析式为,y kx b =+抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0，4)，将点()0,4A 、()2,0M −的坐标代入y kx b =+得：420b k b =⎧⎨−+=⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，AM ∴的解析式为24y x =+，AM 与BQ 相交于点P ，∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得6585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点P 的坐标为68,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线BE 的解析式为y mx n =+，将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得：2260m n m n −+=−⎧⎨−+=⎩，解得123m n ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 所以直线BE 的解析式为132y x =−−，BE 与AM 相交于点H ，∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得14585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴点H 的坐标为148,55⎛⎫−− ⎪⎝⎭，BP ∴==BH ==1BP ∴当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴16OH BO BH =−=116BP ∴==⎭∴11BP的最小值为1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =−++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线CA方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．【答案】(1)1b =，4c =(2)PE 取得最大值为254，此时335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)()2115322y x =−−+【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解；（2）延长PE 交x 轴于H ，根据题意求得直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ，证得PHF是等腰直角三角形，从而求得232524PE PE PH p ⎛⎫=+=−−+⎪⎝⎭，即可求解； （3）先求得CA =，根据1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线212y x bx c =−++交于()4,0A 和()0,4C ，8404b c c −++=⎧∴⎨=⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩． （2）延长PE 交x 轴于H()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =， PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴， 90AOC ∴∠=︒，45OAC ∴∠=︒，PFAC ，45OFP ∴∠=︒，2PH PF ∴=，PE PE PH ∴+=+，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ， ()221144222PE p p p p p ∴=−++−−+=−+，2142PH p p =−++，222211325243422224PE PF PE PH p p p p p p p ⎛⎫∴+=+=−+−++=−++=−−+⎪⎝⎭，PE ∴+的最大值为254，此时点P 的坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）()4,0A ，()0,4C ，CA ∴=将抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，∴1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ()2115322y x ∴=−−+，故答案为：()2115322y x =−−+．2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形； ②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)①PBC 是直角三角形；②315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把A 、B 、C 三点坐标代入2y ax bx c =++求解即可； （2）①作PH y ⊥轴于点H ，易证PCH △和BOC 是等腰直角三角形，即可求出90PCB ∠=︒； ②先求出直线BC 的解析式，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，23922PBC S x x ∆=−+，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，判断BEN是等腰直角三角形得出BE =，即可求出25PE x x =−+，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C 代入解析式得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）解：①配方得()222314y x x x =−++−−+∴点P 的坐标为()1,4，作PH y ⊥轴于点H ，则1PH CH ==，∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，3OB OC ==， ∴45OCB ∠=︒， ∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点B 、C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =−+， ∵()3,0B ，∴3OB =， 设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x=−++−−+=−+，∴()22211393327332222228PBCSPE OB x x x x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−+⨯=−+=−−+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x −++=−++=，∴315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭③设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x =−++−−+=−+， ∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN x =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NEB OBC ∠=∠=︒，∴BE ==，∴()CE BC BE =−==，∴22525524PE x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭， ∴当52x =时，PE 有最大值，此时57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·山东济南·一模）抛物线()21122y x a x a =−+−+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值． 【答案】(1)2a =，2b =−，4c = (2)53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得BC l 的解析式，设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得34FE CE ''=，可得34E B E C BE E F '''+'+=，即可解答．【详解】（1）解：将()4,0B 代入()21122y x a x a =−+−+，得()84120a a −+−+=，2a ∴=，∴抛物线的解析式为2142y x x =−++，令0x =，则4y =，4c ∴=，令0y =，则21042x x =−++，14x ∴=，22x =−，()2,0A ∴−，即2b =−； ∴2a =，2b =−，4c =（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设BC l ：y kx b =+，将()0,4，()4,0代入得440b k b =⎧⎨+=⎩解得：4b =，1k =−，BC l ∴：4y x =−+， 设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+， ()221144222P D PD y y m m m m m =−=−++−−+=−+，PD HA ∥，AMH PMD ∴∽，PM PD MA HA ∴=，将2x =−代入4y x =−+，6HA ∴=，112142PMB AMBPM h S PM S AM AM h ⋅===⋅， 164PD PD HA ∴==，32PD ∴=， 231222m m ∴=−+，11(m ∴=舍)，23m =，53,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，根据旋转得性质得出：3OE OE '==，∵9494OF OC ⋅=⨯=， 2OE OFOC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，COE FOE ''∠=∠，∴FOE E OC ''∽，。
(完整)二次函数讲义-详细
第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
二次函数具备三个条件，缺一不可：(1）是整式方程;（2）是一个自变量的二次式;（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式例1、 函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有( )①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2;③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x,△ADQ 的面积为y,用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b,c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时,是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
3、已知函数y=(m －1)x2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b,c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=(x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图,在矩形ABCD 中，AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知:如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1)AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。
2022年人教版(通用)中考数学分类专项精讲精解第六讲 函数(二)
第六讲函数（二）专项一二次函数的图象和性质知识清单1．二次函数的概念一般地，形如（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数.2．二次函数的图象和性质考点例析例1 二次函数y＝-x2-2x+3图象的顶点坐标为．分析：确定a，b，c的值，代入顶点公式计算即可；也可以将“一般式”化为“顶点式”求得其顶点坐标．解：例2 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y＝-3x2-12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2分析：易得抛物线的对称轴为x＝-2，因为a＝-3＜0，所以当x＝-2时，函数值最大，即y2最大，再根据二次函数的对称性和增减性判断y1，y3的大小即可．解：归纳：对于这类问题一般利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行函数值的大小比较．例3 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于（）A．154B．4C．154-D．174-分析：由二次函数图象的对称轴为y轴可得a＝0，将点P（m，n）代入解析式可得m，n的关系式，然后将m-n表示为含m的代数式-m2+m-4，最后利用二次函数的性质可求得其最大值．解：跟踪训练1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是x=1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．72⎛⎫⎪⎝⎭，B．（3，0）C．52⎛⎫⎪⎝⎭，D．（2，0）第1题图2．请写出一个函数解析式，使其图象的对称轴为y轴：．3．抛物线y＝3（x-1）2+8的顶点坐标为．4．当-1≤x≤3时，二次函数y＝x2-4x+5有最大值m，则m＝．专项二二次函数的图象与系数的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与其系数a，b，c的符号有密切的联系，它们之间的关系如下表：例1 一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D分析：选项A ，由抛物线开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴右侧可知a ，b 异号，与y 轴的交点在x 轴上方可知c ＞0，所以ac ＞0，b ＜0，由直线可知ac＞0，b ＞0，故本选项不合题意；用同样的方法分别判断其余选项即可．解：例 2 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＞0；①2a +b =0；①3b -2c ＜0；①am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而得出abc 的正负；由对称轴x ＝2b a-＝1可得2a +b ＝0；由图象可知当x ＝-1时，y ＝a -b +c ＞0，结合2a +b =0，利用不等式的性质可判断3b -2c 的正负；由图象知当x ＝1时，y 有最小值为a +b +c ，由此可判断am 2+bm 与a +b 的大小关系．解：归纳：几种常见代数式的判断跟踪训练1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A B C D2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0），B（1，0）两点，则以下结论：①ac ＞0；①二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝-1；①2a+c＝0；①a-b+c＞0．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3第2题图专项三确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例（2020·江西改编）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…-2-1012…y…m0-3n-3…求抛物线的解析式及m，n的值．分析：结合给出的数据可知c＝-3，再将（-1，0），（2，-3）代入解析式得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可确定抛物线的解析式，最后令x＝-2或1，可求得m，n的值．解：跟踪训练1．已知函数y＝a（x-h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8．（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞02．若抛物线y＝ax2-2ax-3+2a2（a≠0）的顶点在x轴上，求其解析式．专项四二次函数图象的平移知识清单抛物线y=ax2向左（右）或向上（下）平移，可得抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.当h＞0时，抛物线向平移|h|个单位长度；当h＜0时，抛物线向平移|h|个单位长度.当k＞0时，抛物线向平移|k|个单位长度；当k＜0时，抛物线向平移|k|个单位长度，即“左加右减自变量，上加下减常数项”.考点例析例将抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式．分析：先将抛物线C1的“一般式”化为“顶点式”，再根据抛物线的平移规律得到新抛物线C2的解析式．解：跟踪训练1．将抛物线y＝2（x-3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（）A．y＝2（x-6）2 B．y＝2（x-6）2+4C．y＝2x2 D．y＝2x2+42．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x-3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x-5）2+33．将抛物线y＝ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，经过点（-2，5），则8a-4b-11的值是．专项五二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：考点例析例1 抛物线y＝（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．分析：由抛物线与x轴有交点，得Δ≥0，再结合二次函数的意义，得k-1≠0，解两个不等式即可得k的取值范围．解：例2 （2020·娄底）二次函数y＝（x-a）（x-b）-2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b分析：易知二次函数y＝（x-a）（x-b）与x轴的交点的横坐标为a，b，将其图象向下平移2个单位长n，a，b的大小关系．度可得二次函数y＝（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示，观察图象可判断m，跟踪训练1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2-4ac＜0D．ab＞0第1题图第3题图2．抛物线y＝2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是．3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，则当y＜0时，x的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m），B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．专项六二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1 “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行煎炸时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率P与煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a，b，c是常数，a≠0），如图1记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟图1分析：将三组实验数据（3，0.8），（4，0.9），（5，0.6）代入函数关系式P＝at2+bt+c，可确定a，b 的值，利用t ＝2b a计算抛物线顶点的横坐标即为煎炸臭豆腐的最佳时间． 解： 例2 某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图2所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数解析式为 ；（2）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？图2分析：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（100，100），（300，80）代入即可求得其解析式；（2）因为100≤200≤300，所以在（1）的解析式中，令x ＝200，可求得此时的批发单价y ，再乘件数即可求得需要支付的总费用；（3）分两种情况讨论：当100≤x ≤300时，可列出w 关于x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质结合“批发件数x 为10的正整数倍”可求得此时w 的最大值；当300＜x ≤400时，可列出w 关于x 的一次函数解析式，根据一次函数的性质可求得其最大值，两种情况进行对比可得最终结果．解：跟踪训练1．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图①表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．① ①第1题图2．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100 m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．第2题图3．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x 元（x ≥50），月销量为y 件，月销售利润为w 元．（1）写出y 与x 的函数解析式和w 与x 的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10 000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求最大利润．专项七 二次函数中的分类讨论思想知识清单分类讨论思想是当待解决的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要按不同情况分类来解决问题的一种思想方法，同时它也是一种解题策略.考点例析例 已知抛物线y ＝x 2+（2m -6）x +m 2-3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A ，B 两点），M 为G 上任意一点，设点M 的纵坐标为t ，若t ≥-3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3分析：根据题意，得x ＝2b a-≤2，244ac b a -≥-3，然后再分对称轴在y 轴右侧、为y 轴、在y 轴左侧三种情况对b 的正负进行讨论，最后综合三种情况得出m 的取值范围．解：跟踪训练1．若函数y=（m-1）x2-6x+32m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．-2或3 B．-2或-3 C．1或-2或3 D．1或-2或-32．二次函数y＝ax2-3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上．若①ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 （-1，4）例2 B 例3 C1．B 2．答案不唯一，如y＝x23．（1，8）4．10专项二二次函数的图象与系数的关系例1 B 例2 D1．C 2．C专项三确定二次函数的解析式例抛物线的解析式为y＝x2-2x-3，m＝5，n＝-4．1．C2．解：因为y＝ax2-2ax-3+2a2＝a（x-1）2+2a2-a-3，且抛物线的顶点在x轴上，所以2a2-a-3=0．解得a＝32或a＝-1．所以抛物线的解析式为y＝32x2-3x+32或y＝-x2+2x-1．专项四二次函数图象的平移例y＝（x-3）2-3．1．C 2．D 3．-5专项五二次函数与一元二次方程的关系例1 k≤54且k≠1 例2 C111．B 2．2 3．-3＜x ＜1 4．4专项六 二次函数的应用例1 C例2 （1）y ＝110-x +110 （2）当x ＝200时，y ＝-20+110＝90．90×200＝18 000（元）．答：零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18 000元．（3）分两种情况：①当100≤x ≤300时，w ＝11107110x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝110-x 2+39x ＝110-（x -195）2+3802.5． 因为110-＜0，且批发件数x 为10的正整数倍，所以当x ＝190或200时，w 有最大值，为110-（200-195）2+3802.5＝3800；②当300＜x ≤400时，w ＝（80-71）x ＝9x ．因为9＞0，所以当x ＝400时，w 有最大值，为9×400＝3600．综上，零售商一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元．1．18002．（1）证明：因为矩形MEFN 与矩形EBCF 的面积相等，所以ME ＝BE ．因为四块矩形花圃的面积相等，所以S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ，所以AM ＝2ME ．所以AE ＝3BE ．（2）解：因为篱笆总长为100 m ，所以2AB +GH +3BC ＝100．所以AB ＝40-65BC ． 所以y ＝BC ·AB ＝x 6405x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝26405x x -+． 因为BE ＝14AB ＝10-310x ＞0，解得x ＜1003，所以0＜x ＜1003． 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝26405x x -+（0＜x ＜1003）． 3．解：（1）y ＝500-10（x -50）＝-10x +1000；w ＝（x -40）（-10x +1000）＝-10x 2+1400x -40 000．（2）由题意，得-10x 2+1400x -40 000＝8000，解得x 1＝60，x 2＝80．当x＝60时，成本为40×（-10×60+1000）＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本为40×（-10×80+1000）＝8000＜10 000符合要求．所以销售价应定为每件80元．（3）因为w＝-10x2+1400x-40 000＝-10（x-70）2+9000．因为-10＜0，所以当x＝70时，w取最大值，为9000．所以销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．专项七二次函数中的分类讨论思想例A1．C 2．3-92⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，12。
初中复习方略数学微专题四 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值
抛物线对称轴为直线 x＝－ 2
＝1，
2×（－1）
3k＋c＝0
设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋c，将 A(3，0)，C(0，3)代入，得：
，
c＝3
k＝－1
解得：
，
c＝3
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，∴P(1，2)；
(3)存在．设 P(1，t)，①以 AC 为边时，如图 2，∵四边形 ACPQ 是菱形， ∴CP＝CA， ∴12＋(3－t)2＝32＋32，解得：t＝3± 17 ， ∴P1(1，3－ 17 )，P2(1，3＋ 17 )， ∴Q1(4，－ 17 )，Q2(4， 17 )，
1．(2021·天津中考)已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c(a，c 为常数，a≠0)经过点 C(0，－ 1)，顶点为 D. (1)当 a＝1 时，求该抛物线的顶点坐标； (2)当 a＞0 时，点 E(0，1＋a)，若 DE＝2 2 DC，求该抛物线的解析式； (3)当 a＜－1 时，点 F(0，1－a)，过点 C 作直线 l 平行于 x 轴，M(m，0)是 x 轴上 的动点，N(m＋3，－1)是直线 l 上的动点．当 a 为何值时，FM＋DN 的最小值为 2 10 ，并求此时点 M，N 的坐标．
(2021·常德中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 ABCD 的 AB 边与 y 轴交于 E 点，F 是 AD 的中点，B、C、D 的坐标分别为(－2，0)，(8，0)，(13， 10). (1)求过 B、E、C 三点的抛物线的解析式； (2)试判断抛物线的顶点是否在直线 EF 上； (3)设过 F 作与 AB 平行的直线交 y 轴于 Q，M 是线段 EQ 之间的动点，射线 BM 与抛物线交于另一点 P，当△PBQ 的面积最大时，求 P 的坐标．
二次函数在x轴截得的线段长
二次函数在x轴截得的线段长
二次函数在x轴截得的线段长，先求得二次函数图象与x轴的交点，然后用俩个交点相间即可知线段长。
例题1：如果二次函数图象与x轴有两个不同的交点,则二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图像被x轴截得的线段的长度为多少?
解析：设两个交点为x1 x2,则截的线段长为|x1-x2|
例题2：设一个二次函数的图像在x轴上截得的线段为2√2,且点（0,2）及点（1,-1）在该二次函数的图像上,求这个二次函数的解析式.
解析：设此二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)因为过点（0,2）及点（1,-1）,所以：c=2；a+b+c=-1
所以a+b=-3
二次函数图像在x轴上截得的线段长即为|x1-x2|
根据求根公式可得,|x1-x2|=√(b^2-4ac)/|a|=√(b^2-8a)/|a|=2√2；把|a|乘到右边两边同时平方,得b^2-8a=8a^2
然后再把前面得到的b=-3-a带进去,整理得：7a^2+2a-9=0解得：a=1或-9/7
所以二次函数解析式为y=x^2-4x+2或y=(-9/7)x^2-(12/7)x+2。
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第6讲二次函数与线段长
模块一平行轴类线段长
例1．如图，直线y＝ax2＋bx－4都经过点A（－1，0），C（3，－4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值，并求出此时P点坐标．
练习．如图，抛物线y＝ax2－3ax＋b与x轴交于A和B（4，0），与y轴交于C点，并且OB＝OC，点P 为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上位于第一象限上的一点，PH⊥x轴于H，交BC于Q点，当线段PQ最长时，求PQ︰QH，并求出此时P点坐标．
例2．如图，已知抛物线y＝x2－2x－3与直线y＝x＋1交于A,B两点，直线AB上任一点P，过P作x轴的垂线交抛物线于Q．
（1）求A,B坐标；
（2）①若PQ＝1，求P点坐标；②若PQ＝10，求P点坐标．
练习．（2016年江夏区期中第1、2问）如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图像与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求A,B,C的坐标；
（2）过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G．若FG
AC，求点F的坐标．
例3．（2014年粮道街中学期中第1、2问）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A,B,C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F．连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
例4．（2017年洪山区期中第1、2问）如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c的图像与x轴交于A,B两点（点A 在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A,B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时△AEM的面积．
模块二非平行轴类线段长
例5．（1）已知抛物线y＝x2＋x－2与直线y＝3x＋1交于A,B两点，求线段AB的长；
（2）已知抛物线y＝x2＋x－2与直线y＝3x＋b交于A,B两点，若AB＝410，求b的值．
例6．（2016年武昌C组联盟期中第1、3问）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx－a2关于y轴对称且有最小值－1．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图2，先将抛物线C1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C3，设抛物线C3与直线y＝x交于C,D两点，求线段CD的长．
例7．如图，抛物线C1：y＝x2＋4x＋3交y轴于点C，将抛物线C1在y轴左侧的部分沿y轴翻折得到抛物线C2的一部分，将两部分的图形结合起来记为图形C3，直线l过C点且分别交图形C3于M,N两点（M在N的左侧）．
（1）若MN＝
l的解析式；
（2）求线段MN长度的最小值．
例8．（2014年江岸区期中第1、2问）已知抛物线y＝x2－2ax＋a2－2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，P A＝3．
（1）求A,P点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值．
基础巩固
1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与直线y＝x＋3交于A,B两点，直线AB上任一点P，过P作x轴的垂线交抛物线于Q．
（1）求A,B坐标；
（2）①若PQ＝2，求P点坐标；②若PQ＝4，求P点坐标．
2．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH∥x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值．
3．（1）已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与直线y＝2x－1交于A,B两点，求线段AB的长；
（2）已知抛物线y＝x2－x－3与直线y＝2x＋b交于A,B两点，若AB＝，求b的值．
综合训练
4．已知抛物线C：y＝－(x－2)2＋5，试写出把抛物线C向左平移2个单位后，所得的新抛物线C1的解析式；以及C关于x轴对称的曲线C2的解析式．求：
（1）x的值在什么范围时，抛物线C1和C2都是下降的；
（2）x的值在什么范围时，抛物线C1和C2围成一个封闭图形？求在C1和C2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度最大值．。