线性代数 ch06_复旦大学(周勇)课件

使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ． 定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x12 a22 x2
2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2an1, n xn 1 xn
a1n xn a2 n xn ann xn a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
x Ax
T
f ( x1 , x2 ,
, xn ) ( x1 , x2 ,
对称阵的 二次型
一、正交变换法
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即
f x T Ax (Cy )T A(Cy ) yT (C T AC ) y
2 2 k1 y1 k 2 y2 2 k n yn
( y1 , y2 ,
k1 , yn )
k2
y1 y2 k n yn
对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩．
例１ 写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
aij 0 ( i j ),
x i yi y j x j yi y j x y k k
k 1,2,, n且k i , j
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
2 a21 x2 x1 a22 x2
2an1, n xn 1 xn
a1n x1 xn a2 n x2 xn
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a x a12 a x12 x1 n x) x11 ( a x aa 1x 22 1n n 1 1 11 x1 1n x 2 a x x a x aa x2 x x21 ( a x a x 2222 2 2 2n n 2 221 1 1 2n x n)
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
故该二次型 f的秩为 3. 则 R( A) 3
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足
P −1AP = B ，
则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9） 显然，
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 l1 , l2 ,, ln ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;

2 a a x x a x xnn1(x annx x a x a x ) n2 nn n n 11 1 n2 n 2 2 nn
a11 x1 a12 x2 a21 x1 a22 x2 ( x1 , x2 , , xn ) an1 x1 an 2 x2 对称阵 a11 a21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2

BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵．

R(B) = R(A) ．
经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．
§2
二次型的标准形
对于二次型，寻找可逆的线性变换 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 简记为 x = C y ， 2 21 1 22 2 2n n 于是 f = xTAx T A ( C y) = ( C y ) xn cn1 y1 cm 2 y2 cnn yn . = yT (CTAC) y 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形.
称为二次型．
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x12 a22 x2
2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 a11 x12 a12 x1 x2
2 2 f l 1 y1 ln yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
二、配方法
配Hale Waihona Puke Baidu法的步骤
1.若二次型含有x i 的平方项，则先把含有x i的乘积项 集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成 平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; 2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）．
定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.130定理2.8） 定理2.1：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f ( P y ) = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + … + l n y n2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值．
第六章
二次型
§1
二次型及其矩阵表示
二次型的研究起源于解析几何中化二次曲面为标准形式的问题 解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换
x x cos y sin , y x sin y cos .
a11 a21 , xn ) a n1
a12 a22 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn
二次型 的矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann