高三数学(文)一轮教学案：第九章第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系 Word版含解析
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系教案文
一、知识梳理１．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0（A２＋B２≠0），圆：（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0设圆O１：（x—a１）２＋（y—b１）２＝r错误!（r１>0），圆O２：（x—a２）２＋（y—b２）２＝r错误!（r２>0）．方法位置关系几何法：圆心距d与r１，r２的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r１＋r２无解外切d＝r１＋r２一组实数解相交|r１—r２|<d<r１＋r２两组不同的实数解内切d＝|r１—r２|（r１≠r２）一组实数解内含0≤d<|r１—r２|（r１≠r２）无解１．圆的切线方程常用结论（１）过圆x２＋y２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.（２）过圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0—a）（x—a）＋（y0—b）（y—b）＝r２.（３）过圆x２＋y２＝r２外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r ２.２．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C１：x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝0，１圆C２：x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２＝0，２若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由１—２所得，即：（D１—D２）x＋（E１—E）y＋（F１—F２）＝0．２３．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半错误!l满足关系式r２＝d２＋错误!错误!.二、习题改编１．（必修２P１２7例１改编）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＝１的位置关系为（）Ａ．相切Ｂ．相交但直线不过圆心C．直线过圆心Ｄ．相离答案：B２．（必修２P１３２A组T５改编）直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B 两点，则|AB|＝．答案：错误!３．（必修２P１２9例３改编）两圆x２＋y２—２y＝0与x２＋y２—４＝0的位置关系是．答案：内切一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．（）（２）若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．（）（３）“k＝１”是“直线x—y＋k＝0与圆x２＋y２＝１相交”的必要不充分条件．（）（４）联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽视分两圆内切与外切两种情形；（２）忽视切线斜率k不存在的情形．１．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝．解析：两圆的圆心距d＝错误!，由两圆相切（外切或内切），得错误!＝５＋１或错误!＝５—１，解得a＝±２错误!或a＝0．答案：±２错误!或0２．已知圆C：x２＋y２＝9，过点P（３，１）作圆C的切线，则切线方程为．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝３，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y—１＝k（x—３），所以kx—y＋１—３k＝0，所以错误!＝３，所以k＝—错误!，所以切线方程为４x＋３y—１５＝0．综上，切线方程为x＝３或４x＋３y—１５＝0．答案：x＝３或４x＋３y—１５＝0直线与圆的位置关系（典例迁移）（１）已知点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系是（）Ａ．相切Ｂ．相交Ｃ．相离Ｄ．不确定（２）（一题多解）圆x２＋y２＝１与直线y＝kx＋２没有公共点的充要条件是．【解析】（１）因为M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，所以a２＋b２＞１，从而圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝错误!＜１，所以直线与圆相交．（２）法一：将直线方程代入圆方程，得（k２＋１）x２＋４kx＋３＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝１6k２—１２（k２＋１）<0，解得k∈（—错误!，错误!）．法二：圆心（0，0）到直线y＝kx＋２的距离d＝错误!，直线与圆没有公共点的充要条件是d>１，即错误!>１，解得k∈（—错误!，错误!）．【答案】（１）B （２）k∈（—错误!，错误!）【迁移探究】（变条件）若将本例（１）的条件改为“点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１上”，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a２＋b２＝１，所以圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝１，则直线与圆O相切．错误!判断直线与圆的位置关系的方法（１）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．（２）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．１如果Δ<0，那么直线与圆相离；２如果Δ＝0，那么直线与圆相切；３如果Δ>0，那么直线与圆相交．（２0２0·陕西四校联考）直线ax—by＝0与圆x２＋y２—ax＋by＝0的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不能确定，与a，b取值有关解析：选Ｂ．将圆的方程化为标准方程得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，所以圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.因为圆心到直线ax—by＝0的距离d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切．故选Ｂ．切线与圆的综合问题（多维探究）角度一圆的切线问题（１）２0２0·宁夏银川一中一模）与３x＋４y＝0垂直，且与圆（x—１）２＋y２＝４相切的一条直线是（）Ａ．４x—３y＝6 Ｂ．４x—３y＝—6Ｃ．４x＋３y＝6 Ｄ．４x＋３y＝—6（２）（一题多解）（２0１9·高考浙江卷）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r.若直线２x—y ＋３＝0与圆C相切于点A（—２，—１），则m＝，r＝．【解析】（１）设与直线３x＋４y＝0垂直的直线方程为l：４x—３y＋m＝0，直线l与圆（x—１）２＋y２＝４相切，则圆心（１，0）到直线l的距离为半径２，即错误!＝２，所以m＝6或m＝—１４，所以４x—３y＋6＝0，或４x—３y—１４＝0，结合选项可知B正确，故选Ｂ．（２）法一：设过点A（—２，—１）且与直线２x—y＋３＝0垂直的直线方程为l：x＋２y＋t＝0，所以—２—２＋t＝0，所以t＝４，所以l：x＋２y＋４＝0．令x＝0，得m＝—２，则r＝错误!＝错误!.法二：因为直线２x—y＋３＝0与以点（0，m）为圆心的圆相切，且切点为A（—２，—１），所以错误!×２＝—１，所以m＝—２，r＝错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）—２错误!错误!圆的切线方程的求法（１）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；（２）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条（若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0）．角度二圆的弦长问题（１）（一题多解）（２0２0·安徽合肥调研）已知直线l：x＋y—５＝0与圆C：（x—２）２＋（y—１）２＝r２（r>0）相交所得的弦长为２错误!，则圆C的半径r＝（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．２错误!Ｄ．４（２）（２0２0·豫西南五校３月联考）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，直线l１：y＝错误!x，l２：y ＝kx—１，若l１，l２被圆C所截得的弦的长度之比为１∶２，则k的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：圆C的圆心为（２，１），圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，又弦长为２错误!，所以２错误!＝２错误!，所以r＝２，故选Ｂ．法二：联立得错误!整理得２x２—１２x＋２0—r２＝0，设直线与圆的两交点分别为A（x１，y１），B （x２，y２），所以x１＋x２＝6，x１·x２＝错误!，所以|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝２错误!，解得r＝２．（２）圆C：（x—２）２＋y２＝４的圆心为C（２，0），半径为２，圆心到直线l１：y＝错误!x的距离d１＝错误!＝错误!，所以l１被圆C所截得的弦长为２错误!＝２．圆心到直线l２的距离d２＝错误!，所以l２被圆C所截得的弦长为４＝２错误!，所以d２＝0．所以２k—１＝0，解得k＝错误!，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!求直线被圆截得的弦长的常用方法（１）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝２错误!；（２）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝错误!|x１—x２|.１．平行于直线２x＋y＋１＝0且与圆x２＋y２＝５相切的直线的方程是（）Ａ．２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0Ｂ．２x＋y＋错误!＝0或２x＋y—错误!＝0Ｃ．２x—y＋５＝0或２x—y—５＝0Ｄ．２x—y＋错误!＝0或２x—y—错误!＝0解析：选Ａ．设直线方程为２x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝错误!＝错误!，c＝±５，所以所求方程为２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0．２．（２0２0·河北石家庄质检）已知a∈R且为常数，圆C：x２＋２x＋y２—２ay＝0，过圆C内一点（１，２）的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为２x—y＝0，则a的值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５解析：选Ｂ．圆的方程配方，得（x＋１）２＋（y—a）２＝１＋a２，圆心为C（—１，a），当弦AB 最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点（１，２）的连线和直线２x—y＝0垂直，所以错误!×２＝—１，解得a＝３．３．（２0２0·山东枣庄期末改编）若点P（１，１）为圆x２＋y２—6x＝0中弦AB的中点，则弦AB 所在直线的方程为，|AB|＝．解析：圆x２＋y２—6x＝0的标准方程为（x—３）２＋y２＝9．又因为点P（１，１）为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为错误!＝—错误!，故弦AB所在直线的斜率为２，所以直线AB的方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．圆心（３，0）与点P（１，１）之间的距离d＝错误!，圆的半径r＝３，则|AB|＝２错误!＝４．答案：２x—y—１＝0 ４圆与圆的位置关系（师生共研）（１）已知圆M：x２＋y２—２ay＝0（a>0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是２错误!，则圆M与圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１的位置关系是（）Ａ．内切Ｂ．相交C．外切Ｄ．相离（２）两圆C１：x２＋y２＋４x＋y＋１＝0，C２：x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．【解析】（１）由题意得圆M的标准方程为x２＋（y—a）２＝a２，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝错误!，所以２错误!＝２错误!，解得a＝２，圆M，圆N的圆心距|MN|＝错误!，小于两圆半径之和３，大于两圆半径之差１，故两圆相交．（２）由（x２＋y２＋４x＋y＋１）—（x２＋y２＋２x＋２y＋１）＝0得弦AB所在直线方程为２x—y ＝0．圆C２的方程为（x＋１）２＋（y＋１）２＝１，圆心C２（—１，—１），半径r２＝１．圆心C２到直线AB的距离d＝错误!＝错误! .所以|AB|＝２错误!＝２错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）错误!错误!（１）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤１确定两圆的圆心坐标和半径；２利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r１＋r２，|r１—r２|；３比较d，r１＋r２，|r１—r２|的大小，然后写出结论．（２）两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长错误!，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．１．圆C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9与圆C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４外切，则m的值为（）Ａ．２Ｂ．—５C．２或—５Ｄ．不确定解析：选Ｃ．由圆心C１（m，—２），r１＝３；圆心C２（—１，m），r２＝２；则两圆心之间的距离为|C１C２|＝错误!＝２＋３＝５，解得m＝２或—５．故选Ｃ．２．（２0２0·江苏南师大附中期中改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，—8），且与圆x２＋y２—6x—6y＝0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为．解析：将已知圆化为标准式得（x—３）２＋（y—３）２＝１8，圆心为（３，３），半径为３错误!.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点（0，0），（0，—8），所以圆心又在直线y＝—４上．联立y＝x和y＝—４，得圆心C的坐标（—４，—４）．又因为点（—４，—４）到原点的距离为４错误!，所以圆C的方程为（x＋４）２＋（y＋４）２＝３２，即x２＋y２＋8x＋8y＝0．圆心C到x轴距离为４，则圆C被x轴截得的弦长为２×错误!＝8．答案：x２＋y２＋8x＋8y＝0 8核心素养系列１7 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．已知AC，BD为圆O：x２＋y２＝４的两条相互垂直的弦，垂足为M（１，错误!），则四边形ABCD的面积的最大值为（）Ａ．５Ｂ．１0Ｃ．１５Ｄ．２0【解析】由已知，圆心为O（0，0），半径为２．设圆心O到AC，BD的距离分别为d１，d２，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则d错误!＋d错误!＝OM２＝３．又|AC|＝２错误!，|BD|＝２错误!，所以S四边形ABCD＝错误!|AC|·|BD|＝２错误!·错误!≤（４—d错误!）＋（４—d错误!）＝8—（d错误!＋d错误!）＝５，当且仅当d１＝d２时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为５．【答案】A错误!直线与圆综合问题的求法（１）圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.（２）圆与直线l相交的情形１圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．２连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．３过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．１．（２0２0·聊城模拟）圆（x—３）２＋（y—３）２＝9上到直线３x＋４y—１１＝0的距离等于１的点的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．因为圆心到直线的距离为错误!＝２，又因为圆的半径为３，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为１的点有３个．２．P在直线l：x＋y＝２上，过P作圆x２＋y２＝１的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为．解析：连接OP，OA，OB，则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·错误!＝错误!.而|OP|的最小值为|OP|min＝错误!＝错误!，所以（S四边形OAPB）min＝１．答案：１[基础题组练]１．圆O１：x２＋y２—２x＝0和圆O２：x２＋y２—４y＝0的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交C．外切Ｄ．内切解析：选Ｂ．圆O１的圆心坐标为（１，0），半径长r１＝１，圆O２的圆心坐标为（0，２），半径长r２＝２，所以两圆的圆心距d＝错误!，而r２—r１＝１，r１＋r２＝３，则有r２—r１<d<r１＋r２，所以两圆相交．２．（２0２0·陕西榆林二校联考）圆x２＋y２＋４x—２y＋a＝0截直线x＋y—３＝0所得弦长为２，则实数a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｄ．由题知，圆的标准方程为（x＋２）２＋（y—１）２＝５—a，所以圆心为（—２，１），半径为错误!，又圆心到直线的距离为错误!＝２错误!，所以２错误!＝２，解得a＝—４．３．（２0２0·河南豫西五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，１）为圆心且与直线x—by ＋２b＋１＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）Ａ．x２＋（y—１）２＝４Ｂ．x２＋（y—１）２＝２Ｃ．x２＋（y—１）２＝8 Ｄ．x２＋（y—１）２＝１6解析：选Ｂ．直线x—by＋２b＋１＝0过定点P（—１，２），如图．所以圆与直线x—by＋２b＋１＝0相切于点P时，以点（0，１）为圆心的圆的半径最大，此时半径r为错误!，此时圆的标准方程为x２＋（y—１）２＝２．故选Ｂ．４．已知圆O１的方程为x２＋y２＝４，圆O２的方程为（x—a）２＋y２＝１，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）Ａ．{１，—１} Ｂ．{３，—３}Ｃ．{１，—１，３，—３} Ｄ．{５，—５，３，—３}解析：选Ｃ．因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝１，外切时，|a|＝３，所以实数a的取值集合是{１，—１，３，—３}．５．圆x２＋２x＋y２＋４y—３＝0上到直线x＋y＋１＝0的距离为错误!的点共有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．圆的方程化为（x＋１）２＋（y＋２）２＝8，圆心（—１，—２）到直线的距离d＝错误!＝错误!，半径是２错误!，结合图形可知有３个符合条件的点．6．圆x２＋y２—４x＝0在点P（１，错误!）处的切线方程为．解析：圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，圆心坐标为（２，0），半径为２，点P在圆上，设切线方程为y—错误!＝k（x—１），即kx—y—k＋错误!＝0，所以错误!＝２，解得k＝错误!.所以切线方程为y—错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y＋２＝0．答案：x—错误!y＋２＝07．已知直线l：x＋ay—１＝0（a∈R）是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴．过点A（—４，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝．解析：由于直线x＋ay—１＝0是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴，所以圆心C（２，１）在直线x＋ay—１＝0上，所以２＋a—１＝0，所以a＝—１，所以A（—４，—１）．所以|AC|２＝３6＋４＝４0．又r＝２，所以|AB|２＝４0—４＝３6．所以|AB|＝6．答案：68．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线２x＋y—４＝0相切，则圆C面积的最小值为．解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线２x＋y—４＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线２x＋y—４＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线２x＋y—４＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝错误!＝错误!，所以圆C的最小半径为错误!，所以圆C面积的最小值为π错误!错误!＝错误!π.答案：错误!π9．已知圆C：（x—１）２＋（y＋２）２＝１0，求满足下列条件的圆的切线方程．（１）过切点A（４，—１）；（２）与直线l２：x—２y＋４＝0垂直．解：（１）因为k AC＝错误!＝错误!，所以过切点A（４，—１）的切线斜率为—３，所以过切点A （４，—１）的切线方程为y＋１＝—３（x—４），即３x＋y—１１＝0．（２）设切线方程为２x＋y＋m＝0，则错误!＝错误!，所以m＝±５错误!，所以切线方程为２x＋y±５错误!＝0．１0．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!，化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．[综合题组练]１．（２0２0·湖北四地七校联考）若圆O１：x２＋y２＝５与圆O２：（x＋m）２＋y２＝２0相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．２错误!Ｄ．8解析：选Ｂ．连接O１A，O２A，由于⊙O１与⊙O２在点A处的切线互相垂直，因此O１A⊥O２A，所以|O１O２|２＝|O１A|２＋|O２A|２，即m２＝５＋２0＝２５，设AB交x轴于点C.在Rt△O１AO２中，sin ∠AO２O１＝错误!，所以在Rt△ACO２中，|AC|＝|AO２|·sin∠AO２O１＝２错误!×错误!＝２，所以|AB|＝２|AC|＝４．２．（２0２0·江西南昌NCS项目第一次模拟）已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋错误!≤１”，q：“x ２＋y２≤r２”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（0，１]Ｃ．错误!Ｄ．[２，＋∞）解析：选Ａ．如图，“|x|＋错误!≤１”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x２＋y２≤r２”表示圆及其内部，易知圆心O（0，0）到直线AD：２x＋y—２＝0的距离d＝错误!＝错误!，由p是q 的必要不充分条件，得0<r≤错误!，故选Ａ．３．已知点P（２，２），圆C：x２＋y２—8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（１）求M的轨迹方程；（２）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：（１）圆C的方程可化为x２＋（y—４）２＝１6，所以圆心为C（0，４），半径为４．设M（x，y），则错误!＝（x，y—４），错误!＝（２—x，２—y）．由题设知错误!·错误!＝0，故x（２—x）＋（y—４）（２—y）＝0，即（x—１）２＋（y—３）２＝２．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x—１）２＋（y—３）２＝２．（２）由（１）可知M的轨迹是以点N（１，３）为圆心，错误!为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为３，所以l的斜率为—错误!，故l的方程为x＋３y—8＝0．又|OM|＝|OP|＝２错误!，O到l的距离为错误!，所以|PM|＝错误!，S△POM＝错误!×错误!×错误!＝错误!，故△POM的面积为错误!.４．已知圆C：x２＋y２—２x—４y＋３＝0．（１）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（２）从圆C外一点P（x１，y１）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：（１）将圆C的方程配方得（x—１）２＋（y—２）２＝２，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx（k≠0），由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得k＝—２±错误!，所以切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y—a＝0，由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得a＝１或a＝５，所以切线方程为x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．综上，所求的切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x或x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．（２）由|PM|＝|PO|得（x１—１）２＋（y１—２）２—２＝x错误!＋y错误!，即２x１＋４y１—３＝0，即点P在直线l：２x＋４y—３＝0上，所以|PM|min＝错误!＝错误!.。
2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节-圆的方程【导学案】
法三
设
A（3，0），B（0，1），☉M
的半径为
r，则
kAB＝
－ －
＝－
，AB
的中点坐标为
，
，∴AB 的垂直平
分线方程为 y－ ＝3 － ，即 3x－y－4＝0.联立得
－－
t
， 解得 M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）
＋－ t ，
2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M 的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
D.x2＋y2＋x＋y－9＝0
解析：A 由结论 1 得，圆的方程为（x－3）（x＋2）＋（y＋1）（y－2）＝0，整理得 x2＋y2－x－y－8＝0，故选
A. 2.点 M，N 是圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上的不同两点，且点 M，N 关于直线 x－y＋1＝0 对称，则该圆的半径等于（ ）
A.2
＝ ，故选 A.
4.圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0 的圆心坐标为 （1，－3） ；半径 r＝
.Байду номын сангаас
解析：圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0，转化为标准方程得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以圆心坐标为（1，－3），半
径为 . 5.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，则实数 m 的取值范围是 （－ ， ） . 解析：∵点（0，0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－ ＜m＜ .
＋
＝3，两边平方化简得 2x2＋2y2－9x＋9＝0，即（x－9）2＋y2＝ 9 ，
（－）＋
所以点 M 的轨迹方程为（x－9）2＋y2＝ 9 .
（2）法一 设 C（x，y），因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0.因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kAC·kBC ＝－1，又 kAC＝ + ，kBC＝ － ，所以 + · － ＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为（x －1）2＋y2＝4（y≠0）.
高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.3 点、线、圆的位置关系课件
y12 =4x1,②
由①②得 y12 -2y0y1+2 y02 -12=0, ∵Δ=4 y02-4(2 y02-12)>0,∴ y02<12. ∴r2=(3-5)2+ y02 =4+ y02 <16,∴r<4. 综上,r∈(2,4),故选D.
9.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与
垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=
答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a×1-1=0,得a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= | AC |2 22 = 40 4=6.故 选C.
6.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ 5 =0或2x+y- 5 =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5 =0或2x-y- 5 =0
2
3.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
A.- 4 B.- 3 C. 3 D.2
3
4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
| a 4 1| =1,解得a=- 4 .故选A.
高考数学一轮复习 第九章 解析几何9.3圆的方程教学案 理 新人教A版
9.3 圆的方程考纲要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与圆的一般方程．1．圆的定义在平面内，到____的距离等于____的点的____叫做圆． 确定一个圆最基本的要素是____和____． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中______为圆心，____为半径长． 特别地，当圆心在原点时，圆的方程为________． 3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当____________时，表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径长为12D 2＋E 2－4F 的圆；(2)当____________时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2； (3)当____________时，它不表示任何图形；(4)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧① ，② ，③ .4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：____________________； (2)点在圆外：____________________； (3)点在圆内：____________________.1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( )． A ．14＜m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜14 D ．m ＜14或m ＞12．圆心在y 轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为( )．A ．x 2＋(y －3)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝1D ．(x ＋2)2＋y 2＝13．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±14．圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为__________．5．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝__________.一、求圆的方程【例1－1】 圆心在y 轴上且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0【例1－2】 已知A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)，问这四点能否在同一个圆上？为什么？方法提炼常见的求圆的方程的方法有两种：一是利用圆的几何特征，求出圆心坐标和半径长，写出圆的标准方程；二是利用待定系数法，它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程．如果给定的条件易求圆心坐标和半径长，则选用标准方程求解；如果所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点，常选用一般方程求解．请做演练巩固提升1二、与圆有关的最值问题【例2】 若实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx ＋1的最大值为__________，最小值为__________．方法提炼处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．请做演练巩固提升3三、与圆有关的轨迹问题【例3】 如下图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．方法提炼1．解答与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法——直接根据题目提供的条件列出方程；定义法——根据圆、直线等定义列方程；几何法——利用圆的几何性质列方程；代入法——找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．2．求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应有不同：若求轨迹方程，把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么样的曲线．请做演练巩固提升4易忽视斜率不存在的直线而致误【典例】 (12分)从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向该圆引切线，求切线方程． 规范解答：当切线斜率存在时，设切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.(2分)∵圆心为(1,1)，半径长r ＝1， ∴|k －1＋3－2k |k 2＋－12＝1，∴k ＝34.(6分)∴所求切线方程为y －3＝34(x －2)，即3x －4y ＋6＝0.(8分)当切线斜率不存在时，因为切线过点P (2,3)，且与x 轴垂直，此时切线的方程为x ＝2. 综上，所求切线方程为x ＝2或3x －4y ＋6＝0.(12分)答题指导：求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)2．(2012安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )．A．2－1 B．2－ 2C． 2 D．2－1与2＋14．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15．如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值与最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．定点 定长 集合 圆心 半径2．(a ，b ) r x 2＋y 2＝r 23．(1)D 2＋E 2－4F ＞0 (2)D 2＋E 2－4F ＝0 (3)D 2＋E 2－4F ＜0 (4)①A ＝C ≠0②B ＝0 ③D 2＋E 2－4AF ＞04．(1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2(2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2(3)(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2基础自测1．D 解析：方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是(4m )2＋(－2)2－4×5m＞0，即m ＜14或m ＞1.2．B 解析：设圆心(0，b )，半径为r ，则r ＝1.∴x 2＋(y －b )2＝1.又圆过点(－1,2)，代入得b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.3．A 解析：∵点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.4．x 2＋y 2＝2 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 由|－2|1＋1＝a ，∴a ＝ 2.∴x 2＋y 2＝2.5．3 解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心为C (1,2)， 所以圆心C 到直线的距离为 |3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 考点探究突破【例1－1】 B 解析：设圆心为(0，b )，半径为R ，则R ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.【例1－2】 解：设经过A ，B ，C 三点的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r 2＝5.所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5.把点D 的坐标(－1,2)代入上面方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.【例2】 22 －22 解析：∵y x ＋1＝y －0x －(－1)，∴1y x +表示过点P(－1,0)与圆(x -2)2+y 2=3上的点(x ，y )的直线的斜率． 由图象知1yx +的最大值和最小值分别是过P 与圆相切的直线PA ，PB 的斜率．又∵k PA =CA PA =36=22，k PB =－||||CB PB =36-=22-，即1yx +的最大值为22，最小值为22-.【例3】 解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2. 因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. 演练巩固提升1．D 解析：∵D ＝－4，E ＝6， ∴圆心坐标为(2，－3)．2．C 解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2， 解得－3≤a ≤1.3．A 解析：如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，则直线l 0与l 1的距离为2－1，所以平移的最短距离为2－1.4．A 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．解：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，由图知，当直线与圆C 相切时，截距b 取最值．而圆心C 到直线y ＝－x ＋b 的距离为d ＝|6－b |2.因为当|6－b |2＝6，即b ＝6±23时，直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切，所以x ＋y 的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.。
高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2.3圆与圆的位置关系课件理
圆公共弦长．
(3)两圆位置关系与公切线条数
两圆位置关系
内含 内切 相交 外切 外离
公切线条数
01234
撬题·对点题 必刷题
已知圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点 P(－1,1)的圆的切线方程为_x_＝__－__1__或__5_x_＋__1_2_y_－__7_＝__0_． [错解]
[错因分析] 没有对 k 进行分类讨论，从而遗漏了 k 不存在的情况．
撬法·命题法 解题法
Hale Waihona Puke [考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．
命题法 圆与圆的位置关系
典例 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4 与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，4若直线 y＝kx－2 上至少存在一点， 使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是__3____．
代数
无实数解 一组实数解
两组实数解
特征
一组实数解 无实数解
公切线
4
3
2
条数
1
0
注意点 判别式与两圆的位置关系
在利用判别式 Δ 判断两圆的位置关系时，Δ>0 是两圆相交的充要条件，而 Δ＝0 是两圆外切(内切)的必
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆的方程
第3节圆的方程考试要求掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0，0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆. 2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， 3 C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，13 答案 D解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r ＝13.3.(2021·合肥模拟)已知A (1，0)，B (0，3)两点，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝104 答案 A 解析 |AB |＝12＋32＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，半径r ＝102，∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104.4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.{－4，4}答案 A解析因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即（1－a）2＋[1－（－a）]2<2，两边平方得：(1－a)2＋(a＋1)2<4，化简得a2<1，解得－1<a<1.5.(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案 A解析由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为d min＝（3－0）2＋（4－0）2－1＝4.6.(易错题)若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则k的取值范围为________________.答案(－∞，1)∪(4，＋∞)解析根据题意，若方程x2＋y2＋λxy＋2kx＋4y＋5k＋λ＝0表示圆，则λ＝0，方程为x2＋y2＋2kx＋4y＋5k＝0，∴(2k)2＋42－4×5k>0，即k2－5k＋4>0，解得k<1或k>4，故k的取值范围为(－∞，1)∪(4，＋∞).考点一圆的方程1.已知圆E 经过三点A (0，1)，B (2，0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254 答案 C解析 法一 (待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.法二 (几何法)因为圆E 经过点A (0，1)，B (2，0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上.又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0.则圆E 的半径为 |EB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.2.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2＝4 B.x 2＋(y －1)2＝2 C.x 2＋(y －1)2＝8 D.x 2＋(y －1)2＝16答案 B解析 由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心(0，1)为点B ，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝（－1－0）2＋（2－1）2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.3.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，则圆C 的方程为________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 法一 ∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴可设所求圆的圆心为(a ，－a ). ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |. 又所求圆截直线x －y －3＝0所得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即（2a －3）22＋32＝2a 2，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2，∴r 2＝（a －b －3）22＋32，即2r 2＝(a －b －3)2＋3.① ∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴|a －b |12＋（－1）2＝r .②又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.感悟提升 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 考点二 与圆有关的最值问题 角度1 利用几何意义求最值例1 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆. (1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1).所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2).所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 感悟提升把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如m＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 角度2利用对称性求最值例2 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A.52－4B.17－1C.6－2 2D.17答案 A解析 P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3).所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.感悟提升 求解形如|PM |＋|PN |(其中M ，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度3 建立函数关系求最值例3 (2022·衡水模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________. 答案 12解析 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 感悟提升 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.训练1 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2 2. 又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 考点三与圆有关的轨迹问题例4 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2). (2)设PQ 的中点为N (x ，y ). 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为 x 2＋y 2－x －y －1＝0.感悟提升 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.训练2 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程. 解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆.直线OM 与轨迹相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1.圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(3，4)，5 B.(－3，4)，5 C.(－3，－4)，5 D.(3，－4)，5答案 D解析 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(3，－4)，半径r ＝5.2.过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A.(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B.(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C.(x －1)2＋(y －1)2＝4 D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案 C解析 设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . 因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上， 所以b ＝2－a . 又|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， 所以a ＝1，b ＝1，所以r ＝2， 所以方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.3.如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，0) D.(0，－1)答案 D 解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大，此时圆心坐标为(0，－1). 4.(2022·太原期末)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0， 即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15.又知该方程不表示圆，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1.又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45. 5.(2022·昆明调研)已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长为6，则圆C 的方程为( )A.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0B.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0C.x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0D.x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，D 2＋E 2－4F >0， 将P ，Q 两点的坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6得D 2－4F ＝36， ④ 由①②④得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0，故所求的圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.6.已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5 D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B 解析 如图，圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.7.(2021·郑州模拟)圆(x ＋2)2＋(y －12)2＝4关于直线x －y ＋8＝0对称的圆的方程为________________. 答案 (x －4)2＋(y －6)2＝4 解析 设对称圆的圆心为(m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n －12m ＋2＝－1，m －22－n ＋122＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6，所以所求圆的圆心为(4，6)， 故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝4.8.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1.9.(2022·贵阳调研)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________. 答案 2 5解析 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，所以圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆.设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，此时，|P A |＋|PQ |取得最小值，由对称性可知|P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5.10.已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)， 所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值.解(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋（－3）－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(3)x2＋y2＋2x－4y＋5＝（x＋1）2＋（y－2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值34－1.12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255C.355D.455答案 B解析 设圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切， ∴|x 0|＝|y 0|＝r .又圆经过点(2，1)，∴x 0＝y 0＝r 且(2－x 0)2＋(1－y 0)2＝r 2， ∴(r －2)2＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.当r ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255；当r ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离 d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255.综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P 满足|OP |＝2，其中O 为坐标原点，若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|PM |的最小值为________.答案 1解析 由题意可得点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上， 因为|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1<2， 所以点M 在圆内，所以|PM |min ＝r －|OM |＝2－1＝1.14.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2， 所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1， 因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故圆的半径为x 0＋p2＝4或12，因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第二节圆的方程及点线圆的位置关系文新人教A版
►一个易错点：两圆相切时，注意是内切还是外切. (5)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1 相切，则(a＋b)2＝________. 解析 圆C1圆心坐标为(a，－2)，半径r1＝2，圆C2圆心坐标为 (－b，－2)，半径r2＝1，则圆心距为|a＋b|，两圆外切时|a＋b| ＝2＋1＝3，两圆内切时|a＋b|＝2－1＝1.所以(a＋b)2＝9或1. 答案 9或1
圆的方程突破方略
求圆的方程的几种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程； (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则 设圆的标准方程，根据已知条件列出关于a、b、r的方程组， 从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半 径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F 的方程组，进而求出D、E、F的值.
解析 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1，1)到
直线
l
的距离减去半径，即|1－1＋4|－ 2
2＝
2.
答案 2
知识点二 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后 得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2D－4E－F＝20， D2－4F＝36，由3D－E＋F＝－10，解得
D2－4F＝36， D＝－6， 或E＝－8， F＝0.
因此，所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－ 8y＝0. (2) 法一 设圆心坐标为C(a，b)，依题意得，
r1，r2的关系
高考数学第一轮复习-第9章 第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系
高考数学第一轮复习第2讲 圆的方程及点、线、圆的位置关系考点一 圆的方程入门测1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝43．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．22 B.2－1 C ．22－1D ．1解题法命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5 (2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．命题法3 与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．对点练1．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2 6 B．8 C．4 6 D．102．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________________；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|＝|MA||MB|；②|NB||NA|－|MA||MB|＝2；③|NB||NA|＋|MA||MB|＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)3.设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考点二直线与圆的位置关系入门测1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()2．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝254所截得的弦长为________．解题法命题法直线与圆的位置关系及应用典例(1)直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定(2)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)对点练1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－342.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M 为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2 B．42C．6 D．2104．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A.4π5 B.3π4C．(6－25)π D.5π45．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．6．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．8．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a＝________.9.已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．考点三圆与圆的位置关系入门测1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条3．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是() A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0解题法命题法圆与圆的位置关系典例(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是______．对点练1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4 B.17－1 C．6－2 2 D.172．已知两圆⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y－3＝0和⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y－3＝0都经过点A(2，－1)，则同时经过点(D1，E1)和点(D2，E2)的直线方程为()A．2x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝03．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.微型专题与圆有关的交汇问题创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()A．[1－3，1＋3]B．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C．[2－22，2＋22]D．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)创新练习1．M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，则M∩N≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则过点P (－1,1)的圆的切线方程为________． [错解][错因分析] 没有对k 进行分类讨论，从而遗漏了k 不存在的情况． [正解]课时练 时间：50分钟基础组1.[·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝82．[·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝133．[·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝44．[·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或115. [·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 26．[·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1D ．5 57．[·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4D ．28. [·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)9．[·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．10．[·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．11．[·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．12．[·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．能力组13.[·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．91114．[·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝⎛⎭⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎡⎦⎤16，13，那么n 的取值集合为( )A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}15．[·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．16. [·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
高三数学一轮复习 9-3圆的方程学案
8、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
四．知识梳理，归纳总结
授课时间
年 月 日
第 周
星期
编号
课题
圆的方程
课型
复习
学习目标
探索并掌握圆的标准方程和一般方程
理解并应用圆的方程求解的方法和点的轨迹方程的求法
学习重点
掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
学习难点
围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数： (或 )得到方程组,进而求出圆的方程
导学设计
一.学情调查，情景导入
1、圆的定义是；
2、圆的标准方程是，圆心坐标，半径=__，
3、圆的一般方程是,圆心坐标，半径=，
4、点 在圆 内的条件是，在圆外的条件是，在圆上的条件是。
5、方程 表示的轨迹，①当时，方程表示是圆；②当时，方程表示是点；③当____时，方程不表示任何图形。
二.问题展示，合作探究
1、求圆的方程的方法
2、求点的轨迹方程的方法
五、预习指导，新课链接
掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，及其判定方法。完成下节学案
探究一:圆的方程的求解
例1：已知圆心在直线 上，并且经过点 ，求此圆的方程。
变式训练：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），
C（－3，0），求△ABC外接圆的方程
探究二：点的轨迹方程求解
例2、已知定点A（4,0），P点是圆 上的一动点，Q点是AP的中点，求点Q的轨迹方程
高考数学一轮复习第九章解析几何9.3圆的方程课件文北师大版3
2r2=(a-b)2+14.①
∵所求圆与 y 轴相切,∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线 x-3y=0 上,
∴a-3b=0,③
= -3,
= 3,
联立①②③,解得 = 1, 或 = -1,
2 = 9
2 = 9.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9,
-9考点1
考点2
考点3
(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
将 P,Q 两点的坐标分别代入得
2-4- = 20,①
3- + = -10.②
在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,
与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(A
)
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即
|2-1+4|
= √5 ,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2
半径:r= 2 +2 -4
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 = r2⇔点在圆上;
2020高考数学一轮复习第九章解析几何9-3圆的方程学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何9-3圆的方程学案理考纲展示►1.掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．考点1 圆的方程1.圆的定义及方程答案：定点定长(a，b) r2．点与圆的位置关系(1)理论依据：________到________的距离与半径的大小关系．(2)三种情况：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2________r2⇔点在圆内．答案：(1)点圆心(2)①＝②>③< (1)[教材习题改编]圆x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圆心坐标是________，半径r＝________.答案：(a，－2a) |a|解析：根据圆的一般方程的圆心公式和半径公式，可得圆的圆心坐标为(a，－2a)，半径为|a|.(2)[教材习题改编]以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x≤2)的两端点分别为(2,0)，(0,2)，所以圆心为(1,1)，圆的半径为＝，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.圆的一般方程：注意表示圆的条件．(1)方程x2＋y2＋ax ＋2ay ＋2a2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．232<a<答案：－ 解析：∵方程x2＋y2＋ax ＋2ay ＋2a2＋a －1＝0表示圆，∴a2＋(2a)2－4(2a2＋a －1)>0，解得－2<a<.(2)圆x2＋y2－2ax ＋4y ＋a ＝0的半径为2，则a ＝________.答案：0或1解析：由题意可知，＝＝2，解得a ＝0或1，经检验都满足题意，所以a ＝0或1.[典题1] (1)求经过点P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．[解] 设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D2＋E2－4F ＞0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得又令y ＝0，得x2＋Dx ＋F ＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F ＝36，④⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.解得或①②④由 故所求圆的方程为x2＋y2－2x －4y －8＝0或x2＋y2－6x －8y ＝0.(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，求圆C 的标准方程．[解] 解法一：因为圆C 的圆心在直线x －2y ＝0上，且与y 轴的正半轴相切，所以设圆心C(2b，b)(b>0)，半径r＝2b.又圆C截x轴所得弦的长为2，圆心C到x轴的距离为b，所以由勾股定理＝，解得b＝1.因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.解法二：因为圆C的圆心在直线x－2y＝0上，设圆心C(2b，b)，所以圆C的方程为(x－2b)2＋(y－b)2＝r2，因为圆C与y轴正半轴相切，则r＝2b>0.①又圆C截x轴所得弦的长为2，由勾股定理，得圆心C到x轴的距离为＝.②联立①②，得b＝1，r＝2.因此圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.[点石成金] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．考点2 与圆有关的最值问题[考情聚焦] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．主要有以下几个命题角度：角度一斜率型最值问题[典题2] [2017·辽宁抚顺模拟]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，x所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.角度二截距型最值问题[典题3] 在[角度一]条件下求y－x的最大值和最小值．[解] y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.角度三距离型最值问题[典题4] 在[角度一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．[解] 如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.角度四建立目标函数求最值问题[典题5] 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4[答案] B⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3＋cos θ，y0＝4＋sin θ.可化为y0)，P(x0知，圆上点1＝4)2－(y ＋3)2－(x 由 ]解析[ ∵∠APB ＝90°，即·＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y ＝0，∴m2＝x ＋y ＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36，∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[点石成金] 求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．考点3 与圆有关的轨迹问题(1)[教材习题改编]已知点P 与两个定点O(0,0)，A(－3,3)的距离之比为，则点P 的轨迹方程是________．答案：x2＋y2－2x ＋2y －6＝0解析：依题意，得＝.设P(x ，y)，则＝，整理得x2＋y2－2x ＋2y －6＝0.(2)[教材习题改编]若点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．答案：(－1,1)解析：因为点(1,1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2<1，故－1<a<1.1.求圆的标准方程：几何法．经过三点A(4,0)，B(0,2)，C(1,3)的圆的方程为________．答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：因为kBC·kAC＝·＝－1，所以AC⊥BC，所以△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，所以所求圆的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝|AB|＝＝，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.2．求圆的一般方程：待定系数法．△ABC 的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，其外接圆的方程为________．答案：x2＋y2－4x －2y －20＝0解析：解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20. 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－4x －2y －20＝0.解法二：由题意可求得线段AC 的中垂线方程为x ＝2，线段BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，则圆心是两中垂线的交点(2,1)，半径r ＝＝5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.[典题6] 设定点M(－3,4)，动点N 在圆x2＋y2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．[解] 如图所示，设P(x ，y)，N(x0，y0)，则线段OP 的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝.从而又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．[点石成金] 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. [方法技巧] 1.求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，简化运算．3．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．4．圆心在任一弦的中垂线上．5．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．[易错防范] 求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．真题演练集训1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．254＝y2＋2答案： 解析：由题意知，a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知，圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m)2＋y2＝r2(0＜m ＜4，r ＞0)，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r2＝254.则解得 所以圆的标准方程为2＋y2＝.2．[2014·陕西卷]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．答案：x2＋(y －1)2＝1解析：因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C 的标准方程为x2＋(y －1)2＝1.3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x2＋y2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5. (1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，所以①因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤≤5＋5，解得2－2≤t≤2＋2.因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．课外拓展阅读圆中避免求“交点”的几种策略有关圆锥曲线与圆的交点问题，若用解方程组的方法求出交点坐标，往往比较繁琐，有些甚至没有必要，下面举例介绍如何避免求“交点”的几种策略：1．整体代入法[典例1] 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交于两点A，B，则公共弦AB所在的直线方程为________．[解析] 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交点的坐标是(x0，y0)，则x＋y＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①x＋y＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0，因为A，B的坐标都满足方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，③所以③是过A，B两点的直线方程．而过A，B两点的直线是唯一的，故方程③就是公共弦AB所在的直线方程．[答案] (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝02．数形结合法[典例2] 已知曲线xy＝1与圆M：x2＋y2－4x－4y＋3＝0相交于A，B两点，则AB的中垂线方程为________．[解析] 曲线xy＝1是反比例函数，其图象关于直线y＝x对称，而圆M的圆心(2,2)在直线y＝x上，就是说圆M也关于直线y＝x对称，故AB的中垂线方程为y＝x.[答案] y＝x方法点睛数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，往往能起到化繁为简，化难为易的作用，使一些看似复杂的问题通过作图得以轻松解决．3．根与系数之间的关系[典例3] 过点A(0,3)作直线l与圆C：x2＋y2－2x－4y－6＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ，则直线l的方程为________．[解析] 由题意，斜率不存在的直线不符合题意，设直线l：y＝kx＋3，代入圆的方程式整理，得(1＋k2)x2＋2(k－1)x－9＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2＝，x1＋x2＝.①所以y1y2＝(kx1＋3)(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝.②而OP⊥OQ⇔x1x2＋y1y2＝0，联立①②解得，k＝0或k＝1，故所求直线为y＝3或x－y＋3＝0.[答案] y＝3或x－y＋3＝04．巧设方程法[典例4] 过点A(0,1)，B(4，m)且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值和这个圆的方程．[解] 设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中r2＝b2.将A，B的坐标代入，得消去b，得(1－m)a2－8a＋(m2－m＋16)＝0.(*)由题设，得知方程(*)只有一解．因此(1)当1－m＝0，即m＝1时，方程(*)只有一解，此时a＝2，b＝.故所求方程为(x－2)2＋2＝2.(2)当m≠1时，方程(*)为关于a的一元二次方程，故Δ＝0，解得m＝0，此时a＝4，b＝.故所求方程(x－4)2＋2＝2.。
2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第九章第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系
第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系1.[2020四川省高三诊断性考试(三)]A,B是☉O :x2+y2=1上两个动点,且∠AOB=120°,A,B到直线l :3x+4y - 10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为()A.3B.4C.5D.62.[2018全国卷Ⅲ]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x- 2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]3.[多选题]已知圆C过点M(1,-2),且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是()A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2,-1)在满足条件的圆C上D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4√24.[2016全国卷Ⅲ]已知直线l:mx+y+3m - √3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD |=.5.[2019北京高考]设抛物线y2=4x的焦点为 F ,准线为l.则以 F 为圆心,且与l相切的圆的方程为.6.[2019浙江高考]已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x - y+3=0与圆C相切于点A( - 2, - 1),则m=,r=.7.[2020南京模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知圆M :(x - a)2+(y - 2a)2=4,圆N :(x - 2)2+(y+1)2=4,若圆M上存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆N有公共点,则实数a的取值范围为.8.[2018全国卷Ⅱ]设抛物线C:y2=4x的焦点为F ,过F 且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.考法1 求圆的方程1 [2018天津高考]在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 .设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2 - 4F >0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D ,E ,F即可;或者设圆的标准方程为(x - a )2+(y - b )2=r 2,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a ,b ,r 即可;或者通过已知条件及圆的几何性质求出圆的基本量.解法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2 - 4F >0),则{F =0,1+1+D +E +F =0,4+2D +F =0,解得{D =-2,E =0,F =0,即圆的方程为x 2+y 2 - 2x =0. 解法二 (待定系数法)设圆的方程为(x - a )2+(y - b )2=r 2,则{a 2+b 2=r 2 ①,(1-a)2+(1-b)2=r 2 ②,(2-a)2+b 2=r 2 ③,由① - ③,得a =1,代入②,得(1 - b )2=r 2,结合①,得b =0,所以r 2=1,故圆的方程为(x - 1)2+y 2=1,即x 2+y 2 - 2x =0. 解法三 (几何法)记A (0,0),B (2,0),C (1,1),连接AB ,由圆过点A (0,0),B (2,0)知,AB 的垂直平分线x =1必过圆心.连接BC ,又圆过点C (1,1),BC 的中点为(32,12),BC 所在直线的斜率k BC = - 1,所以BC 的垂直平分线为直线y =x - 1,联立,得{y =x -1,x =1,解得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x - 1)2+y 2=1,即x 2+y 2 - 2x =0.1.[2017全国卷Ⅲ]已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P (4, - 2),求直线l 与圆M 的方程.考法2 与圆有关的最值问题2已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2 - 4x +1=0.(1)则yx 的最大值和最小值分别为 和 ;(2)则y - x 的最大值和最小值分别为 和 ; (3)则x 2+y 2的最大值和最小值分别为 和 .条件与 目标条件:已知圆的方程.目标:(1)求yx 的最大值和最小值.(2)求y - x 的最大值和最小值. (3)求x 2+y 2的最大值和最小值.思路与 方法 思路:寻找目标式的几何意义,将最值问题转化成直线与圆的位置关系问题. 方法:几何性质法.过程与 关键过程:将目标函数的几何意义与圆的几何图形对应,从几何直观中得到最值的求解. 关键:①直线与圆相切时,观察直线的斜率(或截距)的变化. ②观察圆上的点与坐标原点的距离. ③利用几何形求解最值问题.(1)(斜率型)原方程可化为(x - 2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,√3为半径的圆,yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx =k ,即y =kx.当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时√2=√3,解得k =±√3.所以yx 的最大值为√3,最小值为 - √3.(2)(截距型) y - x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距,当直线y =x +b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时√2=√3,解得b = - 2±√6.所以y - x 的最大值为 - 2+√6,最小值为 - 2 - √6.(3)(距离型) x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为√(2-0)2+(0-0)2=2, 所以x 2+y 2的最大值是(2+√3)2=7+4√3, x 2+y 2的最小值是(2 - √3)2=7 - 4√3.3 [2019厦门模拟]设点P (x ,y )是圆:x 2+(y - 3)2=1上的动点,定点A (2,0),B ( - 2,0),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .由题意,知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2 - x , - y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( - 2 - x , - y ), 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2 - 4. 由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程x 2+(y - 3)2=1,故x 2= - (y - 3)2+1,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = - (y - 3)2+1+y 2 - 4=6y - 12.由题意易知2≤y ≤4,所以当y =4时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,最大值为6×4 - 12=12. 2.已知A (0,2),点P 在直线x +y +2=0上,点Q 在圆C :x 2+y 2 - 4x - 2y =0上,则|PA |+|PQ |的最小值是 .考法3 直线与圆的位置关系4 直线l :mx - y +1 - m =0与圆C :x 2+(y - 1)2=5的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定思路一:将直线方程与圆的方程联立→研究一元二次方程的判别式 思路二:计算圆心到直线的距离d →比较d 与圆的半径√5的大小 思路三:直线l 过定点(1,1)→判断定点与圆的位置关系解法一 (代数法)由{mx -y +1-m =0,x 2+(y -1)2=5,消去y ,整理得(1+m 2)x 2 - 2m 2x +m 2 - 5=0, 因为Δ=16m 2+20>0,所以直线l 与圆相交.解法二 (几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l 的距离d =<1<√5,故直线l 与圆相交.解法三 (点与圆的位置关系法)直线l :mx - y +1 - m =0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x 2+(y - 1)2=5的内部,所以直线l 与圆相交.A判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.3.[原创题]已知直线l :x+2y - 3=0与圆C:x2+y2+x - 6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是()A.(1,8)B.(8,374) C.(1,37) D.(8,+∞)考法3 圆与圆的位置关系5分别求当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+4x - 6y+12=0与圆C2:x2+y2 - 2x - 14y+k=0相交和相切.确定两圆的圆心和半径利用两圆的位置关系及C2对k的限制确定关系式求解参数的值或取值范围将两圆的一般方程化为标准方程,得圆C 1:(x+2)2+(y - 3)2=1,圆C2:(x - 1)2+(y - 7)2=50 - k,则圆C1的圆心为C1( - 2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k,k<50.从而|C1C2|=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当|√50-k- 1|<5<√50-k+1,即4<√50-k<6,即14<k<34时,两圆相交.当1+√50-k=5,即k=34时,两圆外切;当|√50-k- 1|=5,即k=14时,两圆内切.所以当k=14或k=34时,两圆相切.4.[2019江苏泰州模拟(三)]在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x - k)2+(y+k - 4)2=1上任意一点P 作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=.考法5 圆的弦长问题6 [2020湖北部分重点中学高三测试]已知直线l:mx+y+3m+√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,若|AB|=2√3,则实数m的值为.解法一因为圆x 2+y2=12的圆心坐标为(0,0),半径r=2√3,所以圆心到直线l的距离d=|3m+√3|√2,所以|AB|=2√r2-d2=2√3,即(2√3)2 - (√3|)2=3,解得m=√33.解法二联立得{x 2+y2=12,mx+y+3m+√3=0,消去y得(1+m2)x2+(6m2+2√3m)x+9m2+6√3m - 9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-(6m2+2√3m)1+m2,x 1x 2=9m 2+6√3m -91+m 2.因为|AB |=2√3,所以√1+m 2·[-(6m 2+2√3m)1+m 2]-4×9m 2+6√3m -91+m 2=2√3,解得m =√33.7 [2017全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy 中,曲线y =x 2+mx - 2与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1).当m 变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC ⊥BC 的情况?说明理由.(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)利用设而不求法,借助向量的方法推证AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0,进而得出不会出现AC ⊥BC 的情况. (2)思路一:先由条件求得过A ,B ,C 三点的圆的方程,再令x =0求得圆与y 轴的交点坐标,最后可证得“过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值”. 思路二:利用平面几何中的相交弦定理求解.(1)不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下:设A (x 1,0),B (x 2,0),则x 1,x 2是方程x 2+mx - 2=0的两根,所以x 1x 2= - 2,又点C 的坐标为(0,1),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( - x 1,1)·( - x 2,1)=x 1x 2+1=- 2+1= - 1≠0,所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)解法一 由题意知,过A ,B ,C 三点的圆的圆心必在线段AB 的垂直平分线上.设圆心E (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,由(1)可得x 1+x 2= - m ,所以x 0= - m2.由|EA |=|EC |,得(x 1+x 22- x 1)2+y 02=(x 1+x 22)2+(y 0 - 1)2,化简得y 0=1+x 1x 22= - 12,所以圆E 的方程为(x +m2)2+(y +12)2=( - m 2)2+( - 12 - 1)2.令x =0,得y 1=1,y 2= - 2,所以过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为1 - ( - 2)=3,即过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.解法二 设过A ,B ,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ,由x 1x 2= - 2可知原点O 在圆内,则由相交弦定理可得|OC |·|OD |=|OA |·|OB |=|x 1|·|x 2|=2.………………………(利用相交弦定理:若圆O 的两条弦AB ,CD 交于一点P ,则|PA |·|PB |=|PC |·|PD |)又|OC |=1,所以|OD |=2,所以过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |+|OD |=3,为定值.5.求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为,公共弦长为.考法6 圆的切线问题8 (1)[2015重庆高考]已知直线l:x+ay - 1=0(a∈R)是圆C:x2+y2 - 4x - 2y+1=0的对称轴.过点A( - 4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=A.2B.4√2C.6D.2√10(2)[2020河北冀州中学模拟]已知圆C:x2+y2 - 2x - 4y+3=0.①若圆C的一条切线在x轴和y轴上的截距相等,则此切线的方程为;②从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为.(1)由题意可得圆C的标准方程,圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2→由直线l是圆C的对称轴,求出a→连接AC,BC,则有|AB|2=|AC|2- |BC|2,代入求出|AB|(2)①直线在两坐标轴上的截距为零及直线与圆相切→直线在两坐标轴上的截距不为零及直线与圆相切→求出k值即得切线方程(1)由题意得圆C的标准方程为(x - 2)2+(y - 1)2=4,所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a - 1=0,解得a= - 1.连接AC,BC,所以|AB|2=|AC|2 - |BC|2=( - 4 - 2)2+( - 1 -1)2 - 4=36,所以|AB|=6,故选C.(2)①圆C的方程可化为(x - 1)2+(y - 2)2=2,当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx(k≠0),由直线与圆相切,得=√2,解得k= - 2±√6.2所以切线方程为y=( - 2+√6)x或y=( - 2 - √6)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y - a=0,由直线与圆相切,得=√2,解得a=1或a=5.√2所以切线方程为x+y - 1=0或x+y - 5=0.综上所述,所求的切线方程为y=( - 2+√6)x或y=( - 2 - √6)x或x+y - 1=0或x+y - 5=0.②由|PM|=|PO|,得(x1-1)2+(y1-2)2- 2=x12+y12,整理得2x1+4y1 - 3=0,即点P在直线l:2x+4y - 3=0上.又|PM|=√|CP|2-r2,要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值即可,记圆心C(1,2)到直线l :2x+4y - 3=0的距离为d,可知d≤|CP|,当且仅当d=|CP|时,|CP|取得最小值.因为d=22=√,|PM|min=√d2-r2=√2-(√2)2=3√510.6.(1)[2015山东高考]一条光线从点( - 2, - 3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y - 2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A. - 53或- 35B. - 32或- 23C. - 54或- 45D. - 43或- 34(2)[2020山东省济南市历城二中模拟]已知圆C:x2+(y - 3)2=4,直线l过点A( - 1,0),过直线l上的点P引圆C的两条切线,若切线长的最小值为2,则直线l的斜率k为.数学文化圆与数学文化9 [2020云师大附中高三模拟]阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PA||PB|=√2,则PA2+PB2的最小值为A.36 - 24 √2B.48 - 24 √2C.36 √2D.24 √2由|PA||PB|=√2求出点P的轨迹方程→建立|PA|2+|PB|2的目标函数→利用函数法求最小值以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A( - 1,0),B(1,0).设P(x,y),因为|PA||PB|=√2,所以√(x+1)2+y2√(x-1)+y2=√2,两边平方并整理,得x2+y2 - 6x+1=0,即(x - 3)2+y2=8.所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2√2为半径的圆,则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x - 1)2+y2=2(x2+y2)+2.解法一因为x2+y2 - 6x+1=0,所以|PA|2+|PB|2=2(x2+6x - 1 - x2)+2=12x.由y2=8 - (x - 3)2≥0,得3 - 2√2≤x≤3+2√2,所以36 - 24√2≤12x≤36+24√2,由此可知PA2+PB2的最小值为36 - 24√2.解法二由(x-3)2+y2=8,可设{x=2√2cosθ+3,(θ∈[0,2π)),y=2√2sinθ则|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2=2[(2√2cos θ+3)2+(2√2sin θ)2]+2=24√2cos θ+36.因为θ∈[0,2π),所以-1≤cos θ≤1,所以36-24√2≤24√2cos θ+36≤36+24√2,由此可知|PA|2+|PB|2的最小值为36-24√2.A7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A(- 1,0),B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为() 2A.√6B.√7C.√10D.√111.C设AB的中点为P,在等腰三角形AOB中,∠AOB=120°,可知|OP|=12,即点P在以O为圆心,半径r=12的圆上.令点P到直线l:3x+4y- 10=0的距离为d3,由梯形的中位线定理可知d1+d2=2d3.点O到直线l:3x+4y- 10=0的距离h==2,则d3≤h+r=2+12=52,所以d1+d2=2d3≤5.故选C.2.A圆心(2,0)到直线的距离d=√=2√2,所以点P到直线的距离d1∈[√2,3√2].根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为A(- 2,0),B(0,- 2),所以|AB|=2√2,所以△ABP的面积S=12|AB|d1=√2d1.因为d1∈[√2,3√2],所以S∈[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].【素养落地】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及三角形面积的求解,体现了逻辑推理和数学运算等核心素养,试题难度中等.求解此题的关键是确定三角形的高的取值范围.当直线与圆相离时,若已知圆的半径r,圆心到直线的距离d,则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d- r.3.ACD因为圆C和两个坐标轴都相切,且过点M(1,- 2),所以可设圆心C的坐标为(a,- a)(a>0),故圆心C在直线y=- x上,A正确;圆C的方程为(x- a)2+(y+a)2=a2,将点M的坐标代入圆C的方程,可得a2- 6a+5=0,解得a=1或a=5,则圆心坐标为(1,- 1)或(5,- 5),所以满足条件的圆C有且只有两个,B错误;圆C的方程为(x- 1)2+(y+1)2=1或(x- 5)2+(y+5)2=25,将(2,- 1)代入圆C的方程,可知满足(x- 1)2+(y+1)2=1,也满足(x- 5)2+(y+5)2=25,C正确;满足条件的两个圆C的圆心距为√(5- 1)2+(- 5+1)2=4√2,D正确.故选ACD.4.4设圆心到直线l:mx+y+3m- √3=0的距离为d,则弦长|AB|=2√12- d2=2√3,解得d=3,即√3|√2=3,解得m=-√3 3,则直线l:x- √3y+6=0,数形结合可得|CD|=|AB|cos30°=4.5.(x- 1)2+y2=4因为抛物线的标准方程为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l的方程为x=- 1.因为所求的圆以F为圆心,且与准线l相切,故圆的半径r=2,所以圆的方程为(x- 1)2+y2=4.6.- 2√5解法一设过点A(- 2,- 1)且与直线2x- y+3=0垂直的直线l的方程为x+2y+t=0,所以- 2- 2+t=0,所以t=4,所以l的方程为x+2y+4=0.将(0,m)代入,解得m=- 2,则r=√(- 2- 0)2+(- 1+2)2=√5.解法二因为直线2x- y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(- 2,- 1),所以m+10+2×2=- 1,所以m=-2,r =√(- 2- 0)2+(- 1+2)2=√5.7.[- 2,2] 根据题意,可将“以点P 为圆心,1为半径的圆与圆N 有公共点”转化为“圆M 的半径增加1后与圆N 有交点”,即圆(x - a )2+(y - 2a )2=9与圆(x - 2)2+(y +1)2=4有交点,则√(a - 2)2+(2a +1)2≤5,得a 2≤4,即a ∈[- 2,2]. 8.(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x - 1)(k >0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y =k(x - 1),y 2=4x,得k 2x 2- (2k 2+4)x +k 2=0. Δ=16k 2+16>0,x 1+x 2=2k 2+4k2.所以|AB |=|AF |+|BF |=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2.由题设知4k 2+4k 2=8,解得k =- 1(舍去),k =1.因此l 的方程为y =x - 1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线的方程为y - 2=- (x - 3),即y =- x +5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则{y 0=- x 0+5,(x 0+1)2=(y 0- x 0+1)22+16,解得{x 0=3,y 0=2或{x 0=11,y 0=- 6.因此所求圆的方程为(x - 3)2+(y - 2)2=16或(x - 11)2+(y +6)2=144.1.(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :x =my +2.由{x =my +2,y 2=2x 可得y 2- 2my - 4=0,则y 1y 2=- 4. 又x 1=y 122,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y2x2=- 44=- 1,所以OA ⊥OB. 又圆M 是以线段AB 为直径的圆, 故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m ,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+4=2m 2+4.故圆心M 的坐标为(m 2+2,m ),圆M 的半径r =√(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P (4,- 2),因此AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1- 4)(x 2- 4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2- 4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可得y 1y 2=- 4,x 1x 2=4.所以2m 2- m - 1=0,解得m =1或m =- 12.当m =1时,直线l 的方程为x - y - 2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为√10,圆M 的方程为(x - 3)2+(y - 1)2=10. 当m =- 12时,直线l 的方程为2x +y - 4=0,圆心M 的坐标为(94,- 12),圆M 的半径为√854,圆M 的方程为(x -94)2+(y +12)2=8516.2.2 √5 因为圆C :x 2+y 2- 4x - 2y =0,故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r =√5的圆.设点A (0,2)关于直线x +y +2=0的对称点为A'(m ,n ),则{m+02+n+22+2=0,n - 2m - 0=1,解得{m =- 4,n =- 2,故A' (- 4,- 2).连接A'C 交圆C 于Q ,由对称性可知, |PA |+|PQ |=|A'P |+|PQ |≥|A'Q |=|A'C |- r =2√5. 3.B 将圆C 的方程配方,得(x +12)2+(y - 3)2=37- 4m 4,则有37- 4m 4>0,解得m <374.将直线l 的方程与圆C 的方程联立,得{x +2y - 3=0,x 2+y 2+x - 6y +m =0,消去y ,得x 2+(3- x 2)2+x - 6×3- x 2+m =0,整理得5x 2+10x +4m - 27=0 ①.因为直线l 与圆C 无公共点,所以方程①无解,故Δ=102- 4×5(4m - 27)<0,解得m >8.所以m 的取值范围是(8,374).故选B .4.2 由题意知,|C 1C 2|=√k 2+(- k +4)2=√2(k - 2)2+8≥2√2>2,所以圆C 1与圆C 2外离,示意图如图D 9- 2- 1所示.因为PQ 为圆C 2的切线,所以PQ ⊥C 2Q ,由勾股定理,得|PQ |=√|PC 2|2- 1,要使|PQ |最小,则需|PC 2|最小. 图D 9- 2- 1显然当点P 为C 1C 2与圆C 1的交点时,|PC 2|最小,此时|PC 2|=|C 1C 2|- 1, 所以当|C 1C 2|最小时,|PC 2|最小.易知当k =2时,|C 1C 2|取最小值,即|PQ |最小.5.x - 2y +4=0 2√5 联立两圆的方程,得{x 2+y 2- 2x +10y - 24=0,x 2+y 2+2x +2y - 8=0,两式相减并整理得x - 2y +4=0,所以两圆公共弦所在直线的方程为x - 2y +4=0.解法一 设两圆相交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点的坐标满足方程组{x - 2y +4=0,x 2+y 2+2x +2y - 8=0,解得{x 1=- 4,y 1=0或{x 2=0,y 2=2.所以|AB |=√(0+4)2+(2- 0)2=2√5,即公共弦长为2√5.解法二 由x 2+y 2- 2x +10y - 24=0,得(x - 1)2+(y +5)2=50,其圆心坐标为(1,- 5),半径r =5√2,圆心到直线x - 2y +4=0的距离d =2=3√5.设公共弦长为2l ,由勾股定理得r 2=d 2+l 2,即50=(3√5)2+l 2,解得l =√5,故公共弦长2l =2√5. 6.(1)D 圆(x +3)2+(y - 2)2=1的圆心为C (- 3,2),半径r =1.如图D 9- 2- 2所示,图D 9- 2- 2作出点A (- 2,- 3)关于y 轴的对称点B (2,- 3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线所在直线的斜率为k ,则反射光线所在直线的方程为y - (- 3)=k (x - 2),即kx - y - 2k - 3=0.由反射光线与圆相切可得√=1,即|5k +5|=2,整理得12k 2+25k +12=0,即(3k +4)(4k +3)=0,解得k =- 43或k =- 34.故选D.(2)17或- 1 由圆C :x 2+(y - 3)2=4可知圆C 的圆心坐标为(0,3),半径为2,过直线l 上的点P 引圆C 的两条切线,易知当|PC |为圆心到直线l 的距离时,切线长最短.已知直线l 过点A (- 1,0),当斜率不存在时,易知不合题意.设直线l 的方程为y =k (x +1),即kx - y +k =0,由点到直线的距离公式及勾股定理,得=√22+22=2√2,解得k =17或k =- 1.7.C ①当点M 在x 轴上时,点M 的坐标为(- 1,0)或(1,0).若点M 的坐标为(- 1,0),则2|MA |+|MB |=2×12+√(1+1)2+12=1+√5;若点M的坐标为(1,0),则2|MA|+|MB|=2×32+√(1- 1)2+12.②当点M不在x轴上时,取点K(- 2,0),连接OM,MK,因为|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,所以|OM||OA|=|OK||OM|=2.因为∠MOK=∠AOM,所以△MOK∽△AOM,则|MK||MA|=|OM||OA|=2,所以|MK|=2|MA|,则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|≥|BK|,可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为B(1,1),K(- 2,0),所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=√(- 2- 1)2+(0- 1)2=√10.综上,易知2|MA|+|MB|的最小值为√10.故选C.。
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第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系考纲展示命题探究考点一圆的方程1圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点M在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点M在圆外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点M在圆内．注意点圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12 －3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )(5)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．圆心在曲线y ＝14x 2(x <0)上，并且与直线y ＝－1及y 轴都相切的圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4答案 D解析 设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，14x 2，据题意得14x 2＋1＝－x ，解得x ＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( )A ．2 2 B.2－1 C ．22－1D ．1答案 C解析 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.[考法综述] 求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1 求圆的方程典例1 (1)若圆心在x 轴上、半径为5的圆O ′位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O ′的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5或(x ＋5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5(2)求经过A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程．[解析] (1)设圆心坐标为(a,0)(a <0)，因为圆与直线x ＋2y ＝0相切，所以5＝|a ＋2×0|5，解得a ＝－5，因此圆的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.∴⎩⎨⎧ 52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，32＋22＋3D ＋2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝－10，F ＝31.∴圆的一般方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋31＝0.解法二：从形的角度，AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB 中垂线x ＝4上，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＝4，得圆心P (4,5)． ∴半径r ＝|P A |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.[答案] (1)D (2)见解析【解题法】 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组．(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2 与圆有关的最值问题典例2 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求：(1)y x 的最大值和最小值；(2)y －x 的最大值和最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r ＝3的圆．(1)设y x ＝k ，即y ＝kx ，由题知，直线y ＝kx 与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径 3.∴|2k－0|k2＋1≤ 3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－ 6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴d max＝2＋3，d min＝2－ 3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－4 3.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x0－2,2y0)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ′，y ′)．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x ′2＋y ′2＋(x ′－1)2＋(y ′－1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 答案 C解析 设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝04D ＋2E ＋F ＋20＝0D －7E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4 6.故选C.2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③解析 (1)依题意，设C (1，r )(r 为圆C 的半径)，因为|AB |＝2，所以r ＝12＋12＝2，所以圆心C (1，2)，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝2－1或 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2＋1，因为B 在A 的上方，所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)．不妨令直线MN 的方程为x ＝0(或y ＝2－1)，M (0，－1)，N (0,1)，所以|MA |＝2，|MB |＝2＋2，|NA |＝2－2，|NB |＝ 2 .所以|NA ||NB |＝2－22＝2－1，|MA ||MB |＝22＋2＝2－1，所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，所以|NB ||NA |－|MA ||MB |＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．答案 [－1,1]解析解法一：当x0＝0时，M(0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(－1,0)或N(1,0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，∴－1≤x0<0或0<x0≤1.综上，－1≤x0≤1.解法二：过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin45°≤1，∴OM≤1sin45°，∴OM2≤2，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1.4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案x2＋(y－1)2＝1解析因为(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1.考点二 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点 切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k2≤1， 又∵r ＝2，∴0<d <r .显然圆心(0,0)不在直线y ＝kx ＋1上，故选C.3．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________． 答案 23解析 圆C 1的方程减圆C 2的方程，即得公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12，由条件知，r 2－d 2＝234，∴弦长为23.[考法综述] 直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法 直线与圆的位置关系及应用典例 (1)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 (2)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] (1)直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]． [答案] (1)C (2)C【解题法】 1.有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2，弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，即r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2. (2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k 2 |y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k (－3)－2－2k －3|1＋k2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0. 又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．42C ．6D ．210答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4 答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.故选A.解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5. 5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2 解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555.8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15.9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)，则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．考点三 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R >r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：注意点判别式与两圆的位置关系在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ>0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ<0是两圆外离(内含)的必要不充分条件.1．思维辨析(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y ＝r2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案B解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.3．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案 C解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)．直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.[考法综述] 根据两个圆的方程判断两圆的位置关系，利用圆的几何性质解决相关问题．命题法 圆与圆的位置关系典例 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 (2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是______．[解析] (1)两圆心之间的距离为d ＝(－2－2)2＋(0－1)2＝17，两圆的半径分别为r 1＝2，r 2＝3.则r 2－r 1＝1<d <r 1＋r 2＝5，故两圆相交．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x ，kx －2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解得0≤k ≤43，故k 的最大值为43.[答案] (1)B (2)43【解题法】 两圆位置关系的相关问题(1)圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切、内含．在高考中涉及两圆位置关系时，常见有两种命题方式：①已知两圆方程判断两圆的位置关系，一般采用几何法求解． ②圆与圆位置关系的应用，即通过圆与圆的位置关系，研究公共弦及公切线等问题．(2)两圆相交公共弦问题①求相交圆公共弦问题设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，如果先求交点坐标，再用两点式求直线方程，显然太繁琐，为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．设两圆任一交点坐标是(x 0，y 0)，则有：x 20＋y 20＋D 1x 0＋E 1y 0＋F 1＝0，①x 20＋y 20＋D 2x 0＋E 2y 0＋F 2＝0.②①－②得(D 1－D 2)x 0＋(E 1－E 2)y 0＋(F 1－F 2)＝0.显然，两交点坐标均满足此方程．因此，方程(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0就是两圆的公共弦方程．②求两圆公共弦长的步骤第一步，先求两圆公共弦所在的直线方程；第二步，利用圆心到直线的距离、半径和弦长的一半，这三个量构成的直角三角形计算，即可求出两圆公共弦长．(3)两圆位置关系与公切线条数两圆位置关系内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 0 1 2 3 41.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 圆C 1，C 2如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理可得|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析 两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a ，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.微型专题 与圆有关的交汇问题创新考向与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题多以其他相关知识为依托，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想；或以圆为依托考查基本不等式求最值等．常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不等式相交汇、与向量相交汇等．创新例题设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 答案 D解析 由圆的方程得圆心为(1,1)，半径为r ＝1， ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为d ＝|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1.整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22设m ＋n ＝x ，则有x ＋1≤x 24解得， x ≥2＋22或x ≤2－2 2.则m ＋n 的取值范围是(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选D.创新练习1．M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.答案 2＋22 22－2解析 由已知可得集合M 表示圆x 2＋y 2＝2a 2的上半部分，而集合N 表示圆心(1，3)半径为a 的圆，若M ∩N ≠∅，则圆N 与半圆M 有公共点，设两圆的圆心距为d ，且d ＝2.则(2－1)a ≤d ≤(2＋1)a ，解得a ≥22－2或a ≤22＋2.2．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．答案5－1解析 根据条件画出可行域如图．设z＝|PQ|表示圆上的点到可行域的距离．当点P在A处时，求出|PQ|＝5，即|PQ|min＝5－1.创新指导1．准确转化：解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决．2．方法选取：对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，对于涉及参数的问题，要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否需要分类讨论．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，则过点P(－1,1)的圆的切线方程为________．[错解][错因分析]没有对k进行分类讨论，从而遗漏了k不存在的情况．[正解](1)当直线的斜率不存在时，方程为x＝－1.此时圆心C(1，－2)到直线x＝－1的距离d＝|－1－1|＝2.故该直线为圆的切线．(2)当直线的斜率存在时，设为k，则其方程为y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0.由已知圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k×1－(－2)＋k＋1|k2＋(－1)2＝2，整理得|2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝－512，故此时切线方程为－512x－y＋712＝0，即5x＋12y－7＝0，综上，圆的切线有两条：x＝－1或5x＋12y－7＝0. [答案]x＝－1或5x＋12y－7＝0[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：50分钟基础组1.[·衡水二中仿真]已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8 答案 A解析 根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0，得(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．[·枣强中学期中]已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝13答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣孤所对圆心角为23π，设圆心为(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.3．[·衡水二中热身]圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋()y －32＝3C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.4．[·武邑中学期末]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11答案 A解析 由题意可知，将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位长度后，所得直线l 的方程为2(x ＋1)－y ＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O (－1,2)，半径为 5.解法一：直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于圆的半径，即|2×(－1＋1)－2＋λ|5＝5，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l 与圆相切的切点为C (x ，y )，由直线与圆相切，可知CO ⊥l ，所以y －2x ＋1×2＝－1.又C (x ，y )在圆上，满足方程x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，解得切点坐标为(1,1)或(－3,3)．又C (x ，y )在直线2(x ＋1)－y ＋λ＝0上，则λ＝－3或λ＝7.5. [·衡水二中一轮检测]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B.2 C ．2 D ．22答案 A解析 圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径为2，直线l 的斜率为－1，方程为x ＋y －1＝0.圆心到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为22，∴△OAB 的面积为12×22×22＝1，故选A.6．[·衡水二中猜题]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则|2x －y －2|的最小值是( )A ．5－ 5B ．4－5 C.5－1 D ．55答案 A解析 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，|2x －y －2|＝5×|2x －y －2|5，几何意义表示圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0的距离的5倍，要使其值最小，只使|2x －y －2|5最小，由直线和圆的位置关系可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －y －2|5min ＝|2×2＋3－2|5－1＝5－1，∴|2x －y －2|的最小值为5×(5－1)＝5－5，选A. 7．[·衡水二中猜题]已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2(注：此题条件还经常论述为“圆x 2＋y 2－2y －5＝0关于直线ax ＋by ＋c －1＝0对称”．)答案 A解析 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc >0)4c b ＝bc，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9，选A.8. [·衡水二中一轮检测]已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)答案 C解析 如右图，当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故2<k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．[·冀州中学周测]已知点N (3,4)，圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，M 是圆C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 52－1解析 作点N 关于x 轴的对称点N ′(3，－4)，则(|PC |＋|PN |)min＝|CN ′|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－1.10．[·冀州中学热身]已知圆C 过定点A (0，a )(a >0)，且被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，若∠MAN ＝45°，则圆C 的方程为________．答案 (x ＋2a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a )2＋(y －a )2＝2a 2 解析 设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，依题意，圆C 的半径r ＝x 2＋(y －a )2，又圆C 被x 轴截得的弦MN 的长为2a ，所以|y |2＋a 2＝r 2，即y 2＋a 2＝x 2＋(y －a )2，化简得x 2＝2ay .因为∠MAN ＝45°，所以∠MCN ＝90°.从而y ＝a ，x ＝±2a ，圆的半径r ＝x 2＋(y －a )2＝2a ，所以圆C 的方程为(x ＋2a a )2＋(y －a )2＝2a 2或(x －2a a )2＋(y －a )2＝2a 2.11．[·枣强中学周测]设圆C ：(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1，则圆C 的圆心轨迹方程为________，若k ＝0，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为________．答案 2x －y －1＝02155解析 由圆的方程(x －k )2＋(y －2k ＋1)2＝1得圆心坐标C (k,2k －1)，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝2k －1，消去k ，得2x －y －1＝0，即圆C 的圆心轨迹方程为2x －y －1＝0；当k ＝0时，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心到直线l ：3x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1－1|10＝105，则直线l ：3x ＋y －1＝0截圆C 所得的弦长为21－25＝2155.12．[·冀州中学预测]已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．答案 1或－7解析 由圆的性质易知，当切线过圆M 的圆心(1,3)时，|PQ |取最大值，这个最大值即为圆M 的直径，设此直线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0(k 显然存在)．由|k －3|k 2＋1＝2得k ＝1或－7. 能力组13.[·衡水二中月考]圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911答案 C解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223 .因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.14．[·枣强中学模拟]在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差为d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为( ) A ．{4,5,6,7}B ．{4,5,6}C ．{3,4,5,6}D ．{3,4,5,6,7}答案 A解析 圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝254，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径r ＝52，则最大的弦为直径，即a n ＝5，当圆心到弦的距离为32，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32为垂足时，弦长最小为4，即a 1＝4，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得d ＝a n －a 1n －1＝5－4n －1＝1n －1， ∵16≤d ≤13，∴16≤1n －1≤13，即3≤n －1≤6， ∴4≤n ≤7，即n ＝4,5,6,7，选A.15．[·衡水二中期末]已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点M 的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解 (1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r ＝2，当过点M 的直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当过点M 的直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－34. 16. [·武邑中学猜题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)，故可设圆的圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1，则圆的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9， 消去y 得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知可得判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.① 由OA ⊥OB 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a .所以y 1y 2＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2，即2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②可得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.。