第八章(阻抗和导纳).

（3） 例题
求 i(t ) 5 cos(314t 60)A 的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5 cos(314t 60 )A 560 A +j
即
注意
i(t ) I m
0
。 5 60 。 60
相量图（示）如右。
5
(a) 解中“→”不得写作“=”。
+1
(b)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。 (c)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！ （4）正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
（电容隔直流；电容的表现，与频率有关！）
90 ② i （相位关系） u
8-14
就 u的一周期看，u达极大值时， du 0, i也为零；
du u临近其零值时， 最大，i也达极值。 dt dt
两者极值不在同一时刻，有90°的相位差。
u,i 90
o
i超前u 90
u
+j
Im
ωt
i
所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数， 因此在sss电路中所有响应与激励仅在振幅、初相方面 有差别。在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一 个极坐标形式的复数来表征---模a表明正弦量的振幅； 辐角θ表明正弦量的初相。赋予这一物理意义的复数， 称为表征正弦函数的（振幅）相量。以电压u(t)为例
8-21
sss电路分析的典型问题：给定电路的结构、元件 参数以及激励的瞬时值，求响应的瞬时值。 （1）两类约束的类比： 电阻电路的时域形式
i 0 u 0
u Ri
sss电路的相量形式 I 0
m
U
m
0
ZI U m m
两类约束是分析集总电路的基本依据。引用相量并引用 阻抗(导纳)，上述典型问题可以仿照电阻电路处理方法来 进行。为便于仿照，引入相量模型。
i
C
i L
L
KCL相量形式
+
u(t) R
C
-
选用相量法(b)：
8-17
+j
Im
ICm
IRm
Um
。 127 ILm
I Cm
U m I Rm 890 A R 10180 A jCU m
I Lm U m 40 A jL
I m 10127 A
1 1 Z Z R ZC R R j jC C
③上例RC并联电路： Z 9.38 51.3 5.86 j7.32Ω
(b)复数运算
U U 1.93 j4.66 5.04 67.3V U ac ab bc
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04 cos(t 67.3)V
更大的好处还在后面！！！
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
§2-3 阻抗（impedance）—相量法的核心
I km 0
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
U km 0
(8—14)
8-9
(3)
例题
已知 u ab 10 cos(t 60 )V,
求： 解一
u ac u ac u ab ubc
u bc 8 sin( t 120 )V,
运用三角方法求解，类似(1)，从略。 解二
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换 动态电路的时域模型
① 1 相量模型
2 s域模型 ②

变换为
→适用于正弦稳态分析
→
适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比
、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而 得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
1
第八章
阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法
答： Z 为负，表明 u< i , 故 i 超前 u 。
（3）单口相量模型的 Z (Y)
8-26
Z不仅用于单个元件，也可用于单口网络。如上例。 （a）一般情况，Z为复数。 表示为直角坐标形式，既有实部，还有虚部。例如 ① RL串联电路： ② RC串联电路：
Z Z R Z L R jL
（1）基本元件VCR的相量形式 (a) R u=Ri 在sss电路中，设 i VCR时域形式
8-11
I m cos(t i )
时域特点：
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(t i )
u、i同频率正弦波，且
（振幅关系） U m RI m ② u i （相位关系） ①
元件
Z
R
1 jC
R C
L
jL
(b)定义导纳Y
1 Y Z
8-20
元件VCR也可表为： 记住Z，即可写出Y 例如：
Z jL, Y
1 jL
(c) 在电路的时域分析中，用R、L、C表明元件的特性； 在sss电路的相量(域)分析中，用Z或Y表明元件的特性。
§2-4 相量模型（phasor model）


i2 (t ) 40 cos t cos 60 40 sin t sin 60
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos t 24.6 sin t 44.72 cos(t 33.43 )mA

sss电路的主定理（main theorem）
§2-2 KCL、KVL的相量形式
（1）sss电路的某节点如图所示，已知
i2 i1 i3
8-7
i1 (t ) 20 cos(t 30 )mA , i2 (t ) 40 cos(t 60 )mA ,

未知量i3可根据KCL求得。
i1 (t ) 20 cos t cos 30 20 sin t sin 30
§3 相量图（解）法
§1
变换方法的概念
8-2
变换方法举例----并不陌生！
求解
解： ⑴ 取对数（变换）
⑵ 运算（除法） ⑶答案（反变换）
x
2.35
5
2.35 lg x = lg 5
lg 5 0.6989 lg x 0.2974 2.35 2.35
x lg 0.2974 1.983
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
8-8
i1
I I I 1m 2m 3m
37.32 j 24.64 44.7233.43 I 3m

检验：20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64) 因此，对sss电路KCL可表为
ICm+ ILm
+1
得
i 10cos(1000 t 127 )A

相量图表明了①相位关系，②KCL。
8-18
记忆三个基本元件VCR 的相量形式甚感不便Βιβλιοθήκη Baidu亟需 解决！
(3)阻抗 Z的引入 (a) 对sss电路中任一元件，定义阻抗
8-19
Im
+
元件
-
U Z m I m
Um
亦即元件VCR统一表为： Z视具体元件而定（需记住！）
R 15Ω、L 30mH 、C 83.3μF，求i(t )。 解： 利用时域或相量方法，即根据
(a) i u 、i C du 、u L di L KCL时域形式 R C
R
dt
dt
或(b) I Rm
i (t) i
R
U jCU 、U jLI ， m 、I Cm m m Lm R
Im Um
141.3
0
12090V U m
12.8141.3A I m
Z 9.38 51.3
Um Z 9.38 Ω Im
0
Z 51.3 （负号表示i 超前u，相位差角为 51.3 ）
Z
8-25
提问：Z的幅角为负，为何表明 i超前 u ？
注意本题
Z R 15
1 ZC j12Ω jC
15( j12) Z Z R // Z C 9.38 5.13Ω 15 j12
(2)
例题
8-24
U 12090 m Im 12.8141.3A Z 9.38 51.3
i(t ) 12.8 cos(1000t 141.3)A
1
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
§2
相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换 §2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心 §2-4 相量模型（phasor model）
(2)
例题
8-22
已知 u(t ) 120 cos(1000t 90)V, R 15Ω, C 83.3μF, 求i(t )。
i (t)
+
u(t) R
Im
+
C
Um
zR
zC
原电路
相量模型
(2)
例题
8-23
电阻模型中 R1、R2 并联：
R1 R2 等效电阻= R1 R2
Z R ZC 相量模型中 Z1、Z 2 并联： 等效阻抗= Z R ZC
U m cos(t ) U m U m
U m
—称为u(t)的（振幅）相量。
（2）正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中，在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数（正数、负数或零） 来表示。实数可以用直线上的点来表示；复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。
U m cos(t u )
RI m i U m u
即
RI U m m
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C 在sss电路中，设 时域特点：
VCR时域形式
8-12
u U m cos(t u )
VCR相量形式：
du iC CU m cos(t u 90) CU m u 90 I m i dt I m cos(t i ) jCU m u I m i
0 Ψ u
Um
ψ
u
时域的波形图便于解释；相量图便于表明、记忆 。
+i
(c) L 利用对偶关系可得
VCR时域形式
8-15
jLI U m m
包含：
+j
U m LI m u i 90
Um
Im
ψi
+j
i滞后u 90
(2)
例题
8-16
电路如图，已知 u (t ) 120 cos(1000t 90)V,
U U 运用KVL相量形式， U ac ab bc
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
8-10
A sin( t ) A 90
得

u ab U ab 1060 (5 j8.66)V ubc U bc 8120 90 (6.93 j4)V
u、i同频率正弦波，且
① （振幅关系） I m CU m
90 ② （相位关系） i u
即
I jCU m m
包含①、②两关系
du ①、②—C在sss电路的特点来自i与 dt 成比例
① I m CU m （振幅关系）
8-13
频率ω↑→
du ↑→电容 i↑ dt
§2-1 正弦函数与相量的互换
（1）复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j a2
0
A ae
A a
j
a 极坐标形式
θ
a1
+1
例1
解
例2
解
（2）正弦稳态电路的特点 正弦稳态(sinusoidal steady state，简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入
8-4