第八章(阻抗和导纳).

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(3) 例题
求 i(t ) 5 cos(314t 60)A 的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 : 5 cos(314t 60 )A 560 A +j

注意
i(t ) I m
0
。 5 60 。 60
相量图(示)如右。
5
(a) 解中“→”不得写作“=”。
+1
(b)ω=314rad/s,相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的,毋需表明。必要时,可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。 (c)相量图代替波形图,表明振幅和初相,简便直观! (4)正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
(电容隔直流;电容的表现,与频率有关!)
90 ② i (相位关系) u
8-14
就 u的一周期看,u达极大值时, du 0, i也为零;
du u临近其零值时, 最大,i也达极值。 dt dt
两者极值不在同一时刻,有90°的相位差。
u,i 90
o
i超前u 90
u
+j
Im
ωt
i
所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数, 因此在sss电路中所有响应与激励仅在振幅、初相方面 有差别。在规定参考方向后,所有响应、激励均可用一 个极坐标形式的复数来表征---模a表明正弦量的振幅; 辐角θ表明正弦量的初相。赋予这一物理意义的复数, 称为表征正弦函数的(振幅)相量。以电压u(t)为例
8-21
sss电路分析的典型问题:给定电路的结构、元件 参数以及激励的瞬时值,求响应的瞬时值。 (1)两类约束的类比: 电阻电路的时域形式
i 0 u 0
u Ri
sss电路的相量形式 I 0
m
U
m
0
ZI U m m
两类约束是分析集总电路的基本依据。引用相量并引用 阻抗(导纳),上述典型问题可以仿照电阻电路处理方法来 进行。为便于仿照,引入相量模型。
i
C
i L
L
KCL相量形式
+
u(t) R
C
-
选用相量法(b):
8-17
+j
Im
ICm
IRm
Um
。 127 ILm
I Cm
U m I Rm 890 A R 10180 A jCU m
I Lm U m 40 A jL
I m 10127 A
1 1 Z Z R ZC R R j jC C
③上例RC并联电路: Z 9.38 51.3 5.86 j7.32Ω
(b)复数运算
U U 1.93 j4.66 5.04 67.3V U ac ab bc
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04 cos(t 67.3)V
更大的好处还在后面!!!
变换与反变换均极为容易!原来的三角运算→复数的代数运算。
§2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心
I km 0
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
U km 0
(8—14)
8-9
(3)
例题
已知 u ab 10 cos(t 60 )V,
求: 解一
u ac u ac u ab ubc
u bc 8 sin( t 120 )V,
运用三角方法求解,类似(1),从略。 解二
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型(电阻电路和动态电路) 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换 动态电路的时域模型
① 1 相量模型
2 s域模型 ②

变换为
→适用于正弦稳态分析

适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比
、2 两种模型均与电阻模型作类比,从而 得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段,较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
1
第八章
阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量(解析)法
答: Z 为负,表明 u< i , 故 i 超前 u 。
(3)单口相量模型的 Z (Y)
8-26
Z不仅用于单个元件,也可用于单口网络。如上例。 (a)一般情况,Z为复数。 表示为直角坐标形式,既有实部,还有虚部。例如 ① RL串联电路: ② RC串联电路:
Z Z R Z L R jL
(1)基本元件VCR的相量形式 (a) R u=Ri 在sss电路中,设 i VCR时域形式
8-11
I m cos(t i )
时域特点:
VCR相量形式:
u Ri RI m cos(t i )
u、i同频率正弦波,且
(振幅关系) U m RI m ② u i (相位关系) ①
元件
Z
R
1 jC
R C
L
jL
(b)定义导纳Y
1 Y Z
8-20
元件VCR也可表为: 记住Z,即可写出Y 例如:
Z jL, Y
1 jL
(c) 在电路的时域分析中,用R、L、C表明元件的特性; 在sss电路的相量(域)分析中,用Z或Y表明元件的特性。
§2-4 相量模型(phasor model)


i2 (t ) 40 cos t cos 60 40 sin t sin 60
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos t 24.6 sin t 44.72 cos(t 33.43 )mA

sss电路的主定理(main theorem)
§2-2 KCL、KVL的相量形式
(1)sss电路的某节点如图所示,已知
i2 i1 i3
8-7
i1 (t ) 20 cos(t 30 )mA , i2 (t ) 40 cos(t 60 )mA ,

未知量i3可根据KCL求得。
i1 (t ) 20 cos t cos 30 20 sin t sin 30
§3 相量图(解)法
§1
变换方法的概念
8-2
变换方法举例----并不陌生!
求解
解: ⑴ 取对数(变换)
⑵ 运算(除法) ⑶答案(反变换)
x
2.35
5
2.35 lg x = lg 5
lg 5 0.6989 lg x 0.2974 2.35 2.35
x lg 0.2974 1.983
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想:i1、i2和i3的关系也可用相量表示,即
8-8
i1
I I I 1m 2m 3m
37.32 j 24.64 44.7233.43 I 3m

检验:20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64) 因此,对sss电路KCL可表为
ICm+ ILm
+1

i 10cos(1000 t 127 )A

相量图表明了①相位关系,②KCL。
8-18
记忆三个基本元件VCR 的相量形式甚感不便Βιβλιοθήκη Baidu亟需 解决!
(3)阻抗 Z的引入 (a) 对sss电路中任一元件,定义阻抗
8-19
Im
+
元件
-
U Z m I m
Um
亦即元件VCR统一表为: Z视具体元件而定(需记住!)
R 15Ω、L 30mH 、C 83.3μF,求i(t )。 解: 利用时域或相量方法,即根据
(a) i u 、i C du 、u L di L KCL时域形式 R C
R
dt
dt
或(b) I Rm
i (t) i
R
U jCU 、U jLI , m 、I Cm m m Lm R
Im Um
141.3
0
12090V U m
12.8141.3A I m
Z 9.38 51.3
Um Z 9.38 Ω Im
0
Z 51.3 (负号表示i 超前u,相位差角为 51.3 )
Z
8-25
提问:Z的幅角为负,为何表明 i超前 u ?
注意本题
Z R 15
1 ZC j12Ω jC
15( j12) Z Z R // Z C 9.38 5.13Ω 15 j12
(2)
例题
8-24
U 12090 m Im 12.8141.3A Z 9.38 51.3
i(t ) 12.8 cos(1000t 141.3)A
1
由此例可知: (a)变换方法可使运算简化; (b)与直接求解不同,需经三个步骤; (c)要知道如何“变换”和“反变换”。
§2
相量(解析)法
8-3
相量法可分为解析法和图解法,前者是主要 的,后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量,相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换 §2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心 §2-4 相量模型(phasor model)
(2)
例题
8-22
已知 u(t ) 120 cos(1000t 90)V, R 15Ω, C 83.3μF, 求i(t )。
i (t)
+
u(t) R
Im
+
C
Um
zR
zC
原电路
相量模型
(2)
例题
8-23
电阻模型中 R1、R2 并联:
R1 R2 等效电阻= R1 R2
Z R ZC 相量模型中 Z1、Z 2 并联: 等效阻抗= Z R ZC
U m cos(t ) U m U m
U m
—称为u(t)的(振幅)相量。
(2)正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中,在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数(正数、负数或零) 来表示。实数可以用直线上的点来表示;复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。
U m cos(t u )
RI m i U m u

RI U m m
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C 在sss电路中,设 时域特点:
VCR时域形式
8-12
u U m cos(t u )
VCR相量形式:
du iC CU m cos(t u 90) CU m u 90 I m i dt I m cos(t i ) jCU m u I m i
0 Ψ u
Um
ψ
u
时域的波形图便于解释;相量图便于表明、记忆 。
+i
(c) L 利用对偶关系可得
VCR时域形式
8-15
jLI U m m
包含:
+j
U m LI m u i 90
Um
Im
ψi
+j
i滞后u 90
(2)
例题
8-16
电路如图,已知 u (t ) 120 cos(1000t 90)V,
U U 运用KVL相量形式, U ac ab bc
省略下标m。分三步: (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos,即
8-10
A sin( t ) A 90


u ab U ab 1060 (5 j8.66)V ubc U bc 8120 90 (6.93 j4)V
u、i同频率正弦波,且
① (振幅关系) I m CU m
90 ② (相位关系) i u

I jCU m m
包含①、②两关系
du ①、②—C在sss电路的特点来自i与 dt 成比例
① I m CU m (振幅关系)
8-13
频率ω↑→
du ↑→电容 i↑ dt
§2-1 正弦函数与相量的互换
(1)复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j a2
0
A ae
A a
j
a 极坐标形式
θ
a1
+1
例1

例2

(2)正弦稳态电路的特点 正弦稳态(sinusoidal steady state,简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入
8-4
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