第八章 阻抗和导纳

上 页 下 页
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
上 页
下 页
8-3
一、振幅相量： 欧拉公式： e
jθ
振幅相量
= cosθ + j sinθ θ = ωt
e = cosωt + j sinωt (e jωt ) cosωt = Re
C
B A θa
θb
O
模扩大a倍 辐角逆时针 旋转 θa +1
上 页 下 页
5.复数的除法——两种形式都可以
A a1 + ja 2 (a1 + ja 2 )(b1 − jb2 ) = = 2 2 B b1 + jb2 b1 + b2
Fra Baidu bibliotek
(a1b1 + a2b2 ) + j(a2b1 − a1b2 ) = 2 2 b1 + b2
上 页 下 页
三、相量图 相量在复平面上的有向线段。
& Um = Um
+j
θ
& Um
Um
θ
O
+1
上 页
下 页
例：画出 i1 =10cos(ωt + 30o )A
o
i2 = 5cos(ωt − 45 )A 和 o i3 =12.5cos(ωt +120 )A
对应的相量图，判断相位关系 . +j
& I3m
下 页
u 例3：L=4H， = 8cos(100t − 50o )V，求i 。
解：用相量关系式
& = 8 − 50o ① U & & ② QUm = jωLIm
& Um o & = ∴Im = 0.02 −140 jωL
③
i = 0.02cos(100t −140 )A
o
上 页 下 页
总结：用相量式求解三个步骤： 写出已知正弦量的相量；（正变换） ；（正变换 ① 写出已知正弦量的相量；（正变换） 利用元件或电路的相量关系式进行运算 相量关系式进行运算； ② 利用元件或电路的相量关系式进行运算； ③ 由得出相量求出对应的正弦量（反变换） 由得出相量求出对应的正弦量（反变换）
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
相量形式为：
du i =C dt & & I = jωCU
m
m
上 页
下 页
含义
Im
θi = jωCUm
即
θu = ωCU m
θu + 90
o
Im = ωCUm
θi = θu + 90o
说明 1）电流超前电压90°； +j &
Im & Um
u i
ωt
+1
O
O
2）电流电压关系与ω有关。 ω=0，相当于直流激励，Im=0，电容开路
上 页 下 页
三、电感元件 +
uL iL
在正弦稳态中 L
i = Im cos(ωt +θi )
_
u = Um cos(ωt +θu )
di u= L dt
由对偶性相量形式为
& & Um = jωLIm
u = 8cos(314t − 60 )V
o
，求i 。
解：(1)用时域关系式
(2)用相量关系式 & Um = 8 − 60o ① & Um o & = = 2 − 60 ② Im R
u o i= = 2cos(314t − 60 )V R
i = 2cos(314t − 60o )A ③
结论：纯电阻电路,电压与电流同相,可直接用时 域关系式求解。
KVL：
∑u
k
=0
& Ukm = 0 ∑
上 页
下 页
例 1. 已知 i1 i3 i2
i1 = 3 2 cos ωt A i2 = 4 2 cos(ωt − 90 ) A
o
求 i3
o 结果： i3 = 5 2 cos(ωt + 53.1 ) A
上 页
下 页
例2 + u3 _ + u1 _ + u2 _ 已知
上 页 下 页
例2：C=0.5F，i =
2 cos(100t − 30 )A ，求u 。
o
解：用相量关系式
& = 2 − 30o ① I
& & ② QIm = jωCUm & Im & ∴Um = = 0.02 2 −120o jωC
③
u = 0.02 2 cos(100t −120 )V
o
上 页
2、由振幅相量求正弦量：
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
上 页 下 页
例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
上 页
下 页
第八章 阻 抗 与 导 纳
+1
a1
上 页
下 页
六、复数的运算
1. 复数的相等
A = a1 + ja2 = a B = b1 + jb2 = b
两复数相等的充要条件是：
θa
θb
a1 = b1 a2 = b2
或
a =b θa = θb
上 页 下 页
2.复数的相加——必须用直角坐标形式
A = a1 + ja 2 B = b1 + jb2
θa
O
θb
上 页
下 页
复数j的物理意义： 复数j的物理意义： 一个复数乘以 j
jA
o
jA = 1∠90 ⋅ a∠θ = a∠θ + 90
o
θ
A
结论： 结论：
任一个复数乘以+j后 任一个复数乘以+j后，逆时针旋转 +j 90度 乘以- 顺时针旋转90度 90度；乘以-j顺时针旋转90度，故称 j 90 为90度旋转因子。 90度旋转因子。
+j
A B –B –B
C
+1
上 页
下 页
4. 复数的乘法——两种形式都可以
A⋅ B = (a1 + ja 2 )(b1 + jb2 ) = (a1b1 − a2b2 ) + j(a2b1 + a1b2 )
A = ae
+j
θa
jθa
B = be
j(θa +θb )
jθb
A⋅ B = abe
= ce
jθc
O
三、复数的极坐标形式
A = ae
jθ
极坐标形式 亦称指数形式
其中：a —复数的模 θ—复数的辐角 工程上简写形式
A=a
θ
四、复数的另一种几何意义 —— 在复平面 上的一个有向线段
+j a2
a
θ a1
A
+1
上 页 下 页
O
五、复数的两种形式的关系： 欧拉公式： e = cos θ + jsin θ 1. 极坐标形式
上 页
下 页
8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
上 页 下 页
一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
jωt
sinωt = Im e
( )
jωt
上 页 下 页
说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。
设： u (t) = Um cos(ωt + θ)
u(t ) = Re Ume
[
j (ω t +θ ) jθ
]
)
= U m∠θ
= Re(Ume ⋅ e & e jωt ) = Re(U
m
jω t
U 其中： & m = U m e 意义：
直接求解 原来 问题 变换 变换域 中较易 问题 求解 原来问 题解答 反变换
变换域 中问题 解答
上 页 下 页
8-2 一、复数的定义:
复数
A = a1 + ja2
其中 ： j = − 1
直角坐标形式 亦称代数形式 Re Im
二、复数的几何意义——在复平面上的一个点 +j A a2 a1 +1
上 页 下 页
C = A+ B = (a1 + b1) + j(a2 + b2) = c1 + jc2
+j
a2 + b2 b2 a2 O B C A b1 a1 a1+b1
+j
平行四边形法则
C
B
B
+1
O
A
上 页
+1
下 页
3.复数的相减——必须用直角坐标形式
C = A− B = (a1 − b1) + j(a2 − b2 )
jθ
jθ
直角坐标形式(直接展开)
∴A = ae = a(cos θ + jsin θ) = a cos θ + ja sin θ = a1 + ja2
a1 = a cos θ ∴ a2 = a sin θ
上 页 下 页
2. 直角坐标形式 +j a2 a θ
O
极坐标形式（解直角△）
A
a = a 2 + a 2 1 2 a2 θ = arctg a1
o
例2 写出下列振幅相量对应的正弦量 2 1) 2)
8
15
o o
5 − 30
上 页
下 页
正误判断练习
& u = Um
& u → Um & u → Um i → &m I
& u = um
i →&m i
√ √ √
复数
实数瞬时值
& = 50 ej15° = 50 cos(ωt +150 ) Um
& = 50 e j15° ⇒50 cos(ωt +15o ) Um
= c1 + jc2
a1b1 + a2b2 c1 = 2 2 b1 + b2
a2b1 − a1b2 c2 = 2 2 b1 + b2
上 页
下 页
A ae a j(θa −θb ) jθc C = = jθb = e = ce B be b
A
jθa
+j
θb
C
B
模缩小b倍 幅角顺时针 旋转 θb +1
u = 5cosωt V 1 u2 = 5sinωt V
求 u3
结果： 3 = 5 2 cos(ωt − 45o ) V u
上 页
下 页
8 - 5 三种基本电路元件VCR的相量形式 一、电阻元件 + u _ i 在正弦稳态中： R
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
本章的主要内容
1.正弦量的相量表示； 2. 基尔霍夫定律与元件VCR的相量形式； VCR 3. 阻抗、导纳的概念 4.相量模型、相量法、相量图法； 5.用相量法分析正弦稳态电路响应。
上 页
下 页
8-1 变换方法的步骤：
变换方法的概念
（1）把原来的问题变换为一个较容易处理的问题 （2）在变换域中求解问题 （3）把变换域中的解答反变换为原来问题的解答
u = Ri
& & 相量形式为： Um = R Im
上 页 下 页
& & Um = RIm
含义： Um 即 +j θu = RI θi m
Um = RIm
θu = θi
模相等 辐角相等 u i ωt
& Um
θu = θi
O
& Im
+1
O
说明：电阻两端正弦电压与正弦电流同相。
上 页 下 页
二、电容元件 + u _ i C 在正弦稳态中：
1 2
jθ
& Um与时间无关，是复值常数，称为振幅相量。 & 含有正弦量振幅和初相角两个要素,可 Um
以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。
上 页 下 页
二、正弦量的振幅相量表示： 1、由正弦量求振幅相量：
u(t) = Um cos(ωt + θ) → Um = Umejθ = Um θ & i(t) = Im cos(ωt + θ) →&m = Imejθ = Im θ I
& A ⇔ f1(t ) 1
& A ⇔ f2 (t ) 2
α1 , α2 为实数
& & & 则A(t ) = α1 A (t ) ±α2 A2 (t ) ⇔ A = α1 A ±α2 A2 1 1
上 页 下 页
在正弦稳态中（具有相同频率）基尔霍夫定 律的相量形式
KCL：
∑i
k
=0
& I km = 0 ∑
O
& I1m
120
o
30
o
o
+1
45
& I2m
上 页 下 页
8-4 线性性质
相量的线性性质和基尔霍 夫定律的相量形式
若干个同频率正弦量线性组合的相量等于各个 正弦量的相量的同一线性组合。
& A (t ) = Re[A e jωt ] 若 1 1 & A (t ) = Re[A e jωt ]
2 2
& Um Z= & Im
R: L: C:
& & 或 Um = ZIm
ZR = R →电阻的阻抗 ZL = jωL →电感的阻抗 1 →电容的阻抗 ZC = jωC
——欧姆定律的相量形式
上 页
下 页
二、导 纳定义：阻抗的倒数。
1 Y= Z
& & Im = YUm——欧姆定律另一种相量形式
R: L: C: ZR = R ZL = jωL 1 ZC = jωC 1 YR = =G R 1 YL = jωL YC = jωC
上 页 下 页
含义 U θu = jωLIm m 即
θi = ωLIm
o
θi + 90
o
Um = ωLIm
θu = θi + 90
1）电流滞后电压90°；
说明
+j
& Um
u i
O
ω t
O
& Im
+1
2）电流电压关系与ω有关。 ω=0，相当于直流激励，Um=0，电感短路。
上 页 下 页
例1：R=4Ω，