格林函数和并矢格林函数

1、 格林函数

格林函数是满足一定条件的某一类函数的解，格林函数并不是根据数学公式和理论严格推导出来了，感觉只是为了表示某一类方程的解，引入的一个函数。在物理中，称该方程是波动方程。格林函数满足的方程如下式所示（一维情况）：

22()()()f x af x bg x x

∂+=∂ 其中，a ，b 是常数。在一定的条件下求的解就是格林函数，二维三维情况下于此类似。

在电磁场中，自由空间中点源在任意位置中产生的电势满足如下方程：

2(|)(|)G r r r r δ''∇=-

方程的解即为三维空间中的格林函数，在无限大空间中的静场为： 1(|)4||

G r r r r π'='- 2、 并矢格林函数

在矢量情况下，函数不再单单表示为数值，还带有方向。在电磁场中，由于场的传播是在三维空间中。

（1） 在笛卡尔坐标中，就有x 、y 、z 三个方向，变化的电流源

（磁流源）能在空间中激发电场和磁场，为了求解任

意的电流源（磁流源）激发的电磁波的传播情况，就

需要分别求出电磁波在x 、y 和z 方向的传播方程。

（2） 由于电流源（磁流源）电流的变化是不规则的，它的大小

和方向随着空间位置的不同而不同，为了求解其激发

的电磁波，可以采用微分的方法，把电流源（磁流源）

分割成无穷多个微笑的小电流源。

（3） 又由于任一微小的电流源（磁流源）都可以由分别沿笛卡

尔坐标的三个方向的无穷小的点电（磁）偶极子矢量

相加得到。

由以上三点可以得到，如果能够求的任意方向和大小的电（磁）偶极子在空间中激发的电磁场，利用叠加原理就能求出任意电流源（磁流源）在空间中激发的电磁场的传播情况。为了求解任意电（磁）偶极子，引入了电并矢格林函数和磁并矢格林函数，函数表示分别如下：

ˆe ei i i

G G x

=∑ ˆm mj j j

G G x

=∑ 其中，ei G 表示位于R 指向ˆi x

（x 、y 、z 三个方向）的无穷小的电（磁）偶极子产生的电场；mj G 表示位于R 指向ˆj x

（x 、y 、z 三个方向）的无穷小的电（磁）偶极子产生的磁场。R 是场点的位置矢量。

电（磁）偶极子要激发场，仍然满足波动方程和辐射条件，如果边界条件已知，就能求出电并矢格林函数和磁并矢格林函数，进而采用叠加和积分的方法求出任意电流源（磁流源）所激发的场。

3、 并矢格林函数的分类

根据电流源（磁流源）在场源边界分别满足不同的边界条件，可以将电并矢格林函数和磁并矢格林函数分为以下三类。

（1） 当1ˆ(,)0e n

G R R '⨯=（1ˆ0m n G ⨯=）时，称为第一类电（磁）并矢。

（2） 当2ˆ(,)0e n

G R R '⨯∇=（2ˆ0m n G ⨯∇=）时，称为第二类电（磁）并矢。

（3） 具有平面界面的两种媒质时，其中一个区域内有电流源（磁

流源），另外一个无电流源（磁流源），分界面处满足

1121ˆ[(,)(,)]0e e n

G R R G R R ''⨯-=，112112ˆ[(,)/(,)/]0e e n

G R R G R R μμ''⨯∇-∇=，2212ˆ[(,)(,)]0e e n

G R R G R R ''⨯∇-∇=，221212ˆ[(,)/(,)/]0e e n G R R G R R μμ''⨯∇-∇=或者

033=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂S G n G βα时，称为第三类电（磁）

并矢。

4、 在以上的边界条件下，求解下列方程

)(2

r r G '--=∇δ

即可求解出格林函数，进而求出任意电流源（磁流源）在空间中产生的场。