并矢格林函数作业

并矢格林函数作业

郑颖（20401209）

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一、格林函数简介

格林函数是柏松方程在无界空间的解，格林函数法在求解电磁问题中应用广泛。

格林函数法又称作积分法，从物理含义和数学形式上说，格林函数是一种普遍的概念，格林函数也是一种具有普遍意义上的方法，由于积分与坐标系无关，我们可以采取不同的坐标系，应用多种方法建立格林函数，因而使格林山蜀的计算获得了广泛的应用，应用格林函数处理电磁上工程问题，在某些场合可以使界的表达式更加简洁，处理方法更为巧妙；更有意义的是，引入格林函数的主要目的在于建立积分方程，随着计算机的高速发展和广泛应用，使难于解析求解的积分方程便于计算。

无界空间中的标量格林函数常称为相应标量格林函数方程的解本解。在无界空间中，时谐波的格林函数满足如下标量方程：

2

'

2

'

'

00(,)(,)()G r r k G r r r r δ∇+=-- （1）

以及辐射条件：

''00(,)lim (,)0r G r r r jkG r r r →∞⎡⎤∂+=⎢⎥∂⎣⎦

（2） 利用标量格林函数来简化标量的表示是很普遍的，标量格林函数并不限于应用在标量位，凡电磁场的直角份量都与标量位满足相同形式的方程我们都可以应用标量格林函数。 实际上有些特殊的并矢格林函数问题只涉及到并矢格林函数的一个直角分量，完全可以用标量格林函数来表示，所以标量格林函数是很有实际用途的。

二、并矢格林函数引入

我们可以用标量格林函数来局部的表示矢量位的每一个直角分量，然而矢量场比矢量位出现更多的分量，在一定的边值条件下可以分解为三个直角分量。在这种情况下，如果只引入格林函数的矢量形式，是不足以完备的表达出被积函数中格林函数与矢量源相乘时各分量之间复杂的取向关系。我们用并矢格林函数来进行这种表达，其定义式为：

D A B

=

（3）

A 、

B 分别称为前元素和后元素。把A 、B 写成分量形式：则上式为：

x x x x

x x y x z x z y x y x y y y y y z y z z x z x z y z y z z z z A B e e A Be e A B e e D A B e e A B e e A B e e A B e e A B e e A B e e ⎡⎤++⎢⎥

=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦

（4）

也可以写成：()

x x x x x y x z z A B e A Be A B e D

=++ （5）

显然：()

x x D e D

=

（6）

其它分量类似。

并矢的前后矢量之间没有物理内容上的联系，只有数学形式上的联系，它与其它矢量或并矢相互作用时，才变得有意义。

并矢格林函数常用性质

旋度：()()()

x y z x y z D D e D e D e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∇=∇+∇+∇⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（7）

散度：()

()()x y z x y z D D e D e D e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∇⨯=∇⨯+∇⨯+∇⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（8） 单位并矢：000

00

x x

y y z z e e I e e e e ⎡⎤

⎢⎥=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

（9）

并矢格林函数的分类

有两种分类方法：

1）可以分为电型并矢格林函数e G 和磁型并矢和林函数m G ，简称电并矢和磁并矢。

矢量电位并矢格林函数r A G ，矢量电位并矢格林函数m A G 。

为了表示三个不同方向电流源产生3x3个场分量，把电场和磁场满足的方程写成并矢形式有

2

s E k E j J ωμ∇⨯∇⨯-=- （10） 2s

H k H J ∇⨯∇⨯-=∇⨯

（11）

这里不需要刻意按照并矢的定义去找两个矢量，使其外乘等于并矢，只要知道方程组中的各并矢具有(4)式的形式，其中源s J 的每一列或每一行对应于E 或H 的每一列或每一行，而算子则是分别对每一列或每一行起作用，至于是列或是行取决于以后将并矢格林函数的源项放在右还是左。取

'

()s J Il r r I

δ=-

（12）

式中s J 表示三个正交方向的电流元(点电流源)，Il 为点电流源电流矩，I 为单位并矢。令1j Il ωμ-=，将电流矩归一化:把e E G =，m j H G ωμ-=，代入方程（10）和（11）可以得到：

2

'

()e e G k G r r I

δ∇⨯∇⨯-=-

（13）

2'

()m m G k G r r I

δ∇⨯∇⨯-=∇⨯- （14）

方程(13)或(14)的齐次边界条件的解e G 和m G 即为并矢格林函数，分别称e G 和

m

G ，为电型并矢格林函数和磁型并矢和林函数，简称电并矢和磁并矢。并矢方程(13)

或(14)实际上是三个分离的矢量方程，可以分别求解别求解，也可以用并矢的形式合起来分析。

2）根据边界条件分类：是按边界条件来划分的，以电场为例，在待求域边界上，

若给定边界条件，

0e n G ⨯= （15） 0e n G ⨯∇⨯= （16）

对应的并矢格林函数分别称为第一类、第二类并矢格林函数。 若待求区域存在分界面，在分界面上给定边界条件

1221()0

e e n G G ⨯-= （17）

1221()0e e n G G ⨯∇⨯-∇⨯= （18）

对应的函数称为第三类并矢格林函数。

对于无界区域，在无耗媒质中无穷远处给定辐射条件

lim 0e r e R R G jke G →∞⎡⎤∇⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦

（19） 式中，R 为源点'r 到场点r 的距离，r e 为无穷远处的单位外法矢。若待求区域的三个维度均为无界，对应的并矢格林函数为自由空间的并矢格林函数 。由互易定理同样可以导出并矢格林函数的对称性，即''(,)(,)G r r G r r =。

与标量问题相同，若能通过某种方法求得并矢格林函数，则任意分布源的场可以通过并矢格林函数来用积分构造。矢量的并矢格林定理：

()()V

S P Q P Q dV P Q P Q dS

⎡⎤⎡⎤∇⨯∇⨯-∇⨯∇⨯=-

⨯∇⨯+∇⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰

⎰ （20）

取 P=E(r)，'(,)e Q G r r =，并考虑δ函数的筛选性质，有：

'

'

()()(,)()()V s e S

e e E r j J r G r r dV n E G E n G dS

ωμ⎡⎤=-⋅-

⨯⋅∇⨯-∇⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

（21）

将变量r 和'r 以及'(,)e G r r 的前后元素互换（或者直接利用'(,)e G r r 的对称性）得到

'

'

'

'()(,)()()()V e s S

e e E r j G r r J r dV n E G E n G dS ωμ⎡⎤=-⋅-

⨯⋅∇⨯-∇⨯⋅⨯⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

（22）

同理，对于磁场，取P=E(r)，'(,)m Q G r r =，利用矢量的并矢公式

()()a b a b a b ∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯ （23）