正方形的性质和判定(含解析)

正方形的性质和判定

(含解析)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

正方形的性质和判定

一、选择题

1、下列命题是真命题的是（）

A．四边都相等的四边形是矩形

B．菱形的对角线相等

C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D．对角线相等的梯形是等腰梯形

二、填空题

2、如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则

的值等于__________

三、解答题

3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P．

（1）求证：AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

4、如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．

（1）求证：∠AFD=∠EBC；

（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．

5、如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；

（3）求四边形EFGH面积的最小值。

6、如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE 上一点，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．

（1）求∠ACF的度数；

（2）证明：矩形ABCD为正方形．

7、如图1，正方形,ABCD中，AC是对角线，等腰RT△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上；连接AN，点E是AN的中点，连接BE．

（1）若CM＝２，AB=6，求AE的值；

（2）求证：２BE=AC+CN；

（3）当等腰RT△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．

正方形的性质和判定的答案和解析

一、选择题

1、答案：

D

试题分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．试题解析：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；

B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；

D、正确，是真命题．

故选：D．

二、填空题

2、答案：

试题分析：

根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论。

解：在正方形ABCD中，

∵∠ABD=∠CBD=45°，

∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，

∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，

∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，

∴FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，

同理DQ=MQ，

∴MN=BD= AB，

∴==，

故答案为：．

三、解答题

3、答案：

（1）见解析过程

（2）AQ-AP=PQ，AQ-BQ=PQ，DP-AP=PQ，DP-BQ=PQ

试题分析：

（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到

∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；

（2）根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．

（1）证明：∵正方形ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°，

∵DP⊥AQ，

∴∠ADP+∠DAP=90°，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，

∴∠AQB=∠DPA=90°，

∴△AQB≌△DPA（AAS），

∴AP=BQ；

（2）解：①AQ-AP=PQ，

②AQ-BQ=PQ，

③DP-AP=PQ，

④DP-BQ=PQ.

4、答案：

试题分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；

（2）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，

在△DCE和△BCE中

，

∴△DCE≌△BCE（SAS），

∴∠CDE=∠CBE，

∵CD∥AB，

∴∠CDE=∠AFD，

∴∠EBC=∠AFD；

（2）分两种情况：

①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，

∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，

可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，

解得：x=30，

∴∠EFB=30°；

②如图2，当F在线段AB上时，