平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
初中数学重要公式及定理汇总
初中数学重要公式及定理汇总数学重要公式定理及推论01基础定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短02平行线性质及判定1 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行2 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行3 同位角相等，两直线平行4 内错角相等，两直线平行5 同旁内角互补，两直线平行6 两直线平行，同位角相等7 两直线平行，内错角相等8 两直线平行，同旁内角互补03三角形的性质及判定1 定理三角形两边的和大于第三边2 推论三角形两边的差小于第三边3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4 推论1 直角三角形的两个锐角互余5 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角04全等三角形性质及判定1 全等三角形的对应边、对应角相等2 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上05等腰三角形的性质及判定1 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合2 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等( 即等边对等角）3 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边4 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合5 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°6 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）7 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形8 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形06直角三角形、垂直平分线1 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半2 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半3 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等4 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合6 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形7 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线8 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上9 逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称07勾股定理1 勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^22 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形08内角和及外角和1 定理四边形的内角和等于360°2 四边形的外角和等于360°3 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（n-2 ）×180°4 推论任意多边的外角和等于360°09平行四边形1 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等2 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等3 推论夹在两条平行线间的平行线段相等4 平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分5 平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形6 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形7 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形8 平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形010矩形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形011菱形菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形012正方形正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角定理1 关于中心对称的两个图形是全等的定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称013等腰梯形等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形014等分线段平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边015中位线1 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半2 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b ）÷2 S=L×h3 (1) 比例的基本性质如果a:b=c:d, 那么ad=bc, 如果ad=bc, 那么a:b=c:d4 (2) 合比性质如果a ／b=c ／d, 那么(a±b) ／b=(c±d) ／d85 (3) 等比性质如果a ／b=c ／d=…=m ／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m) ／(b+d+…+n)=a ／ b016平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA ）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS ）判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS ）定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值017圆1 圆是定点的距离等于定长的点的集合2 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4 同圆或等圆的半径相等5 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
平行线等分线段定理
篇一：1平行线等分线段定理平行线等分线段定理【知识点精析】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
理解这个定理要注意的是：（1）必须有一组平行线存在，平行线至少有三条；（2）在某一条直线上截得的线段相等。
满足上述两个条件，才能保证这组平行线在其他直线上截得的线段相等．2．平行线等分线段定理的几个基本图形平行线等分线段定理的几个基本图形如图所示，若已知l1∥l2∥l3，ab = bc，根据定理可直接得到a1b1 = b1c1．即被平行线组所截的两条直线的相对位置，不影响定理的结论．3．定理的两个推论推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行直线必平分第三边．4．应用平行线等分线段定理，可以等分任意一条线段．【例题】1．如图，直线l1∥l2∥l3，ab = bc．求证：a1b1 = b1c1． a1 l1 b1 l2l32．已知：线段ab．求作：线段ab的五等分点．ab3．如图，直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，m是cd的中点．求证：ma = mb．4．如图，在△abc中，ad是bc边上的中线，m是ad的中点，bm的延长线交ac于n．求证：an =1cn． 2思考题：如图，梯形abcd中，ad∥bc，dc⊥bc，∠b = 60°，ab = bc，e为ab的中点．求证：△ecd为等边三角形．【练习与作业】一、填空题1．△abc中，∠c =90°，d为ab的中点，de⊥bc交bc于e，则ceeb．2．已知三条直线ab∥cd∥ef，它们之间的距离分别是2cm，作一直线mn分别与三条平行线交于30°角，且与ab、cd、ef分别交于m、n、p，则mn = cm，np = cm．3．如图，f是ab的中点，fg∥bc，eg∥cd，则ag = ae =4．如图，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，a1b1 = b1c1 = c1d1 = d1e1，则a2b2 = = = ，a2c2 = = ．5．直角梯形abcd中，ad ∥bc，∠a = 90°，ef是ab的垂直平分线交ab于e，cd于f，则df = ．6．如图，已知ab∥cd∥ef，af、be交于o，若ao = od = df，be = 10cm，则bo = ．7．如图，已知ad∥ef∥bc，e是ab中点，则dg = h是f是中点．8．如图，已知ce是△abc的中线，cd =若cd = 5cm，则af= cm．9．如图，在ad两旁作ab∥cd，a1、a2为ab的两个三等分点，c1、c2为cd的两个三等分点，连a1c、a2c1、bc2，则把ad分成四条线段的长度（填相等或不相等）．第3题第4题第6题第7题第8题第9题1ad，ef∥bd，eg∥ac，若ef = 10cm，则bg = cm，2二、选择题10．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（）c d a b 11．右图，ab∥cd∥ef，且ao = od = df，oe = 6，则be =（）a．9 b．10c．11 d．1212．ad是△abc的高，dc =bc于f，则fc =（）a．1bd，m，n在ab上，且am = mn = nb，me⊥bc于e，nf⊥32bd 3 c． 2bc 3 b．3bc 4 d．3bd 41ac． 3三、解答题 13．△abc中，ab = ac，ad⊥bc，p是ad中点，延长bp交ac于点n．求证：an =14．如图，m、n分别是yabcd中ab、cd的中点．求证：be = ef = fd．15．如图△abc中，ch是∠acb的平分线，ad⊥ch于d，de∥bc交ab于e．求证：ae = eb．16．如图，等腰直角△abc，∠acb = 90°，ce = cd，ef⊥bd交ab于f，cg⊥bd交ab于g．求证：ag = gf．17．如图，△abc中，ad、bf为中线，ad、bf交于g，ce∥fb交ad延长线于e．求证：ag = 2de．18．如图，abcd为梯形，ab∥dc，adbe是平行四边形，ab交ec于f．求证：ef = fc．19．已知△abc中，ad⊥bc于d，e为ab中点，ef⊥bc于f，且dc = a，bd = 8a．求fc 的长．篇二：《平行线等分线段定理》教学设计《平行线等分线段定理》教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中《几何》第二册4.9平行线等分线段定理（课本p176 ~ p178）【教学目标】1．识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算； 3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
平行线等分线段定理 课件
图 1－1－4
【思路探究】
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位 线定理来解决问题．
图 1－1－3
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′， 同理：O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
如图 1－1－4，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－7，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 交 BD 于 G，交 AC 于 H. 求证：EG＝GH＝HF.
图 1－1－7
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理 (1)文字语言：如果一组平行线在 一条直线 上截得的线 段相等，那么在 其他直线 上截得的线段也 相等 ．
(2)图形语言
图 1－1－1 如图 1－1－1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A， B，C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则 A1B1＝B1C1 .
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
平行线等分线段定理及证明
平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：。
[特约]初二数学平行线等分线段定理
![[特约]初二数学平行线等分线段定理](https://img.taocdn.com/s3/m/52259fdf88eb172ded630b1c59eef8c75fbf9579.png)
初二数学平行线等分线段定理【教学内容与目的要求】教学内容：1．平行线等分线段定理；2．三角形、梯形的中位线；教学目的与要求：1．理解并掌握平行线等分线段定理，并着重掌握两个推论。
2．会利用平行线等分线段定理将一条线段用直尺和圆规进行若干等分。
3．掌握三角形、梯形的中位线的定义。
4．理解并熟练掌握三角形和梯形的中位线定理，并要求能够灵活运用中位线定理解决一些较为综合性的几何题目。
5．建立起利用中点来构造三角形中位线和梯形中位线的观念，以便顺利地添加出某些中位线。
【知识重点与学习难点】1．平行线等分线段定理是三角形、梯形中位线定理的基础，而它本身又是第五章相似形中平行线分线段成比例定理的特殊情况。
所以在学习这一小节内容时要明确此定理在这儿是作为过渡性的工具，起承上启下作用的。
当然平行线等分线段定理自身也有着极其重要的应用，需要大家能够牢固地掌握。
2．三角形的中位线和梯形的中位线可以这么说是三角形和四边形的精华，也是这两章内容的高潮。
它的综合性和灵活性都较强，它较为系统地串联了三角形一章和四边形一章这两章的大部分内容，故而这一小节要作为重中之重，格外重视。
三角形的中位线定理和梯形的中位线定理都告诉了我们两个方面的结论，即位置关系(平行)和数量关系(一半)。
【方法指导与教材延伸】1．平行线等分线段定理实际上是通过平行线将“相等”进行转移。
即“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这一组平行线在其他直线上截得的线段也相等”。
它是将一条直线上的线段相等“转移”到另一条直线上的线段相等。
2．作为“平行线等分线段定理”的两个推论是两种特殊情况。
它们特殊在截线与被截线的位置的特殊，从而得到了两个推论：⑴经过梯形一腰中点与底平行的直线，必等分另一腰；⑵经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
这两个推论都是由平行和相等这两个条件得出相等。
3．三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线。
初中中数学定理公式归纳汇总
初中数学定理、公式归纳汇总1、过两点有且只有一条直线。
2、两点之间线段最短。
3、同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等。
4、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
6、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
7、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
8、同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
9、两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
10、定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
11、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
12、全等三角形的对应边、对应角相等。
13、边角边公理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
14、角边角公理（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
推论（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
15、边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。
16、斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
17、定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
18、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。
推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
19、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
解析 设正方形 DEFC 的边长为 x， 则根据△ADE∽△EFB，得 AD＝2x， BF＝12x，从而 AC＝3x，BC＝32x. 在 Rt△ADE 中，(2x)2＋x2＝22，解得 x2＝45. 故 S 阴影＝S△ABC－S 正方形 DEFC＝12·3x·32x－x2＝54x2＝1. 答案 1
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
5.直角三角形的射影定理
(1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线 上的正射影，简称射影. 一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的 点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线 上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的 两个端点在这条直线上的射影间的线段.
(2)若 2 为中间边，设其他两边长分别为 x，y，根据相似三角 形性质有： 4x＝52＝6y，解得 x＝85，y＝152； (3)若 2 为最短边，设其他两边长分别为 x，y，根据相似三角 形性质有：42＝5x＝6y，解得 x＝52，y＝3. 综上，另一个三角形的另两边长分别为43和53或85和152或52和 3.
平行线等分线段定理及推论中位线定理(一)
第七讲 平行线等分线段定理及推论三角形和梯形的中位线定理一、知识点和方法概述1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CFAD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC求证：AE=EF2、三角形的中位线定理三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点求证：BC DE //，BC DE 21= 3、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点求证：BC AD EF ////，)(21BC AD EF +=. 4、和梯形中点有关的辅助线的作法：二、例题例1 如图，在直角梯形ABCD 中，E AB BC AD BC AD C ,,//,90=+︒=∠是CD 的中点，且AD=2，BC=8,求BE 的长度.法1：提示：过E 作BC EF //，交AB 于F ，过B 作CD BG //，交EF 延长线于G. ∴四边形GBCE 是平行四边形 ∵在直角梯形ABCD 中，BC AD C //,90︒=∠，AD=2，BC=8 ∴四边形GBCE 是矩形 ∴ EG=BC=8 ∵E 是CD 的中点 ∴DE=EC ∴AF=FB ∴5)(21,//=+=BC AD EF BC EF ∴GF=EG-EF=3 ∵AB BC AD =+ ∴AB=10，521==AB BF ∵在BGF Rt ∆中，︒=∠90G ∴ BG=4 ∴在BGE Rt ∆中，54842222=+=+=GE BG BE .（法2） （法3） （法4）例2 如图，梯形ABCD 中，M DC AB ,//是腰BC 的中点，AD MN ⊥于N 。
平行线等分线段定理
∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴OE∥AC∥DB.
∵O为CD的中点,
∴E为AB的中点.
又OE⊥AB,∴OA=OB.
反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证
明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD
(3)连接D5B;
(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
题型一
题型二
题型三
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:
(1)作射线AC(与AB不共线);
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;
(3)连接DnB;
(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求
证:BC=2EF.
分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角
形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
题型一
题型二
题型三
证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.
中位线定理——精选推荐
中位线定理一.中位线概念(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。
三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。
二.中位线定理1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．如图，三角形两边中点的连线（中位线）平行于第BC边，且等于第三边的一半。
三角形的中位线所构成的小三角形（中点三角形）面积是原三角形面积的四分之一。
证明：如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
中位线证明求证DE平行且等于BC/2法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD ∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE ∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD ∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立.法二：利用相似证∵D，E分别是AB，AC两边中点∴AD=AB/2 AE=AC/2∴AD/AE=AB/AC又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴DE/BC=AD/AB=1/2 ∴∠ADE=∠ABC∴DF∥BC且DE=BC/2三角形中位线定理的的逆定理逆定理一：三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2【证法①】取AC中点G ，联结DG则DG是三角形ABC的中位线∴DG∥BC又∵DE∥BC∴DG和DE重合（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线重合）2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
平行线等分线段定理三角形梯形的中位线(含答案)
平行线等分线段定理，三角形、梯形的中位线重点与难点：三角形、梯形中位线的综合运用 一、知识点（1）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截取的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
（3）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、例题：例1、下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心。
（1）线段；（2）直线；（3）平行四边形；（4）圆解： （1）线段是中心对称图形，对称中心是线段的中点；（2）直线是中心对称图形，对称中心是直线上的任意一点；（3）平行四边形（当然也就包括了矩形、菱形、正方形）是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；（4）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。
例2、判断下列说法是否正确：（1）矩形的对边关于对角线交点对称。
（ ） （2）圆上任意两点关于圆心对称。
（ ）（3）两个全等三角形必关于某一点中心对称。
（ ） （4）成中心对称的两个图形中，对应线段平行且相等。
（ ） 解：（1）（4）正确（2）（3）错误例3、在下列图形中既是轴对称图菜，又是中心对称图形的是（ ）①任意平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤正三角形；⑥等腰直角三角形 解：①②③例4、下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） ①平行四边形；②一条线段；③一个角；④圆 解：①＊例5、在△ABC 中，∠A≠90°，作既是轴对称又是中心对称的四边形ADEF ，使D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上，这样的四边形可以作（ ）个D C FEBDCF B A3DCEB A21DCF B A解：如图：因为四边形ADEF 是中心对称图形， 所以它一定是平行四边形； 因为四边形ADEF 是轴对称图形， 所以它的对角线互相垂直。
三角形及梯形中位线
【例4】 AB、CD是两条线段，M是AB中点，S1，S2， S3分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积. (1)当AB∥CD时，如图5-5-7(1)所示.求证 S1=1/2 (S2+S3). (2) 如 图 5 - 5 - 7 ( 2 ) 所 示 ， 若 AB 与 CD 不 平 行 ， 是 否 有 S1=1/2(S2+S3)?请说明理由. (3) 如图 5-5-7(3) 所示，若 AB 与 CD相交于 O 点，问 S1 与 S2、S3有何相等关系?试证明你的结论.
三角形及梯形 中位线定理
要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
一、平行线等分线段定理及其推论 1.定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 ，那么在其他直线上截得的线段也相. 2. 推论 1 ：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰. 3. 推论 2 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边.
课前热身
1. 如图 5-5-1 所示， AD 是△ ABC 的高， DC=BD,MN 在 AB 上 ， 且 AM=MN=NB、ME⊥BC 于 E，NF⊥BC 于 F， A 则FC=( ) A.2/3BC B.2/3BD C.3/4BC D.3/4BD
2.如图5-5-2所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端， 小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够，一位同 学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到A、 B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为 15米，则A、B两点间的距离为30米.
二、三角形、梯形中位线
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半. 3.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段 . 4.梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于 两底和的一半. 5.梯形面积公式：S=1/2(a+b)h=m·h(a、b为上、下底， m为中位线,h为高)
梯形、三角形中位线
梯形、三角形中位线知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例题分析第一阶梯[例1]在直角梯形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,若△ABC为等边三角形,其边长为a.求:此梯形的中位线及高.提示：（1）梯形的中位线与梯形的哪些元素有什么样的关系？（2）在图形中，梯形的高是哪条线段？为什么？DC、AB的长通过哪些知识可以求出来？是多少？（3）若求出S△ADC∶S△ABC∶S梯形ABCD的值，你发现面积间的内在联系吗？请总结一下规律.参考答案：说明：若在直角梯形中，有一等边三角形那么梯形的高线对角线与边可以构成三个全等的三角形，则其面积应是相等的.[例2]如图M、E、F分别为△ABC的边BC、AC、AB的中点，AD⊥BC于D.求证：四边形DEFM为等腰梯形.提示：（1）在图形中有几条中位线？它们分别是什么图形的中位线？在数量与位置上分别有什么关系？为什么？（2）要想证明一个四边形是等腰梯形，首先要证什么？然后再证什么？在证明过程中，要注意与什么特殊四边形的判定.在哪有区别？（3）请总结一下此题的证明都用到了哪些知识？参考答案：说明：（1）证明梯形时，可通过一组对边平行，另一组对边不平行，或平行的一组对边不相等，来证，要注意与平行四边形的一组，对边平行且相等的条件相区别.（2）在应用三角形中位线定理时，对结论的选择要由具体情况而定.第二阶梯[例1]已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12cm，E、F分别是AB、BD的中点，连结EF并延长交DC于G，EF=4cm，FG=10cm.求∠ABC的度数.提示：（1）∠ABC与图形中的哪个角相等，为什么？一般求角的度数，可考虑把这个角放在什么样的图形中？（2）根据条件，可添加什么样的辅助线把条件和结论有机的结合起来，构造特殊的三角形？（3）梯形的高，除了用常规方法求；还有别的方法吗？参考答案：解：在梯形ABCD中∵AD∥BC E、F分别是AB、BD的中点.∴EF∥AD 又E、F、G三点在同一直线上.∴G是DC的中点，EG∥BC ∴AD∥EG∥BC.∵AB=DC ∴∠ABC=∠C作DM⊥BC交BC于M.∵EF=4 FG=10 ∴AD=8 BC=20∴MC∵在Rt△DMC中，DC=12 MC=6 ∴∠C=60°说明：（1）等腰梯形具有对称性，所以MC的长度是上、下底差的一半（2）G是DC的中点，要证明，不能默认，EF∥AD利用了中位线的定义及中位线定理，FG ∥BC利用了平行线等分线段定理的推论.[例2]求证：连结梯形两条对角线的中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为对角成AC、BD的中点.求证：(1)MN∥AB∥DC (2)MN=(AB-CD)提示：（1）如何添加辅助线，使MN是某个三角形的中位线？（2）AB与CD的差，可以通过构造什么样的特殊图形表示在AB线段上？点M或点N是否在构造的图形边上？（3）此题还有别的方法吗？请试一试.参考答案：证明：（1）连结CN并延长交AB于E，在梯形ABCD中，AB∥CD∴∠1=∠2 ∠CND=∠ENB BN=ND∴△CDN≌△EBN（ASA）∴CN=EN BE=CD.∴N是CE的中点在△CEA中，M是AC的中点.∴MN∥AE 即MN∥AB ∴MN∥AB∥DC.（2）由（1）可知AB-AE=BE=CD.∴AB-CD=AE 又MN=AE∴.方法二：取AC的中点F，连结NF交AD于M′，梯形ABCD中，AB∥DC∵N为BC的中点，在△ABC中.NF∥AB NF=AB ∴NF∥AB∥DC（三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半）∴M′是AD的中点（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它的直线上截得的线段也相等）又M是AD的中点∴M与M′重合，即点M在NF上.∴NF=AB MF=DC.∵MN=NF-MF=AB-DC=(AB-DC)∴说明：说明一、（1） N是CE的中点，必须要进行证明.（2）请注意辅助线的作法，是连结CN并延长交AB于E，并不是过C（或N）作DA的平行线，若作平行线，要证过N点.（3）此题还可用同一法证明：即取DA的中点F，连结NF交AC于M′，证明M与M′重合，此法易出错，要特别注意.说明二、（1）菱形常用的判定方法：①从四边形考虑：）四条边相等的四边形）对角线互相垂直平分的四边形②从平行四边形考虑：）一组邻边相等的平行四边形；）对角线相垂直的平行四边形。
三角形、梯形的中位线
H
G
D G
E G F C B
A E
C B F B
E
F
C
结论：中点四边形都是平行四边形； 若原四边形对角线相等，则中点四边形是菱形； 若原四边形对角线垂直，则中点四边形是矩形.
二、例题和练习
例3. 一题多证： 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD. 以AD、AC为邻边作平 E 行四边形ACED，DC的延长线交BE于F. 求证：EF=FB. C D F 方法一：提示：延长EC交EC交AB于M. AMCD是平行四边形，AD=CM； A B M ACED是平行四边形，AD=CE. 在△EMB中，CE=CM，CF∥AB. ∴EF=FB. （推论2）
第九讲 平行线等分线段定理及三角 梯形中位线（ 形、梯形中位线（二）
主讲 宗老师
一、主要知识点
1 平行线等分线段定理及推论：
A A E D F
B
C
若AE=BE, EF∥AD∥BC, 则DF=CF.
B
E
F
若AE=BE, EF∥BC, 则AF=CF.
C
2 梯形中位线定理和三角形中位线定理：
若EF是梯形中位线， 则EF∥AD∥ BC， 1 且EF = (AD + BC). 2 若EF是△ABC的中位线， 则EF∥BC， 1 且EF = BC. 2
∵M是CD中点，F是CE中点，\ MF = ∴MNBF是平行四边形，MN=BF. ∵∠A+∠B=90°, ∠1=∠B.
1 1 DE, NB = AB. 2 2
∴∠1+∠E=90°. △BCE是直角三角形.
\ ∵ F是斜边BE的中点， BF = 1 1 1 CE= (AB - CD). \ MN = (AB - CD). 2 2 2
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★★例2:如图,梯形ABCD中，ＡＤ//BＣ,BＣ>AD,Ｅ、F分别是AＤ、BC的中点， C=５４ ,
B=３6 ，求证：EF= （BＣ-AD）
★例1:如图，ＭN分别是平形四边形ABCD中AB、CＤ的中点,CM交ＢD于E,AN交BD于F,求证：ＢE=ＥF＝FD
思路：观察图形,若要证在同一条直线上的三条线段相等,联想相关的定理，显然是需要构成“平行线等分线段定理的”基本图形，由于M． N分别是AB、CD的中点，因此有AM=MＢ，DＮ=NC,若有AN∥ＭＣ,则可构造出一组平行线，从而使问题得证。这样，推证AN∥MC成为解决问题的关键。
[内容]
平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
【内容综述】
1.三角形中位线性质定理，梯形中位线性质定理，是三角形、梯形的重要性质。特别是三角形中位线，是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一条重要线段。因此在研究三角形问题中，三角形中位线是常常需要添加的辅助线。ﻫ２.在复杂图形中,通过观察图形,联系已知条件，联想并构造平行线等分线段定理、三角形中位线定理及梯形中位线定理的基本图形。定理与基本图形的对应关系,是我们正确联想，添加辅助线,将复杂问题转化为简单问题,将不熟悉问题转化为熟悉问题,形成思路的关键环节。ﻫ【例题分析】
由于AＢCD是平行四边形,因此有AB//=CＤ,由于M,Ｎ分别是ＡB、ＣＤ的中点,因此ＮC／/=AM,从而可推证出AＮ//CM。这样我们分别过Ｄ,Ｂ两点作ＡN的平行线，则“平行线等分线段定理”的基本图形构成使思路形成。ﻫ思路二：若我们没有想到“平行线等分线段定理”，而在平行四边形ABＣD中，观察到Ｍ,Ｎ点分别是△DEＣ及△AFB的ＣD、AB边的中点，这时,我们自然联想“平行线等分线段定理推论”的基本图形，只需要推证出F点是DＥ的中点，E点是ＦB的中点，显然,不论是联想“平行线等分线段定理”的基本图形,还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形，其共性特点，即解决问题的关键,都需要推证出AN／/ＭC，两种思路但根据已知条件,推证AN//MC的方法是一样的。
证明一:分别过D、B两点GD／/AN，BH／／AN 四边形ＡBCD是平行四边形, ＣD//=AB．
又 M、N分别是AB、CD的中点, ＡＭ//=NＣ， 四边形AMCN是平行四边形, AＮ／/MC. GD//AN//MＣ//ＢH. ＢE=EF=FＤ(一组平行线在一条直线上截得的线段相等,在其它直线上截得的线段边相等。)
ﻫ思路二:若我们观察图形,根据已知条件联想图形性质时,从 ， ，敏感到互余的性质，会自然联想到直角三角形,因而我们可通过延长梯形两腰转化为直角三角形。由于AＤ//BC，显然△ADM与△BCM都是直角三角形。由于E是AD中点，因此ME= ＡD 又由于F是BC中点,因此,ＭＦ= BC，但这样研究问题就出现，M、Ｅ、Ｆ是否在同一条直线上的问题，显然，若M、Ｅ、F在同一条直线上，则MＦ-ME=EF，可使问题得证。因此推证M、E、F在同一条直线上,是解决问题的关键。假设MF与AD交于E 点，由于ＡD//BC,ME=AE, ,MF=BＦ， ,因而, ，因此, ,从而说明E 、Ｅ点重合，则可推证M、E、Ｆ三点共线,由此可得到ＥF＝ (ＢC-AD）的结论。
。在RTΔBMC中， F是BC中点， 。
。在 RTΔAE重合, M、E、F点在同一条直线上。 EＦ＝ＭF－ME＝ 即EＦ= （BC-AD）
说明：此题是利用梯形常添加的辅助线,平移腰或延长两腰交于一点,将梯形转化为平行四边形和直角三角形。梯形两腰中点的连线等于两底和的一半。而此题是两底中点连线等于两底差的一半。无论是哪种思路，都需要用直角三角形斜边中线的性质得以实现结论。ﻫ★★例3:等腰梯形的对角线互相垂直,求证:梯形的中位线与梯形的高相等。
证明二: 四边形ＡBCＤ是平行四边形, ＡB//＝ＣＤ,又 M、Ｎ分别是ＡB、CD的中点, AＭ//=ＮＣ, 四边形AMCＮ是平行四边形。 AN／/CM。 NＦ／/ＣE，MＥ//ＡＦ。 F点是DE的中点,Ｅ点是BＦ的中点。(经过三角形一边的中点,与另一边平行的直线必平分第三边。) FE=ＦD,BE=FE 即 BE=EＦ＝ＦD。
ﻫ 思路一:要推证梯形上底,下底中点连线等于两底差的一半，我们不能将 AD移到 BC上,因此需将梯形通过作平行线转化为平行四边形和三角形,由于ＢF＝FC＝ BC,AE=ED＝ AＤ,因此过E点分别作EM/／AB，EＮ//DC,交ＢＣ于M、N.于是可知,MF= BC- AD,FＮ＝ BC- AＤ 显然应该有MＦ＝FＮ，而结论需推证EF＝MF=FN 因而可联想“一边的中线，等于这边一半”的基本图形应该是ＲT△,若△MEN是直角三角形，则问题得以解决。因而推证△MEＮ是直角三角形，成为解决问题的关键。由于 B=3６ , C=54 ，显然， B+ Ｃ=9０ ，由于ＥM//ＡB,EN//CＤ,因此有 1=36 , ,从而转化为 ,从而可推证出 ,思路形成再利用直角三角形斜边中线,等于斜边的一半,推证出结论。ﻫ
平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
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[文件]sｘcbｋ００78．dｏc
[科目］数学
［关键词]初二/几何/中位线/例题
[标题]平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理
证明一:过E点分别作EM/／AＢ，EN//ＤＣ且分别交BC于M、N点。ﻫ ABCＤ是梯形，且ＡD/／BC， 四边形ABＭE、ENＣD是平行四边形。 ＡE=ED,
AE=BM＝ED=NC。又 BＦ=ＦC, MＦ=ＢＦ-ＢM，FＮ=ＦC-NＣ, MＦ＝FN 又 , , 。 。
, ﻫ证明二:分别延长BA、ＣＤ交于M,连结ME。连结MF且设MＦ交AD于E