计算天体的质量----教师版

计算天体的质量

【本讲教育信息】

一、教学内容

计算天体的质量及发现未知天体

二. 具体过程：

知识点1 计算天体的质量

卫星在天文研究中的地位

（1）运动模型：行星绕太阳的运动近似为匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供向心力．行星的轨道半径为r ，运行周期为T.

（2）基本方程：T /2,mr r /GMm 22π=ωω=

（3）太阳质量：).GT /(r 4M 232π=

（4）方法推广：通过观测天体卫星的运动而测量该天体质量，是测量天体质量的重要方法之一．

例1 若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R ，周期为T ，万有引力常量为G ，则可求得（ ）

A 、该卫星的质量

B 、行星的质量

C 、该卫星的平均密度

D 、行星的平均密度

解析：由R T 4m R Mm G 222π==，得2

3

2GT R 4M π=，其中M 表示行星的质量． 答案：B

误区点拨：

卫星运动的向心力由行星对它的万有引力提供，卫星运动的轨道半径和周期可以用天文的方法观测到. 用此种方法可以计算中心天体的质量，不能计算卫星的质量.

知识点2 发现未知天体

万有引力定律地位的确立

（1）发现过程：①由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出猜想；②根据轨道的“古怪”情况和万有引力定律计算“新”天体的可能轨道；③根据计算出的轨道预测可能出现的时刻和位置；④进行实地观察验证．

（2）海王星与冥王星发现的重要意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有引力定律的地位．

三、重点分析 1、万有引力定律应用图表

项目 内容 说明或提示

研究天体运动的应用公式 r )n 2(m r T

4m r v m r m r Mm G 222222π=π==ω= 研究天体运动时，太阳系中的八大行星及其卫星的运动都可以看做匀速圆周运动，它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引力 测天体质量M 或天体密度①天体质量2

32GT r 4M π= ②天体密度

把卫星的运动看成匀速圆周运动．通过测出天体的卫星的环绕周期、轨道半径，则可推算出天体的质量及天体的密度．特别是卫星在天体

ρ 3

23

3232R GT r 33/R 4GT /r 4V M π=ππ==ρ

若卫星在天体表面运行，则

r=R ，而有：2GT

3π=ρ 表面环绕时，只要测出其环绕周期，就可以测出天体的密度 研究天体表面物体重力的应

用公式 2R

Mm G mg = 例如对月球表面物体的“重力”：mg 月=月月2R m M G ，这里忽略了地球对月球表面物体的万

有引力．其余天体上的物体的

重力照此类推． ①已知r 月轨=60R 地，可求出： 23s /m 107.2g -⨯=月轨 ②已知,8.3/1R /R ,81/1M /M ==地月地月可求出：2s /m 74.1g =月 可见，地球在月球轨道处产生的重力加速度远小于月球对其表面物体产生的重力加速度．所以在月球上，地球对物体的万有引力可以忽略，

而只考虑月球对物体万有引力的作用

2、卫星做匀速圆周运动的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律

主体方程的等号左边是万有引力的计算式，主体方程的等号右边是向心力的计算式．

（1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，有F=GMm/r 2．再据F=ma ，必然有：a=GM/r 2．

所以有：随着卫星轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的向心力和向心加速度皆减小．

（2）线速度v ：依据主体方程有：GMm/r 2=mv 2/r ，所以.r /GM v =

所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的线速度减小．即v ∝r /1.

（3）角速度ω：依据主体方程有：GMm/r 2=mr ω2，所以3r /GM =ω.

所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．即ω∝.r /13

（4）周期T ：依据主体方程有：222T /mr 4r /GMm π=，

所以.GM /r 2T 3π=

所以有：随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的周期增大．即T ∝.r 3

由以上分析可知：在进行本类题目的计算和判断时，应特别注意：主体方程的等号左边一定要写成GMm/r 2，等号右边一定注意讨论哪个物理量，讨论哪个物理量就要用哪个物理量所表达的向心力公式，例如讨论线速度就写成mv 2/r ．另外也可以看出，卫星的线速度v 、角速度ω、周期T 、加速度a 等皆与卫星的质量无关，只由r 和M 决定．

四、重点小结

1、解决天体运动问题的两条思路

（1）万有引力提供向心力

r v m r

Mm G 2

2= （2）重力等于其所受万有引力

2R

Mm G mg =（m 在M 的表面上） （1）万有引力提供天体运动的向心力以及重力等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据 （2）式中的r 是轨道半径，R 是天体半径 2、关于天体的估算

（1）行星质量的估算：如果行星的质量为M ，行星的半径为R ，近地卫星的质量为m ，因万有引力充当向心力，由向心力公式得：

①已知近地卫星的线速度v 时，有.G Rv M ,GT R 4M ,T 4mR R GMm 2

2

32222=π=π=则 ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G R M ,mR R GMm 2322

ω=ω=则 ③已知近地卫星的周期T 时，有.GT R 4M ,T 4mR R GMm 2

3

2222π=π=则 ④已知近地卫星的线速度v 、角速度ω时，依据①中的结论G

Rv M 2

=和.G

v M ,R v 3

ω=ω=有 由以上分析可知：如果我们知道近地卫星的轨道半径R ，线速度v ，角速度ω（或半径R 、周期T 、线速度v ，或半径R ，频率f ，线速度v ）中的任意两个物理量就可以对行星的质量进行估算了．

（2）行星密度的估算：题设与（1）中的相同，如果再设行星的密度为ρ．据V M ρ=，必有3

R 4M 3

ρπ=，则： ①已知近地卫星的线速度v 时，有22

223GR

4v 3,R mv R 3Gm R 4π=ρ=ρπ则. ②已知近地卫星的角速度ω时，有.G 43,mR R

3Gm R 42223πω=ρω=ρπ则 ③已知近地卫星的周期T 时，有：.GT

3,,T 4mR R 3Gm R 422223π=ρπ=ρπ则 以上分析可知：如果知道行星近地卫星的周期或角速度就能对此行星的密度进行估算；知道行星的近地卫星的轨道半径和线速度也能对此行星的密度进行估算．

【典型例题】

例1 两个行星质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：

（1）它们与太阳间的万有引力之比．

（2）它们的公转周期之比．

解析：（1）设太阳质量为M ，由万有引力定律得两行星与太阳间的万有引力之比为

21222122

221121r m r m r Mm G r Mm G F F == （2）将两行星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有

.r T 2m r Mm G 2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛π= 所以，行星绕太阳运动的周期为GM r 2T 3

π=，则两行星的公转周期之比为.r r T T 32

312

1= 答案：（1）212221r m r m （2）32

31r r 点拨：解决天体问题，应理解万有引力定律公式中各量的物理意义。