实变函数习题解答

第二章 习题解答
0P ∈E '的充要条件是对任意含有0P 的邻域U(P ，δ)（不一定以0P 0
P 的点1P 属于E （事实上，这样的1
P 还有无穷多个）。

而
0P ∈0
E 的充要条件则是有含0P 的邻域U(P ，δ)（同样，不一定以0P 为中心）存
在，使U(P ，δ)⊂E 。

证明：（1）充分性，用反证法，若0P ∈E '，则0P 的某一邻域U(0P ，0δ)中至多有有限个异于0P 的点1X ，2X ，…，n X 属于E ，令n
i ≤≤1min d(0P ，i x )=δ'，
在U(0P ，δ')中不含异于0P 的点属于E ，这与条件矛盾。

必要性，设U(P ，δ)是任意一个含有0P 的邻域，则d(0P ，E )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )>0，则U(0P ，1δ)⊂U(P ，δ)。

因为0P ∈E '，所以，在U(0P ，1δ)中含于无穷多个属于E 的点，其中必有异于0P 的点1P ，即U(P ，δ)中有异于0P 的点1P 。

（20P 的邻域U(P ，δ)⊂E ，则d(0P ，P )<δ，令1δ=δ- d(0P ，P )，01)⊂U(P ，δ)，从而U(0P ，
1δ)⊂E ，故0P ∈0
E 。

2、设n
R =R '是全体实数，1E 是[0，1]上的全部有理点，求1E '，0
1E ，1E 。

解：1E '=[0，1]，0
1E =φ，1E =[0，1] 。

3、设n
R =2
R 是普通的x o y 平面，2E ={(x ，y )|2
x +2
y <1}，求2
E '，0
2E ，2E 。

解：2
E '={(x ，y )|2x +2y ≤1}， 0
2E ={(x ，y )|2x +2y <1}， 2E ={(x ，y )|2x +2y ≤1}。

4、设n R =2R 是普通的x o y 平面，3E 是函数y =⎪⎩⎪⎨⎧=≠0
01
sin
x x x
当当的图形上
的点作成的集合，求3
E '，0
3E 。

3
'={(x ，y )|x ≠0，y =sin x
1} {(0，y )|-1≤y ≤1}
3E =φ
5、在2
R 中看第2题的1E '，0
1E ，1E 各是由哪些点构成的。

解：1E '={(x ，0)|0≤x ≤1}
1E =φ 1E =1E '
6、证明点集F 为闭集的充要条件是F ＝F 。

证明：充分性，若F ＝F ，则F F '＝F ，故F '⊂F ，即F 为闭集。

必要性，若F 为闭集，则F '⊂F ，所以F ' F ＝F ，即F ＝F 。

7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。

证明：设G 是一开集，F 是一闭集，则CG 是闭集，CF 是开集，所以G －F ＝G CF 是开集，F －G ＝F CG 是闭集。

8、设f (x )
a
，E ＝
{x |f (x )>a }是开集，而1E ＝{x |f (x )
证明：若E ＝{x |f (x )>a }＝φ，则E 是开集，若E ≠φ，∀0x ∈E ，有f (0x )>a ，因为f (x )在0x 连续，所以∃δ>0，当x ∈U(0x ，δ)时，有f (x )>a ，即U(0x ，δ)⊂E ，所以0x 是E 的内点，故E 是开集。

同理可证{x |f (x )<a }是开集，而1E ＝{x |f (x )≥a }是{x |f (x )<a }的余集，所以1E 是闭集。

9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集。

证明：设F 为闭集，令n G ＝{x |d (x ，F )<n 1
}，则n G 是开集。

事实上，
∀0x ∈n G ，有d(0x ，F )<n 1
，即F
y ∈inf d(0x ，y )<n
1，所以∃0y ∈F ，使d(0x ，
n 1，令ε＝n 1
－δ，∀x ∈U(0x ，ε)，有d(0x ，x )<ε，d(x ，0y )
≤d(0x ，x )＋d(0x ，0y )<ε＋δ＝n 1
，于是d(x ，F )＝F
y ∈inf d(x ，y )≤d(x ，
0y )<n 1
，所以x ∈n G ，U(0x ，ε)⊂n G ，故n G 是开集。

以下证明F ＝∞=1
n n G 。

显然F ⊂n G (n ＝1，2，…)，所以F ⊂∞
=1
n n G 。

∀x ∈∞
=1
n n G ，有x ∈n G (n ＝1，2，…)、d(x ，F )<n 1
，令n →∞得，d(x ，F )
＝0，所以x ∈F 或x ∈F '。

因为F 是闭集。

所以F '⊂F ，故x ∈F 。

于是
∞
=1
n n G ⊂F ，所以F ＝∞
=1
n n G 。

设G 为开集，则C G 为闭集，
C G ＝∞
=1
n n G ，而G ＝C(C G )
＝C(∞
=1
n n G )＝∞
=1
n C n G ，C n G 为闭集，即G 可表示为可数个闭集的和集。

10、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一完备集。

证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位小
数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。

第n
位小数用到数字7的小数是(0.1a 2a …1-n a 7，0.1a 2a …1-n a 8)（其中1a ，2a ，1
-n a 是0，1，2，…，9取完各种可能的n －1个数）记这些开区间的全体为∞
=1
n n A ，
7表示的小数的全体为E ，则E ＝C[(∞
=1n n A )∪(－∞，0)
∪(1，＋∞)]而n A ，(－∞，0)，(1，＋∞)是可数个互不相交且无公共端点的
开区间，所以E 是完备集。

11、证明f (x )为[a ，b ]上连续函数的充分必要条件是对任意实数C ，集E ＝{x |f (x )≥C}，与1E ＝{x |f (x )≤C}都是闭集。

证明：若f (x )为[a ，b ]上的连续函数，用与第8题相同的方法可证明E 和
1E 都是闭集。

设E 、1E 为闭集，若f (x )在0x 点不连续，则∃n x ，使n x →0x ，而∞
→n lim f (n x )
≠f (0x )，因而，∃0ε>0，
nk x 使|f (nk x )
0ε(k ＝1，2，…)即f (nk x )
≥f (0x )＋0ε或f (nk x )≤f (0x )－0ε，若f (nk x )≥f (0x )＋0ε，令C ＝
f (nk x )＋0ε，则nk x ∈E ＝{x |f (x )≥C}，因为nk x →0x ，所以0x ∈E '，而
f (0x )<f (0x )＋0ε＝C ，所以0x ∈E ，与E 为闭集矛盾；若f (nk x )≤f (0x )
－0ε，则可导出与1E 为闭集矛盾。

12、证明§2定理5 。

定理5：设E ≠φ，E ≠n R ，则E 至少有一界点（即∂E ≠φ）。

因为E ≠φ，E ≠n R ，所以存在0P ∈E ，1P ∈E ，设0P ＝(1a ，2a ，…，
(1b ，2b ，…，n b )，令t P ＝(t 1b ＋(1－t )1a ，t 2b ＋(1－t )2a ，…，
t n b ＋(1－t )n a )(0≤t ≤1)，0t ＝sup{t |t P ∈E }。

以下证明0t P ∈∂E 。

（1）若0t P ∈E ，则0t ≠1（否则0t P ＝1P ∈E ）当t ∈[0，1]，满足0t <t <1时,t P ∈E 。

于是，对任意n ，存在n t ，满足0t <n t <1，n t →0t ，使n t P ∈E ，显然有n t P →0t P ，所以0t P ∈∂E 。

（2）若0t P ∈E ，则0t ≠0，存在n t ，0<n t <0t ，n t →0t ，n t P ∈E ，同样有
0t P ∈∂E 。