点到平面的距离的计算
点到平面方程的距离公式
点到平面方程的距离公式点到平面的距离是空间解析几何的重要内容之一、在解决实际问题中经常会遇到求点到平面的距离的情况，例如在建筑设计中，需要确定一根柱子与地面的距离，或者在机械制造中，需要确定一台机器与地面的距离。
本文将详细讨论点到平面的距离的公式及其推导。
平面方程的标准形式为Ax+By+Cz+D=0。
其中A、B、C为平面的法向量分量，(x,y,z)为平面上的任意一点。
为求点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离。
首先，任意一点P(x0,y0,z0)到平面的距离可以看作是该点到平面上一点Q(x,y,z)的距离的最小值。
我们设距离最小值对应的点为Q(x,y,z)。
由点到平面的距离定义可知，点Q到平面Ax+By+Cz+D=0的距离等于点到平面的垂直距离。
也就是说，Q点与平面的法向量垂直。
知道了Q点与平面的法向量垂直，在解决问题中，我们经常会利用向量的内积关系来求解。
设平面的法向量为n，平面上一点为M(x,y,z)，则点P到平面的垂直距离等于两个向量nP和PQ的内积除以向量nP的模长。
表示为:d=，nP·PQ，/，nP其中，点P到平面的垂直距离就是d，向量nP是平面的法向量，向量PQ是向量nP的投影。
接下来，我们将推导点到平面的距离公式。
首先，根据平面的法向量分量，可以得到平面的法向量为n=(A,B,C)。
设平面上任一点为M(x,y,z)，点P为P(x0,y0,z0)。
平面的法向量与向量PQ垂直，可以得到两个向量的内积为0，即:nP·P Q=0将向量nP和PQ展开，可以得到:(A,B,C)·(x-x0,y-y0,z-z0)=0展开后整理得到:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0通过整理，可以得到:Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0由平面的标准形式可知:Ax+By+Cz+D=0其中D=-(Ax0+By0+Cz0)将其代入上式中，可以得到:Ax+By+Cz=D这是平面的方程。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本）中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离,求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ,作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ，易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝，ＰＮ＝,由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ,得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离，间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ—ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ,交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，Ａ求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题,概括出求点到平面的距离的几种基本方法．例已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离,延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结ＧＭ，作ＢＮ⊥ＢＣ,交ＧＭ于Ｎ,则有ＢＮ∥ＣＧ，ＢＮ⊥平面ＡＢＣＤ．作ＢＰ⊥ＥＭ，交ＥＭ于Ｐ,易证平面ＢＰＮ⊥平面ＥＦＧ．作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ，则ＢＱ⊥平面ＥＦＧ．于是ＢＱ是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．易知ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝,ＰＮ＝，由ＢＱ·ＰＮ＝ＰＢ·ＢＮ，得ＢＱ＝．图1图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．(１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α,Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ,易知ＢＰ＝,这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ,易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２,ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ ＣＨ＝３，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/,于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝· ＝．解略．（２）利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ,易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝,ＥＢ＝２,所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5图6（３）利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝（１/４）Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ,求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ,Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ,交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关,所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝,Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２３，得ｄ＝为所求之距离．。
点到平面的距离公式高等数学
点到平面的距离公式高等数学点到平面的距离公式是高等数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍点到平面的距离公式的定义、推导过程和应用，并深入探讨其背后的数学原理和几何意义。
一、点到平面的距离公式的定义点到平面的距离公式是指，给定一个点P和一个平面Π，求点P 到平面Π的距离d。
这个距离可以看作是点P到平面Π上最近点的距离。
点到平面的距离公式可以用下面的公式表示：d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a + b + c)其中，(x0, y0, z0)是平面上的一个点，a、b、c是平面的法向量的三个分量，d是平面的截距。
二、点到平面的距离公式的推导过程点到平面的距离公式的推导过程比较复杂，需要使用向量的知识和线性代数的基本概念。
下面我们来简单介绍一下推导的过程。
首先，我们可以将点P到平面Π的距离d看作是点P到平面Π上的某个点Q的距离。
因此，我们需要求出平面Π上的点Q，然后再计算点P到点Q的距离。
为了求出平面Π上的点Q，我们可以使用平面的法向量a、b、c。
假设点Q的坐标为(x, y, z)，那么点Q到平面Π的距离为：d = |ax + by + cz + d| / √(a + b + c)为了使d最小，我们需要让点Q到点P的向量和平面的法向量垂直，即：(PQ)·(a, b, c) = 0其中，(PQ)表示向量PQ的点乘积。
将向量PQ表示为(x-x0, y-y0, z-z0)，并代入上式，我们可以得到：a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0将这个式子化简一下，得到：ax + by + cz + d = 0这个式子就是平面Π的方程。
因此，平面Π上的点Q的坐标为： x = x0 - (ad + bx0 + cy0 + dz0) / (a + b + c)y = y0 - (bd + ay0 + cz0 + dz0) / (a + b + c)z = z0 - (cd + az0 + by0 + dz0) / (a + b + c) 将这个点代入点P到点Q的距离公式中，我们就可以得到点到平面的距离公式。
点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式是立体几何中常用的公式之一，用于计
算点与平面之间的最短距离。
在三维空间中，假设平面的方程
为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为P(x1,y1,z1)。
点到平面的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1.首先，我们需要计算点P在平面上的投影点Q的坐标。
平面上的任意一点Q(x2,y2,z2)满足方程Ax2+By2+Cz2+D=0。
通过代入点P的坐标，我们可以求解出平面上的投影点Q的坐标。
2.接下来，我们可以计算点P与投影点Q的距离。
两点之间的距离计算公式为：
距离=√((x1x2)²+(y1y2)²+(z1z2)²)
将点P和投影点Q的坐标代入该公式，即可计算出点P到平面的最短距离。
请注意，如果平面方程中的系数A、B、C已经是单位向量，则方程可以简化为D=AxByCz，此时点到平面的距离公式为：
距离=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)
这就是点到平面的距离公式的推导过程。
这个公式在计算点
与平面的距离时非常有用，可以在立体几何问题中发挥重要作用。
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。
在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。
首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。
我们的目标是求点P到平面的距离。
一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。
首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。
由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。
由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。
将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。
因此，上式最后一项为0。
进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。
二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。
首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式
点到空间平面的距离公式是指求一个点到一个平面的最短距离
所使用的公式。
这个公式的推导基于向量的内积和向量的长度，它是： d = |(P - A) · n| / |n|
其中，d 表示点 P 到平面的最短距离，P 是点的坐标，A 是平面上的一点的坐标，n 是平面的法向量。
具体而言，将点 P 到平面的距离向量表示为 h = P - A，那么点 P 到平面的最短距离就是向量 h 在平面法向量上的投影长度。
由于向量的内积公式是 a · b = |a| · |b| · cosθ，其中θ是 a 与 b 的夹角，那么向量 h 在平面法向量上的投影长度就是
|h| · cosθ，其中 cosθ = (h · n) / (|h| · |n|)。
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求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。
本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。
一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。
假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。
这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。
二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。
假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。
这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。
三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。
这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。
2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。
四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。
点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。
2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。
3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。
总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式引言在三维空间中，我们经常会遇到计算点到平面的距离的问题。
这个问题在计算几何、图形学和物理学等领域都有重要的应用。
本文将介绍点到平面的距离公式及其推导过程，并给出常见的应用场景。
点到平面的距离公式推导在三维空间中，平面可以用一个点和与其垂直的法向量来表示。
假设平面上的一个点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为N(n1, n2, n3)，我们要计算点P与平面之间的距离。
首先，我们可以在平面上选取一点A(x, y, z)，它到平面的距离与点P到平面的距离相等。
我们可以通过向量运算得到点A和点P之间的向量PA：PA = P - A = (x1 - x, y1 - y, z1 - z)由于向量PA与平面的法向量N垂直，根据向量的点积运算，我们可以得到：PA · N = 0即：(x1 - x, y1 - y, z1 - z) · (n1, n2, n3) = 0展开上式得到：(n1 * (x1 - x)) + (n2 * (y1 - y)) + (n3 * (z1 - z)) = 0进一步整理得到：n1 * x1 + n2 * y1 + n3 * z1 = n1 * x + n2 * y + n3 * z这个方程描述了平面上任意一点A的坐标满足的条件。
点P到平面的距离可以定义为点P到平面上任意一点A的距离，即：d = |PA|将向量PA代入上式并展开得到：d = |(x1 - x, y1 - y, z1 - z)|根据向量的模运算的定义，可以得到：d = sqrt((x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2)这就是点到平面的距离公式。
应用场景点到平面的距离公式在三维几何计算中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
1. 三维坐标系中的点投影在三维坐标系中，我们经常需要计算一个点在某个平面上的投影。
通过点到平面的距离公式，我们可以计算出距离最近的平面上的点，从而得到点在该平面上的投影坐标。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
空间几何点到平面的距离公式
空间几何点到平面的距离公式在空间几何中，点到平面的距离是一个基本概念。
首先，我们需要了解点到平面的距离公式的推导，然后再详细讨论其具体应用。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标为(x0,y0,z0)。
我们需要求点P到平面的距离。
1.距离公式的推导：首先，我们可以在平面上任意选取一点Q(x,y,z)，则平面上任意一点R(x,y,z)到点P的距离为：d=PQ=√((x-x0)²+(y-y0)²+(z-z0)²)由于点R在平面上任意选取，所以点R也满足平面方程，带入平面方程可得：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0化简得：Ax+By+Cz=Ax0+By0+Cz0+D将平面方程中的D通过移项放到右边，得到：Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D可以看出，距离d即为平面上任意一点R到平面方程的左边的数值。
所以，我们可以将平面方程中的Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=-D的绝对值除以平面方程的系数A²+B²+C²再开方，即可求得点到平面的距离公式。
2.点到平面的距离公式应用举例：例1：求点P(1,2,3)到平面2x+3y-z+1=0的距离。
根据距离公式，首先可以求出平面方程的系数A=2,B=3,C=-1，D=1，代入点P的坐标得到：距离d=，2(1)+3(2)-(-1)(3)-2(2)-3(2)-(-1)(3)-1，/√(2²+3²+(-1)²)计算得到距离d≈4.12例2：求点P(-5,1,0)到平面3x-4y+2z-6=0的距离。
同样地，根据距离公式，求出平面方程的系数A=3,B=-4,C=2，D=-6，代入点P的坐标得到：距离d=，3(-5)-4(1)+2(0)-(-5)(-5)+(-4)(1)+2(0)-6，/√(3²+(-4)²+2²)计算得到距离d≈7.34总之，点到平面的距离公式是空间几何中基本的概念和工具。
点到平面的距离公式是什么
点到平面的距离公式是什么点到平面的距离公式点到平面的距离公式为设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|axn|/|n|，即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。
点到平面的距离公式是什么点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。
点到平面的距离公式：Ax+By+Cz+D=0。
平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。
是由显示生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量)，数量(或标量)只有大小，没有方向。
点到平面的距离公式推导过程1.平面的一般表达式：其中n=(A,B,C)是平面的法向量，D决定了平面与原点之间的距离，当D=0时，平面经过原点。
2.向量的模(长度)：给定一个向量V=(x,y,z)。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。
当点在平面内时，该点到平面的距离为0。
点和平面的位置关系点与平面几种位置关系：属于和不属于直线和直线几种位置关系：平行,相交,异面,重合直线和平面几种位置关系：属于,平行,相交平面和平面几种位置关系：平行,相交,重合点和平面的离差是什么1、点到平面的离差是什么意思。
2、点与平面的离差是什么。
3、点到平面的离差怎么算。
4、点到平面的离差的计算公式。
1.点到平面的离差的绝对值就是点到平面的距离。
2.绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算方法一：点法式方程点法式方程是用法线向量和一个平面上的点表示平面的方程。
假设平面的法线向量为N=(a,b,c)，平面上一点为P0=(x0,y0,z0)，给定点为P=(x,y,z)。
点到平面的距离可以通过点法式方程计算。
点法式方程可以表示为：d = ，a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法二：向量投影向量投影是另一种计算点到平面距离的方法。
首先，将给定点与平面上的任意一点P0相减得到向量v。
然后，将向量v投影到平面的法线向量N上，得到投影向量proj(N, v)。
点到平面的距离等于投影向量的长度。
投影向量可以通过以下公式计算：proj(N, v) = v - proj(N, v) = v - ((v·N) / ，N，^2) * N。
其中，·表示向量的点积运算，N，表示向量N的长度。
方法三：平面方程平面方程是用平面上的三个点表示平面的方程。
给定点到平面的距离也可以通过平面方程进行计算。
假设平面方程为ax + by + cz + d = 0，给定点的坐标为(x, y, z)，点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，ax + by + cz + d， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法四：Q-公式Q-公式是一种简单而直接的方法，可以通过平面参数方程和点坐标计算点到平面的距离。
首先，将平面参数方程表示为点(x0,y0,z0)和两个法向量v1=(a1,b1,c1)和v2=(a2,b2,c2)的叉积。
然后，将给定点(x,y,z)带入参数方程中，计算出参数u和v。
点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，u*v1 + v*v2， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
以上是常用的几种计算点到平面距离的方法。
点到平面的距离公式空间直角坐标系
点到平面的距离公式空间直角坐标系
点P(x1, y1, z1)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离公式为：
d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
其中，d为点到平面的距离，|Ax1 + By1 + Cz1 + D|表示点P带
入平面方程的结果的绝对值，A、B、C分别为平面方程中x、y、z的系数。
在三维空间直角坐标系中，点到平面的距离可以用以上公式计算。
拓展的话，我们也可以根据向量的知识来计算点到平面的距离。
假设平面的法向量为N = (A, B, C)，点P到平面的距离可以表示为点P到平面的投影向量的长度，投影向量的长度即为点到平面的距离。
因此，点P到平面的距离可以表示为
d = |N · (P - P0)| / |N|
其中，P0为平面上的一点，N · (P - P0)表示向量N与向量P - P0的点积，|N|为向量N的模长。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算点到平面的距离是指一个点在平面上的投影到平面的垂直距离。
这是一个重要的几何概念，在计算和证明中经常使用。
下面将介绍计算点到平面距离的方法，并给出一些应用实例。
首先，我们需要明确点到平面的垂线与平面的交点，称为垂足。
点到平面的距离就是该点到垂足的距离。
因此，计算点到平面的距离可以转化为计算点到垂足的距离。
方法一：利用向量给定一个点和平面，我们可以利用向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算向量：在点P和平面法向量之间建立一个向量，记为n，即n = (A, B,C)。
3.计算投影：将向量n在点P的垂直方向上投影到点P的坐标系中，记为n'，即n' = (An', Bn', Cn')，其中n' = (A^2 + B^2 + C^2)^(-1)。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n'的长度，即d = |n'|。
方法二：利用点积和法向量给定一个点和平面，我们也可以利用点积和法向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算法向量：根据平面的方程Ax + By + Cz + D = 0，可以求出平面的法向量，记为n = (A, B, C)。
3.计算点积：将点P和平面的法向量n之间的点积记为dot(n, P)，即dot(n,P) = n·P。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n在点P的投影长度与|n|的比值乘以符号(dot(n, P) / |n|)，即d = sign(dot(n, P) / |n|)。
应用实例1.求平行于z轴的平面x = 1上一点(1, 2, 3)到原点(0, 0, 0)的距离。
点到面的距离公式
点到面的距离公式点到面的距离公式是什么？
答：点到面的距离公式如下所示：
1、点到平面的距离计算：
2、点到平面距离怎么求：
一般方法
确定一个点的射影（如垂足）位置的方法（分情况）①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角平分线上；③若一条直线与一个角的两边夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角平分线上；④两个平面相
互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上；⑤若三棱锥的侧棱相等或侧棱与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；⑥若三棱锥顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；⑦若三棱锥的侧棱相互垂直或各组对棱相互垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
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预备知识
(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。
图1
(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式
13
V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面
角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。
图2
1 、定义法求点到平面距离(直接法)
定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:
(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
2、转化法求点到平面距离
有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。
转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：
(1)若直线l//平面α，则直线l上所有点到平面α的距离均相等。
(2)若直线AB与平面α交于点M，则点A、B到平面α的距离之比为:
AM BM。
特别地，当M为AB中点时，A、B到平面α的距离相等。
3、等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。
先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式13
V Sh 求出点到平面的距离h 。
在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。
特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。
下面用等体积法求解上面例子.
4、利用二面角求点到平面距离
如图8所示，l 为二面角l αβ--的的棱，AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角。
下面考虑点B 到平面α的距离。
作BH OA ⊥，垂足为H ，下面证明BH ⊥平面α。
图8
AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角
∴OA l ⊥、OB l ⊥
又 OA OB O = ∴l ⊥平面AOB
又 BH ⊂平面AOB
∴BH l ⊥
又 BH OA ⊥，=OA l O ，OA ⊂平面α，l ⊂平面α
∴BH ⊥平面α
在Rt OBH ∆中，有
sin BH OB BOH =∠ .....................①
这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。
从而如果能将点与平面置于一个二面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。