一致收敛性

函数为 f ( x ) 0.
注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远
远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具
有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.

2
.
(5)
于是当 n, m N ,由(5)得
| f n ( x ) f m ( x ) | | f n ( x ) f ( x ) | | f ( x ) f m ( x ) |
2 2 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ f n } 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x ),
sin nx , 所以函数列 N , 当 n N 时, 恒有 n
1
sin nx 在(-,+)上一致收敛于 f ( x ) 0. n
函数列 f n 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0 , 对任何正数 N, 都有某一点 x0 D 和
| f n ( x ) f m ( x ) | . (4)
即对 证 必要性 设 f n ( x ) f ( x ) ( n ), x D ，
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任给 >0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切
x D, 都有
| f n ( x ) f ( x ) |
所以函数列 (8) 在 [0, 1] 上不一致收敛.
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例4 讨论函数例 { f n ( x ) n xe
2
n2 x 2
}, x [0,1] 的一致
收敛性. 解 为了使用余项准则, 首先求出函数列的极限函数. 易见 f ( x ) lim f n ( x ) lim n xe
y
y f ( x)
y f ( x) y fn ( x)
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
a
y f ( x)
与 y f ( x ) 所夹的带 状区域之内.
O
b
x
图 13-1
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函数列 { x n } 在区间(0, 1) 上
xD
因为对一切 x D, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xD
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故由 (7) 式得 f n ( x ) f ( x ) , 于是 f n 在 D 上
一致收敛于 f .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么, 只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致 收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为
{ f n } 或 f n , n 1,2,
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1 ( x0 ), f 2 ( x0 ),
.
, f n ( x0 ),
.
(2)
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如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 x 都有数列 { f n ( x )}的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
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定义1 设函数列 { f n } 与函数 f 定义在同一 数集 D 上， 若对任给的正数 , 总存在某一正整数 N , 使当
对一切 x D, 都有 n N 时， | f n ( x ) f ( x ) | ，
则称函数列 { f n } 在 D 上一致收敛于 f ,记作
x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有 sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xD
这就得到了(6)式. 充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得 当n N 时,有 sup | f n ( x ) f ( x ) | . (7)
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sin nx , 例2 定义在 ( , ) 上的函数列 f n ( x ) n n 1,2, .
由于对任何实数 x , 都有
sin nx 1 , n n
故对任给的 0, 只要 n N 1

, 就有
sin nx 0 . n
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所以函数列 sin nx n 的收敛域为 ( , ), 极限
lim sup
n x( , )
sin nx 1 0 lim 0, n n n
sin nx 所以在( , )上, 0 ( n ). n
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例3 定义在[0,1]上的函数列
2 2n x , f n ( x ) 2n 2n 2 x , 0, 1 0 x , 2n 1 1 x , n 1, 2, 2n n 1 x 1, n
| f n ( x ) f ( x ) || x n |,
ln 只要取 N ( , x ) , 当 n N ( , x ) 时,就有 ln | x |
| f n ( x ) f ( x ) || x |n | x | N .
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当 x 0 和 x 1 时, 则对任何正整数 n, 都有 | f n (0) f (0) | 0 ， | f n (1) f (1) | 0 .
limsup | f n ( x ) f ( x ) | 0.
n xD
(6)
证 必要性 若 f n ( x ) f ( x ) ( n ), x D. 则对
任给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数 N , 当
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n N 时, 有 | f n ( x ) f ( x ) | ,
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ln n (其中 0 1), 曲线 y x n 就全部落在 ln b y 和 y 所夹成的带状区域内，所以 x n 在

0, b 上是一致收敛的.
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { f n } 在数集 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 , 总存在正数N, 使当 n, m N , 对一切 x D , 都有
这就证明了 { f n } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当 | x | 1 时, 有 | x |n (n ), 当 x 1 时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以
函数列 { x n } 在区间 (1, 1] 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 (1, 1].
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.
xD. 现固定(4)式中的 n, 让m , 于是当n N时, 对一切 xD 都有| f n ( x ) f ( x ) | . 由定义1知, fn ( x) f ( x ) ( n ), x D.
根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2（余项准则）函数列{ f n }在区间 D 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是:
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
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一、函数列及其一致收敛性
设
f1 , f 2 , , fn , (1)
不一致收敛, 从几何意义上
y
1
看, 就是存在某个预先给定
的 (<1), 无论 N 多么大, 总存在某条曲线

x1
x2 x3
y x (n N ),
n
O
1
x
不能全部落在由 y 与
图 13 2
y 夹成的带状区域内(图13-2). 若函数列 { x n }
只限于在区间 0, b (b 1)上, 则容易看到, 只要
N ( ).
显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛.
sin nx 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意 n
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给定的 正数 , 不论 x 取(-,+) 上什么值, 都有
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | .
使函数列 { f n } 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ f n } 的收敛域.
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例1 设 f n ( x ) x n , n 1,2, 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1] , 且有极限函数 0, | x | 1, f ( x) 1, x 1. 证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
lim f n ( x ) f ( x ) ,
n
xD
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或
f n ( x ) f ( x ) ( n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
y 3
2
f2 f3
像如图13-3 所示.
1
f1
f ( x)
图 13 3
O
1 1 1 6 4 3
1 2
1
x
于是 (8) 在[0, 1]上的极限函数 为 f ( x ) 0. 又由于
1 sup f n ( x ) f ( x ) f n n ( n ), x[0, 1] 2n
fn ( x) f ( x )( n ) , x D.
由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
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为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的
取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作
n
, (8)
由于 f n (0) 0, 故 f (0) lim f n (0) 来自百度文库0.
1 当 0 x 1时, 只要 n , 就有 f n ( x ) 0, x 故在( 0, 1]上有 f ( x ) lim f n ( x ) 0.
n
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其中 n 1, 2, 3 的图
某一正整数 n0 N( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
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f n0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
n 由例1 中知道, x 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.

下面来证明这个结论.
1 事实上, 若取 0 , 对任何正整数 N 2, 取正整 2
1 数 n0 N 及 x0 1 (0, 1), 就有 N 1 1 n0 x0 0 1 . N 2
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1 N
函数列 f n 一致收敛于 f 的几何意义: 如图所示,
0, N 0, 对于序
号大于 N 的所有曲线