第九章第一节随机抽样
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第九章 统计、成对数据的统计分析第1节 随机抽样、统计图表
解析:(2)最先读到的4袋牛奶的编号是614,593,379,242,向右读得
到203,722,104,再下一个数是887,887大于850,故舍去,再下一个
数是088.
考点二
分层随机抽样
角度一
条形图和
直观描述不同类别或分组数据的
直方图
折线图
频数和频率
描述数据随时间的变化趋势
4.频率分布直方图的制作步骤
(1)求极差:极差为一组数据中 最大值
与最小值的差.
(2)决定组距与组数:当样本量不超过100时,常分成 5～12
组,
一般取等长组距,并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表:一般分四列,即分组、 频数累计、频数、 频率 .
A.0.61
B.0.675
)
C.0.74
D.0.8
√
解析:(2)由分层抽样可得高三(1)班抽取的人数 n1=
×10=6,
+
高三(2)班抽取的人数 n2=
于是总的样本平均数 =
×10=4,
+
×+×.
=1.2,
所以总的样本方差
2
2
2
s = ×[1+(1-1.2) ]+ ×[0.35+(1.5-1.2) ]=0.8.故选 D.
容量为20的一个样本,则每个个体被抽到的概率为(
A.
B.
C取到的概率是
.故选D.
=
9.1.1简单随机抽样
可以用简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级 学生的平均身高。
越大。与此相似，用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量越 大，结果越准确。一般来说，样本量大的要比样本量小的好， 增加样本量可以较好地提高估计的效果。
但在实际情况中，样本量会导致人力、费用、时间等成本 的增加。
因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要， 并不一定是越大越好。
小试牛刀 1、利用随机数表法从500件产品中抽取40件进行质检. （1）这500件产品可以怎样编号？ （2）如果从随机数表第10行第8列的数开始往左读数， 则最先抽取的3件产品的编号依次是什么？
小试牛刀
一、选择题
1.医生要检验人血液中血脂的含量，采取的调查方法应
该是（ B ）
A.普查 B.抽样调查 C.既不能普查也不能抽样调查
D.普查与抽样调查都可以
2.若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体
是（ B ）
A.某城市
B.某城市的所有家庭的收入
C.某城市的所有人口 D.某城市的工薪阶层
树人中学全部高一年级学生构成调查的总体，每一位学生是个 体，学生的身高是调查的变量。
实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常 用的两种方法。
知识探究（三）：简单随机抽样（一）——抽签法
接下来用抽签法进行简单随机抽样。
先给712名学生编号，例如1~712进行编号； 然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可 以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一 个不透明的盒里，充分搅拌； 最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对 应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数。
2023年高考数学一轮复习 新高考方案 课件第九章 统计与成对数据的统计分析
答案：95
• 层级一/ 基础点——自练通关(省时间)
• 基础点(一) 抽样方法
• [题点全训]
• 1．某班有男生36人，女生18人，用分层随机抽样的方法从该班全 体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为
在一组数据中出现次数_最__多__的数
中位数 将一组数据按_大__小__顺__序___依次排列(相同的数据要重复列出)， 处在最中间位置的那个数据(或最中间两个数据的平均数)
平均数
一组数据的_算__术__平__均__数___
方差
s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2](xn 是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数)，其中 s 是标准差
样本量
(3)平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分
别为 M 和 N，抽取的样本量分别为 m 和 n，第 1 层和第 2 层样本的平均数分别
为
x
，
y
，则样本的平均数
w
＝
m m＋n
x
＋m＋n n
y
M ＝ M＋N
x ＋M＋N N y .
• 3．作频率分布直方图的步骤 • (1)求极_差____ (即一组数据中最大值与最小值的差)；
• 8 44 2 17 8 31 57 4 55 6
•88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
•解析：生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8,44,2,17,8(重 复，舍弃)，31……故选中的第5个个体的编号为31.
第九章 第一节 随机抽样
1．理解随机抽样的必要性和重要性．
2．会利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，
了解分层抽样和系统抽样的方法．
[理 要 点] 一、简单随机抽样
1．简单随机抽样的概念
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回 地抽取n个 个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个 都相等 个体被抽到的机会 单随机抽样． 2．最常用的简单随机抽样方法有两种—— 抽签 法和 随机数 法． ，就把这种抽样方法叫做简
二、系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)先将总体的N个个体 编号 ．
分段间隔k ，对编号进行 分段，当N是整数时，取 (2)确定 n
N k＝ n . (3)在第1段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号l(l≤k)． (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第 2个个体编号 l＋k ，再加k得到第3个个体编号 l＋2k ， 依次进行下去，直到获取整个样本．
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小
组．
若把本题中“24名学生”改为“1000名学生”仍选取6人 应该如何抽样？
解：因为总体数较大，若法．
第一步：先将1000名学生编号，可以编为0001,0002，„， 1000. 第二步：在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5 列的数2.
70 x 解析：(1)设在中年人中的抽样人数为x，则 ＝ ， 1400 1600 ∴x＝80. (2)由题可知，四种商品的总数为30＋10＋35＋25＝100，而 在35种婴幼儿奶粉的品牌中抽取了7种，所以抽取的概率为 7 1 1 ＝ ，所以需要抽取的样本容量为100× ＝20，所以样本 35 5 5 容量n为20.
[归纳领悟] 系统抽样的特点： 1．适用于元素个数很多且均衡的总体． 2．各个个体被抽到的机会均等． 3．总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． 4．如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝ N n ，如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从 总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．
第九章抽样统计分析的基本知识演示文稿ppt
随机抽样 样本 检测 整理
二、质量数据的收集方法★
（一）全数检验 （二）随机抽样检验
（一）全数检验
全数检验是对总体中的全部个体逐一 观察、测量、计数、登记，从而获得对总 体质量水平评价结论的方法。
（二）随机抽样检验★
抽样检验是按照随机抽样的原则，从 总体中抽取部分个体组成样本，根据对样 品进行检测的结果，推断总体质量水平的 方法。
（三） 质量数据分布的规律性
以质量标准为中心的质量数据分布， 可用一个“中间高、两端低、左右对称” 的几何图形表示，即一般服从正态分布
整群抽样一般是将总体按自然存在的 状态分为若干群，并从中抽取样品群，组 成样本，然后在中选群内进行全数检验的 方法。
如对原材料质量进行检测，可按原包 装的箱、盒为群随机抽取，对中选箱、盒 做全数检验；每隔一定时间抽出一批产品 进行全数检验等。
5. 多阶段抽样
多阶段抽样又称多级抽样，是将各种 单阶段抽样方法结合使用，通过多次随机 抽样来实现的抽样方法。
标准差小说明数据分布的集中程度高, 离散程度小,均值对总体的代表性好。
标准差的平方是方差,能确切地说明数 据的离散程度和波动规律,是最常用的反映 数据变异程度的特征值。
(3) 变异系数(离散系数）
1) 总体的变异系数
Cv
2) 样本的变异系数 Rxmaxxmin
变异系数又称离散系数，是用标准差除以算术 平均数得到的相对数。它表示数据的相对离散波动 程度。变异系数小，说明分布集中程度高，离散程 度小，均值对总体（样本）的代表性好。
1. 简单随机抽样 2. 分层抽样 3. 等距抽样 4. 整群抽样 5. 多阶段抽样
1. 简单随机抽样
简单随机抽样又称纯随机抽样、完全随机 抽样，是对总体不进行任何加工，直接进行随 机抽样，获取样本的方法。
第1节 随机抽样
第1节随机抽样知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．()(3)简单随机抽样是一种不放回抽样．()(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本答案 A解析 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．一个公司共有N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n 的样本，已知某部门有m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案 nm N解析 每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x＝nm N .4．(2020·上饶一模)总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．20答案 D解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，49，32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.5．(2020·百校大联考)在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为()A．800 B．750 C．700 D．650答案D解析设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x－4.由题意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.设我校高三年级的学生人数为N，且高三抽取26人，由分层抽样，得N1800＝2672，∴N＝650(人)．6．(2018·全国Ⅲ卷改编)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是________．答案分层抽样解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．考点一简单随机抽样及其应用1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验答案 D解析 A ，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，.310D.310，310答案 A解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A.3．(多选题)(2021·聊城模拟)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验．先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)．( ) 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10A ．774B ．946C ．428D ．572答案 ACD解析 依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，…所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572，结合选项知选ACD.感悟升华 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．考点二分层抽样及其应用角度1求某层入样的个体数【例1】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为() A．25，25，25，25B．48，72，64，16C．20，40，30，10D．24，36，32，8答案D解析法一因为抽样比为10020000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为4800×1200＝24，7200×1200＝36，6400×1200＝32，1600×1200＝8.法二最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.角度2求总体或样本容量【例2】(1)(2020·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n等于()A．12B．18C．24D．36(2)(2021·重庆调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案(1)D(2)1800解析(1)根据分层抽样方法知n960＋480＝24960，解得n＝36.(2)由题设，抽样比为80 4800＝160.设甲设备生产的产品为x件，则x60＝50，∴x＝3000.故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.感悟升华 1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．【训练】(1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A．240，18B．200，20C．240，20D．200，18(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．答案(1)A(2)6解析(1)样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，则抽取的植物油类种数是10×15＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×15＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.A级基础巩固一、选择题1．(多选题)(2021·武汉调研)下列抽样方法不是简单随机抽样的是()A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)答案AC解析对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，一次性抽取与逐个不放回地抽取是等价的，故B中的抽样方法是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样．2．(多选题)(2020·泰安质检)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是()A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的答案ACD解析因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以采用分层抽样，选项A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，选项B错误；抽样比为571500＋6000＋2000＝3500，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C正确．分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同．故选项D正确．故答案为ACD.3．(2020·首都师范大学附属中学月考)从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为()(注：表为随机数表的第1行与第2行)A.24答案A解析由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.4．(多选题)(2021·襄阳联考)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有()A．应该采用分层随机抽样法B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力答案ABD解析由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层抽样法．由于比例为23520×50＋30×45＝110，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是110，因此只有C不正确，故应选ABD.5.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为()A．16 B．32 C．24 D．8答案C解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取()A．40人B．200人C．20人D．10人答案C解析由题图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×40400＝20(人)．7．(多选题)(2021·淄博模拟)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则()A ．老年旅客抽到100人B ．中年旅客抽到20人C ．n ＝200D ．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200人答案 AC解析 由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，若青年旅客抽到60人，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n 名，所以60n ＝35＋2＋3，解得n ＝200人，则老年旅客抽到60×53＝100人，中年旅客抽到60×23＝40人，则老年旅客和中年旅客人数之和为160.8．(2020·北京东城区模拟)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：“不喜欢”的男性青年观众中抽取了6人，则n ＝( )A ．12B ．16C ．24D ．32答案 C解析 由分层抽样的性质得：630＝n 30＋30＋10＋50，解得n ＝24.故选C.二、填空题9．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．解析由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068. 10．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．答案13解析依题意得360＝n120＋80＋60，故n＝13.11．(2020·海南质检)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为________．答案32解析因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱．要按照各人带钱多少的比例进行关税．则乙应付：100560＋350＋180×350＝3212109≈32钱．12．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是________．答案800解析设A，C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1300＝3000，（x －y ）×1301300＝10，解得⎩⎨⎧x ＝900，y ＝800. B 级 能力提升13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人 答案 B解析 由题意知，抽样比为 3008100＋7488＋6912＝175，所以北乡遣175×8100＝108(人)．14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.15．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：则A．12，7B．10，7C．10，8D．11，9答案B解析从甲校抽取110×12001200＋1000＝60(人)，从乙校抽取110×12001200＋1000＝50(人)，故x＝10，y＝7.16．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．答案1200解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以a＋b＋c3＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3600＝1200.。
《统计学》第9章 抽样与抽样分布
二、抽样中的基本概念
⚫ 样本比例（成数）
p = n1 ，q = n0 = 1− p
n
n
⚫ 样本是非标志的标准差
(n = n0 + n1)
sp =
n p (1− p) =
n −1
n pq n −1
⚫ 样本是非标志的方差
s
2 p
=
n n −1
p(1 −
p)
=
n n −1
pq
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 在实践中总体所包括的单位数很多，分布很广，通过一次 抽样就选出有代表性的样本是很困难的。此时可将整个抽 样过程分为几个阶段，然后逐阶段进行抽样，最终得到所 需要的有代表性的样本。
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 阶段数不宜过多，一般采用两个、三个阶段，至多四个阶 段为宜，否则，手续繁琐，效果也不一定好。
第一节 抽样和抽样方法
二、抽样中的基本概念
⚫ 总体参数
⚫ 总体参数是根据总体各单位的标志值或特征计算的、反 映总体某一属性的综合指标。
⚫ 总体参数是唯一的、确定的常数，但一般情况下又是未 知的。
⚫ 常用的总体参数有 ⚫ 总体均值 ⚫ 总体标准差、总体方差 ⚫ 总体比例（成数）
第一节 抽样和抽样方法
⚫ 样本标准差
s =
1 n −1
n i =1
(xi
−
x )2，或s
=
1
m
m
(xi − x )2 fi
fi −1 i=1
i =1
⚫ 样本方差
( ) ( ) s2 = 1 n n −1 i=1
9.1.1简单随机抽样方法
本章知识结构框图如下： 实际问题
总体 普 查
总体数据
简单随机抽样、分层随机抽样
总体数据的特征 总体的取值规律
总体的百分位数
估计 估计
样本数据的特征 样本的取值规律
样本的百分位数
样本
总体的平均数、中位数 估计 样本的平均数、中位数
众数 总体的标准差、方差 估计 样本的标准差、方差
极差
极差
决策与建议
样本观测数据
二、本章学习任务与指导 三个任务的完成，就生成了一个统计问题完整解决的基本思路：首先要根据实际需求， 用适当的方法获取样本数据，选择适当的统计图表对样本数据进行整理和描述，在此 基础上用各种统计方法对样本数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总 体的情况，进而解决相应的实际问题，获得结论，为人们制定决策提出建议
总体 ____调__查__对__象___的全体叫作总体
个体 组成总体的每一个_调__查__对__象__成为个体
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取_一__部__分___个__体__进行调查，并以此为依据对 总体的情况作出估计和推断的调查方法，成为抽样调查
样本 从总体中抽取的那部分___个__体___成为样本
二、本章学习任务与指导 从本章知识结构图中可以看出，本章有三大学习任务：面对实际问题的解决，为人们 的决策提供什么样的建议，始终是我们学习本章的第一任务，也是我们学好本章的目标 驱动任务，也就是教材9.3节内容 那么，要完成这一任务，需要我们用样本的数据特征及其分布的规律性来估计、推断 出总体的数据特征及其分布的规律，例如，总体的取值规律、百分数、集中趋势、离 散程度等等，这是学习本章的第二任务也就是教材9.2节内容 要完成第二大任务，即“用样本估计总体”，就需要我们抽取“好”的或“高质量”的 样本，这就存在一个如何抽取样本的问题，即抽样方法问题，这是学习本章的第三任务。 也就是教材9.1节内容
简单随机抽样(优秀经典公开课课件)
[母题变式] 1．该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己抽取了 100 袋牛 奶按照例 3(3)检验标准，统计得到这 100 袋袋装牛奶的质量都满足 500±5 g，平 均数为 500.4 g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？
解析 该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少， 不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量 大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计 的效果．
总体：在一个调查中，我们把调 样本：我们把从总体中抽取的那
查对象的全体称为总体．
部分个体称为样本．
个体：组成总体的每一个调查对 样本量：样本中包含的个体的数
象称为个体
量称为样本容量，简称样本量
2．简单随机抽样的概念
放回简单随机抽样
不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有 N(N 为正整数)个个体，从中___逐__个___抽取 n(1≤n＜N)
[解析] 第一步：编号，把 43 名运动员编号为 1～43； 第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这 43 个数； 第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌； 第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取 5 次(不放回抽取)，从而 得到容量为 5 的入选样本．
[规律方法] 1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个 体之间差异不明显． 2．应用抽签法时应注意以下几点： (1)编号时，如果已有编号可不必重新编号． (2)号签要求大小、形状完全相同． (3)号签要均匀搅拌． (4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是( ) A．某城市 B．某城市的所有家庭的收入 C．某城市的所有人口 D．某城市的工薪阶层
高考数学第九章第一节抽样方法课件理苏教
【拓展提升】抽签法与随机数表法 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况 ,随机数表法适用于
总体中个体数较多的情况.
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否 方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量 都较小时可用抽签法.
【变式训练】下面的抽样方法是简单随机抽样的是____. ①在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组， 通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖; ②某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟 抽一包产品，检查其质量是否合格; ③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2人、14人、 4人了解对学校机构改革的意见; ④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验.
N N N k 分段，当 是整数时,k=___; (2)将编号按间隔__ 当 不是整 n n n
剔除一些个体 使剩下的总体中个体的个数N′ 数时,从总体中_____________,
N¢ 能被n整除,这时取k=_____, 并将剩下的总体重新编号. n
简单随机抽样 确定起始的个体编号l. (3)在第一段中用_____________
1.某学校进行问卷调查，将全校5 600名同学分为100组，每组
56人按1～56随机编号，每组的第18号同学参与调查，这种抽
样方法是_____.
【解析】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，
可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从 每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法 叫做系统抽样. 答案:系统抽样
查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用
系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46
9.1.2分层随机抽样课件-高中数学人教A版必修第二册
（1）根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； （2）根据总体中的个体数 N 和样本量 n 计算抽样比 k n ；
N （3）确定第 i 层应该抽取的个体数目 ni Ni k （ Ni 为第 i 层所包含的个体数）， 使得各 ni 之和为 n； （4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起 得到容量为 n 的样本.
第九章 统计 9.1 随机抽样 9.1.2 分层随机抽样
学习目标
1.理解分层随机抽样的概念，学会用分层抽样的方 法从总体中抽取样本. 2.区分简单随机抽样与分层随机抽样，并会选择适 当方法进行抽样. 3.掌握分层随机抽样在实际生活中的应用.
探索新知
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体， 每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地 进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子 总体称为层.
青年
40
160
280
720
1200
合计
160
320
480
1040
2000
（1）若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ （2）若要开一个 25 人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，则应怎样 抽选出席人？
（3）若要抽取 20 人调查对某运动会举办情况的了解，则应怎样抽样？
解析：（1）因为身体状况会因年层抽样的方法抽取样本，则
抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4
新人教A版高中数学必修2第九章统计的第一节第一课时—简单随机抽样-经典教学设计
（3）通过调查历城二中高一学生的平均身高来估计济南市高一学生的平均身高，请你写出此次调查的总体，个体样本和样本容量。
通过熟悉的生活情境引入普查、抽样调查的适用范围，回顾总体、样本、个体、样本容量的概念。
通过提问，从学生熟悉的具体问题入手，迅速吸引学生的注意力，体会到了抽样调查的必要性。
2.简单随机抽样的特点:
总体有限，逐个抽取，等概率抽样。
3.简单随机抽样的方法:
抽签法和随机数法
学生回顾本节课所学知识点。
小结本节课知识点，加深对知识点的记忆理解。总结提炼，理清脉络，有利于帮助学生建构知识体系，起到画龙点睛的作用。
6.课后作业
1.一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道;从20道化学题中随机抽3道;从12道生物题中随机抽2道.选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15,化学题的编号为16～35,生物题的编号为36～47).
此处设计遵循由特殊到一般的认知规律，让学生在观察中归纳，在具体问题中进行总结，自然而然地形成简单随机抽样的概念，培养数学抽象的学科核心素养,最终实现突破难点的目的。
2.实践探究，形成概念
请小组在全班范围内交流，教师在学生回答基础上完善补充，得到下列结论：
（1）一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单抽样。
09-第九章++多阶段抽样精品教育文档
一、多阶段抽样的概念
假设总体中的每个单位本身就很大，我 们可以先在总体各单位（初级单位）中抽取 样本单位，在抽中的初级单位中再抽取若干 个 第 二 级 单 位 （ Secondary Sampling Units），在抽中的第二级单位中再抽取若 干 个 第 三 级 单 位 （ Tertiary Sampling Units）……，直至从最后一级单位中抽取所 要调查的基本单位的抽样组织形式，就叫做 多阶段抽样。因此，对于一个阶段数为L（L ＝1，2，3……）的多阶段抽样，最终可以 抽出L级样本单位，实际调查也是落在这第L 阶段也即最末阶段的抽样单位上。
21
三、总体比例及其估计量方差
初级单位大小相等的两阶段抽样的总体比例及其方差问题 在均值估计的基础上是比较容易理解的。
M
Y i j 为总体第i个初级单位中具有某种属性的二级单位数
j1
Pi
1 M
M
Yij
j 1
为总体第i个初级单位中各二级单位的比例
则总体比例为：
P 1 A AMi1
在初级单位大小相等的两阶段抽样中，总体均 值的无偏估计量就是二级段抽样的样本均值，即：
ˆ
a
am
Yy yi/a yij/(am)
i1
i1 j1
12
证明二阶样本估计量的无偏性
E
(y)
E1
E
2
(
y
)
am
m
y ij
E1
E
2
(
A
S22 S22i / A
1
S22i MPi (1 Pi ) /(M 1)
人教A版高中数学第九章第1节《随机抽样》训练题 (8)(含答案解析)
第九章第1节《随机抽样》训练题 (8)一、单选题1．某中学高一、高二和高三各年级人数见表，采用分层抽样的方法调查学生的视力状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（）A．16B．18C．22D．402．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A．36B．16C．11D．143．某单位有老年人28人，中年人36人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为16的样本，最适合抽取样本的方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样4．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）5．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A．总体B．个体C．样本D．样本容量6．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．497．某校高二年级有男生600人，女生500人，为了解该年级学生的体育达标情况，从男生中任意抽取30人，从女生中任意抽取25人进行调查．这种抽样方法是（）A．系统抽样法B．抽签法C．随机数法D．分层抽样法8．某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从小学生中剔除1人然后再分层抽样9．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002， ，599，600，从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第5行到第7行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第8个样本编号为（）A．324B．345C．577D．57810．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（）件.A．1800B．1600C．1900D．100011．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则B组应抽取的人数为（）A．2B．4C．8D．1012．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了10名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．1213．现有以下两项调查：∶某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；∶某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.完成∶∶这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法14．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则N 为（）A．16B．20C．24D．2815．为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层随机抽样的方法，从A，B，C三个城市中抽取若干家德克士分店组成样本进行深入研究，有关数据见下表：（单位：个）则样本量为（）A．12B．10C．6D．416．从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生B．样本是指1000名学生的数学成绩C．样本容量指的是1000名学生D．个体指的是1000名学生中的每一名学生17．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会（）A．相等B．不相等C．与抽样次序有关D．不确定18．从一个容量为m（3m≥，m N∈）的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是13，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（）A．15B．14C．12D．1319．某企业生产甲､乙､丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品有12件，则此样本的容量为（）A．40B．60C．80D．12020．某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒．若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本容量为60的样本，则样本中甲类奶制品的数量为（）A．6盒B．15盒C．20盒D．24盒21．某班有男生20人，女生30人，用分层抽样的方法从该班抽取10 人参加志愿者活动，则应抽取的女生人数为（）A．3B．4C．7D．622．2020年一场突如其来的新冠肺炎疫情让全世界生灵涂炭、经济停顿，应对新冠肺炎的有效办法之一就是接种疫苗．目前常见的国产疫苗有3种，生产厂家分别是国药集团武汉生物研究所（国药武汉）国药集团北京生物研究所（国药北京）、科兴控股生物技术有限公司（科兴生物）．某地分别从这三家厂家采购了30000支、20000支、50000支疫苗用于接种，每人要接种两支，且需接种同一厂家生产的疫苗，所有疫苗都接种完后，某同学为调查疫苗接种的效果采用分层抽样的方法从所有已接种人员中抽取部分个体进行调查，若已知他调查的人员中，接种科兴生物疫苗的人数比接种国药北京疫苗的人数多150，那么他所抽取的样本容量是（）A．250B．500C．750D．100023．某中学高一有男生600人，若按性别比例用分层抽样的方法从高一全体学生中抽取一个容量为120的样本，样本中的女生人数为48,则该中学高一共有学生（）A．800人B．900人C．1000人D．1200人24．下列情况中，适合用全面调查的是（）A．检查某人血液中的血脂含量B．调查某地区的空气质量状况C．乘客上飞机前的安检D．调查某市市民对垃圾分类处理的意识25．某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（）A．65人，150人，65人B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人D．80人，120人，80人26．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对新法规“开车不喝酒，喝酒不开车”的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取人数分别为12，21，25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101B．808C．1212D．212127．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为（）A．8人B．10人C．12人D．18人28．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为（）A．120B．192C．200D．24029．（1）某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了解有关家用轿车购买力的某个指标，从中抽取一个容量为100的样本；（2）从10名学生中抽取3名参加座谈会.问题和抽样方法配对正确的是（）A．（1）简单随机抽样法，（2）分层随机抽样法B．（1）分层随机抽样法，（2）简单随机抽样法C．（1）简单随机抽样法，（2）简单随机抽样法D．（1）分层随机抽样法，（2）分层随机抽样法30．总体由编号为00，01，…，28，29的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列开始由左到右依次选取两个数字．则选出来的第5个个体的编号为（）0842 2689 5319 6450 9303 2320 9025 6015。
简单随机抽样(人教A版2019 必修第二册)
(1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说
)
D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是(
)
A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育
情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中
抽取50个进行收入调查
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
【解析】
(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，…，500.
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．
A．与第几次抽样无关，第一次抽到的概率要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的概率都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的概率要大些
D．每个个体被抽到的概率无法确定
（二）简单随机抽样
知识点三 抽签法
先给总体中的N个个体 编号 ，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）
上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里， 充分搅拌
一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和
“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因
为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”
的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽
(新教材)2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：9.1.1 简单随机抽样
(2)简单随机抽样的定义 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中_逐__个__抽__取__n(1≤n<N)个个体 作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的_概__率__都__ _相__等__,我们把这样的抽样方法叫做_放__回__简__单__随__机__抽__样__;如果抽取是不放回的,且 每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的_概__率__都__相__等__,我们把这样的 抽样方法叫做_不__放__回__简__单__随__机__抽__样__.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样 统称为简单随机抽样.
【类题通法】 简单随机抽样必须具备下列特点 (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的. (2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的. (3)简单随机抽样是一种等可能的抽样. 如果三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
【定向训练】
下列几个抽样中,简单随机抽样的个数是 ( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(3)抽样的必要性 第一,要考查的总体中个体数往往_很__多__,而且在时刻变化,逐一调查不可能.第二, 考查往往具有_破__坏__性__,所以逐一调查也不可取.这就需要抽查一部分,以此来估 计_总__体__. (4)简单随机抽样的两种常用方法:_抽__签__法__和_随__机__数__法__.
核心互动探究
【概念生成】 简单随机抽样 (1)抽样涉及的基本概念(以某地区高一学生身高为例) 为了了解某地区高一学生身高的情况,我们找到了该地区高一8 000名学生的体 检表,从中随机抽取了150张,表中有体重、身高、血压、肺活量等15类数据,那 么总体是指_该__地__区__高__一__8__0_0_0_名__学__生__的__身__高__数__据__,个体是指_该__地__区__高__一__某__个__学__生__ _的__身__高__,样本是指_被__抽__到__的__1_5_0_个__学__生__的__身__高__,样本量是_1_5_0_.
第九章 统计(知识点梳理及例题解析)
第九章统计9.1 随机抽样1. 全面调查与抽样调查（ 1 ）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ .（ 2 ）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ .（ 3 ）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ .（ 4 ）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ .（ 5 ）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ .（ 6 ）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据 .2. 简单随机抽样（ 1 ）有放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有 N （ N 为正整数）个个体，从中逐个抽取 n （1 ≤ n < N ）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 .（ 2 ）不放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样 .（ 3 ）简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样 .（ 4 ）简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本 .（ 5 ）简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法 .■名师点拨（ 1 ）从总体中，逐个不放回地随机抽取 n 个个体作为样本，一次性批量随机抽取 n 个个体作为样本，两种方法是等价的 .（ 2 ）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性 .3. 总体平均数与样本平均数（ 1 ）总体平均数① 一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N ，则称＝＝ Y i 为总体均值，又称总体平均数 .② 如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k （k ≤ N ）个，不妨记为 Y 1 ， Y2 ，… ， Y k ，其中 Y i 出现的频数 f i （ i ＝ 1 ， 2 ，… ， k ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝ f i Y i Ｗ .（ 2 ）样本平均数如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 y 1 ， y 2 ，… ， yn ，则称＝＝ y i 为样本均值，又称样本平均数 . 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 .4. 分层随机抽样（ 1 ）分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ .（ 2 ）比例分配在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配 .5. 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数（ 1 ）在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 M 和 N ，抽取的样本量分别为 m 和 n . 我们用 X 1 ， X 2 ，… ， X M 表示第 1 层各个个体的变量值，用 x 1 ， x 2 ，… ， x m 表示第 1 层样本的各个个体的变量值；用 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N 表示第 2 层各个个体的变量值，用 y 1 ， y 2 ，… ，y n 表示第 2 层样本的各个个体的变量值，则：① 第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝ X i ，＝＝ x i .② 第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Y i ，＝＝ y i .③ 总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ .（ 2 ）由于用第 1 层的样本平均数可以估计第 1 层的总体平均数，用第 2 层的样本平均数可以估计第 2 层的总体平均数 . 因此我们可以用＝＋估计总体平均数 .（ 3 ）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝ . 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数 .6. 获取数据的途径获取数据的基本途径有：（ 1 ）通过调查获取数据；（ 2 ）通过试验获取数据；（ 3 ）通过观察获取数据；（ 4 ）通过查询获取数据典型应用 1总体、样本等概念辨析题为了调查参加运动会的 1 000 名运动员的平均年龄，从中抽取了 100 名运动员进行调查，下面说法正确的是（）A.1 000 名运动员是总体B. 每个运动员是个体C. 抽取的 100 名运动员是样本D. 样本量是 100【解析】根据调查的目的可知，总体是这 1 000 名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的 100 名运动员的年龄，样本量为 100. 故答案为D.【答案】 D此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位 .典型应用 2简单随机抽样的概念下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（ 1 ）从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本；（ 2 ）仓库中有 1 万支奥运火炬，从中一次抽取 100 支火炬进行质量检查；（ 3 ）某连队从 200 名党员官兵中，挑选出 50 名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作 .【解】（ 1 ）不是简单随机抽样 . 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的 . （ 2 ）不是简单随机抽样 . 虽然“ 一次性抽取” 和“ 逐个抽取” 不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“ 逐个抽取” . （ 3 ）不是简单随机抽样 . 因为这 50 名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“ 等可能抽样” 的要求 .要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点 .典型应用 3抽签法及随机数法的应用某班有 50 名学生，要从中随机地抽出 6 人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程 .【解】（ 1 ）利用抽签法步骤如下：第一步：将这 50 名学生编号，编号为 01 ， 02 ， 03 ，… ， 50.第二步：将 50 个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签 .第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀 .第四步：从容器中逐一抽取 6 个号签，并记录上面的号码 .对应上面 6 个号码的学生就是参加该项活动的学生 .（ 2 ）利用随机数法步骤如下：第一步：将这 50 名学生编号，编号为 1 ， 2 ， 3 ，… ， 50.第二步：用随机数工具产生 1 ～ 50 范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本 .第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数 .对应上面 6 个号码的学生就是参加该项活动的学生 .（ 1 ）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：① 编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号 . （例如该题中 50 名同学，可以直接利用学号）② 号签要求大小、形状完全相同 .③ 号签要搅拌均匀 .④ 抽取号签时要逐一、不放回抽取 .（ 2 ）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数 .典型应用 4分层随机抽样中的有关计算（ 1 ）某单位共有老、中、青年职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工 32 人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ .（ 2 ）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“ 泥塑” 与“ 剪纸” 两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800 人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级泥塑 a b c剪纸x y z其中 x ∶ y ∶ z ＝ 5 ∶ 3 ∶ 2 ，且“ 泥塑” 社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个 50 人的样本进行调查，则从高二年级“ 剪纸” 社团的学生中应抽取人 .【解析】（ 1 ）设该单位老年职工人数为 x ，由题意得 3 x ＝ 430 － 160 ，解得 x ＝ 90. 则样本中的老年职工人数为 90 × ＝ 18.（ 2 ）法一：因为“ 泥塑” 社团的人数占总人数的，故“ 剪纸” 社团的人数占总人数的，所以“ 剪纸” 社团的人数为 800 × ＝ 320 ；因为“ 剪纸” 社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“ 剪纸” 社团中高二年级人数为 320 × ＝ 96.由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“ 剪纸” 社团中抽取的人数为 96 × ＝ 6.法二：因为“ 泥塑” 社团的人数占总人数的，故“ 剪纸” 社团的人数占总人数的，所以抽取的 50 人的样本中，“ 剪纸” 社团中的人数为 50 × ＝ 20.又“ 剪纸” 社团中高二年级人数比例为＝＝，所以从高二年级“ 剪纸” 社团中抽取的人数为 20 × ＝ 6.【答案】（ 1 ） 18 （ 2 ） 6分层随机抽样中有关计算的方法（ 1 ）抽样比＝＝ .（ 2 ）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比 .对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解 .典型应用 5样本平均数的求法（ 1 ）甲在本次飞镖游戏中的成绩为 8 ， 6 ， 7 ， 7 ， 8 ， 10 ， 9 ， 8 ，7 ， 8. 求甲在本次游戏中的平均成绩 .（ 2 ）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为 10 的样本，并算得样本的平均数为 5 ；乙同学抽取了一个容量为 8 的样本，并算得样本的平均数为 6. 已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为 18 的样本，求合在一起后的样本均值 .【解】（ 1 ）甲在本次游戏中的平均成绩为＝ 7.8. （ 2 ）合在一起后的样本均值为＝＝ .在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为 m ，平均值为 x ；第二层的样本量为n ，平均值为 y ，则样本的平均值为 .9 . 2 用样本估计总体1 ．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义2 ．百分位数(1) 定义：一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于或等于这个值，且至少有 ( 100 － p ) % 的数据大于或等于这个值．(2) 计算步骤：计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤：第 1 步，按从小到大排列原始数据．第 2 步，计算 i ＝ n × p % ．第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j ，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第 ( i ＋ 1) 项数据的平均数．典型应用 1频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制角度一频率分布表、频率分布直方图的绘制为考查某校高二男生的体重，随机抽取 44 名高二男生，实测体重数据( 单位： kg ) 如下：57 ， 61 ， 57 ， 57 ， 58 ， 57 ， 61 ， 54 ， 68 ， 51 ， 49 ， 64 ， 50 ， 48 ，65 ， 52 ， 56 ， 46 ， 54 ， 49 ， 51 ， 47 ， 55 ， 55 ， 54 ， 42 ， 51 ， 56 ，55 ， 51 ， 54 ， 51 ， 60 ， 62 ， 43 ， 55 ， 56 ， 61 ， 52 ， 69 ， 64 ， 46 ，54 ， 48将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．【解】以 4 为组距，列表如下：分组频率累计频数频率[41.5 ， 45.5 ) 2 0.045 5[45.5 ， 49.5 ) 7 0.159 1[49.5 ， 53.5 ) 8 0.18 1 8[53.5 ， 57.5 ) 16 0.363 6[57.5 ， 61.5 ) 5 0.113 6[61.5 ， 65.5 ) 4 0.090 9[65.5 ， 69.5 ) 2 0.045 5频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．(1) 在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：① 若为整数，则＝组数；② 若不为整数，则的整数部分＋ 1 ＝组数．(2) 组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过 100 ，按照数据的多少常分为 5 ～ 12 组，一般样本量越大，所分组数越多．角度二频率分布直方图的应用为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图 ( 如图所示 ) ，图中从左到右各小长方形面积之比为 2 ∶ 4 ∶ 17 ∶ 15 ∶ 9 ∶ 3 ，第二小组的频数为 12.(1) 第二小组的频率是多少？样本量是多少？(2) 若次数在 110 以上 ( 含 110 次 ) 为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？(3) 样本中不达标的学生人数是多少？(4) 第三组的频数是多少？【解】 (1) 频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为＝ 0.08.又因为第二小组的频率＝，所以样本容量＝＝＝ 150.(2) 由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 × 100% ＝ 88 %.(3) 由 (1)(2) 知达标率为 88 % ，样本量为 150 ，不达标的学生频率为 1 － 0.88＝ 0.12.所以样本中不达标的学生人数为 150 × 0.12 ＝ 18( 人 ) ．(4) 第三小组的频率为＝ 0.34.又因为样本量为 150 ，所以第三组的频数为 150 × 0.34 ＝ 51.频率分布直方图的应用中的计算问题(1) 小长方形的面积＝组距 × ＝频率；(2) 各小长方形的面积之和等于 1 ；(3) ＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量 × 频率＝频数．典型应用 2条形统计图为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“ 百家讲坛” 的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查 ( 每人只选一项内容 ) ，整理调查结果，绘制统计图如图所示．请根据统计图提供的信息回答以下问题：(1) 求抽取的学生数；(2) 若该校有 3 000 名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；(3) 估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．【解】 (1) 从统计图上可以看出，喜欢收听于丹析《庄子》的男生有 20 人，女生有 10 人；喜欢收听《故宫博物院》的男生有 30 人，女生有 15 人；喜欢收听于丹析《论语》的男生有 30 人，女生有 38 人；喜欢收听易中天《品三国》的男生有 64 人，女生有 42 人；喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有 6 人，女生有 45 人．所以抽取的学生数为 20 ＋ 10 ＋ 30 ＋ 15 ＋ 30 ＋ 38 ＋ 64 ＋ 42 ＋ 6 ＋ 45 ＝300( 人 ) ．(2) 喜欢收听易中天《品三国》的男生有 64 人，女生有 42 人，共有 106 人，占所抽取总人数的比例为，由于该校有 3 000 名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有× 3 000 ＝ 1 060( 人 ) ．(3) 该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为× 100% ＝ 15 %.(1) 绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精确．(2) 在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．典型应用 3折线统计图小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．根据图中的信息，回答以下问题：(1) 护士每隔几小时给小明测量一次体温？( 2) 近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？(3) 从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？(4) 如果连续 36 小时体温不超过 37.2 摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？【解】 (1) 根据横轴表示的意义，可知护士每隔 6 小时给小明测量一次体温．(2) 从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是 39.5 摄氏度，最低体温是 36.8 摄氏度．(3) 从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．(4)9 月 8 日 18 时小明的体温是 37 摄氏度．其后的体温未超过 37.2 摄氏度，自 9 月 8 日 18 时起计算，连续 36 小时后对应的时间为 9 月 10 日凌晨 6 时．因此小明最快可以在 9 月 10 凌晨 6 时出院．(1) 绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．(2) 在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．典型应用 4扇形统计图下图是 A ， B 两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图：(1) 从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？(2) 已知 A 学校收到的剪纸作品比 B 学校的多 20 件，收到的书法作品比 B 学校的少 100 件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？【解】 (1) 不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．(2) 设 A 学校收到艺术作品的总数为 x 件， B 学校收到艺术作品的总数为 y 件，则解得即 A 学校收到艺术作品的总数为 500 件，B 学校收到艺术作品的总数为 600 件．(1) 绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．(2) 扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．典型应用 5百分位数的计算现有甲、乙两组数据如下表所示．序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 11112131415161718192甲组1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 11121313乙组0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 11414141415试求甲、乙两组数的 25 % 分位数与 75 % 分位数．【解】因为数据个数为 20 ，而且 20 × 25 % ＝ 5 ， 20 × 75% ＝ 15.因此，甲组数的 25 % 分位数为＝＝ 2.5 ；甲组数的 75 % 分位数为＝＝ 9.5.乙组数的 25 % 分位数为＝＝ 1 ，乙组的 75 % 分位数为＝＝ 12.求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．9 ． 3 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析1 ．平均数和中位数的特点(1) 样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．(2) 中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．(3) 与中位数相比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感．2 ．中位数、平均数与频率分布直方图的关系一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的 ( 图(1)) ，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“ 拖尾” ( 图(2)) ，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“ 拖尾” ( 图 (3)) ，那么平均数小于中位数．也就是说，和中位数相比，平均数总是在“ 长尾巴” 那边．3 ．众数的特点众数只利用了出现次数最多的那个值的信息．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．■名师点拨一般地，对数值型数据 ( 如用水量、身高、收入、产量等 ) 集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据 ( 如校服规格、性别、产品质量等级等 ) 集中趋势的描述，可以用众数．4 ．总体方差与总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y N ，总体平均数为，则称 S 2 ＝ __ ( Y i － ) 2 为总体方差， S ＝为总体标准差．与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式．如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有k ( k ≤ N ) 个，不妨记为 Y 1 ， Y 2 ，… ， Y k ，其中 Y i 出现的频数为 f i ( i ＝ 1 ， 2 ，… ， k ) ，则总体方差为 S 2 ＝ f i ( Y i － ) 2 ．5 ．样本方差与样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为 y 1 ， y 2 ，… y n ，样本平均数为，则称 s 2 ＝ ( y i － ) 2 为样本方差， s ＝为样本标准差．■名师点拨(1) 若 x 1 ， x 2 ， x 3 ，… ， x n 的平均数为，方差为 s 2 那么 ax 1 ＋ b ，ax 2 ＋ b ， ax 3 ＋ b ，… ， ax n ＋ b 的平均数为′ ＝ a ＋ b ；方差s ′ 2 ＝a 2 s 2 .(2) 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．典型应用 1众数、中位数、平均数的计算及应用某工厂人员及月工资构成如下：人员经理管理人员高级技工工人学徒合计月工资 ( 元 )22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700人数 1 6 5 10 1 23合计22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000(1) 指出这个表格中的众数、中位数、平均数；(2) 这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？【解】 (1) 由表格可知，众数为 2 000 元．把 23 个数据按从小到大 ( 或从大到小 ) 的顺序排列，排在中间的数应是第 12 个数，其值为 2 200 ，故中位数为 2 200 元．平均数为 (22 000 ＋ 15 000 ＋ 11 000 ＋ 20 000 ＋ 1 000)÷23 ＝ 69 000÷23 ＝ 3 000( 元 ) ．(2) 虽然平均数为 3 000 元 / 月，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．(1) 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．(2) 众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．典型应用 2利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1) 这 50 名学生成绩的众数与中位数；(2) 这 50 名学生的平均成绩．【解】 (1) 由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为 75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．因为 0.004 × 10 ＋ 0.006 × 10 ＋ 0.02 × 10＝ 0.04 ＋ 0.06 ＋ 0.2 ＝ 0.3 ，所以前三个小矩形面积的和为 0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03 × 10 ＝ 0.3 ， 0.3 ＋0.3 ＞ 0.5 ，所以中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为 x ，高为 0.03 ，所以令 0.03 x ＝ 0.2 ，得x ≈ 6.7 ，故中位数应约为 70 ＋ 6.7 ＝ 76.7.(2) 样本平均值应是频率分布直方图的“ 重心” ，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．所以平均成绩为 45 × (0.004 × 10) ＋ 55 × (0.006 × 10) ＋ 65 × (0.02 × 10) ＋ 75 × (0.03 × 10) ＋ 85 × (0.024 × 10) ＋ 95 × (0.016 × 10) ＝ 76.2.频率分布直方图的数字特征(1) 众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；(2) 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；(3) 平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和．典型应用 3标准差、方差的计算及应用甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验质量，从中抽取 6件测量数据为：甲： 99 100 98 100 100 103乙： 99 100 102 99 100 100(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；(2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【解】 (1) 甲＝ × (99 ＋ 100 ＋ 98 ＋ 100 ＋ 100 ＋ 103) ＝ 100 ，乙＝ × (99 ＋ 100 ＋ 102 ＋ 99 ＋ 100 ＋ 100) ＝ 100 ，s ＝ × [(99 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋ (98 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋(100 － 100) 2 ＋ (103 － 100) 2 ] ＝，s ＝ × [(99 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ＋ (102 － 100) 2 ＋ (99 － 100) 2 ＋(100 － 100) 2 ＋ (100 － 100) 2 ] ＝ 1.(2) 由 (1) 知甲＝乙，比较它们的方差，因为 s ＞ s ，故乙机床加工零件的质量更稳定．用样本的标准差、方差估计总体的方法(1) 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差 ( 方差 ) 分析稳定情况．(2) 标准差、方差的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．(3) 因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．。
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运会”，学校举行了“迎亚运”跑步和登山比赛，每人
• 都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比
赛
• 的人数情况如下高表一：年级 高二年级 高三年级
跑步人数
b
c
登山人数
x
y
z
•答案：D
•3．(2010·上海高考)某社区对居民进行上海世博会知晓 •情况的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年 人和老年人分别有800人、1600人、1400人．若在老 年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应 该是________．
本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营
区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，
从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为
•
()
•A．26,16,8
B．25,17,8
•C．26,16,9
D．24,17,9
•答案：B
•4．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295， •为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样 本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
• 答案：80
•4. 某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶，酸奶、婴 幼
第九章第一节随机抽样
2020年7月9日星期四
•随机抽样
•1．理解随机抽样的必要性和重要性． •2．会利用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，
•了解分层抽样和系统抽样的方法．
•[理 要 点] •一、简单随机抽样 •1．简单随机抽样的概念
•设一个总体含有N个个体，从中逐个•不放 地抽取n 回
个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各 个个体被抽到的机会 •都相等，就把这种抽样方法叫做 简单随机抽样． •2．最常用的简单随机抽样方法有两种——•抽签 法和 • •随机数 法．
•答案：D
•3．上海某大学为服务于2010上海世博会，从报名的24 •名大三的学生中选6人组成志愿小组，请用抽签法和 •随机数法设计抽样方案．
•解：抽签法 •第一步：将24名志愿者编号，编号为1,2,3，…，24； •第二步：将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条 •上，并揉成团，制成号签； •第三步：将24个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅 •匀； •第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号 ； •第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员 ．
•随机数法 •第一步：将24名学生编号，编号为01,02,03，…，24 ； •第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方 向读数； •第三步：凡不在01～24中的数或已读过的数，都跳过 去不作记录，依次记录下得数； •第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小 组．
•若把本题中“24名学生”改为“1000名学生”仍选取6 人应该如何抽样？
组的2号学生留下来进行问卷调查，这里运用的方法是
()
•A．分层抽样法
B．抽签法
•C．随机数法
D．系统抽样法
•解析：由系统抽样方法的特点可知选D. •答案：D
•答案：C
•3．(2010·湖北高考)将参加夏令营的600名学生编号为：001,
•002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样
• 注意：系统抽样的四个步骤可简记为：编号—分段— 确定起始的个体号—抽取样本.
•[题组自测]
•1．某市有高中生30000人，其中女生4000人．为调查学生
•的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150
•的样本，则样本中女生的数量为
()
•A．30
B．25
•C．20
D．15
• 答案：C
•2．某学校在校学生2000人，为了迎接“2010年广州亚
•编号 •分段间隔k
•分段
•简单随机抽样 •l＋k
•l＋2k
•三、分层抽样 •1．分层抽样的概念
•在抽样时，将总体•分成互不交叉的层，然后 •按照一定 ••的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层 取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分
层抽样． •2．当总体是由•差异明显的几个部分组成时，往往选用分 层抽样的方法． •3．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是•均等 的．
•解：因为总体数较大，若选用抽签法制号签太麻烦，故 应选用随机数法． •第一步：先将1000名学生编号，可以编为0001,0002， …，1000. •第二步：在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第5 列的数2. •第三步：从选定的数开始向右读，依次可得0736,0751 ，……直到抽取6人满为止，就得到一个容量为6的样本 ．
•B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上， 每
•隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 •C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2
•人、14人、4人了解学校机构改革的意见
•解析：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的 间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体 有明显的层次；D是简单随机抽样．
的机会
各层抽样时采 总体由差异
分层 均等 抽样
将总体分成几层 ，分层进行抽取
用简单随机抽
明显的几部
样或系统抽样 分组成
•解析：简单随机抽样除具有A、B、C的三个特点外，还 是等可能抽样，即各个个体被抽到的机会相等，与先后 顺序无关．
•答案：D
•2．下面的抽样方法是简单随机抽样的是 ()
•A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个 •开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位 为2709的为三等奖
•[归纳领悟] • 简单随机抽样须满足的条件与特点： •1．抽取的个体数有限； •2．逐个抽取； •3．是不放回抽取； •4．是等可能抽取； •5．抽签法适于总体中个体数较少的情况，随机数法适用
•于总体中个体数较多的情况．
•[题组自测]
•1．一个班级有5个小组，每一个小组有10名学生，随机编
•号为1～10号，为了了解他们的学习情况，要求抽取每
•[究 疑 点]
• 三种抽样方法的共同点及联系是什么？ •提示：
类别 共同点 各自特点
相互联系 适用范围
简单随
从总体中逐个抽
总体中的个
机抽样 抽样过 取
体数较少
程中每 将总体均匀分成 在起始部分抽
系统 抽样
个个体
几部分，按事先 确定的规则在各
样时采用简单
总体中的个 体数较多
被抽取 部分抽取
随机抽样