平抛运动的推论、应用及拓展

平抛运动的推论、应用及拓展

在高中物理教材中，对于平抛运动问题的处理一般是利用运动的合成和分解的方法，但有一些问题按此法处理显得繁琐复杂，若用平抛运动的推论来分析，则显得简单明了，

拓展推论可以快速解决一系列运动问题。

推论1：任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形。 例1. 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为v 1和v 2，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90︒？

解析：设两小球抛出后经过时间t 它们速度之间的夹角为90︒，与竖直方向的夹角分别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图1所示，依图可得

c t g gt v tg v gt αβ==12

1，()

又 αβαβ

+=︒∴=902，ctg tg () 由()()12式得：gt v v gt t g

v v 12121=∴=， 拓展：运用速度矢量直角三角形求最值。

例2. 如图2所示，河水流速v m s 12=/，一只小机动船在静水中运动的速度 v m s 23=/，现在它从A 点开始渡河，要使渡河位移最短，船头应指向何处行驶？

解析：由于v v 12>，机动船头无论朝什么方向船都不可能垂直河岸过河，那么机动船头朝向何方，船渡河位移才能最小呢？如图2所示，船航行由船随水的直线运动和船在静水中的直线运动组成，故船的航速、水流速度和船在静水中的速度构成一个矢量三角形。显然当船的实际速度方向与以v 1的末端为圆心、以v 2大小为半径的圆相切时，此时θ角最大，位移最短。故有：

s i n θθ==∴=︒v v 2132

60， 所以船头与河岸夹角为60︒时渡河位移最小。

例3. 在足够大的真空中，存在水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m 的带电小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角θ=︒37。现将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出时的初速度大小为v 0，如图3所示。求小球在电场内运动过程中的最小速度为多少？

解析：小球的运动由小球在初速度方向上做匀速直线运动和在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动组成，依题设情景分析可知，小球的速度是先减小后增大，其速度矢量三角形如图4所示，其中θ=︒37，由图可知，当小球的速度方向垂直加速度方向时小球速度最小。故有sin min min θ==v v v v

035

，。

推论2：任意一段时间内两个分运动的位移与合运动的位移构成一个矢量直角三角形。

例4. 如图5所示，小球a 、b 分别以大小相等、方向相反的初速度从三角形斜面的顶点同时水平抛出，已知两斜面的倾角分别为θ1和θ2，求小球a 、b 落到斜面上所用的时间

对a 有：tg gt v t gt v a a a θ1200

1221==() 对b 有：tg gt v t gt v b b b θ2200

1222==()

对()()12两式得：

t t tg tg a b =θθ12

由结果可知：时间之比与初速度的大小无关，只与斜面的倾角有关。

例5. 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G ，求该星球的质量M 。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为x ，竖直位移为h ，如图7所示，构建位

x h L 2221+=()

()()()232222x h L +=

由()()12式解得h L

=33()

令星球上重力加速度为g '，由平抛运动的规律得h g t =

1242'() 由万有引力定律与牛顿第二定律得

G Mm R

mg 25='() 由()()()345式得M LR Gt

=2332

2。 拓展：运用位移矢量三角形判断向各个方向抛出物的位置。

例6. 如图9所示，由楼上某点以同样大小的速度v 0向各个方向把若干个小球同时抛出，若不计空气阻力，试分析在运动的任何时刻，在空中运动的所有小球都位于一个球面

解析：所有在空中的小球的运动都是由小球在初速度方向上做匀速直线运动和竖直方向上做自由落体运动组成，依题意对从不同方向抛出的小球构建位移矢量三角形，如图10所示。所以经t 秒后，各球由于自由落体都将下落h gt =12

2，但同时又在各自的v 0方向上运动了s v t =0，即它们各自实际位置在同一球面上，如图10所示，球心O 位置在抛出点A 下面12

2gt 处，球的半径R v t =0。

推论3：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的两倍。 平抛运动经过一段时间，其速度方向和位移方向是不相同的，如图11所示，由推论1、

推论2可得tg gt v tg gt v t

αθ==

2

2，。所以tg tg αθ=2。

例7. 如图12所示，从倾角为θ的足够长斜面上的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v 1，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v 2，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面夹角为α2，不计空气阻力，若v v 12>，则α1______α2（填空“>”、“＝”或“<”）。

解析：依题意据推论3有：

tg tg ()()αθθ121+=

tg tg ()()αθθ222+=

由()()12式得：tg tg ()()αθαθ12+=+

故：αα12=

由此题结论可得：类似例7情形，落到斜面的瞬时速度的偏向角与初速度大小无关。

例8. 如图13所示，在倾角为θ的斜面上A 点，以初速度v 0水平抛出一小球，小球落

解析：设小球落到B 点瞬时速度的偏向角为α，由推论3可知，tg tg αθ=2，故：