等比数列复习课件

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【跟踪训练 1】 (2014· 重庆)对任意等比数列{an}，下列说 法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9 成等比数列 B．a2，a3，a6 成等比数列 C．a2，a4，a8 成等比数列 D．a3，a6，a9 成等比数列
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a6 a9 解析：设等比数列的公比为 q，因为 ＝ ＝q3，即 a2 6＝ a3 a6 a3a9，所以 a3，a6，a9 成等比数列．
3
所以 q＝3. 所以该等比数列的通项公式 an＝2· 3n 1.
－
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一
等比数列的判断与证明
an＋an＋1 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1， a2＝2， an＋2＝ ， 2
n∈N*. (1)令 bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式．
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【思路点拨】考查确定一个数列为等比数列，会利用 数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比 数列的前 n 项和的公式化简求值．
a1q2＝4 所以 6 ， a1q ＝16
所以 q4＝4，q2＝2，a1＝2， 所以 a5＝a1q4＝2· 22＝8.
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5. 已知等比数列{an}中，a1＝2，a4＝54，则该等比数列 的通项公式 an＝________.
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54 解析：因为 a1＝2，a4＝54，所以公比 q ＝ ＝27. 2
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【跟踪训练 3】 (2014· 广东梅州二模)在由正数组成的等 比数列{an}中，若 a3a4a5＝8，则 log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝ ________.
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解析：因为数列为等比数列 a3a4a5＝a3 4＝8，所以 a4＝2. 所以 log2a1 ＋ log2a2 ＋ … ＋ log2a7 ＝ log2a1a7 ＋ log2a2a6 ＋ log2a3a5＋log2a4＝7log2a4＝7.
＝1＝a1，
所以 an＝2n 1(n∈N*)，所以{an}是等比数列．
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二
等比数列的基本量
【例 2 】(1)(2014· 广东清远一模 )在等比数列{an}(n ∈N*)
1 中，若 a1＝1，a4＝ ，则该数列的前 5 项和为( 8 13 A．2－( ) 2 15 C．2－( ) 2 14 B．2－( ) 2 16 D．2－( ) 2
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【跟踪训练 2】数列{an}中，前 n 项和 Sn＝2n－1，求证： 数列{an}是等比数列．
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证明：当 n＝1 时，a1＝S1＝21－1＝1. 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－1)－(2n 1－1)
－
＝2n－2n 1＝2n 1.
－ －
又当 n＝1 时，2
－
n－1
＝2
1－1
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【解答过程】 (1)证明：b1＝a2－a1＝1， an－1＋an 1 当 n≥2 时，bn＝an＋1－an＝ －an＝－ (an－an－1) 2 2 1 ＝－ bn－1， 2 1 所以{bn}是以 1 为首项，－ 为公比的等比数列． 2
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1 n－1 (2)由(1)知 bn＝an＋1－an＝(－2) ， 当 n≥2 时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 1 1 n－2 ＝1＋1＋(－2)＋…＋(－2) ， 1 n－1 1－－2 2 1 n－1 ＝1＋ 1 ＝1＋3[1－(－2) ] 1－－2 5 2 1 n－1 ＝3－3· (－2) ， 5 2 1 1－1 当 n＝1 时，3－3· (－2) ＝1＝a1， 5 2 1 n－ 1 所以 an＝3－3· (－2) (n∈N*)．
第 3讲
等比数列
1
2
1. 已知等比数列 1，a2,9，…则该等比数列的公比为 ( C ) A．3 或－3 C．3 1 B．3 或 3 1 D. 3
3
解析：由题意可得 9＝1×a4，所以 a2＝3， a2 故公比为 ＝3. 1
4
1 2. 在首项为 21，公比为 的等比数列中，最接近 1 的项 2 是( C ) B．第四项 D．第六项
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1 9 2 n－1 解析：由等比数列的通项公式可得 ＝ ×( ) ， 3 8 3 2 n－1 2 3 所以( ) ＝( ) ，解得 n＝4. 3 3
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4. (2014· 广东湛江二模)等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16， 则 a5＝________.
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解析：等比数列{an}中，因为 a3＝4，a7＝16，
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【温馨提示】等比数列的判定方法除了定义法，还可 利用通项公式法和前 n 项和公式法． (1)通项公式法： 若数列{an}通项公式可写成 an＝c· qn(c， q 均为不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k· (1 －qn)(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
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(2)在等比数列中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6， a2＋a3 6 则 q＝ ＝ ＝2， a1＋a2 3 又 a1＋a2＝a1＋2a1＝3a1＝3，解得 a1＝1， 所以 a5＝24＝16. 答案：(1)B (2)16
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【温馨提示】等比数列基本量的运算是等比数列中的 一类基本问题，数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可 以“知三求二”， 通过列方程(组)所求问题可迎刃而解． 解 决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵 活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化 运算的过程．
A．第三项 C．第五项
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21 解析：由等比数列的通项公式可得，an＝ n－1， 2 21 21 21 21 所以 a3＝ ，a4＝ ，a5＝ ≈1.31，a6＝ ≈0.66， 4 8 16 32 所以 a5 与 1 最接近．
6
9 1 3. 在等比数列{an}中，已知首项为 ，末项为 ，公比为 8 3 2 ，则此等比数列的项数是( B ) 3 A．3 C．5 B．4 D．6
)
(2)(2014· 广东肇庆一模)已知等比数列{an}满足 a1 ＋a2 ＝ 3，a2＋a3＝6，则 a5＝__________.
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【解答过程】(1)由等比数列的通项公式可知， a4 1 q＝ ＝ ， a1 8
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1 所以 q＝ . 2 由等比数列的求和公式可得， 1 1 － 5 a11－q 32 1 S5＝ ＝ ＝2－ 4. 1 2 1－q 1－ 2