最简三角方程
6.5(1)(2)(3)最简三角方程
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x
4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2
高三数学-高考复习讲义-反三角函数与最简三角方程讲义资料(Word版)
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中最常见的一类方程，它包括一些最简三角方程，其中包含圆形、正弦、余弦和正切函数。
本文就是要介绍最简三角方程，它可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
一、最简三角方程最简三角方程是指一类特殊的方程，它们都是用圆形、正弦、余弦和正切函数组成的。
1）圆形函数圆形函数可以用来描述圆的参数，包括半径、x轴坐标和y轴坐标等参数。
其最终形式可以表示为：x2 + y2 = a2其中a为圆的半径，(x, y)为圆上的点的坐标。
2）正弦函数正弦函数用来描述一个三角形的角度和边长，其最终形式如下： cosx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
3）余弦函数余弦函数和正弦函数对比，最终形式如下：sinx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
4）正切函数正切函数可以用来表示三角形中角度与斜边长度之间的关系，最终形式如下：tanx = a/b其中x为三角形的夹角，a和b分别为夹角的两边长度。
二、求解最简三角方程的方法对三角形的角度与边长之间的关系用圆形、正弦、余弦和正切函数表示出来后，要求出它们的解需要用到几个方法。
1）反三角函数方法这种方法根据三角形方程已知的边长关系，解出等式左边的反三角函数，从而解决三角形的角度问题。
2）相似三角形的方法如果给定两个相似的三角形，则可以借助其中一个的边长关系求出另一个三角形的边长关系，从而求出它们的角度。
3）勾股定理的方法如果给定三角形的两条直角边，则可以用勾股定理求出其第三条边，从而解出三角形的角度。
三、最简三角方程的应用最简三角方程有着广泛的应用，可以用来解决一些有关三角形物理参数的问题。
1）求解三角形的角度由最简三角方程可以很容易地求出三角形的角度，从而求出它们的边长关系。
2）用于测量最简三角方程也可以用来处理测量中的一些问题，比如利用勾股定理等方法求出一个夹角的弧长，从而求出它的面积。
3）用于图像处理由于最简三角方程可以简单地求出三角形的边长，所以在图像处理任务中也可以使用它们来处理图像的一些参数，比如求出图像中三角形的面积，以及某一点和其他点之间的角度等。
反三角函数及最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
最简三角方程
最简三角方程三角方程是数学中重要的一种方程，它在日常生活中也有着广泛的应用。
最简三角方程是指通过三角函数表示的三角方程，它以角给定的情况下，用来求解相应的边长及角度大小。
本文将详细讨论最简三角方程，以及它在日常生活中的应用。
什么是最简三角方程最简三角方程是一种使用三角函数来求解三角形的边长和角度的方程。
它的原理是，对于一个三角形的两个角，可以求出其中一个角的正弦、余弦和正切函数值，然后使用最简三角方程，将这些函数值代入方程式进行计算，即可求出相应的边长和另一个角的值。
最简三角方程是：a=sinA*sinB/sin(A+B)b=cosA*cosB/sin(A+B)c=1/sin(A+B)式中A、B表示已给定的两个角，a、b、c分别为对应边的长度。
最简三角方程的应用最简三角方程在日常生活中有着广泛的应用，如：1）在渔民的航海活动中，需要经常使用最简三角方程来求算不同的大海位置，以便及时安全的到达目的地。
2）在调查动物原产地时，也会用到最简三角方程，根据捕获动物所在位置和动物发出叫声的方向，计算出动物原产地的方位。
3）在解决日常及工作中的一些复杂问题时，有时也会使用最简三角方程。
特别是与地图相关的问题，比如求解两个地点之间的距离，可以通过最简三角方程来求解。
4）在建筑工程中，建筑物的角度和大小一般都是由最简三角方程来推算出来的。
总结最简三角方程是一种重要的数学方程，它用来求解已给定的两个角的边长及另一个角的大小。
它的原理是，通过三角函数的值进行推算，最终求出三角形的边长及角度大小。
在实际生活中，最简三角方程还有着广泛的应用，如航海事业、捕获动物等。
6.5最三角方程(1)教案
6.5 最简三角方程（1）教案教学目的：1、掌握最简三角方程的求解方法，理解三角方程解集的等价性。
2、 体会由特殊到一般的推理方法，会数形结合处理问题。
3、培养学生的创新思维能力。
教学重点：最简三角方程的解集；教学难点：三角方程解集的等价性。
教学过程：（一）、引入问题1：已知角求三角函数值其答案是唯一的。
反之，已知三角函数值求角其答案如何？问题2：已知下列三角函数值，求角；（1）已知2sin ,522x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦且，求x 解：因为在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 所以，2arcsin5x = （2）已知[]2sin ,0,25x x π=∈且 解：因为2sin 05x =>，所以x 是第一或第二象限角 所以，2arcsin 55x x π==-或 问题3：如果2sin ,5x x R =∈，那么x =？ （二）、新课一、三角方程的定义1．含有未知的三角函数的方程，叫做三角方程。
如上列各方程均是三角方程。
把满足三角方程的所有x 的集合，叫做三角方程的解集。
2．最简三角方程：在三角方程中， 形如sin ,cos ,tan x a x a x a ===的方程，叫做最简三角方程。
二、最简三角方程的解集例1．（1）求方程1sin 2x =的解集。
解法一：先求它在一个周期内的解，再由它的周期，写出通解。
因为1sin 2x =在[]0,2π内有两个解125,66x x ππ==，所以方程1sin 2x =的解集为 5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或 解法二：从单位圆上可以看出正弦值为12的角的终边位于 第一、二象限，且关于y 轴对称，满足条件的一个锐角为6π， 所以，方程1sin 2x =的解集为5|22,66x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或。
小结：列出这个方程的解为：,,,2,3,4,5,666666πππππππππππ-+-+- 所以这个三角方程的解集可以写成|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭。
最简三角方程
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上 是关于A的方程。
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例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程 叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
Байду номын сангаас
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活 像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的 亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这 个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意 朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着 壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的 霸蛮屁股中，突 然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主 的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者 神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射 向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有 复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来 瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的 舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短 小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙
最简反三角方程
最简反三角方程最简反三角方程（InverseTrigonometricEquations）是数学中一类重要的不定方程，可用来研究周期性函数的变化。
它定义为求三角函数的反函数，主要计算把一定的三角函数值求出其反函数的角度值。
最简反三角方程的基本概念与定义最简反三角方程是一类重要的不定方程，它主要是指求解那些包含有三角函数y=sinx或y=cosx的方程，它是根据一定的三角函数值求出其反函数的角度值的方程。
比如，最简反三角方程求解sin2x=1/2，解之，将2x=arcsin1/2，即x=arcsin1/4，可得x=π/6，故解为x=π/6+2nπ（n∈Z）。
最简反三角方程的求解方法一般情况下，求解最简反三角方程可以采取以下几种方法：（1）定义域法：即利用最简反三角函数的定义域，可将最简反三角方程分成多个离散子域，然后来求解每个子域中的方程。
（2）逐步解法：首先以y=f(x)表示三角函数，以f(x)-y=0表示三角方程，利用求值定理和逐步法，可从已知的结果推出未知的结果。
（3）图解法：将三角函数的值转换成对应的弧度值，求出它们的函数图像，并将其与x轴作比较，由图像的交点可求出解。
最简反三角方程的数学意义最简反三角方程主要用来研究周期性函数的变化，它的出现使我们可以更加有效的研究周期性函数的变化情况，这对于数学的研究是十分重要的。
此外，最简反三角方程也为我们解决实际问题提供了有效的解法，比如在物理学，电学或者机械学中，最简反三角方程可帮助我们更好的进行数值计算，以达到精确的目的。
最简反三角方程的应用最简反三角方程被广泛应用于物理学、电学或者机械学中，比如在电力电子技术中，它可以用来分析电机运行参数，设计变频器、控制变压器等；用于机械制造技术中，可以用来设计和分析机械设备的某些参数，如计算出螺旋锥和滚针轴承的倾斜角；在建筑业中，用来求解结构构件构造的参数，如梁或者柱的平面倾斜角，及所处位置的绝对角度等。
6.5最简三角方程
6.5最简三角方程形如sinx=a ,cosx=a ,tanx=a 和cotx=a 的三角方程，称为最简三角方程形如sin （x ωϕ+）=a , cos （x ωϕ+）=a ,tan （x ωϕ+）=a （0ω≠）的方程求解集 sinx=a 的解集 1）1a >时，解集是∅ 2）sinx=1的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3）sinx=1-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭4）1a <的解集为{}(){}2arcsin ,21arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈ 或者（1）当1>a 时：解集是 无解（2）当1=a 时：解集是 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π （3）当1<a 时：解集是{}{}Z k a k x x Z k a k x x ∈-+=∈+=,arcsin 2|,arcsin 2|πππ解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =sin 在区间]2,2[ππ-上有一个解=1x a arcsin ，在]23,2[ππ上有另一个解a x arcsin 2-=π 即 a x =sin 的解集为：},arcsin 2/{z k a k x x ∈+=π或}arcsin )12(/{a k x x -+=π例1 求方程1sin 2x =的解集cosx=a 的解集1）1a >时，解集是∅2）cosx=1的解集为{}2,x x k k Z π=∈3）cosx=1-的解集为(){}21,x x k k Z π=+∈ 4）1a <的解集为{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈ 或者(1)当1>a 时：解集是无解 (2)当1=a 时：解集是{}Z k k x x ∈=,2|π(3)当1<a 时：解集是{}Z k k x x ∈+=,)12(|π解题的一般步骤：当1<a 时求出方程a x =cos 在区间],0[π上有一个解=1x a arccos ，在]0,[π-上有另一个解a x arccos 2-=，即 a x =cos 的解集为： },arccos 2/{z k a k x x ∈±=π例2 求方程1cos 2x =-的解集a x =tan 的解集对于任意给定的a ，a x =tan 在区间)2,2(ππ-内有唯一解：a x arctan = 由于x y tan =的周期是π，所以方程a x =tan 的解集为：},arctan /{z k a k x x ∈+=πa x =cot 的解集对于任意给定的a ，a x =cot 在区间),0(π内有唯一解：a arc x cot = 由于x y cot =的周期是π，所以cotx=a 的解集为{}arccot ,x x k a k Z π=+∈例3 求方程tan x =的解集例4求适合方程cot 1,360360x x ︒︒=-<<且的解例5 求下列方程的解：()12cos310x +=()2tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭()32sin 36x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭注：把()x ωϕ+看成一个角，代相应的解集公式例6 解方程（1） sin 1x x = （2）()sin 2sin 60x x ︒=-【当堂训练】 1 求下列方程的解集（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭ （2）tan(50)1x += （33342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （531,[0,2]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2 解下列三角方程 （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-3 解下列三角方程（1）22sin 5cos 10x x -+= （2）3sin cos 102xx ++=4 解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=5 解下列三角方程（1）3sin 2cos 0x x -= （2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --= （3）26sin 4sin 21x x -=-6、解方程（1）21(sin cos )2x x +=（2sin 0,[0,2]x x π=∈ （3）223sin 4sin cos 5cos 2x x x x -+=7．解方程：tan tan 2cot .44x x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．试判断关于x 的方程2sin cos 0x x m ++=是否有实数解，并说明理由。
5.1.10最简三角方程的解法
x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的 三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典 型 例 题 解 析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
反三角函数、最简三角方程
则 注意（ ） 注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解 若 a > 1， cos x = a 无解 则
（2）灵活使用结论（一） ）灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二 结论 二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于 的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角 ； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1． 定义 2． 图像 3． 性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值 域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4． 恒等式 5． 符号的意义 6． 特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2
第35讲-简单的三角方程-基础
简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程． （2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。
（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。
（2）解集=+x k arctana πk Z ∈． （二）简单三角方程 类型1：sin()A x a ωϕ+=； 类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集： （1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）tan(50)1x +=； （3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意； 取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=； 取2k =时，4336x π=或4936x π=； 取3k =时，6736x π=； 当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程： （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-． 所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈． 因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=； （2）3sincos 102xx ++=． 解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=． 解得1cos cos 32x x ==-或（无解）． 因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）． 因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=． 所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈． 由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈． 所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=； （3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈． 所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ， 得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =． 所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或． （3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+． 即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或． 所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或． 课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________． （2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（ ）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（ ）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________． （2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________． （3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（ ） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（ ）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（ ）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（ ）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（ ）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或 （2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程； 对于无范围的要注意周期讨论K .。
高一数学最简三角方程(教师版)
7、方程 在区间 上解得个数是（ ）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、 为三角形的一个内角，且 ，则 为 （ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程 的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程 的锐角x的集合。
11、解方程（1） （2）
12、已知 ，问是否存在 使得等式 成立？为什么？
13、
解： 或 ，则 或 ， 。
点评： ，则 或 （ ）；
，则 （ ）；
，则 或 （ ）。
七、其它类型方程：
14、
解： ，则 ，而 ，则 ，则 （ ）。
例2：当为何值时，方程 有实数解？
解： ，则 时方程有解，则 。
例3：若方程 有实数解，求实数 的取值范围。
解： ，令 ，则 ， ，则 。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解： 得 ，则 ， 。
10、
解： ，则 ， 。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1： 得 ，则 ， 。
解2：同除以 得 ，则 ， 。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以 得
得 或 ，则 或 ， 。
解2： ，则 ，
则 或 ，得 或 ，
则 或 ， 。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解： ，得2x－ ＝2kπ＋ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
5、
解： ，得x－ ＝kπ－ ，则x＝kπ＋ ，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解： ，得 ，解得 或 ，
则 或 ， 。
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授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) 1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或
xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz} 也可以写成以下形式： {x|x=k , kz}.
k
一般地 ，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。 解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。 在（0，）上只有和5是原方程的解， 所以方程sinx=1/2的一切解是:
竟是王爷の诸人，在家从父，出嫁从夫，况且她又是息事宁人の壹各人，从不愿处在刀锋浪尖上，无论是荣宠还是冷遇。她并不怕事情，但假如事 情能够不发生，不是更好吗？此刻の水清没有办法，唯有整各宴席期间都躲避在更衣处，只要不被人看到她那壹身の菜汤，就不算失礼行为咯。反 正那么多人，少她壹各侧福晋谁也不会注意到。只有她们那壹桌の人知道少咯水清，但是各位嫂子弟妹们都知道事情の原委，相信不会去告发她吧。 吟雪开始还因为被李侧福晋含砂射影の壹番话而委屈不已，但是当她看到水清因为她の原因，害得整晚都躲在更衣处，她万分愧疚，觉得太对不起 仆役咯：怎么就没有注意到三小格突然伸出来の手呢？当时她要是躲那小魔王远壹些该多好啊。“仆役，奴婢去把衣服给您洗壹洗吧，要不派人回 府再去取壹套衣裳？”“咱们在这宫里初来乍到の，你认识谁能帮着咱们清洗衣裳？秦公公陪着爷呢，哪儿有人现在回得咯府里？”“可是，您这 么壹晚上都得躲在这里，也太委屈您咯。这全是奴婢害咯您啊！”“这也不怪你，你就是防咯今天也防不咯以后，该来の总会来。”水清当然知道 这各结果是有预谋の，只是不知道，是弘时小格故意の，还是淑清姐姐成心の。躲在更衣处の这壹各时辰里，吟雪不停地悄悄过去打探宴席の进展 情况。终于在第四次前去の时候，打探来咯好消息，宴席马上就要结束咯！于是主仆两各人出咯更衣处。果然不多时，就按照她们の设想の那样， 等到人头攒动の时候，主仆两人不动声色地汇入熙熙攘攘の人群之中，泰然自若地向宫外走去，仿佛她们也是刚刚从乾清宫の宴席上退下来似の。 室外光线黑暗，又穿上咯披风，没有人能注意到她の狼狈。王爷是单独骑马而来，宴席之后也没有和排字琦壹同坐马车回府。今天の壹切都如他和 十三小格预计の壹样，皇上对他们俩人敬献の寿礼欣喜不已，甚至在曲子演奏完毕之后，还意犹未尽地说起咯他们兄弟两人小时候の趣事。当前那 么多の小皇子、小皇孙们，皇上の这番举动弄得他们俩各大男人都很是不好意思。不过，见他们の皇阿玛这么开心，眨眼之间兄弟俩又忘记咯这些 尴尬，而是发自内心地真诚祝愿他们の皇阿玛在能够再过七十大寿、八十大寿、九十大寿，长命百岁。第壹卷 第339章 遗忘这些日子以来，王爷 和十三小格两人壹直刻苦而又专心地研习演奏《祝寿曲》，壹切都是为咯今晚の完美表现，因此他们の神经壹直紧紧地绷着，精神更是高度紧张。 直待今晚演奏完毕，这心里才算是终于放下壹块大石头。对此，十三小格有说不出来の轻松，而王爷先是轻松，继而却又沉重起来。重新拾起箫曲， 虽然看似简单轻松，却令他不禁想起咯三年前の那些月夜，他在年府の花园墙外，与玉盈姑娘以琴会友の日子。虽然自从两年前の塞外行围之后， 他们再也没有见过面，但是他知道，玉盈壹直都没有嫁人。他更知道，壹各十八岁の大姑娘壹直没有嫁人意味着啥啊。两年来，他之所以没有再见 过玉盈，既是因为无法解决未来娶玉盈入府后她の身份问题，更是被她那绝决の“谁也不嫁”而深深地刺痛。被深深刺痛の结果就是他要努力地将 她遗忘。可是遗忘，又怎么可能是想遗忘就能遗忘？随着时间の推移，他确实开始遗忘，只是他遗忘の，不是玉盈，而是刺痛。时间是医治壹切创 伤の良药，刺痛壹点点地消失，消失，玉盈壹点点地复活，复活。直到今天，随着《祝寿曲》の圆满完成，玉盈彻彻底底地战胜咯刺痛，在他の心 中再次光辉、明亮、动人起来。这样の结果，完全要拜《祝寿曲》所赐。正是因为这些日子勤奋研习箫曲，才又勾起咯他对往事の回忆。三年来， 他几乎不再触摸竹箫，假如不是这次为皇阿玛祝寿の话，可能他再也不会吹奏箫曲，除非抱得玉盈美人归の那壹天，他会天天只为她壹人演奏，只 演奏那壹曲《彩云追月》。现在，为咯他の皇阿玛，王爷又重新拿起咯竹箫，可是那各当年令他放下竹箫の人，那各为他苦守壹生の人儿，此刻再 次深深地拨动着他の心弦。他有啥啊理由责怪玉盈，连他自己都找不到解决问题の法子！却要将责任全都推到她壹各人の头上，深陷愁苦与自责情 绪之中の他，在宫宴结束以后，抑制不住内心の苦��
k
课堂练习：
(1). sinx=
3 2
, x 解集为：{ } x { arcsin(3/4),arcsin(3/4)} {x|x=k kz}
(2). sinx=3/4, (3). sin2x = 1;
(4). sinx=.
以上问题中的四个等式，实质上
是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程
叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的， 这三种形式的方程叫做最简三角方程。
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2）， 所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
到屋里来，他几乎要惊叫失声：原来给额娘请安の居然是可望而不可及の小四嫂！好些次，他在永和宫向额娘请安の时候，都盼望着能再次 见到她。可是好些次，他都是失望而归。每壹次，雅思琦都是在说：回额娘，水清妹妹生病咯。好些次，他都想问壹问四嫂：小四嫂为啥啊 又生病咯？她是那么の娇弱，他担心，即使壹阵风，都会把她吹倒。可是，无论哪壹次，他都没有问出过口，即使对八小格，甚至是和自己 最要好の十小格，他都守口如瓶，他又怎么可能在四嫂面前露出壹丝破绽？他不担心自己会如何，他担心の是她，会因为他の鲁莽而遭受无 端の怀疑。哪壹各府里の后院都不是干净の，四哥の王府虽然府规最严，但是这种有辱门风の事情，会给她带来啥啊样の后果，他当然是最 清楚。她是他の女神，是他の仙子，他不能因为任何壹各小小の闪失而给她带来毁灭性の后果。他只要她好好地活着，他只需要自己能够远 远地注视，默默地祝福，足够咯。第壹卷 第225章 解围在永和宫再也不曾遇到の小四嫂，居然在行宫遇到咯，而且还要共处五、六各月の 时光，真是有心栽花花不发，无心插柳柳成荫。二十三小格为久别重逢而激动万分，为朝夕相见而欣喜若狂，只是，叔嫂之别要求他必须强 压下这份狂喜，小心地呵护住自己の这份感情。水清认错咯塔娜，他只是莞尔壹笑，可是小四嫂被额娘奚落，他却是焦急万分、心痛至极， 但是又不敢表现出来，于是急中生智の二十三小格脱口而出：“额娘，怎么晚膳还不送来，这壹天又累又乏，连晚膳都不能吃到，这帮奴才 们是怎么当差の。”他也从王爷那里学会咯这壹招：声东击西、围魏救赵。他要迅速地转移话题，他要救水清于危难水火。德妃被二十三小 格壹打岔，果然忘记咯对水清の穷追猛打。老二十三是她の心肝宝贝，她の心思全都放在咯小儿子の身上，其它の壹切全熟视无睹：“你怎 么又饿咯？下午の茶点你没有用吗？”“就那么壹点儿，哪儿够儿子塞牙缝儿の？勉强充充饥而已。”“唉，你呀，你怎么不早说，额娘没 有胃口，根本没有吃啥啊，就让奴才们端走咯。真是の，唉！”德妃壹脸追悔莫及の表情。二十三小格本来是为咯给水清解围，此时见额娘 这么着急上火、心急如焚の样子，非常不忍心让额娘为他操心费神，赶快说道：“没事儿，儿子就是随口提咯这么壹句，不碍事儿の。”二 十三小格话音刚落，就听外面传来零乱の脚步声，秋婵赶快出去查看，才走出房门，就只见是膳房の小太监来送晚膳。二十三小格壹见晚膳， 眉头皱成咯壹各黑疙瘩。他根本就不饿，不但不饿，因为壹天の劳顿，他也是壹点儿胃口都没有，可是刚刚他还跟额娘吵着要晚膳来着。德 妃壹见晚膳来咯，高兴得立即
总结：
方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
k
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？ 准备下节课回答； 2. P100.1.（1）.（2）2.（1）.3.（1）
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