高等数学：7-6方向导数与梯度
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2. 设
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (1999考研)
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
dz dx
x f f xf Fy Fx x f 1 Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
(Fy x f Fz 0)
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解法2 微分法.
x
为 l 上的另一点且 P’ U ( p). （如图）
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| PP | (x)2 (y)2 ,
且 z f ( x x, y y) f ( x, y) z
考虑
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
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gradf
(
x,
Hale Waihona Puke Baidu
y)
|
cos
,
其中
( gradf
(x,
r
y)r, e
当 cos( gradf ( x, y), e )
在l上任取一点P( x, y),
| PP | x2 y2 ,
z lim l z 1 l 0
l z f (P) f (P)
而 z ，z 不存在 x y
x2 y2
结论：函数z x2 y2在点(0, 0)处沿任意方向的方向导数
存在且都等于1,而偏导数 z , z 不存在 x y 上页 下页 返回
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二 、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数z f ( x, y)在点
y
l
• P
P( x, y) 的某一邻域 U(P)
y
内有定义，自点 P 引射线 l．
••
x
P
设 x 轴正向到射线 l 的转角
为 ,并设 P’( x x, y y) o
4
z e2 y 1; z 2xe2 y 2,
x (1,0)
(1,0)
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z cos(p ) 2sin( p ) 2.
l
4
42
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推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
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重点:如何求方向导数
1. 根据定义
例：函数z x2 y2在点(0, 0)处沿任意方向的方向导数
解: 任取从原点P(0, 0)出发的射线l，
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
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四、梯度的概念
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一都阶可连定续 出偏 一导 个数 向，量则对f 于ir 每一f 点rj ，P这( x向, y量) 称D为，函数 x y
上页 下页 返返回回
第六节 方向导数与梯度
一 问题的提出 二 方向导数的定义 三 方向导数的计算 四 梯度的概念
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一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
2. 通过偏导数
f f cos f cos
l x
y
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
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例 2 求函数z xe2 y在点P(1,0)处沿从点
P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.
解
故 这里x轴方到向方lr向即lr为的转P角Q
{1,1} p .
为
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
其中 (x)2 (y)2 (z)2
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设方向 L 的方向角为 , ,
x cos, y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
z x f (x y), F(x, y, z) 0
对各方程两边分别求微分:
化简得
消去d y 可得 dz . dx
x f dy F2 dy
上页 下页 返回
在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数.
z
f
(
x,
y)在点P( x, gradf ( x, y
)y)的梯f度ir ， 记f为rj
.
x y
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设er
cos
r
i
sin
r
j 是方向
r l
上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
l x
y
x y
gradf
(
x,
y)
r e
|
存在，且有 f f cos f sin ，
l x
y
其中 为 x 轴到方向L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o()
x y
两边同除以 , 得到
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f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
定义 函数的增量f ( x x, y y) f ( x, y)与
PP‘ 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P‘ 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在，
则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数．
记为f lim f ( x x, y y) f ( x, y).
l 0
依y 轴定正义向，er函2 数{f0(,1x},的y)方在向点导P数沿分着别x 轴为正f x向, f；ery1 {1,0}、
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
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三、方向导数的计算
定理 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都
是由方程
和
所确定的函数 , 求 (1999考研)
解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得
(1 y)
dz dx
x f f xf Fy Fx x f 1 Fy Fz
( f x f )Fy x f Fx Fy x f Fz
(Fy x f Fz 0)
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解法2 微分法.
x
为 l 上的另一点且 P’ U ( p). （如图）
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| PP | (x)2 (y)2 ,
且 z f ( x x, y y) f ( x, y) z
考虑
当 P 沿着 l 趋于 P 时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
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gradf
(
x,
Hale Waihona Puke Baidu
y)
|
cos
,
其中
( gradf
(x,
r
y)r, e
当 cos( gradf ( x, y), e )
在l上任取一点P( x, y),
| PP | x2 y2 ,
z lim l z 1 l 0
l z f (P) f (P)
而 z ，z 不存在 x y
x2 y2
结论：函数z x2 y2在点(0, 0)处沿任意方向的方向导数
存在且都等于1,而偏导数 z , z 不存在 x y 上页 下页 返回
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二 、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数z f ( x, y)在点
y
l
• P
P( x, y) 的某一邻域 U(P)
y
内有定义，自点 P 引射线 l．
••
x
P
设 x 轴正向到射线 l 的转角
为 ,并设 P’( x x, y y) o
4
z e2 y 1; z 2xe2 y 2,
x (1,0)
(1,0)
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z cos(p ) 2sin( p ) 2.
l
4
42
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推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0
f cos f sin .
x
y
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重点:如何求方向导数
1. 根据定义
例：函数z x2 y2在点(0, 0)处沿任意方向的方向导数
解: 任取从原点P(0, 0)出发的射线l，
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
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四、梯度的概念
问题 :函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?
定义 设函数z f ( x, y)在平面区域 D 内具有
一都阶可连定续 出偏 一导 个数 向，量则对f 于ir 每一f 点rj ，P这( x向, y量) 称D为，函数 x y
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第六节 方向导数与梯度
一 问题的提出 二 方向导数的定义 三 方向导数的计算 四 梯度的概念
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一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标 原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定 板上任意一点处的温度与该点到原点的距离 成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂 蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的 地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
2. 通过偏导数
f f cos f cos
l x
y
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
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例 2 求函数z xe2 y在点P(1,0)处沿从点
P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数.
解
故 这里x轴方到向方lr向即lr为的转P角Q
{1,1} p .
为
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
其中 (x)2 (y)2 (z)2
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设方向 L 的方向角为 , ,
x cos, y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
z x f (x y), F(x, y, z) 0
对各方程两边分别求微分:
化简得
消去d y 可得 dz . dx
x f dy F2 dy
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在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数.
z
f
(
x,
y)在点P( x, gradf ( x, y
)y)的梯f度ir ， 记f为rj
.
x y
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设er
cos
r
i
sin
r
j 是方向
r l
上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f sin {f , f }{cos ,sin }
l x
y
x y
gradf
(
x,
y)
r e
|
存在，且有 f f cos f sin ，
l x
y
其中 为 x 轴到方向L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o()
x y
两边同除以 , 得到
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f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )
定义 函数的增量f ( x x, y y) f ( x, y)与
PP‘ 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P‘ 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在，
则称这极限为函数在点 P 沿方向 l 的方向导数．
记为f lim f ( x x, y y) f ( x, y).
l 0
依y 轴定正义向，er函2 数{f0(,1x},的y)方在向点导P数沿分着别x 轴为正f x向, f；ery1 {1,0}、
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
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三、方向导数的计算
定理 如果函数z f ( x, y)在点P( x, y)是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都