从集合的观点理解充分条件和必要条

从集合的观点理解充分条件和必要条件

兴义五中韦长影 562400

充分条件和必要条件是每年高考必考的内容，让学生学会用集合来理解此类题目，使问题变得简单，通俗易懂，这是我们在教学中发现的诀窍，下面就这个问题再进行一下探讨。

命题“若p则q”为真，记为“p q”，这时p是q的充分条件,q是p的必要条件。由前面关于集合A,B的定义知,p q,当且仅当A B,这就是说,A B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。为使p,q有意义,一般我们仅讨论A,B非空的情况.

p是q的充分条件,q是p的必要条件,即若对象x满足p,则x也一定满足q,

这等价于x∈A时，必有x∈B，即A B，但是可能存在对象y∈B但y A，即y满足q却不满足p。

若A=B时，即A B且B A，就是说，满足p的对象满足q，反之，满足q的对象满足p。因此p q，当且仅当A＝B，这时p是q的充要条件。换句话说，A，B的描述表示虽然不同，但若它们的元素完全相同，则p与q等价（图1）。

若A∩B≠但A∩B≠A且A∩B≠B，即满足p的对象不完全满足q；反之，满足q的对象也不完全满足p，就是说p，q不能互相完全推出，这时p，q是既不充分也不必要条件（图2）。例：“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要条件。

(3) (4) (5)

若A∩B= ，即满足p的对象都不满足q，反之，满足q的对象也都不满足p,就是说p,q不能互相推出，这时p是q的既不充分也不必要条件（图3）。

也可表示为：①，相当于，即或

即：要使成立，只要就足够了——有它就行．

②，相当于，即或

即：为使成立，必须要使——缺它不行．

等价于。

③，相当于，即

即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物．

例1请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空：

(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的.

(2)p∶x＞5是q∶x＞3的.

(3)p∶0＜x＜5是q∶｜x-2｜＜3的.

(4)p∶x≤2是q∶x＜2的.

解：(1)p=｛x｜(x-1)(x+2)=0｝ q=｛x｜x=-2｝，即q p，∴填B.

(2)p=｛x｜x＞5｝q=｛x｜x＞3｝，∴填A.

(3)p=｛x｜0

(4)p=｛x｜x≤2｝q=｛x｜x＜2＝，∴填B.

例2判断下列各题中条件是结论的什么条件：

(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；

(2)条件p∶A B，结论q∶A∪B=B.

错误分析：此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是A B，还是B A均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点.如(1)题中，往往根据二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a=0时原不等式变为1＞0这一绝对不等式的情况.在(2)题中同样容易忽略A=B这一特殊情况.

解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4

∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故B A.

而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴A B.

故A为B的必要不充分条件.

(2)∵A B A∪B=B，

而当A=B时，A∪B=B，即q p，

练习：探讨下列生活中名言名句的充要关系.

（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竟成

（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。

（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏

（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器

考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中的推理判断密切相关，再让学生看下面的例题，让学生淘汰其中的充要条件，并踊跃发表自己的观点。当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”。

评析对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：p q 时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.