学案3函数的定义域
函数的图像和性质
学案3 函数的图像和性质一．基础自测1．（2010山东4）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3解析：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,可求得b=-1,f(-1)=-f(1)=-2(2+2+b)=-3 答案：A 2．(2010天津南开区调研)已知ab ＝1，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：∵ab ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<b <1，a x为增函数，－log b x 为增函数0<a <1，b >1，a x为减函数，－log b x 为减函数. 答案：B3. 不等式1－x 2<x ＋a 在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－1，2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：设y =1－x 2，y =x +a ，在同一直角坐标系内作出y =1－x 2的图象，再将函数y =x 的图象沿y 轴方向上、下平行移动，如右图所示，考查在x ∈[-1,1]上，使不等式1－x 2<x +a 恒成立． 答案：D4．(2010·山东烟台调研)已知函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时， f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点即为图象的交点如图，由图象可知有6个交点． 答案：C5.(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22＋2a ＝4a ，∴a＝2，故选C.答案：C6．2010天津10）设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则()f x的值域是 A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B ．[0,)+∞ C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦解析:本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
学案3：4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
4.2.3对数函数的性质与图像(一)【课标要求】课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点.教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质.教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.【知识导学】知识点一对数函数的概念一般地，函数y＝log a x称为，其中是常数，>0且≠1.知识点二对数函数的图像与性质【新知拓展】1．对对数函数定义的理解同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝log a x(a>0且a≠1)才是．(1)观察图像，注意变化规律①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像向右越靠近x轴．②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．(2)对于对数函数图像性质的助记口诀对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．2．函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝log x3都不是对数函数．()(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．()(3)当0<a<1时，若x>1，则y＝log a x的函数值都大于零．()2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝(a2－4a＋4)log a x是对数函数，则a＝________.(2)对数函数f(x)＝log a x的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.(3)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．【题型探究】题型一对数函数的概念例1已知下列函数：【规律方法】判断函数是对数函数的条件判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.【跟踪训练1】若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A．y＝log2xB．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4xD．不确定题型二与对数函数有关的函数定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y＝1log2(x－1)；(2)y＝lg (x－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．【规律方法】求函数的定义域应考虑的几种情况求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①1f(x)中f(x)≠0；②2nf(x)(n∈N*)中f(x)≥0；③log a f(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④log f(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．【跟踪训练2】求下列函数的定义域：(1)y＝lg x＋lg (5－3x)；(2)y＝1log0.5(4x－3).题型三对数函数的图像与性质例3(1)如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为()A．a>b>1>d>c>0B．b>a>1>c>d>0C．a>b>1>c>d>0D．b>a>1>d>c>0(2)函数y＝log a|x|＋1(0<a<1)的图像大致为()【规律方法】根据对数函数的图像判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．(1)已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图像可能是( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点________．题型四 对数值的大小比较例4 比较下列各组中两个值的大小：(1)3log 45,2log 23；(2)log 30.2，log 40.2；(3)log 3π，log π3；(4)log 0.20.1,0.20.1.【规律方法】比较对数值大小的常用方法(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．(2)比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图像的位置关系比较大小．(3)比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量(如1,0，－1等)．(4)比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可．(5)比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件．例如：比较log a (b 2－b ＋1)与log a 12的大小时，要注意隐含条件：b 2－b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b －122＋34≥34>12.比较下列各组对数值的大小：题型五 解简单的对数不等式例5 解不等式：(1)log 2(2x ＋3)≥log 2(5x －6)；(2)log a (x －4)－log a (2x －1)>0(a >0且a ≠1)．【规律方法】求解简单对数不等式的一般方法解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下：log a f (x )>log a g (x )a >1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).log a f (x )<log a g (x )0<a <1,)⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，g (x )>0，f (x )>g (x ).已知f(x)＝lg (x＋1)，若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围．题型六与对数函数有关的单调性问题例6求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．【规律方法】有关对数函数单调性问题的求解思路(1)特别注意要在u(x)>0所确定的定义域上来讨论复合函数f(x)＝log a u(x)的单调性．(2)对于形如f(x)＝log a u(x)(a>0且a≠1)的一类复合函数的单调性，有a>1时与函数u(x)的单调性相同，0<a<1时与函数u(x)的单调性相反．(3)求复合函数f(x)＝log a g(x)的单调区间的步骤：①求f(x)的定义域；②将函数f(x)＝log a g(x)分解成u＝g(x)，f(u)＝log a u两个函数；③在f(x)的定义域上求u的单调区间并判断f(x)的单调性；④利用同一区间上“同增(减)则f(x)增，异增减则f(x)减”得出结论．【跟踪训练6】函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．题型七有关对数函数的值域与最值问题例7求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；【规律方法】有关对数函数的值域的求法(1)求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．【跟踪训练7】(1)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 (2)求函数y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)的值域．【随堂达标】1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2．函数y ＝log a (x －2)＋5(a >0且a ≠1)的图像过定点( )A ．(1,0)B ．(3,1)C ．(3,5)D ．(1,5)3．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 3<x 1B ．x 1<x 3<x 2C ．x 1<x 2<x 3D ．x 3<x 2<x 15．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．【参考答案】【知识导学】知识点一 对数函数的概念对数 a a a【评价自测】1．答案 (1)√ (2)√ (3)×2．答案 (1)3 (2)3 (3)(－∞，0)【题型探究】题型一 对数函数的概念例1[解析] 对于①，真数是－x ，故①不是对数函数；对于②，2log 4(x －1)的系数为2，而不是1，且真数是x －1，不是x ，故②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，真数是x ，故③是对数函数；对于④，底数a 2＋a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－14，当a ＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．[答案] ③【跟踪训练1】答案 A解析 设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2.∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x .题型二 与对数函数有关的函数定义域问题例2[解] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1且x ≠2. ∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1且x ≠2}． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4. ∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}．(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3且x ≠2}．【跟踪训练2】解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ≥0，x >0，5－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，∴1≤x <53.∴原函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，53. (2)由题意得log 0.5(4x －3)>0，可得0<4x －3<1，即3<4x <4，解得34<x <1. 所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫34，1.题型三 对数函数的图像与性质例3[解析] (1)由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ，显然b >a >1>d >c >0.故选D.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.[答案] (1)D (2)A【跟踪训练3】答案 (1)B (2)(0，－2)解析 (1)解法一：若0<a <1，则函数y ＝a x 的图像下降且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像上升且过点(－1，0)，以上图像均不符合．若a >1，则函数y ＝a x 的图像上升且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x )的图像下降且过点(－1,0)，只有B 中图像符合．解法二：首先指数函数y ＝a x 的图像只可能在x 轴上方，函数y ＝log a (－x )的图像只可能在y 轴左方，从而排除A ，C ；再看单调性，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的单调性正好相反，排除D.只有B 中图像符合．解法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图像关于y 轴的对称图像为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图像关于直线y ＝x 对称)，则可直接确定选B.(2)因为函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像恒过点(1,0)，则令x ＋1＝1，得x ＝0，此时y ＝log a (x ＋1)－2＝－2，所以函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图像恒过点(0，－2)． 题型四 对数值的大小比较例4[解] (1)∵3log 45＝log 4125,2log 23＝log 29＝log 481，且函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log 45>2log 23.(2)∵0>log 0.23>log 0.24，∴1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2. (3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log 3π>log 33＝1. 同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.(4)∵函数y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，∴log 0.20.1>log 0.20.2＝1. ∵函数y ＝0.2x 在R 上是减函数，且0<0.1，∴0.20.1<0.20＝1，∴log 0.20.1>0.20.1.【跟踪训练4】解题型五 解简单的对数不等式例5[解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3≥5x －6，解得65<x ≤3.(2)原不等式化为log a (x －4)>log a (2x －1)．当a >1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4>2x －1，解得x ∈∅. 当0<a <1时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －4>0，2x －1>0，x －4<2x －1，解得x >4.综上可知，当a >1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为{x |x >4}．【跟踪训练5】解 因为f (x )＝lg (x ＋1)，所以f (1－2x )－f (x )＝lg (2－2x )－lg (x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1<x <1. 由0<lg (2－2x )－lg (x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10(x ＋1)，所以－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13. 所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，13. 题型六 与对数函数有关的单调性问题例6[解] 由8－2x －x 2>0得函数f (x )的定义域是(－4,2)，令u ＝8－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋9，可知当x ∈(－4，－1]时，u 为增函数，x ∈[－1,2)时，u 为减函数， ∵f (u )＝log 0.4u 在u >0上是减函数，∴函数f (x )＝log 0.4(8－2x －x 2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)， 且在(－4，－1]上是减函数，在[－1,2)上是增函数．【跟踪训练6】答案 [1,3)解析 函数的定义域为(－1,3)，原函数可看作由y ＝log 2t ，t ＝－x 2＋2x ＋3复合而成，其中函数y ＝log 2t 是增函数，t ＝－x 2＋2x ＋3在区间[1,3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为[1,3).题型七 有关对数函数的值域与最值问题例7[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R .因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4.因为u >0，所以0<u ≤4.【跟踪训练7】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)当0<a <1时，因为y ＝a x 在[0,1]上为减函数，y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上也是减函数，所以f (x )在[0,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (1)＝a ＋log a 2，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12；同理，当a >1时，f (x )在[0,1]上为增函数，所以f (x )max ＝f (1)＝a ＋log a 2，f (x )min ＝f (0)＝1，于是1＋a ＋log a 2＝a ，解得a ＝12，与a >1矛盾．综上，a ＝12. (2)要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0，x ＋2>0，所以－2<x <2， 又y ＝log 2(2－x )＋log 2(x ＋2)＝log 2[(2－x )(x ＋2)]＝log 2(4－x 2)，x ∈(－2,2)， 令u ＝4－x 2(－2<x <2)，则当x ＝0时，u max ＝4，得u ∈(0,4]，又因为y ＝log 2u 是增函数，所以y max ＝2，即函数的值域为(－∞，2]．【随堂达标】1．答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1，且x ≠1. 2．答案 C解析 ∵log a 1＝0，∴当x ＝3时，y ＝log a 1＋5＝5，即函数图像过定点(3,5)．3．答案 A解析 分别作出三个函数的大致图像和直线y ＝a ，如图所示． 由图可知，x 2<x 3<x 1.4.答案 {x |－1<x <1}解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，3－x >0，x ＋1<3－x ，解得－1<x <1. 5．解 (1)∵f (x )的值域为R ，∴要求u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)．当a <0时，显然不可能；当a ＝0时，u ＝2x ＋1∈R 成立；当a >0时，u ＝ax 2＋2x ＋1的值域包含(0，＋∞)，则Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是0≤a ≤1.(2)由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.。
函数的定义域学案
1.2.2 函数的定义域及区间表示【学习目标】１.能举例说明区间的几种形式的意义，能准确运用区间或集合表述什么是函数的定义域；2.会求分式型、根式型函数的定义域；３.逐步树立解决函数问题时定义域优先的意识．【学习重点】 区间的概念， 求分式型、根式型函数的定义域．【难点提示】求较为复杂的混合型、复合型的函数的定义域【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1718P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等，都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备前面我们已经学习了函数概念，我们知道，函数的定义域是什么概念中的一个十分重要的因素（链接1），本节课让我们一起来研究函数的定义域问题．为此，先回忆以下知识：１.什么是函数的定义域？2.求函数的定义域是求哪个变量的取值范围？3.根据初中所学我们知道求函数定义域有些什么方法？（链接2）预备演练：解下列不等式（组）3442(2)63(1)2(21)(1);(2)3143;(4).3143653234x x x x x x x x x x x x -≤+--->+⎧⎧>--≥-⎨⎨-≤-+≥+⎩⎩；(3) 问：你能用几种方式来表示上面不等式（组）的解集？还有其它的方式吗？二、学习探究阅读思考 请同学们阅读教材第16页的内容，思考：1.教材区间定义有几种类型？加上还可拓展出几种形式？“∞”是一个数吗？它表示什么含义？2.请用区间表示预备演练中不等式的解集；3143x x -≥-的解集能写成]2,⎡+∞⎣吗？三、典例赏析例１.求函数f （x ）= 12x +的定义域． 思路启迪：该函数的结构是怎样的？使各项有意义的变量x 的取值范围怎样？使函数式有意义的x 的范围怎样确定？解：●解后反思 （1）本例中定义域可以表示出哪些形式？（2）求函数定义域的本质是什么？入手点在哪里？易错点在哪里？●变式练习 请求以下函数的定义域．（1）y =（2）y = （3）y =解：●反思归纳 如果f （x ）是分式形式时，其定义域的约束条件是什么？如果f （x ）是根式形式时，其定义域的约束条件是什么？如果只给出了解析式f （x ），而没有指明定义域，那么函数的定义域是指什么？； 如果f （x ）是由多个式子的和、差、积、商构成时，其定义域是应满足什么条件？ 例2、已知函数y =R ，求实数m 的取值范围．思路启迪：从函数的结构出发，联想“三个二次”的关系，再思考一下m 是否可以为0． 解：●解后反思 （1）该题的入手点在哪里？易错点又在哪里？（2）解题中体现了怎样的数学思想？●变式练习（1）已知函数y =R ，求实数m 的取值范围．解：（2）已知函数211y ax x =++定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：求函数f （x ）的定义域，即求使函数解析式 的自变量的取值范围；变式练习中的反思归纳都清楚了吗？分类讨论思想在求定义域的作用？2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.函数y x =的定义域为（ ）A ．[]4,1-B ．[)4,0-C ．[]0,1D ．[)(]4,00,1-⋃2.函数y =的定义域为 ； 3.若函数y =R ，则实数a 的取值范围是 ；4.求下列函数的定义域： 3(1)();4x f x x =-(2)()f x =26(3)();32f x x x =-+(4)()1f x x =-(5)1y x =-1(6);222y x =++ 解：5.已知函数()f x ={}24,x x x R ≤≤∈，求m 、n 的值．解：6.已知函数212y x x a =-+的定义域和值域都为[]1,b （b ＞1），求a 、b 的值． 解：◆承前启后 我们学习了函数的概念、定义域的求法，函数还有哪些表示法呢？函数1,0,Rx Q y x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð的表达式有什么特点？你能给它取个名字吗？ 六、学习链接链接1. 函数三大要素的重要地位：定义域是灵魂、对应法则是核心、值域是结果； 链接2. 初中学习函数的定义域的概念是：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域，确定函数定义域的方法是：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念学案新人教A版必修第一册
3.1.1 函数的概念课程标准(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一函数的概念要点二同一个函数如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.要点三区间及有关概念1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：2.特殊区间的表示助学批注批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )A B C D3．区间(0，1)等于 ( )A．{0，1}B．{(0，1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}4．若f(x)＝x－√x+1，则f(3)＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 函数的概念例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( ) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积方法归纳1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤2．判断一个对应关系是否为函数的方法巩固训练1 (多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是( )A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝√xD．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0题型 2 求函数值(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x 例2 [2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝11+x∈R)．(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．方法归纳求函数值的2种策略巩固训练2 已知函数f(x)＝x+1.x+2(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．题型 3 求函数的定义域例3 求下列函数的定义域．； (2)y＝√x2−2x−3；(1)y＝2＋3x−2(3)y＝√3−x·√x−1； (4)y＝(x－1)0＋√2.x+1方法归纳求函数定义域的常用策略巩固训练3 (1)函数f (x )＝√1+x −1x的定义域是( )A ．[－1，0)∪(0，+∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，+∞)D ．R(2)函数f (x )＝√−x 2+6x −5的定义域为________．题型 4 同一函数的判断例4 下面各组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(√x )2B ．f (t )＝|t |，g (x )＝√x 2C ．f (x )＝x 2−1x−1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形； ②与用哪个字母表示无关．巩固训练4 下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是( ) A ．u ＝v 2B ．y ＝x ·|x |C ．y ＝x 3x D ．y ＝(√x )43．1.1 函数的概念新知初探·课前预习[教材要点]要点一实数集 任意一个数x 唯一 要点二定义域 对应关系 要点三1．(a ，b ) (a ，b ]2．(－∞，＋∞) [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，a ] (－∞，a )[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：只有D 的函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点，故选D. 答案：D 3．答案：C4．解析：f (3)＝3－√3+1＝3－2＝1. 答案：1题型探究·课堂解透例1 解析：(1)A 中至少存在一处如x ＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A 中至少有一个元素在集合B 中对应的元素不唯一，故A 不是函数图象，其余B ，C ，D 均符合函数定义．(2)对于选项B ，集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C ，集合A 中的元素0取倒数没有意义，在集合B 中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D ，A 集合不是数集，故不符合函数的定义．答案：(1)BCD (2)A巩固训练1 解析：选项A 中，对于A 中的任意一个实数x ，在B 中都有唯一确定的数y 与之对应，故是A 到B 的函数．选项B 中，对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．选项C 中，集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．选项D 中，对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．答案：ABD例2 解析：(1)∵f (x )＝11+x ，∴f (2)＝11+2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11+11＝112.巩固训练2 解析：(1)f (2)＝2+12+2＝34； (2)∵f (1)＝1+11+2＝23；∴f (f (1))＝f (23)＝23+123+2＝58.例3 解析：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x−2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)要使函数有意义，需x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，即函数的定义域为{x |x ≥3或x ≤－1}．(3)函数有意义，当且仅当{3−x ≥0，x −1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)函数有意义，当且仅当{x −1≠0，2x+1≥0，x +1≠0，解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．巩固训练3 解析：(1)由{1+x ≥0x ≠0，解得：x ≥－1且x ≠0.∴函数f (x )＝√1+x −1x 的定义域是[－1，0)∪(0，+∞)． (2)由－x 2＋6x －5≥0，得x 2－6x ＋5≤0，(x －1)(x －5)≤0， 解得1≤x ≤5，所以函数的定义域为[1，5]. 答案：(1)A (2)[1，5]例4 解析：对于A ，f (x )＝x 的定义域为R ，而g (x )＝(√x )2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，g (x )＝√x 2＝|x |，这两个函数是同一个函数；对于C ，f (x )＝x 2−1x−1的定义域为{x |x ≠1}，而g (x )＝x ＋1的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D ，f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ≠0}，而g (x )＝{1，x ≥0−1，x <0的定义域是R ，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．答案：B巩固训练4 解析：函数y ＝x 2的定义域为R ，对于A 项，u ＝v 2的定义域为R ，对应法则与y ＝x 2一致，则A 正确；对于B 项，y ＝x ·|x |的对应法则与y ＝x 2不一致，则B 错误；对于C 项，y ＝x 3x 的定义域为{x |x ≠0}，则C 错误；对于D 项，y ＝(√x )4的定义域为{x |x ≥0}，则D 错误；故选A.答案：A。
必修第一册函数的定义域和值域学案
函数的定义域和值域（一）求函数定义域的一般原则：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义. （二）：抽象函数的定义域求法：①函数f (x )的定义域是指x 的取值范围所组成的集合。
②函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x ϕ的取值范围。
③已知f(x)的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域:其实质是（求法）：已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x f ϕ的定义域。
④已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求f(x)的定义域:其实质是（求法）：已知[])(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的取值范围；解得的)(x ϕ的取值范围即是f(x)的定义域。
⑤同在对应法则f 下的范围相同：即[][])(,)(),(x h f x f t f ϕ三个函数中)(),(,x h x t ϕ的范围相同。
（三）：复合函数的定义域及其求法：（1）定义：如果函数)(t f y =的定义域为A,函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数[])(x g f y =为)(x f 与)(x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内层函数，)(t f y =叫做外层函数。
(2）复合函数定义域求法：①函数[])(x g f 的定义域还是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围。
②已知f(x)的定义域为A ，求[])(x g f 的定义域:其实质是（求法）：已知)(x g 的取值范围为A ，求出x 的取值范围；解得的x 的取值范围即是[])(x g f 的定义域。
(新教材学案)第3章3.23.2.1第1课时函数的单调性含答案
3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习任务核心素养1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点1增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．[提示]不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．增减函数定义中x1，x2的三个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．()(2)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则该函数是单调递增函数．()(3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．()[答案](1)×(2)×(3)√知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大．2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是()A．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由图可知，函数y ＝f (x )的单调递增区间为[－3,1]，选C.]3.函数y ＝1x 的单调递减区间是________．(－∞，0)和(0，＋∞) [结合y ＝1x 的图象可知，y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．]类型1 函数单调性的判定与证明【例1】 (对接教材P 79例题)证明函数f (x )＝x ＋1x 在区间(0,1)上是单调递减． [证明] 设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0， ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在区间(0,1)上是单调递减．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．[跟进训练]1．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx－1在区间(1，＋∞)上单调递减．[证明]f(x)＝2＋2x－1，设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．类型2求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧2x＋1，x≥1，5－x，x<1；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[解](1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上是单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f (x )在区间(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在区间(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[跟进训练]2．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数的单调性；(2)写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间．[解] (1)函数在[－1,0]，[2,4]上单调递减，在[0,2]，[4,5]上单调递增． (2)先画出f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图．所以y＝|x2－2x－3|的减区间为(－∞，－1]，[1,3]；增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．类型3函数单调性的应用【例3】(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(－∞，3]存在怎样的数量关系？(2)若f(x)是定义域上的单调函数，且f(a)>f(b)，由此我们能得出变量a，b 的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]若本例(2)的函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围．[解]由题意可知，⎩⎨⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．[跟进训练]3．(1)若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)与f (a 2＋1)之间有( ) A ．f (－1)≥f (a 2＋1) B ．f (－1)>f (a 2＋1) C ．f (－1)≤f (a 2＋1)D ．f (－1)<f (a 2＋1)(2)若f (x )是在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83 [(1)∵a 2＋1>－1，且f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2＋1)<f (－1)．故选B.(2)∵f (x )是定义在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )<f (－2x ＋8)，∴⎩⎨⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x <－2x ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤4，x <83，即0≤x <83，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，83.]1．(多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5，－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性ABD [由题图可知，f (x )在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C 错误，其余选项均正确．]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝x C ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上单调递增，故选D.]3．如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3C [函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线，若函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b ≤3，故选C.] 4．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数k 的取值范围为________． ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [由2k －1<0得k <12.] 5．已知f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )，则x 的取值范围是________．(－2,1) [∵f (x )是定义在R 上的增函数，且f (x 2－2)<f (－x )， ∴x 2－2<－x ，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.∴x的取值范围是(－2,1)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．若x1，x2是区间D上任意实数，且(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，能否判定f(x)在D上的单调性？[提示]能，增函数．2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？[提示]定义法、图象法和基本初等函数法．3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？[提示]一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．4．在应用函数单调性解题时应注意什么？[提示]已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．。
学案3：4.4.1 对数函数的概念~4.4.2 对数函数的图象和性质(一)
4.4.1对数函数的概念~4.4.2对数函数的图象和性质(一)最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.新知初探知识点一对数函数的概念函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．状元随笔形如y＝2log2x，y＝log2x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域值域R过点，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是状元随笔底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．基础自测1．下列函数中是对数函数的是()A．y＝log14x B．y＝log14(x＋1)C．y＝2log14x D．y＝log14x＋12．函数y＝x ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 3．函数y＝log a(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是()4．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．课堂探究题型一对数函数的概念例1下列函数中，哪些是对数函数？(1)y＝log a x(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝log x6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x.方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.题型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y＝log3x2；(2)y＝log a(4－x)(a＞0，且a≠1)．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋3x21－x；(2)y＝log(x－2)(5－x)．题型三对数函数的图象问题例3 (1)函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________.(3)如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为________．状元随笔 (1)由函数y ＝x ＋a 的图象判断出a 的范围． (2)依据log a 1＝0，a 0＝1，求定点坐标．(3)沿直线y ＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a ＞1，还是0＜a ＜1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 跟踪训练3(1)如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35(2)函数y ＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )课时训练一、选择题1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a ＞0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)D ．y ＝ln x2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2log 4x C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定3．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)4．已知a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象只能是下图中的( )二、填空题5．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________. 6．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ⎝⎛⎭⎫95＋f (15)＝________.7．函数f (x )＝log a (2x －3)(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________． 三、解答题8．求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x )； (2)y ＝1log 2x ；(3)y ＝log 711－3x .9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围．10．已知函数y ＝log 2x 的图象，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图象？y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？参考答案新知初探知识点一 对数函数的概念y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) x (0，＋∞) 知识点二 对数函数的图象与性质 (0，＋∞) (1,0) 增函数 减函数 基础自测 1．【答案】A【解析】形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的函数才是对数函数，只有A 是对数函数． 2．【答案】B【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1；故函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0,1)．3．【答案】A【解析】∵0＜a ＜1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，故A ，B 可能正确； 又函数y ＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确． 4．【答案】[1，log 23]【解析】因为f (x )＝log 2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以log 22≤log 2x ≤log 23，即1≤log 2x ≤log 23.课堂探究题型一 对数函数的概念例1 解：(1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.跟踪训练1 【答案】1【解析】由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1＞0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 题型二 求函数的定义域例2 解：(1)因为x 2＞0，即x ≠0，所以函数y ＝log 3x 2的定义域是{x |x ≠0}． (2)因为4－x ＞0，即x ＜4，所以函数y ＝log a (4－x )的定义域是{x |x ＜4}. 真数大于0.跟踪训练2 解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ＜1.∴－1＜x ＜1，∴函数的定义域为(－1,1)． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ＞0，x －2＞0，x －2≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜5，x ＞2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例3 【答案】 (1)C (2)89(3)b ＞a ＞1＞d ＞c【解析】 (1)A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞1，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜1，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜1，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．(2)依题意可知定点A (－2，－1)，f (－2)＝3－2＋b ＝－1，b ＝－109，故f (x )＝3x －109，f (log 32)＝33log 2－109＝2－109＝89. (3)由题干图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a ＞1，b ＞1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0＜c ＜1,0＜d ＜1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b ＞a ＞1＞d ＞c .跟踪训练3 【答案】(1)A (2)A【解析】(1)方法一 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C 1，C 2，C 3，C 4对应的a 值分别为3，43，35，110，故选A. 方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a 由大到小依次为C 1，C 2，C 3，C 4，即3，43，35，110.故选A.增函数底数a ＞1， 减函数底数0＜a ＜1.(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B ，C ，又x ＝±1时y ＝1，故选A.先去绝对值，再利用单调性判断.课时训练一、选择题 1．【答案】D【解析】判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确． 2．【答案】A【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)，则2＝log a 4即a 2＝4得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x . 3．【答案】D【解析】由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 4．【答案】B【解析】由函数y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以对数函数的图象应在y 轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以图象B 适合． 二、填空题 5．【答案】5【解析】由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0a ＞0a ≠1，∴a ＝5.6．【答案】3【解析】f ⎝⎛⎭⎫95＋f (15)＝log 395＋log 315＝log 327＝3. 7．【答案】(2,0)【解析】令2x －3＝1，解得x ＝2，且f (2)＝log a 1＝0恒成立，所以函数f (x )的图象恒过定点P (2,0)． 三、解答题8．解：(1)由1－x ＞0，得x ＜1，∴函数y ＝log 3(1－x )的定义域为(－∞，1)． (2)由log 2x ≠0，得x ＞0且x ≠1.∴函数y ＝1log 2x的定义域为{x |x ＞0且x ≠1}． (3)由11－3x＞0，得x ＜13. ∴函数y ＝log 711－3x 的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，13. 9．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示：(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2.10．解：y ＝log 2x ――――――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R ，与x 轴的交点是(0,0)．。
学案3：4.2.1 指数函数的概念
4.2.1指数函数的概念1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是．名师点拨指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.2．指数函数的图象和性质R底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的．自我检测1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y ＝2－x 的定义域为{x |x ≠0}．( ) 2.函数y ＝(3－1)x 在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数3. y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )4.若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点⎝⎛⎭⎫3，18，则f (x )＝________． 5.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． 讲练互动探究点1 指数函数的概念例1 下列函数中，哪些是指数函数？ ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x2－1；③y ＝a x ；④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12，且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 规律方法(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征；②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法①依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．[提醒] 解决指数函数问题时，要特别注意底数大于零且不等于1这一条件．1．若y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝1 C ．a ＝2D ．a ＞0且a ≠12．如果指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于________． 探究点2 指数函数的图象例2 根据函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，画出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，并借助图象，写出这个函数的一些重要性质． 求解策略求解指数函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 跟踪训练1．函数y ＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0，1) B ．(1，1) C ．(2，0) D ．(2，2)2．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0探究点3 指数型函数的定义域、值域问题 例3 求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |；(2)y ＝1－2x .函数y ＝a f (x )的定义域与值域的求法(1)形如y ＝a f (x )的函数的定义域就是f (x )的定义域．(2)形如y ＝a f (x )的值域，应先求出f (x )的值域，再由函数的单调性求出a f (x )的值域．若a 的取值范围不确定，则需对a 进行分类讨论．(3)形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域． 跟踪训练1．函数y ＝3x 2－2－9的定义域为________．2．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．达标反馈1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝⎝⎛⎭⎫π2xB ．y ＝(－9)xC ．y ＝2x －1D ．y ＝2×5x2．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－22D ．223．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，4) C ．⎝⎛⎦⎤14，4D ．⎝⎛⎭⎫0，14 4．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )5．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.巩固提升 A 基础达标1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x－1. A ．0 B ．1 C ．3D ．42．函数y ＝1－3x 的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 3．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，2)内的值域是(1，a 2)，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )4．函数y ＝4－2x －1的值域为( ) A ．[1，＋∞) B ．(－1，1) C ．(－1，＋∞)D ．[－1，1)5．已知函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a ＞1，b ＞1B ．a ＞1，0＜b ＜1C ．0＜a ＜1，b ＞1D ．0＜a ＜1，0＜b ＜16．函数f (x )＝2x 在[－1，3]上的最小值是________． 7．已知函数y ＝a x－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m ＝________．8．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．B 能力提升11．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )12．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．13．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f (x )＝2x 的图象经过怎样的变换得到的． (1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝－2x .14．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．C 拓展探究15．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一平面直角坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？参考答案新知初探1．自变量自我检测1.【答案】(1)× (2)√ (3)×2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】⎝⎛⎭⎫12x5.【答案】(3，＋∞) 讲练互动探究点1 指数函数的概念例1 解：①中底数－8<0， 所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是关于x 的函数， 所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1， 所以不是指数函数． 跟踪训练 1．【答案】C【解析】由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2. 2．【答案】64【解析】设y ＝f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)， 所以a －2＝14，所以a ＝2，所以f (4)·f (2)＝24×22＝64. 探究点2 指数函数的图象例2 解：g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x （x ≥0），2x （x <0），其图象如图．由图象可知，函数g (x )的定义域为R ，值域是(0，1]， 图象关于y 轴对称，单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是(0，＋∞)． 跟踪训练 1．【答案】D【解析】因为当x ＝2时，y ＝a x －2＋1＝2恒成立，所以函数y ＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点(2，2)． 2．【答案】D【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线的位置看，是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 探究点3 指数型函数的定义域、值域问题 例3 解：(1)定义域为R .因为|x |≥0， 所以y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫32|x |≥⎝⎛⎭⎫320＝1. 故y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为[1，＋∞)．(2)因为1－2x ≥0，所以2x ≤1. 所以2x ≤20.所以x ≤0.又因为0<2x ≤1，所以－1≤－2x <0， 所以0≤1－2x <1.所以函数的定义域为(－∞，0]，值域为[0，1)． 跟踪训练1．【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】由题意有3x 2－2－9≥0，即3x 2－2≥32， 所以x 2－2≥2，即x 2≥4， 所以x ≥2或x ≤－2.故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．2．解：①当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，所以a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a ＞1时，函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2， 最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ，所以a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.达标反馈1．【答案】A【解析】指数函数形如y ＝a x (a >0，a ≠1)，所以选A.2．【答案】D【解析】因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.3．【答案】C【解析】因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是单调递增的，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤14，4. 4．【答案】C【解析】函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项A ，B ，D. 5．解：(1)要使函数有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)要使函数有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0. 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．巩固提升 A 基础达标1．【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．【答案】B【解析】因为1－3x ≥0，即3x ≤1，所以x ≤0，即x ∈(－∞，0]． 3．【答案】B【解析】对于函数f (x )＝a x ，当x ＝0时，f (0)＝a 0＝1，当x ＝2时，f (2)＝a 2. 由于指数函数是单调函数，则有a 2>1，即a >1.则函数f (x )的图象是上升的，且在x 轴上方，结合选项可知B 正确． 4．【答案】D【解析】因为4－2x ≥0，所以2x ≤4，即x ≤2，即函数的定义域是(－∞，2]．因为0<2x ≤4，所以－4≤－2x <0，所以0≤4－2x <4.令t ＝4－2x ，则t ∈[0，4)，所以t ∈[0，2)， 所以y ∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1)，故选D.5．【答案】D【解析】根据图象，函数f (x )＝a x －b 是单调递减的，所以指数函数的底数a ∈(0，1)，根据图象的纵截距，令x ＝0，y ＝1－b ∈(0，1)，解得b ∈(0，1)，即a ∈(0，1)，b ∈(0，1)，故选D.6．【答案】12【解析】因为f (x )＝2x 在[－1，3]上单调递增，所以最小值为f (－1)＝2－1＝12. 7．【答案】2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，a 2－m ＋2＝3得m ＝2. 8．【答案】(0，1)【解析】由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1.9．解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x >0且21x ≠1，故21x －1>－1且21x －1≠0，故函数y ＝21x －1的定义域为{x |x ≠0}，值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0<⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]． 10．解：(1)因为函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，函数为减函数，当x ＝0时，函数取最大值2，故f (x )的值域是(0，2]，所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋1(x ≥0)的值域是(1，3]．B 能力提升11．【答案】C【解析】由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.12．【答案】{a |a ≥1或a ＝0}【解析】作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.13．解：如图．(1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位长度得到的．(2)y ＝－2x 的图象与y ＝2x 的图象关于x 轴对称．14．解：(1)因为f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，因为f (0)＝1＋b <0，即b <－1，所以b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)由题图①可知y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图可知使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解的m 的取值范围为m ＝0或m ≥3.C 拓展探究15．解：(1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3； f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。
《2.2函数的定义域和值域》 学案
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【例题 2】 【题干】求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝ x2－x ； x －x＋1
2
(3)y＝log3x＋logx3－1.
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【解析】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵0≤x≤3， ∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16. ∴0≤y≤15， 即函数 y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]． x2－x＋1－1 1 (2)y＝ 2 ＝1－ 2 ， x －x＋1 x －x＋1 1 3 3 ∵x2－x＋1＝x－22＋4≥4， 1 4 ∴0< 2 ≤3， x －x＋1 1 1 ∴－3≤y<1，即值域为－3，1. 1 (3)y＝log3x＋log x－1， 3 令 log3x＝t， 1 则 y＝t＋ t －1(t≠0)，
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课程小结 1、求函数定义域应注意的问题 (1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数 x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分 的集合． (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2、妙求函数的值域 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法； (3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解； (6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.
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3-4.函数概念及三要素(学案)
B.（-3，-7）
C.（-6，-4）
D.（- 3 , 7 ） 22
答案：B
x
解析：
x
2 2
y y
5, 2,
x
y
3, 7.
x 2. 函数 y x 的图像是图中的（ ）
x
【解析】C.
当 x 0 时， y x x x 1；当 x 0 时， y x x x 1 ，满足要求的只有 C 选项中的函数图象，故选
( ) 这个答案不对，视频中是按照上面那个答案给的，但是第三行有问题，应该是
y
=
ìïïí146t,+0
£ 5
t t
£4 -4
,4
<
t
£
6
ï ïî26
+
7(t
-
6)
,t
>
6
（3）根据题意，16 5t 4 24 ，解得 t 5.6 .所以，要使 1 月份缴纳的水费不超过 24 元，该用户最多可以
x
x
C.
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3.下列四个图形中，不可能表示函数 y f (x) 的图象的是（ ）
【解析】D. 对于选项 A、B 和 C 中的图象，每一个自变量均有唯一的函数值与之对应，符合函数的要求，但是 D 选项中，存 在自变量对应两个数值，不符合函数定义的要求，故选 D.
两函数的交点是 x 4 ，此时的函数值为 y 6 ，故选 C.
2. （1）若 f x 1 x2 2x 5 ，则 f x
.
（2）若 f x 2x 3， g x 2 f x ，则 g x
.
【解析】（1）设 t x 1，那么 x t 1，则 f t t 12 2 t 1 5 t 2 4t 8 ，所以 f x x2 4x 8
函数定义域、值域与解析式
函数定义域、值域与解析式（一）知识梳理1、求函数解析式的常用方法 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f ；（4）若已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
2、函数的定义域方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
3、求值域的几种常用方法 方法总结：（1）直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）（2）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 （3）函数的单调性法：（4）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， （5）基本不等式法 ： 如对勾函数y=x+m x，（m>0），m<0就是单调函数了 （6）数形结合法：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等（7）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数22122+-+=x x x y 的值域（8）换元法：通过等价转化换成常见函数模型（如二次函数），如y ax b cx d =+±+（a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
（9）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数3243x y x +=-的值域（10）函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
新人教A版必修1高中数学§1.2.1函数的定义域与值域学案
高中数学 §1.2.1函数的定义域与值域学案 新人教A 版必修1学习目标：1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.学习重点：求一些简单函数的定义域与值域 学习难点：求一些简单函数的定义域与值域知识链接：1、函数的三要素是 、 、 .2、求函数定义域的规则：①整式： ②分式： ③偶次根式： ④零次幂式： ⑤如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的例题剖析：例1、下列函数中哪个与函数y=x 相等？ （1）y = (x )2 ; （2）y = (33x ) ; （3）y =2x ; （4）y =x x 2小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 例2、 求下列函数的定义域 （用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-； （2）()f x （3）1()2f x x =-.例3、求下列函数的值域。
（1）y=2x-5 x ∈[-1,2]； (2) y ＝53x -+； （3）2()3x f x x -=+； （4）y ＝x 2－3x ＋4；（5）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[-1,2]； （6）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[2,4] ；求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 当堂检测：1、判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1. ② ()f x = x ； ()g x .③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +. ④ ()f x = | x | ；()g x .2. 函数()1f x 的定义域是3. 函数2132x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R4.求函数(0)ax by ac cx d +=≠+的值域.。
02函数定义域的求法学案(答案)
第二节 函数定义域的求法一、学习目标1. 熟悉几种常见函数的定义域，理解并掌握各种类型函数的定义域的求法；2. 能运用函数定义域的知识点，求解参数问题以及恒成立问题。
二、知识梳理（一）基本函数的定义域1. 分式的分母不应为零；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；2. 零次或负次指数次幂的底数不为零；3. 当)(x f 为整式或奇次根式时，R x ∈；4. 偶次方根的被开方数被开方数不小于0（即≥0）；5. 对数式的真数大于零；6. 对数式与指数式函数的底数大于0且不等于1；7.x x f tan )(= 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ； 8. 应用题中要结合实际情况考察定义域．（1） 当)(x f 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量x 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集；（2） 分段函数)(x f y =的定义域是各段上自变量x 取值集合的并集；（3） 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求；（4）对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
（二）抽象函数的定义域抽象函数的定义域：在同一对应法则f 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集。
求解抽象函数定义域的解题思路：(1)若已知函数f (x )的定义域为[,]a b ，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[,]a b ，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域。
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．三、典例分析【题型一】已知函数解析式求函数的定义域【例1】函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6] 【答案】 (1)C【解析】 (1)由函数y ＝f (x )的表达式可知，函数的定义域应满足条件：4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得－4≤x ≤4，x >3或2<x <3，即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.2.2 函数的最大值、最小值 (含答案)
第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值(1)定义．前提函数f(x)的定义域为D,且x0∈D,对任意x∈D 条件都有f(x)≤f(x0)都有f(x)≥f(x0)结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点①配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；②换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；③数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；④利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x 的值．2．直线的斜率(1)直线斜率的定义．平面直角坐标系中的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1 为直线的斜率，记作Δy Δx ； ②当x 1＝x 2时，称直线的斜率不存在．(2)直线的斜率与函数单调性的关系①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0． ②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0．3．函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I 是函数y ＝f (x )的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I ，且x 1≠x 2，记y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ， 称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数在区间[x 1，x 2](x 1<x 2时)或[x 2，x 1](x 1>x 2时)上的平均变化率．(2)函数的平均变化率与函数的单调性y ＝f (x )在I 上是增函数⇔Δy Δx >0在I 上恒成立y ＝f (x )在I 上是减函数⇔Δy Δx <0在I 上恒成立函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)任何函数都有最大值、最小值．( × )提示：如函数y ＝1x 既没有最大值，也没有最小值．(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的．( × )提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点．(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．( × )提示：过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x 1≠x 2.2．过函数图像上两点A (－1，3)，B (2，3)的斜率Δy Δx ＝________．【解析】Δy Δx ＝3－32＋1＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，x ∈[1，3]，则函数f (x )的最大值为________，最小值为________．【解析】f (x )＝x －1x ＋1 ＝1－2x ＋1，x ∈[1，3]， 因为f (x )在[1，3]上为增函数，所以f(x)max＝f(3)＝1＝f(1)＝0.2，f(x)min答案：120类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)1．(2021·太原高一检测)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2【解析】选C.A选项，由函数图像可得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故A错；B选项，由图像可得，f(x)在区间(－1，3)上的最大值为f(1)＝3，无最小值，故B错；C选项，由图像可得，f(x)在[－4，1]上有最小值f(－1)＝－2，有最大值f(1)＝3，故C正确；D选项，由图像可得，为使直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点，只需－1≤t≤2，故D错．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.则f (x )的最小值、最大值点分别为________，________．【解析】作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值，最小值为0，故f (x )的最小值为0，最大值点为±1.答案：0 ±13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f (x )的图像．(2)由图像指出函数f (x )的最值点，求出最值．【解析】(1)由题意，当x ∈[－1，2]时，f (x )＝－x 2＋3，为二次函数的一部分；当x ∈(2，5]时，f (x )＝x －3，为一次函数的一部分；所以，函数f (x )的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为－1.图像法求最值、最值点的步骤【补偿训练】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x （0≤x≤2），2x －1（x ＞2），求函数f(x)的最大值、最小值． 【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x ＝2时，f(x)取最大值为2；当x ＝12 时，f(x)取最小值为－14 .所以f(x)的最大值为2，最小值为－14 .【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[m ，n ]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若对称轴x ＝－b 2a 在区间[m ，n ]内，则最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与直线x ＝－b 2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x ＝－b 2a <m ，则f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，最大值为f (n )，最小值为f (m ).(3)若对称轴x ＝－b 2a >n ，则f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，最大值为f (m )，最小值为f (n ).【拓展训练】1．定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R .(2)[0，3].(3)[－1，1].【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图像法求解．【解析】f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7.(1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．故函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2) 函数f (x )＝3(x －2)2－7的图像如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5；在x ＝2时取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f (x )在[－1，1]上是减函数，在x ＝－1时取得最大值，最大值为20；在x ＝1时取得最小值，最小值为－4.(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是增函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最小值． (2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是减函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最大值． 2．动轴定区间上的最值问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．【解析】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.3．定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段)，从而求解．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．类型二 函数的平均变化率与单调性、最值(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f (x )＝2x －3x ＋1. (1)判断函数f (x )在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．【思路导引】任取x1，x2∈[0，＋∞)⇒Δf（x）Δx>0⇒函数单调递增【解析】f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，f(x2)－f(x1)＝2x2－3x2＋1－2x1－3x1＋1＝（2x2－3）（x1＋1）（x1＋1）（x2＋1）－（2x1－3）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）.所以Δf（x）Δx＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）x2－x1＝5（x1＋1）（x2＋1）.因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（x）Δx>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知f(x)在[2，9]上是增函数⇒f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝2×9－39＋1＝32，最小值为f(2)＝2×2－32＋1＝13.利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2.(2)计算f (x 2)－f (x 1)，Δf （x ）Δx .(3)根据x 1，x 2的范围判断Δf （x ）Δx 的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3，7]. (1)判断函数f (x )的单调性，并用平均变化率加以证明．【解析】函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明如下： 在[3，7]上任意取两个数x 1和x 2，且x 1≠x 2，因为f(x 1)＝x 1＋1x 1－2 ，f(x 2)＝x 2＋1x 2－2， 所以f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋1x 2－2 －x 1＋1x 1－2 ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）. 所以Δf （x ）Δx ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）x 2－x 1 ＝－3（x 1－2）（x 2－2）， 因为x 1，x 2∈[3，7]，所以x 1－2＞0，x 2－2＞0，所以Δf （x ）Δx ＜0，函数f(x)为[3，7]上的减函数．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】由单调函数的定义可得f(x)max ＝f(3)＝4，f(x)min ＝f(7)＝85 .类型三 常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)不含参数的最值问题【典例】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________．【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题．【解析】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12×（－2） ＝14 ，函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ＝－2×116 ＋14 ＋1＝98 .答案：－1 98含参数的最值问题【典例】设a 为实数，函数f(x)＝x 2－|x －a|＋1，x ∈R .(1)当a ＝0时，求f (x )在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思路导引】代入a 的值，化简后求最值．【解析】当a ＝0，x ∈[0，2]时函数f (x )＝x 2－x ＋1，因为f (x )的图像开口向上，对称轴为x ＝12 ，所以，当x ＝12 时f (x )值最小，最小值为34 ，当x ＝2时，f (x )值最大，最大值为3.(2)当0<a <12 时，求函数f (x )的最小值．【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ＋1，x ≥a ，x 2＋x －a ＋1，x <a .①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋a ＋34 . 因为0<a <12 ，所以12 >a ，则f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 ＋a ； ②当x <a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2 －a ＋34 .因为0<a <12 ，所以－12 <a ，则f (x )在(－∞，a )上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝34 －a .综上，f (x )的最小值为34 －a .将本例的函数改为f (x )＝x 2－2ax ＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．【解析】函数的对称轴为x ＝a ，(1)当a <0时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1；当0≤a ≤2时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋1；当a >2时，f (x )在区间[0，2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝5－4a ，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <0，－a 2＋1，0≤a ≤2，5－4a ，a >2.(2)当a ≤1时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ；当a >1时，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )max ＝⎩⎨⎧5－4a ，a ≤1，1，a >1.一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x ＝m ，区间[a ，b ]为例，①最小值：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （a ），m ≤a ，f （m ），a ≤m ≤b ，f （b ），m ≥b .②最大值：f (x )max ＝⎩⎨⎧f （a ），m ≥a＋b 2，f （b ），m <a ＋b 2． 当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．(1)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0，1]上的最大值.【解析】因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a 2 ，当a 2 ≤12 ，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2 ＞12 ，即a ＞1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【解析】f (x )＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12 ， ①当t ≥12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12 ，即t ≤－12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t ＜12 ＜t ＋1，即－12 ＜t ＜12 时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1 上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 .1．(2020·西安高一检测)函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0，3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2【解析】选A.因为a ＞0，所以f (x )＝9－ax 2开口向下，以y 轴为对称轴，所以f (x )＝9－ax 2在[0，3]上单调递减，所以x ＝0时，f (x )最大值为9.2．函数f (x )＝x ＋2x －1 ( )A ．有最小值12 ，无最大值B ．有最大值12 ，无最小值C ．有最小值12 ，有最大值2D ．无最大值，也无最小值 【解析】选A.f (x )＝x ＋2x －1 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ ，在定义域内单调递增，所以f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝12 ，无最大值． 3．(2021·菏泽高一检测)设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2，x ∈[0，2]，当a ＝－1时，f (x )的最小值是________，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．【解析】当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋2x ＋1，开口向上，对称轴为x ＝－1， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋1在(0，2)上单调递增，所以函数在x ∈[0，2]上的最小值f (x )min ＝f (0)＝1.若f (0)是f (x )的最小值，说明对称轴x ＝a ≤0，则a ≤0，所以a 的取值范围为(－∞，0].答案：1 (－∞，0]【补偿训练】二次函数f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f （0）＝3，f （m ）＝1， 此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立； 当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2，4].答案：[2，4]备选类型 函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系式：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )最小？并求其最小值．【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k ＝40，因此C(x)＝403x ＋5 (0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10). (2)令t ＝3x ＋5，由0≤x≤10，得5≤t≤35，从而有函数h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35).令5≤t 1<t 2≤35，则h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－800t 1t 2 ， 当5≤t 1<t 2≤20时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)>0； 当20≤t 1<t 2≤35时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)<0. 所以h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35)在区间[5，20]上单调递减，在区间[20，35]上单调递增，所以当t ＝20时，h(t)min ＝70，即当t ＝3x ＋5＝20，x ＝5时，f(x)min ＝70.所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元．(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性．(2)以20为分界点将[5，35]分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解．(2020·枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数φ(x)，其中φ(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x>400，x 是“玉兔”的月产量(单位：件)，总收益＝成本＋利润． (1)试将利润y 表示为月产量x 的函数．(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题设，总成本为20 000＋100x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12 (x －300)2＋25 000，则当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y <60 000－100×400＝20 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元．1．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ，f (0) D ．f (0)，32 【解析】选D.观察函数图像，f (x )最大值、最小值点分别为f (0)，32 .2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．6C ．1D ．2【解析】选B.f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])为增函数，所以最小值为f (0)＝a ＝－2，最大值f (2)＝8＋a ＝6.3．(2021·大冶高一检测)若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 【解析】选D.因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2，5)上都是单调递减函数，当x <1时，y <0，x ＝2时，y ＝2，x ＝5时，y ＝12 ，所以函数的值域是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 . 4．(教材练习改编)函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为________． 【解析】作出图像可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数(图略)，所以其最小值为15－3＝12 . 答案：125．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f （a ）－f （b ）a －b＞0成立，且f (－3)＝a ，f (－1)＝b ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．【解析】由f （a ）－f （b ）a －b＞0，得f (x )在R 上是增函数， 则f (x )在[－3，－1]上的最大值是f (－1)＝b .答案：b6．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (x )－kx ≤0在x ∈[2，3]上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)的图像开口向上，且对称轴为x ＝1，所以f (x )在[2，3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f （x ）min ＝f （2）＝4a －4a ＋1＋b ＝1f （x ）max ＝f （3）＝9a －6a ＋1＋b ＝4. 所以a ＝1，b ＝0； (2)由(1)得f (x )＝x 2－2x ＋1，所以不等式f (x )－kx ≤0，即x 2－(2＋k )x ＋1≤0在x ∈[2，3]上恒成立， 令g (x )＝x 2－(2＋k )x ＋1，g (x )的图像开口朝上， 则要使g (x )≤0在x ∈[2，3]上恒成立，所以⎩⎨⎧g （2）＝4－4－2k ＋1≤0g （3）＝9－6－3k ＋1≤0，解得k ≥43 ， 所以实数k 的取值范围为k ≥43 .。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A版必修第一册
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学案新人教A 版必修第一册3.1.1 函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f 的正确理解，函数符号y ＝f (x )的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一 函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有□01唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作□02y ＝f (x )，x ∈A .其中，x 叫做□03自变量，x 的取值范围A 叫做函数的□04定义域；与x 的值相对应的y 值叫做□05函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的□06值域．显然，□07值域是集合B 的子集． 注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)集合A 是函数的定义域，因为给定A 中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应；集合B 不一定是函数的值域，因为B 中的元素可以在A 中没有与之对应的x ，也就是说，B 中的某些元素可以不是函数值，即{f (x )|x ∈A }⊆B .(3)在函数定义中，我们用符号y ＝f (x )表示函数，其中f (x )表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘x ”．知识点二 函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：□01定义域、□02对应关系、□03值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：□04定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y 和它对应．知识点三 区间的概念(1)设a ，b 是两个实数，而且a <b .我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做□01闭区间，表示为□02[a ，b ]； ②满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做□03开区间，表示为□04(a ，b )； ③满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做□05半开半闭区间，分别表示为□06[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的□07端点． 实数集R 可以用区间表示为□08(－∞，＋∞)，“∞”读作“□09无穷大”，“－∞”读作“□10负无穷大”，“＋∞”读作“□11正无穷大”． 我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合，用区间分别表示为□12[a ，＋∞)，□13(a ，＋∞)，□14(－∞，b ]，□15(－∞，b )． (2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示□16包括在区间内的端点，用空心点表示□17不包括在区间内的端点．(3)含“∞”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 知识点四 同一个函数如果两个函数的□01定义域相同，并且□02对应关系完全一致，即相同的□03自变量对应的□04函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．【新知拓展】(1)函数符号“y ＝f (x )”是数学中抽象符号之一，“y ＝f (x )”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，f (x )也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A 中的任意一个(任意性)数x ，在非空实数集B 中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y 和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．( ) (2)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．( )(5)对于定义在集合A 到集合B 上的函数y ＝f (x )，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f ，不能确定从集合A 到集合B 的函数关系的是________． ①A ＝{1,4}，B ＝{－1,1，－2,2}，对应关系：开平方； ②A ＝{0,1,2}，B ＝{1,2}，对应关系：③A ＝[0,2]，B ＝[0,1]，对应关系：(2)下列函数中，与函数y ＝x 是同一个函数的是________． ①y ＝x 2；②y ＝3x 3；③y ＝(x )2；④s ＝t . 答案 (1)①③ (2)②④题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝2x ＋3；(2)f (x )＝1x ＋1；(3)y ＝x －1＋1－x ；(4)y ＝x ＋1x 2－1；(5)y ＝(1－2x )0. [解] (1)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R }．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(3)要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1，所以x ＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝1}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以函数的定义域是{x |x ≠±1}． (5)∵1－2x ≠0，即x ≠12，∴函数的定义域为{|x x ≠12}.例2 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． [解] 已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4. 故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32，∴函数f (2x ＋1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. 例3 如图所示，用长为1 m 的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x (单位：m)，求此框架围成的面积y (单位：m 2)与x 的函数关系式．[解] 由题意可得，AB ＝2x ，CD ︵的长为πx ， 于是AD ＝1－2x －πx2，∴y ＝2x ·1－2x －πx 2＋πx 22，即y ＝－π＋42x 2＋x .由⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，1－2x －πx2>0，得0<x <1π＋2，∴此函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1π＋2. 故所求的函数关系式为y ＝－π＋42x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1π＋2.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若y ＝f (x )为整式，则函数的定义域是实数集R .(2)分式：若y ＝f (x )为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集．(3)偶次根式：若y ＝f (x )为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)．(4)几部分组成：若y ＝f (x )是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(5)对于抽象函数的定义域：①若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]中，g (x )∈[a ，b ]，从中解得x 的解集即f [g (x )]的定义域．②若f [g (x )]的定义域为[m ，n ]，则由x ∈[m ，n ]可确定g (x )的范围，设u ＝g (x )，则f [g (x )]＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，所以g (x )的范围即f (x )的定义域．③已知f [φ(x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域，先由f [φ(x )]中x 的取值范围，求出φ(x )的取值范围，即f (x )中的x 的取值范围，即h (x )的取值范围，再根据h (x )的取值范围便可以求出f [h (x )]中x 的取值范围．(6)实际问题：若y ＝f (x )是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束．如：例3中，任何一条线段的长均大于零．[跟踪训练1] (1)若函数f (x ＋1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则函数f (x －1)的定义域为________；(2)求下列函数的定义域：①y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；②y ＝x ＋1|x |－x ；(3)①求函数y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9的定义域； ②将长为a m 的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y (单位：m 2)关于一边长x (单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 (2)见解析 (3)见解析解析 (1)由题意知，－12≤x ≤2，则12≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∴12≤x －1≤3，解得32≤x ≤4.∴f (x －1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4.(2)①要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x ≤1，∴函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．②要使函数有意义，需满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x <0.∴函数的定义域为{x |x <0}． (3)①解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，x －1≥0，x 2－9≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥1，x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5，且x ≠3}．②因为矩形的一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax ，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <a 2. 题型二 已知函数值求自变量的值例4 已知函数f (x )＝2x 2－4，x ∈R ，若f (x 0)＝2，求x 0的值． [解] 易知f (x 0)＝2x 20－4， ∴2x 20－4＝2，即x 20＝3. 又∵x 0∈R ，∴x 0＝± 3. 金版点睛就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x ∈[0，＋∞)”，则x 0＝3(－3不符合题意，舍去)．[跟踪训练2] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈(－∞，0)，若f (x 0)＝3.求x 0的值． 解 由题意可得f (x 0)＝x 20－2x 0. ∴x 20－2x 0＝3，即x 20－2x 0－3＝0. 解得x 0＝3或x 0＝－1.又∵x 0∈(－∞，0)，∴x 0＝－1. 题型三 已知自变量的值求函数值 例5 已知f (x )＝x 2，x ∈R ，求： (1)f (0)，f (1)； (2)f (a )，f (a ＋1)．[解] (1)f (0)＝02＝0，f (1)＝12＝1. (2)∵a ∈R ，a ＋1∈R ， ∴f (a )＝a 2，f (a ＋1)＝(a ＋1)2. 金版点睛对于函数定义域内的每一个值，都可以求函数值(当然函数值唯一)，本例可以直接应用公式：f (x )＝x 2求解，实质上就是求代数式的值，例如f (1)就是当x ＝1时，代数式x 2的值，而f (a ＋1)就是当x ＝a ＋1时，代数式x 2的值．[跟踪训练3] 已知f (x )＝x ＋1x ＋1，求： (1)f (2)；(2)当a >0时，f (a ＋1)的值． 解 (1)f (2)＝2＋13.(2)易知f (x )的定义域A ＝[0，＋∞)， ∵a >0，∴a ＋1>1，则a ＋1∈A ， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋2. 题型四 求函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3；(4)y ＝2x －x －1.[解] (1)(观察法)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且ac ≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝xx ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝x ＋x ＋1. 解 (1)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0，∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(2)配方，得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5)，∴结合函数的图象可知，函数的值域为{y |2≤y <11}． (3)(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1，且t ≥0，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，由t ≥0，再结合函数的图象可得函数的值域为[－1，＋∞). 题型五 相同函数的判断例7 下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2＋1，g (t )＝t 2＋1 C ．f (x )＝1，g (x )＝x xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |[解析] A 项中，由于f (x )＝x 的定义域为R ，g (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B 项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C 项中，由于f (x )＝1的定义域为R ，g (x )＝x x的定义域为{x |x ≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D 项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数． [答案] B 金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练5] 下列函数中哪个与函数y ＝x 相同？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x.解 (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相同． (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同． (3)y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y＝x 不相同，所以不相同．(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相同．1．下列各图中，可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 A ，B 中的图象与y 轴有两个交点，即有两个y 值与x ＝0对应，所以A ，B 不可能是函数y ＝f (x )的图象；对于C 中图象，过x ＝1作与x 轴垂直的直线，与图象有两个交点，所以C 不可能是函数y ＝f (x )的图象．故选D.2．函数f (x )＝x ＋2－x 的定义域是( )A ．{x |x ≥2} B．{x |x >2}C ．{x |x ≤2} D．{x |x <2}答案 C解析 要使函数式有意义，则2－x ≥0，即x ≤2.所以函数的定义域为{x |x ≤2}．3．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 ∵原函数的定义域为(－1,0)，∴－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12. ∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝________.答案 2解析 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，f (a ＋1)； (2)若f (x )＝5，求x . 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x －1＝1＋x －x 2x 2， f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋(a ＋1)－1＝a 2＋3a ＋1.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3.。
学案：高三函数的图象教案
平陆中学高三年级理科数学教案课题：函数的图象教学目标：1.通过复习函数图象的画法，体会等价转化的思想和图象间的相互关系，提升逻辑推理的核心素养。
2.通过函数的性质来识别函数的图像，提升直观想象的核心素养。
3.通过函数图象的应用，体会数形结合和等价转化的数学思想。
教学重点：函数图象的画法 教学难点：函数图象的应用 学习过程：一.知识梳理1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(4)伸缩变换 ①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．二.自我检测判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( )(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√已知函数y ＝|x －1|，则其图象关于________对称( ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－1解析：选C.y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞1，0，x ＝1，－x ＋1，x ＜1.其图象如图所示．故选C .函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1 D ．e－x －1解析：选D.曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]上的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________．解析：由f (x )的图象知f (x )为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝0. 答案：0若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x <0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一解，则a >0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)三.典例分析分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝|lg x |； (3)y ＝x ＋2x －1.【解】 (1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图所示．(3)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，图象如图所示．将本例(3)的函数变为“y ＝x ＋2x ＋3”，函数的图象如何？解：y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)函数f (x )＝ax ＋b（x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0【解析】 (1)易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D .(2)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，所以c <0. 令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)>0，所以b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba >0，所以a <0.故选C.【答案】 (1)D (2)C已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0，(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值． 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x <0，其图象如图．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，a2. (3)由图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0<a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a24. 综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24（0<a ≤2），1－a （a >2）.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}【解析】 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，知g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )的图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．【答案】 C(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[23，＋∞) B ．(0，1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)【解析】 当0＜m ≤1时，需满足1＋m ≥(m －1)2，解得0≤m ≤3，故这时0＜m ≤1.当m ＞1时，需满足(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0，故这时m ≥3.综上可知，正实数m 的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)． 【答案】 B四.巩固练习1. 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图中实线部分．2. (2018·长沙市统一模拟考试)函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：选A.令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A.3．下列区间中，函数f (x )＝|lg(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．⎣⎡⎦⎤－1，43 C ．⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1，2)解析：选D.用图象法解决，将y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得到y ＝lg(－x )的图象，再向右平移两个单位，得到y ＝ lg[－(x －2)]的图象，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到f (x )＝|lg(2－x )|的图象．由图象，在选项中的区间上f (x )是增函数的显然只有D.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，2) C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解析：选B.由题意可得直线y ＝x 与函数f (x )＝2(x >m )有且只有一个交点．而直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象至多有两个交点．题目需要三个交点，则需满足直线y ＝x 与函数f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象有两个交点，画图可知，函数y ＝x 与f (x )＝x 2＋4x ＋2的图象交点为A (－2，－2)，B (－1，－1)，故有m ≥－1.而当m ≥2时，直线y ＝x 和射线y ＝2(x >m )无交点，故实数m 的取值范围是[－1，2)．故选B.五.课堂小结 1.函数图象的画法[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 2.辨识函数图象的5个切入点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 3. 利用函数图象求解问题的策略(1)对称性信息转化为中点坐标关系，注重形与数的结合． (2)“渐近线”信息转化为函数的定义域或值域．(3)方程根的个数转化为两曲线的交点个数，注重数与形的结合． (4)图象的“最高点”“最低点”信息转化为最值问题．六.作业1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－23．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)4.已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( ) A ．f (x )＝e x ln xB ．f (x )＝e －x ln|x | C ．f (x )＝e x ln|x | D ．f (x )＝e |x |ln|x |5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________．8．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 9．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．。
答案寒假复习学案：3三角函数图像和性质
π ＜ 2 ，∴取
φ＝π3 .∴y＝3sin2x＋π3 .
11、已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的最小值是－5，图象上相邻两 个最高点与最低点的横坐标相差π4 ，且图象经过点0，52，则函数的解析式为________．
解析：由题意知 A＝5，T2＝π4 ，所以 T＝π2 ＝2ωπ，所以 ω＝4，所以 y＝5sin(4x＋φ)．又
寒假复习学案：3 三角函数图像和性质
一、基础知识
1．“五点作图法”是画出 y＝sin x 和 y＝cos x 在[0，2π]上的图象，通常选择(0，0) π2 ，1 (π，0) 3π 2 ，－1 (2π，0)五点。 2．周期函数定义的三个条件
(1)设函数 f(x)的定义域为 D;
(2)存在一个非零常数 T，使得对于每一个 x∈D 都有 x+T∈D；
[解] (1)∵－π6 <x<π6 ，∴0<2x＋π3 <2π 3 ，∴－12<cos2x＋π3 <1， ∴函数 y＝2cos2x＋π3 ，x∈－π6 ，π6 的值域为(－1，2)． (2)y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2 ＋5.所以当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2 ，k∈Z 时，ymax＝4；当 sin x＝－1，即 x ＝2kπ－π2 ，k∈Z 时，ymin＝－4.所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是
________．
[解析] 由 4x＋2π 3 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝kπ4 －π6 (k∈Z) ∴函数 y＝2sin4x＋2π 3 的图象的对称中心坐标为kπ 4 －π6 ，0(k∈Z)．取 k＝1，得π 12，0
学案3：5.4.3 正切函数的性质与图象
5.4.3 正切函数的性质与图象【新知初探】知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π奇偶性单调性在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数 状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐． (2)“三点两线”法“三点”是指⎝⎛⎭⎫－π4，－1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难] 1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 2．教材P 210思考可以先考察函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 【基础自测】1．下列说法正确的是( )A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π4B.π2C ．πD ．2π4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)【课堂探究】题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．状元随笔 求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x ≠k π＋π2 ，k ∈Z 等 问题． 方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解题要点 (1)分母不等于0 (2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x ≠kπ＋π2，k ∈Z题型二 正切函数的单调性及其应用 例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调区间．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )解出x 即可. 方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． 跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．题型三 正切函数图象与性质的综合应用例3 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的定义域、周期及单调区间．状元随笔 利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解题要点 由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点． 由tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点． 思想方法 与三角函数相关的函数零点问题例 当x ∈⎝⎛⎭⎫－32π，32π时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数． 【分析】 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根，也就是y ＝tan x 与y ＝sin x 交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．【学业达标】一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．πD ．2π2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >cD ．b <a <c4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π4，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π4，0(k ∈Z )D.()k π，0(k ∈Z )二、填空题5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________． 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－16π5.10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．【参考答案】【新知初探】知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质 奇函数【基础自测】1．解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D2．解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2.解法二 由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 答案：B4．解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数， 所以tan 135°＜tan 138°. 答案：＜【课堂探究】题型一 求函数的定义域 例1【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域为{xx ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z . 跟踪训练1解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x {x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x {x ≠k π2，k ∈Z }.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 答案：(1)D (2)见解析题型二 正切函数的单调性及其应用 例2【解析】 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4的单调递减区间为（－π12＋k π3，π4＋k π3）(k ∈Z )． 跟踪训练2解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是（2k π－π2，2k π＋32π），k ∈Z . 题型三 正切函数图象与性质的综合应用 例3【解析】 自变量x 的取值应满足π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以，函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k ＋13，k ∈Z .设z ＝π2x ＋π3，又tan(z ＋π)＝tan z ，所以tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3. 因为∀x ∈{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }都有tan ⎣⎡⎦⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3， 所以，函数的周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z 解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z .因此，函数在区间⎝⎛⎭⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z 上单调递增. 跟踪训练3解析：(1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是{xx ≠5π3＋2k π，k ∈Z }因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )． 由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )， 故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . (2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3≤3， 得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是 {xπ6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z }. 思想方法 与三角函数相关的函数零点问题 例【解析】 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2上的图象， 如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【学业达标】一、选择题1．解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|， 直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4.方法二 由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6＝tan ⎝⎛⎭⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－4⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4. 答案：A2．解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)． 答案：C4．解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B. 答案：B 二、填空题5．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 6． 解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]． 答案：(－3，3]7．解析：最小正周期T ＝π2； 由k π2＝2x －π4(k ∈Z )得x ＝k π4＋π8(k ∈Z )． ∴对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4＋π8，0(k ∈Z )．答案：π2；⎝⎛⎭⎫k π4＋π8，0(k ∈Z ) 三、解答题8．解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，T ＝π12＝2π， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ， 得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )． 9．解：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5. (2)因为tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－16π5＝－tan π5， 又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2内单调递增， 所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4<tan ⎝⎛⎭⎫－16π5. 10．解：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎨⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )－tan x ，k π－π2<x <k π(k ∈Z )，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ， 单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。
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学案3：函数的定义域
【课前预习,听课有针对性】（5m ）
1. （2010广东文）
2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是（ ）
A.),2(+∞
B. ),1(+∞
C. ),1[+∞
D. ),2[+∞
答案 B
2. 已知函数()
f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（ ） Ａ．{|1}x x >- Ｂ．{|1}x x < Ｃ．{|11}x x -<< Ｄ．∅
答案：C
3. 函数)13lg(13)(2
++-=x x x x f 的定义域是（ ）
A.),31(+∞-
B. )1,31
(- C. )31,31(- D. )31,(--∞
答案：B
4. 已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 21x 的定义域为_______. 11,164⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈＿＿＿＿＿＿。
30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【及时巩固,牢固掌握知识】（20——30m ）
A 组 夯实基础，运用知识
6. 函数x x x y +-=)1(的定义域是 。
7. 函数y =的定义域是 。
8.如果函数)1(+x f 的定义域是)3,2[-,则函数 )21(+x
f 的定义域是 。
9. 欲使函数1()f x x
=有最小值而无最大值，定义域为 。
（只写一个）
B 组 提高能力，灵活迁移
10. 已知函数1()1x f x x
+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ） ()A A B B =U ()B A B ≠
⊂ ()C A B = ()D A B B =I 解法要点：{}|1A x x =≠，121[()]()(1)11x y f f x f f x x x
+===-+=---，
令2111x -+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠I ．选D 11. 函数y=log 2x －1(32－4x )的定义域是____________.
12．若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数y=f(x+1)+f(x －1)的定义域为____________.
13．求函数2
))(1(lg
+--=x a x x y 的定义域.
【应对高考,寻找网络节点】（10m ）
14. 已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).
（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值； （2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.
（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23
,∴a+3＞0,
∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23
)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∈23,1). ∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-4
19，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
4,419. 15. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度)/(h km v 与时间)(h t 单位：的函数图象如图所示，设t 时刻沙尘暴所经过的路程为)(t S .
（Ⅰ）当10=t 时，求)(t S 的值；
（Ⅱ）求函数)(t S 的解析式；
（Ⅲ）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地km 750，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.
解：（Ⅰ）线段OA 的解析式为)100(4≤≤=t t v
当4=t 时，16=v ，则)(321642
1km S =⨯⨯=
； 3分 （Ⅱ）线段OA 的解析式为)100(4≤≤=t t v ，则22421t t t S =⨯⨯= 5分 线段AB 的解析式为)2010(4≤<=t v ，
则20040)10(4040102
1-=-+⨯⨯=t t S ，……7分 线段BC 的解析式为)3020)(30(4≤<--=t t v
800)30(2)]30(4)[30(2
1240)3010(2+--=---⨯-⨯+=t t t S 9分 所以⎪⎩
⎪⎨⎧≤<+--≤<-≤≤=).3020(800)30(2),2010(200
40),100(2)(22t t t t t t t S 10分 因为)(800)(max km t S =，所以这场沙尘暴会侵袭到N 城； 12分
由750)(=t S 求得25=t ，所以在沙尘暴发生25小时后它将侵袭到N 城.…13分
【温故知新，融会而贯通】（10m ）
16. 若关于x 的不等式mx 2-2x +2<0对任意的x ∈(1,2) 均成立, 则实数m 的取值范围是 . (,0]-∞ 解:方法一：（1）0m =时；（2）0m ≠时，看成二次函数分类讨论 方法二：222x m x -<
，x ∈(1,2) 均成立，求222()x f x x
-= x ∈(1,2)时的最小值； （1）211()2()2f x x x =-+⋅ 11(,1)2
x ∈看成二次函数求解； （2）222()x f x x -=， x ∈(1,2)，求导解决；
【尝试回忆，高效贮备知识】（坚持每日睡前3m ）
1.知识的再梳理：
2.题型的再回忆：
3.方法、技能与易错点重现：
4.数学思想方法：。