1.巧用勾股定理解决折叠与展开问题

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八年级数学下册练册第4招巧用勾股定理解决折叠问题新版新人教版

【解】如图，过点E作EG⊥BC于点G，
∴∠EGF＝90°，易得EG＝CD＝4 cm，
DE＝CG，BG＝AE＝PE＝CF.
在Rt△EGF中，由勾股定理得
FG＝ − ＝3(cm).
设CF＝x cm，则BG＝x cm，DE＝CG＝(x＋3)cm.
∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE.
由折叠得∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE.
至△DFE，延长EF交AB于点G，连接DG.
(1)求∠GDE的度数；
【解】(1)将△DCE沿DE折叠至△DFE，∴∠DFE＝∠C＝
90°，DC＝DF.∴∠DFG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAG＝90°＝∠DFG，DA＝DC＝DF.
＝，
在Rt△DAG与Rt△DFG中，ቊ
＝，
的点B'处，点A落在点A'处.
(1)求证：B'E＝BF；
【证明】∵在长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B'EF＝∠EFB.
由题意得∠B'FE＝∠EFB，
∴∠B'FE＝∠B'EF.∴B'E＝B'F.
又易知BF＝B'F，∴B'E＝BF.
(2)若AE＝3，AB＝4，求BF的长.
【解】由题易知∠A'＝∠A＝90°.
恰好落在CD边上的E处，折痕为AF.已知AB＝10，AD＝8.
(1)求BF的长；
(2)求折痕AF的长.
翻折问题常常在三角形和四边形中出
现，翻折前后的两个图形是全等图形，利用
翻折求线段长时，一般都利用勾股定理建立
方程模型解决问题.
解：(1)由题意得DE＝ − ＝ − ＝6.

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题

巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。

今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。

本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。

关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。

方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。

利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。

三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。

折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

微专题6 方法技巧巧用勾股定理解决折叠问题课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

【解析】操作一:(1)由翻折的性质可知:BD=AD,∴AD+DC=BC=7.∴△ACD的周
长为CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12(cm).
7.(2024·汉中期末)在数学实验课上,李静同学剪了两张直角三角形纸片,进行了如
图的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠,使斜边两个端点A与B重合,折痕为
AD上的点E处,折痕的一端点G在边BC上.
(2)如图(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时,
①求证:EF=EG.
②求HF的长.
【解析】(2)①∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴∠BGF=∠EGF,
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC,
∴∠BGF=∠EFG,
∴∠EGF=∠EFG,
∴EF=EG;
DE.
36°
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,可得∠B的度数为____;
操作二:如图2,李静拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线CD折叠,使点A与
点E重合,若AB=10 cm,BC=8 cm,请求出BE的长.
【解析】(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.
由翻折的性质可知:∠BAD=∠CBA=2x,
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的点E处,
∴EG=BG=10,HE=AB=8,FH=AF,
∴EF=EG=10,
在Rt△EFH中,FH= − = − =6.
本课结束
类型一三角形的折叠问题
1.(2024·天津模拟)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=9,将△ABC折叠,使点C与
AB的中点D重合,折痕交AC于点M,交BC于点N,则线段BN的长为

用勾股定理求折叠问题

用勾股定理求折叠问题在我们的生活中，折叠这个话题其实还挺有趣的。

咱们常常看到衣服、纸张、甚至是一些奇奇怪怪的东西需要折叠，这时候大家可能会想，这折叠的过程究竟有什么奥秘呢？说到这，不得不提到勾股定理，嘿嘿，这可是个神奇的工具，能帮我们解决不少麻烦。

想象一下，一张纸对折成两半，然后又折叠成小小的四分之一，最后一摞起来，哇，简直就是艺术品！不过，折叠过程中其实也藏着不少数学的智慧，咱们来聊聊。

折叠的时候，纸张的边边角角往往会形成一些三角形。

大家想象一下，咱们把一张长方形的纸对折，形成一个小长方形。

这个时候，长方形的对角线就出现了。

哎呀，看到这个对角线，是不是瞬间有种“哈，这不就是勾股定理的舞台吗？”的感觉？对角线的长度其实就可以用勾股定理来计算，听起来有点复杂，但其实很简单。

长方形的长和宽就像是直角三角形的两条直角边，而对角线就是斜边。

只要用长方形的长和宽平方相加，再开根号，就能得到对角线的长度。

简单吧？就像把一根香肠切成两段，轻松搞定。

说到这里，想想在学校的时候，老师讲这道题时，我们是不是都在心里默念“能不能快点啊，我还想出去玩呢？”勾股定理不只是数学课堂上的干货，在生活中也能派上大用场。

你有没有试过把一张纸折成一个小飞机？这个小飞机的翅膀得对称，要不然飞不起来。

你在折的时候，恰好就用上了勾股定理，找准了折叠的角度和位置，嘿，飞机飞得可远了。

再说说折叠衣服，那可是个技术活。

有时候一堆衣服像小山一样堆在角落，简直是“山重水复疑无路”的状态。

于是，咱们用折叠的技巧，把它们理顺。

每次折叠时，心里默念“衣服的宽和长能不能形成一个完美的直角三角形呢？”折得越整齐，找衣服的时候就越方便。

这时候，勾股定理又在你耳边悄悄响起，想想每一件衣服的边缘，就像是一个个小三角形，堆在一起形成了一个大矩形，真是让人感叹，折叠这门艺术，简直太精彩了！然后，咱们还可以想象一下折叠纸飞机的场景。

拿出一张纸，开始在手中翻飞，折啊折，最后变成一只酷炫的纸飞机，准备起飞。

典中点勾股定理专训3利用勾股定理巧解折叠问题

典中点勾股定理专训3 利用勾股定理巧解折叠问题◐名师点金◑折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线对称,解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤:1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角.2.在图形中找到一个直角三角形,然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x的式子表示出来.3.利用勾股定理列方程求出x.4.进行相关计算解决问题.典例剖析：如图,纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上的E处,折痕为AF.已知AB=10,AD=8.(1)求BF的长； (2)求折痕AF的长。

解题秘方:翻折问题常常在三角形和四边形中出现,翻折前后的两个图形是全等图形,利用翻折求线段长时,一般都利用勾股定理建立方程模型解决问题。

技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长1.在△ABC中,∠C=90°,AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′(1)如图①,如果点B′和顶点A重合,求CE的长；(2)如图②,如果点B′是AC的中点,求CE的长。

2.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B处,点A落在点A'处。

(1)求证B'E=BF； (2)若AE=3,AB=4,求BF的长。

技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长3.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG。

(1)求证△ABC≌△AFG； (2)求BG的长。

4.如图,在长方形ABCD中,AB=8，BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE,BE分别与CD相交于点O,F,且OE=OD,求AP的长。

技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系5.如图,将长方形ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,折痕交AD于点E,交BC于点F,连接CE。

第17章勾股定理利用勾股定理解决折叠问题(教案)

五、教学反思
今天我们在课堂上一起探讨了勾股定理及其在折叠问题中的应用。整体来看，学生们对勾股定理的概念和应用有了更深入的理解，但在教学过程中我也发现了一些需要改进的地方。
首先，我发现有些学生在理解勾股定理时，仍然存在一定的困难。特别是在将定理应用于实际问题时，他们往往不知道如何下手。针对这一点，我考虑在未来的教学中，可以多设计一些直观的例子，让学生通过观察和操作，更直观地感受勾股定理的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.培养学生的团队合作精神，通过小组讨论和合作，共同解决折叠问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的理解与应用。
-学生需掌握直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方这一数学关系。
-学生需学会如何将勾股定理应用于解决实际问题，特别是折叠问题中的长度计算。
-举例：在折叠问题中，若已知一个直角三角形的两个直角边长度，学生应能迅速计算出斜边长度。

八年级折叠问题解题技巧

八年级折叠问题解题技巧一、折叠问题的基本性质1. 对应边相等在折叠过程中，折叠前后重合的边长度相等。

例如，将一个三角形沿着某条直线折叠，那么折叠后重合的两条边是相等的。

例如，在矩形ABCD中，将矩形沿着对角线AC折叠，那么AB = AF（假设F是B折叠后的对应点）。

2. 对应角相等折叠前后重合的角是相等的。

比如将一个四边形进行折叠，原来的角和折叠后对应的角大小相同。

如在上述矩形折叠的例子中，∠B = ∠F，∠BAC = ∠FAC。

3. 对称轴垂直平分对应点连线如果沿着直线l折叠，A点折叠后得到A'点，那么直线l垂直平分AA'。

这一性质在解决折叠问题中常常用于构建直角三角形等。

二、解题技巧与题目解析1. 利用勾股定理求解折叠后的线段长度题目：如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A落在边CD上的点F处。

求CF的长。

解析：因为矩形ABCD沿BE折叠，所以AB = BF = 3，AE = EF。

在Rt△BCF中，BC = 5，BF = 3，根据勾股定理公式。

即公式。

2. 利用相似三角形解决折叠问题题目：在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，将△ABC沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处。

求DE的长。

解析：根据勾股定理可得公式。

因为△ABC沿AD折叠，所以△ACD≌△AED，所以AC = AE = 6，CD = DE，那么BE = AB AE=10 6 = 4。

设DE = CD=x，则BD = 8 x。

因为∠DEB = ∠C = 90°，∠B是公共角，所以△BDE∽△BAC。

根据相似三角形的性质公式，即公式，解得公式，所以DE的长为3。

3. 利用折叠性质建立方程求解角度题目：将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点D落在点D'处，若∠EFC = 125°，求∠D'EF的度数。

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用(解析版)

专题05 勾股定理在折叠问题中的应用折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。

此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。

下面就从以下的题目中逐一进行论述.题1. 如图1-1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD=__________．图1-1【答案】5 2 .【解析】∵∠A=90°，AB=3，AC=4∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=5. 由折叠的性质知：AB=AB’=3，AD=A’D∴A’C=2设CD=x，则AD=A’D=4－x在Rt△A’DC中，由勾股定理得：CD2=A’C2+A’D2x2=4+(4－x)2解得：52 x .故答案为5 2 .题2. 如图2-1，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1.75 B．3 C．3.75 D．4图2-1【答案】C.【解析】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10.由折叠的性质知：AD=BD=3，AE=BE=5.设CD=x，则BD=AD=8－x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2(8－x)2=36+x2解得：x=1.75 .∴BD=6.25.在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=3.75.故答案为C.题3. 如图3-1，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．【答案】3或1.5.【解析】分两种情况讨论：ABCDEB'图3-2①当∠CEB ′=90°时，如图3-2所示.由折叠性质得：AB =AB ′，四边形ABE B ′是矩形. 所以四边形ABE B ′是正方形. 此时，BE =AB =3.ABC DEB'图3-3②当∠CB ′E =90°时，如图3-3所示.由折叠性质知，∠AB ′C =90°，所以∠AB ′C+∠CB ′E =180°. ∴点A 、B ′、C 共线在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC =5 由折叠得：AB = AB ′=3 所以B ′C =2设BE =x ，则B ′E =x ，EC =4－x在Rt △ABC 中，由勾股定理得：EC 2=B ′E 2+B ′C 2 即：（4-x ）2=x 2+22 解得：x =1.5.综上所述，BE 的值为3或1.5.【点睛】本题解题关键在准确对问题进行分类讨论，并作出相应图形利用折叠的性质及勾股定理解题. 题4. 如图4-1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°， E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ,∠B ）向内折起,点A ,B 恰好落在CD 边的点F 处.若AD =3，BC =5，则EF 的值是（）图4-1A.15B.215C.17D.217【答案】A.【解析】由折叠性质知：AE=EF，AD=DF，BE=EF，BC=CF∴CD=CF+FD=8，AE=BE=EF.∵∠AED=∠DEF，∠BEC=∠CEF∠AED+∠DEF+∠BEC+∠CEF=180°∴∠DEC=90°在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2同理得：DE2=AD2+AE2CD2=CE2+DE2∴CD2= BE2+BC2 +AD2+AE2即64=2EF2+9+25解得：EF=15.故答案为A.题5. 如图5-1，在长方形ABCD中，将∆DBC沿BD对折至∆DBC’位置，BC’与AD交于点E. （1）试说明：BE=DE；（2）如果AB=6，BC=8，求△EBD的面积.图5-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：由折叠性质知：∠EBD =∠DBC ， ∵ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC ∴∠EDB =∠DBC ∴∠EBD =∠EDB ∴BE =DE .（2）解：设DE =BE =x ，则AE =8-x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：222BE AB AE =+即()22268x x =+- 解得：x =254. ∴△EBD 的面积为17524DE AB ⨯⨯=. 题6. 如图6-1所示，把长方形纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF . 若CD =6，求AF 的长度.F图6-1【答案】见解析.【解析】由折叠性质知：∠BAF =∠F AE ，AB =AE ∵E 是长方形ABCD 的边CD 的中点， ∴AE =CD =2DE ∴∠DAE =30° ∴∠BAF =∠F AE =30° 设BF =x ，则AF =2x在Rt △ABF 中，由勾股定理得：222AF AB BF =+即()22226x x =+ 解得：x=∴AF =2x=题7. 如图7-1，在矩形OABC 中，OA =5，AB =4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. 求点D 的坐标.【答案】见解析.【解析】由折叠性质可知：BD =DE , BC =CE =5 ∵OC =AB =4∴在Rt △OCE 中，由勾股定理得：3OE ==.∴AE =OA -OE =2.设AD =x ，则BD =DE =4-x , 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：222AD AE DE +=()22224x x +=-解得：x =32. 因为D 点在第三象限，所以D 点坐标为352⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.题8. 如图8-1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，21BC =+，点M ，N 分别是边BC ，AB上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MBC ∆为直角三角形，则BM 的长为．21+ 1. 【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.A (B')BCN图8-2①当∠CM B ′=90°时，如图8-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90° 即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合. 所以，1212BM BC +==A BCN B'图8-3②当∠CB ′M =90°时，如图8-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC = 2x因为BC 2+1所以x +2x=2+1 解得：x =1，即BM =1.故答案为：212或1. 题9. 如图9-1，AD 是△ABC 的中线，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，若∠ADC =45°，BC =4. 求BC ’的长.图9-1【答案】见解析. 【解析】由折叠性质得： ∠ADC =∠ADC ’=45°，CD =C ’D ∴∠C ’DC =∠BDC ’=90° 如图9-2所示.CAA (C')BD图9-2△BDC ’为等腰直角三角形，BD =C ’D =2，根据勾股定理，得BC ’ =22故BC ’的长为22题10. 已知，如图10-1长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为AB CDEF图10-1【答案】6.【解析】由折叠性质得：DE=BE设AE=x，则BE=DE=9-x,在Rt△ABE中，由勾股定理得：222AB AE BE+=()22239x x+=-解得：x=4.所以三角形ABE的面积为：11346 22AB AE⨯⨯=⨯⨯=.故答案为6.题11. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图11-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图11-1【答案】2.【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图11-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.AD (Q )C B P A'5534图11-2由折叠性质可知，AD = A 'D =5，在Rt △A 'CD 中，由勾股定理得，2222''534A C A D CD =-=-=②当点P 与点B 重合时，点A '的位置处于最右端，如图11-3所示.AD CB (P )A'Q332图11-3确定点A '的位置方法：因为在折叠过程中，A 'P =AP ，所以以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '. 再作出∠A 'P A 的角平分线，与A D 的交点即为点Q . 由折叠性质可知，AB = A 'B =3，所以四边形AB A 'Q 为正方形. 所以A 'C =BC －A 'B =5－3=2.综上所述，点A 移动的最大距离为4－2=2. 故答案为：2.【点睛】此题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

勾股定理应用之折叠专题(精)

勾股定理应用之折叠专题折叠问题的解题步骤:1. 找:折痕,折叠前后的图形2. 设:设出未知数,尽可能表达线段长3. 列:根据勾股定理列方程专项训练【板块一】折叠问题经典三步骤1. (2010广东如图,把等腰直角△ABC 沿BD 折叠,使点A 落在边BC 上的点E 处.下面结论错误的是( A .AB =BE B .AD =DC C .AD =DE D .AD =EC2. (2011山东如图:△ABC 的周长为30cm ,把△ABC 的边AC 对折,使顶点C 和点A 重合,折痕交BC 边于点D ,交AC 边与点E ,连接AD ,若AE =4cm ,则△ABD 的周长是(A .22cmB .20cmC .18cmD .15cm3. (2010黄冈如图矩形纸片ABCD ,AB =5cm ,BC =10cm ,CD 上有一点E ,ED =2cm ,AD 上有一点P ,PD =3cm ,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是_______cm . A .2 B .3 C .3.25 D .3.54. 如图,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B '处,点A 对应点为A ',且3B C '=,求CN 和AM 的长.B 'MNA 'DCBA【板块二】折叠问题中模型抽取平分线夹平行线模型5. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点E 处,则得到的△BDF 是个等腰三角形吗?若是等腰三角形,请写出证明步骤;若不是,请写出理由.6. 如图,把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中,使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连接OB ,将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在A′的位置上.OB 12BC OC ,求点A′的坐标为___________.7. (2010湖南改编如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使点A 与点C 重合,点D 落在点G 处,EF 为折痕. (1求证:△FGC ≌△EBC ;(2若AB =8,AD =4,求折痕EF 的长.FEDCACB【板块三】综合应用8.(2011黑龙江如图,ABCD是一张边AB长为2,边AD长为1的矩形纸片,沿过点B的折痕将A角翻折,使得点A落在边CD上的点A′处,折痕交边AD 于点E.(1求∠DA′E的大小;(2求△A′BE的面积.9.(2010河南如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.(1小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.(2问题解决:保持(1中的条件不变,若DC=2DF,求AD AB的值;(3类比探求:保持(1中的条件不变,若DC=nDF,求AD AB的值.CD。

勾股定理折叠问题

勾股定理折叠问题勾股定理，又称“毕达哥拉斯定理”，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前300年时所发现的一条数学定理，是目前数学中最著名的定理之一。

勾股定理定义：在直角三角形中，三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

记为：a² + b² = c²1、勾股定理发现路径长前300年，毕达哥拉斯是希腊古代最伟大的数学家之一。

在他的探索中，他发现了一条奇异的形态，它就是“勾股定理”。

他与其他数学家一道从南到北，从杨达雅当时的希腊数学鼻祖开始，必经另外三位数学家，包括埃拉托斯特尼，艾培拉和几何学的奠基人厄普代克，才最终发现了勾股定理，以它的实用性和普遍性对数学界造成了巨大的影响。

2、勾股定理的应用勾股定理在日常生活中有着广泛的应用，它可以让我们以更有效率的方式解决许多数学问题，例如解决折叠三角形的大小，测量几何图形等。

此外，勾股定理也能在统计学和金融学中起到解释和替换复杂的概率公式的关键作用，以此来预测期望利率、风险程度等概念。

3、勾股定理的引申此外，这个定理的发现还引发出许多新的数学思想，诸如三角函数和立方根等，从而推动了数学发展的进程。

同时，“勾股定理”也用于科学研究上，有助于帮助我们确定物体行星位置，研究太空测量，对位置、距离和时间的大量计算，以及估算天体运动轨道等。

总之，勾股定理是一个有着悠久历史的数学定理，注定成为数学发展史上不可缺少的一部分。

4、勾股定理的折叠勾股定理折叠，就是在只用纸笔的情况下，通过给定三条直线，来求得所构造三角形，其中能够满足勾股定理的解。

其实折叠并不难，它可以从三个动作来进行解说。

首先，先将三角形折叠成一条直线，再以直线为基础，其他两条线分别放在左边和右边，使得斜边与两边分别相等。

最后，用斜边折出一个似直 h三角形，满足勾股定理的三角形就折叠出来了。

在折叠的过程中，我们不仅要考虑折叠的正确性，还要注意折叠的简明性，在折叠勾股定理三角形时，不能多折纸，也不能歪折纸，因为它会影响最后的结果。

利用勾股定理解决折叠问题

利用勾股定理解决折叠问题一、引言折叠问题是指将一张纸片沿着某条线折叠后，能否在某种条件下使得所有的线段重合。

这个问题看似简单，但实际上涉及到了许多数学知识和技巧。

本文将介绍如何利用勾股定理解决折叠问题。

二、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。

即：设直角三角形ABC，其中∠C为直角，则有AB²+AC²=BC²。

三、折叠问题的基本原理折叠问题可以看作是一个几何变换问题，在几何变换中，保持长度不变是非常重要的条件。

在折叠纸片时，我们需要保证每个线段长度不变。

四、利用勾股定理解决折叠问题的方法1. 假设我们要将一张正方形纸片对折成一个等腰直角三角形。

2. 将正方形沿着对角线对折成两个等腰直角三角形。

3. 将其中一个等腰直角三角形沿着斜边对折，使得斜边与底边重合。

4. 将纸片展开，我们可以发现，原来的正方形纸片已经被折叠成了一个等腰直角三角形。

5. 根据勾股定理，我们可以计算出这个等腰直角三角形的底边和高的长度。

具体而言，设等腰直角三角形的斜边长为c，底边长为a，则有a²＝c²÷2。

6. 利用上述结论，我们可以将任何正方形纸片折叠成一个等腰直角三角形。

五、拓展应用1. 利用类似的方法，我们可以将任何矩形折叠成一个等腰直角三角形。

2. 利用勾股定理和相似三角形的性质，我们还可以将任何平行四边形折叠成一个正方形或矩形。

六、总结利用勾股定理解决折叠问题是一种简单而有效的方法。

通过对几何变换和勾股定理的深入理解和应用，我们可以解决更加复杂和有趣的折叠问题。

专题：勾股定理折叠问题 PPT课件

的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
5、动ห้องสมุดไป่ตู้操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ

(完整版)利用勾股定理解决折叠问题及答案

小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。

方法归纳利用勾股定理解决折叠问题

方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5 cm，BC=10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )A.252cm B.152cm C.254cm D.154cm【分析】图中CD在Rt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型.解折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解.1.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为( )A.1 cmB.1.5 cmC.2 cmD.3 cm2.(2014·青岛)如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF 的长为( )A.4 C.4.5 D.53.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.64.如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC 等于( )A.1B.2C.3D.45.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长为( )A.1.5B.2C.2.25D.2.56.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为__________.7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是__________.8.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为__________.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例2】如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm.【分析】将圆柱形平面展开，将A、C两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是9 cm而不是18 cm.9.如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A.6 cmB.12 cmC.13 cmD.16 cm10.如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是__________m（精确到0.01 m）.11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.参考答案例1要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线.设CD=x，则AD=BD=10-x.在Rt△ACD中，由勾股定理，得x2+52=(10-x)2.解得x=15 4.故应选D. 变式练习1.A2.A3.D4.B5.B6.77.6 cm28.13 3例2如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后，侧面是一个长18 cm，宽12 cm的长方形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D.由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP.由已知和长方形的性质，得DC=9,BD=12.在Rt△BCD中，由勾股定理得∴AP+PC=BP+PC=BC=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15 cm.变式练习9.C 10.2.6011.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图.构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.即O为DC的中点，由勾股定理得AC′2=AD′2+D′C′2=82+62=100,∴AC′=10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1′D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1′和AC1两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1′，爬过的路径的长l1.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2∵l1>l2，鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。

专题2-2 勾股定理(考题猜想)解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲(人教版)

专题2-2勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理解决折叠问题）折叠问题是中考的热点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理等知识进行解答。

【方法总结】利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；2.在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x ，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；3.利用勾股定理列方程求出x ；4.进行相关计算解决问题技巧1：巧用对称法求折叠中线段的长【例题1】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）已知如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知8cm AB =，10cm BC =，则EC =（）cmA ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A故选：A【变式1】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，折叠长方形纸片ABCD 的一边，使点D 落在BC 边的D ¢处，6cm AB =，10cm BC =，求CE 的长．即cm 3CE =．【变式2】．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，长方形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图（1），当折痕的另一端F 在AB 边上且4AE =时，求AF 的长(2)如图（2），当折痕的另一端F 在AD 边上且10BG =时，①求证：EF EG =．②求AF 的长．【答案】(1)3AF =(2)①详见解析；②6【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、平行线的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由折叠的性质可得BF EF =，然后利用AF 表示EF ，最后利用勾股定理列出方程求解即可；（2）①由折叠的性质可得BGF EGF ∠=∠，由平行线的性质可得BGF EFG ∠=∠，即可得出EGF EFG ∠=∠，从而得证；②由折叠的性质可得10EF EG ==，再由勾股定理计算即可得出答案．【详解】（1）解：如图1，BF EF ∴=，8AB = ，8EF AF ∴=-，在Rt AEF 中，2AE AF +解得3AF =；（2）①证明：如图2 BGF EGF ∴∠=∠，长方形纸片ABCD 的边BGF EFG ∴∠=∠，EGF EFG ∴∠=∠，EF EG ∴=；②解：纸片折叠后顶点10EG BG HE ∴===，10EF EG ∴==，在Rt EFH △中，FH =6AF FH ∴==．【变式3】（22-23八年级下·浙江金华·期中）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，点A 与点D 重合，点C 与点B 重合，将纸片展开，折痕为EF ，在AD 边上找一点P ，沿CP 将PCD 折叠，得到PCQ △，点D 的对应点为点Q.问题提出：（1）若点Q 落在EF 上，4CD =，连接BQ .①CQB △是三角形；②若CQB △是等边三角形，则AD 的长为.深入探究：（2）在（1）的条件下，当4=AD 时，判断CQB △的形状并证明；拓展延伸；（3）若5AB =，6AD =，其他条件不变，当点Q 落在矩形ABFE 内部（包括边）时，连接AQ ，直接写出AQ 的取值范围.（2）解：CQB △是等边三角形，证明如下：如图1，由（1）得=CQ BQ ∵四边形ABCD 是矩形，AD ∴4BC AD ==，∴CQ BQ BC ==，∴CQB △是等边三角形；（3）解：如图2，连接AC ，以点连接AG 、CG 、CH ，则CG CH CI CQ CD ====5AB CD == ，AD BC ==2261AC AB BC ∴=+=，【点睛】本题主要考查了矩形，轴对称，等腰三角形，等边三角形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形技巧2：巧用方程思想求折叠中线段的长B-，【例题2】（22-23八年级下·四川德阳·期中）如图，矩形ABCO如图放置在平面直角坐标系中，其中(9,3)若将其沿着OB对折后，A'为点A的对应点，则A D'的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．4.5故选：B【变式1】（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在ABC 中，10AB AC ==，16BC =，D 是BC 边上的动点，点B 关于直线AD 的对称点为B '，连接AB '交BC 于E ，当DEB '△为直角三角形时，BD 的长是．【答案】5或2【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质．当90B ED '∠=︒时，先求出AE 及B E '的长，再在Rt B DE '△中利用勾股定理求出BD ；当90B DE '∠=︒时，作AH BC ⊥，证明出ADH 为等腰直角三角形即可求出BD 即可．【详解】解：当90B ED '∠=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，8BE CE ∴==，10AB = ，6AE ∴=，由折叠得BD B D '=，10AB AB '==，4B E '∴=，设BD x =，8DE x ∴=-，在Rt B DE '△中，2224)8(x x -+=，5x ∴=，即5BD =；当90B DE '∠=︒时，如图，作AH BC ⊥，，90B DE '∠=︒ ，135ADB ADB '∴∠=∠=︒，45ADH ∴∠=︒，6DH AH ∴==，862BD BH DH ∴=-=-=．故答案为：5或2【变式2】（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图（1），已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，以OA OC ，为边在第一象限内作矩形OABC ．(1)求点A ，C 的坐标；(2)如图（2），将ABC 对折，使得点A 与点C 重合，折痕分别交BC AC ，于点D ，E ，求直线AD 的解析式；(3)在坐标平面内，是否存在点P （除点B 外），使得APC △与ABC 全等？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标：若不存在，请说明理由．由APC CBA △≌△得CAP ∠则点P 在直线CD 上．过由（2）得52AD CD ==，综合得，满足条件的点P 有三个，分别为()0,0或,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式3】．（21-22八年级下·广东佛山·期末）如图，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴，y 轴的正半轴上，连接AC ，且AC =2=OA CO ．(1)求AC 所在直线的解析式；(2)将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为)EF ，求折叠后纸片重叠部分的面积；(3)若过一定点M 的任意一条直线总能把矩形OABC 的面积分为相等的两部分，则定M 的坐标为．∴定点M 的坐标为(4,2)．故答案为：(4,2)．【点睛】此题属于一次函数综合题，考查了折叠的性质，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法以及折叠的性质是解本题的关键技巧3：巧用折叠探究线段之间的数量关系【例题3】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．(1)折一折、猜想计算：如图①：把边长为8的正方形纸片ABCD 对折，使边AB 与CD 重合，展开后得到折痕EF ．如图②：将正方形纸片ABCD 沿经过点A 的直线折叠，使点D 落在EF 上的点N 处，展开后连接,AN DN ，图②中，AND △为_________三角形，线段NF =_________；(2)折一折、类比探究：如图③将正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落点F 处，折痕与CD 边交于点M ，与AB 边交于点N ，展开后连接DF ．①猜想线段DF 与线段MN 之间的关系_________；②CM =_________；(3)折一折、探究证明：如图④：将正方形纸片ABCD 沿经过点A 的直线AM 折叠，使点D 落在正方形纸片ABCD 内部的点N 处，折痕与CD 边交于点M ，展开后延长MN 交BC 于点G ．猜想BG 与NG 的数量关系并证明；若2DM =，则CMG S =△_________．即90NHM ∠=︒，90HNM NMH ∠+∠=︒，∴DF MN ⊥，∴90DOM ∠=︒，90CDF DMO ∠+∠=︒，∴DMO CDF ∠=∠，∵正方形ABCD 中，90C ∠=︒，90C NHM ∠=∠=︒，∴DC AD NH ==，在FDC △和HNM 中，DMO CDF C NHM NH DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()S R A t Rt A FDC HNM ≌，∴DF MN=②设DM x =,FM x =，则8MC x =-，4FC =，由勾股定理得()22284x x -+=，解得：5x =，∴853CM =-=．（3）证明：连接AG ，【变式1】（20-21八年级上·福建泉州·期末）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD ()AB CD <．(1)操作发现：如图2，将图1中的矩形纸片沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B '处，AB '交DC 于点M ，若8AB =，4BC =，则AM =____．(2)如图3，将图2中的纸片展平，再次折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，然后展平，则以点A ，F ，C ，E 为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．(3)实践探究：如图4，将图3中的EF 隐去，点G 为边AB 上一点，且12GCB DCA ∠=∠，将纸片沿GC 折叠，使点B 落在点B '处，延长GB '与CD 的延长线交于点H ，则GB 与HD 有何数量关系？并说明理由．【答案】(1)5(2)以点A ，F ，C ，E 为顶点的四边形是菱形，理由见解析(3)GB HD =，理由见解析【分析】（1）利用折叠的性质和角平分线定义以及勾股定理解答即可得出结论；（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；（3）先判断出HCG BGC ∠=∠，进而判断出HCG B GC '∠=∠，得出HC HG =，最后判断出HB C ABC '≅ 即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ，∴ACD BAC ∠=∠，由折叠知，BAC B AC '∠=∠，∴B AC DAC '∠=∠，∴MAC △是等腰三角形，∴AM MC =，由折叠性质得出，8AB AB '==，4B C BC '==，90AB C B '∠=∠=︒，设MC 为x ，8B M x '=-，由勾股定理可得：2MC B C B M ''=+，即()22248x x =+-，解得：5x =，∴5AM MC ==．故答案为：5．（2）解：菱形，理由：如图3，连接,AE CF ，设EF 与AC 的交点为M ，∴GB HD =．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活应用所学知识解决问题是解本题的关键【变式2】（21-22八年级下·全国·单元测试）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC <，M 是BC 边的中点，过点M 作MP MQ ⊥交AB 于点P ，交AC 于点Q ，试求222,BP PQ CQ ，三者之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】222BP CQ PQ +=．证明见解析.【分析】将MPQ 沿着QM 翻折得到GQM ，连接CG ，由翻折可知PM MG =，PQ QG =，90PMQ QMG ∠=∠=︒，再利用SAS 证出BMP CMG ≌ ，从而得出BP CG =，B MCG ∠=∠，最后利用勾股定理和等量代换即可证出结论．【详解】解：222BP CQ PQ +=．证明如下：如图，将MPQ 沿着QM 翻折得到GQM ，连接CG ．由翻折可知，PM MG =，PQ QG =，90PMQ QMG ∠=∠=︒，∴P ，M ，G 三点共线．∵M 为BC 边中点，∴BM CM =．在BMP 和CMG 中BM CM PMB GMC PM GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)BMP CMG ≌ ，∴BP CG =，B MCG ∠=∠．又∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠+∠=︒，∴90MCG ACB ∠+∠=︒，即90QCG ∠=︒．在Rt QCG 中，∵222CG QC GQ +=，∴222BP CQ PQ +=．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、勾股定理和折叠问题，掌握全等三角形的判定及性质、利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键【变式3】（22-23八年级下·江西宜春·期末）课本再现：（1）如图1，ABCD 是一个正方形花园，E ，F 是它的两个门，且DE CF =．要修建两条路BE 和AF ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？BE 和AF 的数量关系是：___________；BE 和AF 的位置关系是___________；（无需证明）知识应用：（2）如图2，ABCD 是一个正方形草地，现要在内部修建两条路MN EF 、，且MN EF ⊥，①请问这两条路MN EF 、还相等吗？为什么？②如图3，将边长为12的正方形纸片沿EF 折叠，点D 落在BC 边上的点N 处，若折痕EF 的长为13，求此时DE 的长；拓展延伸：（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿EF 折叠，点D 落在BC 边上的点N 处，DN 与EF 交于点P ，取AD 的中点M ，连接PM PC 、，则PM PC +的最小值为___________，此时EF 的长度是___________．90EAO DFA ∠+∠=︒，等量代换即可得到90EAO AEB ∠+∠=︒，因此证明得到90AOE ∠=︒，从而证明得到结论；（2）①过F 点作FP CD ⊥于点P ，过点M 作MQ BC ⊥于点Q ，MQ 与FP 相交于点H ，同（1），证明EFP NMP ≌△△，即可得到MN EF =；②连接DN ，在Rt DCN △中，利用勾股定理求得CN 的长，设DE EN x ==，则12CE x =-，在Rt CEN △中，利用勾股定理列式计算即可求解；（3）当点P 、M 、C 三点共线时，PM PC +的值最小，即CM 的长，利用勾股定理可求得CM 的长，再证明DMP NCP ≌△△，即可求解EF 的长．【详解】解：猜想BE AF =，BE AF ⊥，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴90AB AD CD D BAD ==∠=∠=︒，，∵DE CF =，∴-=-AD DE CD CF ，即AE DF =，在BAE 和ADF △中，AE DF BAE D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAE ADF △≌，∴BE AF AEB DFA =∠=∠，，∵90D Ð=°，∴90EAO DFA ∠+∠=︒，∴90EAO AEB ∠+∠=︒，∴90AOE ∠=︒，∴BE AF ⊥；故答案为：BE AF =，BE AF ⊥；（2）①MN EF =，理由如下：过F 点作FP CD ⊥于点P ，过点M 作MQ BC ⊥于点Q ，MQ 与FP 相交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴A B C ∠=∠=∠=∠∵FP CD ⊥于点P ，∴FP BC CD MQ ==，∴FP MQ =，MHF ∠由折叠可得DE EN =，∵四边形ABCD 是正方形，∴12CD BC ==，∴在Rt DCN △中，CN ∴设DE EN x ==，则CE根据勾股定理可求得CM 由折叠的性质得DP PN =∵四边形ABCD 是正方形，∴∴DMP NCP ∠=∠，MDP ∠【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题。