数学解题思想方法漫谈

第二十二讲解题思想方法漫谈

学习数学必须善于解题，当代美国著名数学家哈尔莫斯(P．R．Halmos)说过这样的话：“问题是数学的心脏．”当代最著名的数学教育家、美国的波利亚曾说过：“掌握数学意味着什么？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题．”所以，有志于学好数学的同学，除了学好课本知识以外，还需要学习一些数学解题的思想方法和技巧．本讲将介绍一些常用的数学解题方法．

1．化归

所谓“化归”，是指把要解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者能比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种解题策略，化归从某种意义上来说就是“化简”．匈牙利著名数学家罗莎·彼得(RoszaPeter)在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的．

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上．”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去．”但是更完善的回答应该是这样：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家们却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了．’”

“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家们常用的方法．

例1 5这个数，可以写成3个自然数之和，如果计入不同的顺序，则有6种方式，即

5=1+1+3=1+3+1=3+1+1

=1+2+2=2+1+2=2+2+1．

设n是大于5的自然数，问n可以用多少种方式写成3个自然数之和(计入顺序)？

分析对于5，我们把5写成：1+1+1+1+1．对于它的每一种写成3个自然数之和的方式，对应着从4个加号中选2个加号的方式．例如1+1+3，实际上就是选前两个加号，1+2+2是选第1和第3个加号，2+2+1是选第2和第4个加号，等等．所以5写成3个自然数之和的方式个数，实际上

等于(化归！)在4个加号中选2个的所有选法数，即

解把n写成n个1的和

n=1+1+1+ (1)

例2 (1)13个小朋友围成一个圆圈，从圈上至多能选出几个人，使得他们互不相邻？

(2)从1，2，…，13这13个数中至多可以选出几个数，使得选出的数中，每两个数的差既不等于5，也不等于8？

解 (1)把这13个小朋友依次编号为1，2，…，13，如图3－124所示，那么选6个人是可以的，例如，选1，3，5，7，9，11号这6位小朋友，他们是不相邻的．

现在来说明至多可选6名．先任意选定1个，不妨设为1号，这时候与他相邻的2号与13号不能选了．把剩下的10位小朋友配成5对：(3，4)，(5，6)，(7，8)，(9，10)，(11，12)．在这5对中，每一对中至多只能选出1个，连同1号在内，至多可选出6个人，他们互不相邻．

综上所述，从圈上至多能选出6个人，他们互不相邻．

(2)我们把这题“化归”为(1)．

我们把1，2，…，13按如下规则排成一个圆圈：先排1，在1的旁边放9(与1的差为8)，在9的旁边放4(与9的差为5)，…这样继续放下去，每个数旁边的数与它相差8或5，最后得到图3－125所示的一个圈．圈上的数满足：

(i)每两个相邻的数的差或是8，或是5；

(ii)两个不相邻的数的差既不等于5，也不等于8．

于是问题(2)就转化为：在这个圈上至多能选几个数，使每两个数在圈上不相邻？由(1)的结论知，答案是6．例如，选1，4，7，10，13，3．

2．选择有效的记号

在处理某些问题时，一开始就选择好有效的记号，或对一些量进行赋值，或给出一个数的某种表示，这往往是解题的关键．

例3 n个点A1，A2，…，A n顺次排在同一条直线上，将每个点染上红色或蓝色．如果线段A i A i+1(1≤i≤n-1)的两端颜色不同，就称它为标准线段．已知A1与A n的颜色不同，证明：在A i A i+1(i=1，2，…，n-1)中，标准线段的条数为奇数．

证对A1，A2，…，A n中的每一个点A i赋值，将点A i与数a i相对应：

设这n-1条线段中有m条是标准线段，那么

(a1a2)·(a2a3)·…·(a n

a n)=(-1)m．

-1

另一方面，有

所以(-1)m=-1，故m是奇数．

所以，标准线段的条数是奇数．

例4 (1)如果n是一个正整数，使得2n+1是一个完全平方数，证明：n+1是两个相邻的完全平方数之和；

(2)如果正整数n使得3n+1是一个完全平方数，证明：n+1是三个完全平方数之和．

证 (1)因为2n+1是一个完全平方数，不妨设

2n+1=a2，

其中a是整数．由于a2是奇数，从而a是奇数，于是可设a=2b+1，b是整数．由

2n+1=(2b+1)2，

得n=2b2+2b，

于是

n+1=2b2+2b+1=b2+(b+1)2，

即n+1是两个相邻的平方数之和．

(2)因为3n+1是一个完全平方数，设

3n+1=s2

其中s是整数，显然s不是3的倍数．因此，令s=3t±1，t是整数．由

3n+1=(3t±1)2，

得n=3t2±2t，

于是

n+1=3t2±2t＋1=t2+t2+(t±1)2，

即n+1是三个完全平方数之和．

说明在(1)的证明中，我们对a进行奇偶分类(即模2)，然后给出它的表示(a=2b+1)，(2)的证明中，对s用3t±1(即模3)表示，这样便把原问题化为简单的代数问题了．