积分法求变形

x FA
Fs(x) M(x) x
形
ymax

Fl 3 3EI
max

Fl 2 2EI
3
版权所有 钟艳玲 张强
均为正值，表明 B 点上移，且截面逆时针绕中性轴转动。
例 2 试用积分法求图示梁的转角方程与挠曲线方程，并求 最大转角和最大挠度。设梁的抗弯刚度 EI 为常数。
工 解 (1) 确定弯矩方程
力
学
第 7
F FA 2
FB

3F 2
A
FA
l
章
(2) 确定弯矩方程
弯 曲
AB 段：
变 形
0 x1 l :
M
(x1)

FA x1


Fx1 2
14
版权所有 钟艳玲 张强
BC 段：
l

x2

3l: 2
M (x2 )
F (x2
3 l) 2
F
B
C
l/2 FB
工 程 力 学
第 7 章
弯 曲 变 形
l CB 段：
第
7 章
1

Fb 6EIl
(3x2

l2

b2 )
2


Fa 6EIl
[3(l

x)2
l2

a2]
弯 曲 变
y1


Fbx 6EIl
(l 2

b2

x2
)
y2


Fa(l 6EIl
x) [l2

a2

(l

x)2 ]
形
设 a > b，则在 x l2 b2 a : 3
b l b l
F F
(1 2 (1 6
a2 a3

a1
C1 )


l
F( b 2
C1a)

a l
F(1 6
b3
2 C2 ) C2b)
11
版权所有 钟艳玲 张强
C1
1 (l2 b2 ), 6
C2
1 (l2 a2 ) 6
F
A
B
C
工 程
FA a
b FB
力 学
AC 段：
曲 变
EIz 6 6
形
y 1 ( qx4 ql3x ql4 )
EIz 24 6 8
7
版权所有 钟艳玲 张强
x 0:
max

ql 3 6EI z
(
)
ymax
ql 4 8EI z
(
)
例 8 设梁的弯曲刚度 EI 为常数。求梁的挠曲线。
F
工
程 解 1. 支座反力
力 学
b
a
FA l F, FB l F
曲 变 形
FA
积分一次： EIy Flx F x2 C
2
再积分一次： EIy Fl x2 F x3 Cx D
1
26
版权所有 钟艳玲 张强
例 1 求如图所示悬臂梁的最大挠度和转角。
EIy Flx F x2 C
工
2
y
MA y
F
程 力 学
EIy Fl x2 F x3 Cx D 26
A FA
x l
Bx
第
7 4. 确定积分常数 (固定端边界条件)
章
MA
弯
x 0 : y 0; x 0 : y 0
A x
曲
C 0, D 0
变
FA
形
5. 挠曲线和转角方程
Fs(x) M(x) x
EIy Fl x2 F x3 EI EIy Flx F x2
(
Fx12 4
C1)
dx1


Fx13 12
C1x1

D1

y1

1 EI z
(
Fx13 12

C1x1

D1 )
工 程 力 学
第 7 章
弯 曲 变 形
16
版权所有 钟艳玲 张强
(3) 确定转角和挠度方程 (AB 段)
l

x2

3 2
l
:
EIz y2
M (x2 )

F (x2

Fb(l 2 b2 )3/2 ymax 9 3EIl
12
版权所有 钟艳玲 张强
x 1l: 2
y( l ) Fb(3l2 4b2 )
2
48EI
F
A
B
C
工 程
FA a
b FB
力
l
学
第 7 章
设 a > b，则在 x
l2 b2 a:
3
ymax


Fb(l 2 9
b2 )3/2 3EIl
工
程
力 学
EIz2 EIz y2 M (x2 ) dx2
(l

x)2

C2 ]
曲 变 形
EIy1

b l
F(1 6
x3

C1x

D1 )
EIy2

a l
F[1 6
(l

x)3

C2 (l

x)

D2 ]
边界条件
10
版权所有 钟艳玲 张强
x 0 : y1 0 x l : y2 0
D1 0, D2 0
AC 段：
CB 段：
工
EI1
15
版权所有 钟艳玲 张强
(3) 确定转角和挠度方程 (AB 段)
0 x1 l :
EI z
y1
M (x1)


Fx1 2
EIz1 EIz y1 M (x1) dx1

Fx1 2
dx1


Fx12 4
C1
1

1 EI z
(
Fx12 4
C1)
EIz y1
第
7 章
2. 弯矩方程
A FA a
B C
b FB
l
弯
AC 段：
曲 变 形
M1(x)

b l
Fx
CB 段： a
M2 (x) l F(l x)
3. 挠曲线近似微分方程并积分
8
版权所有 钟艳玲 张强
EIy1

M1(
x)

b l
Fx
EIy2

M2
(x)

a l
F (l

x)
F
A
B
C
工 程
FA a
A 1 x10
12EI z
例 5 试用积分法求图示梁（ EI 为常数）的转角方程与挠曲 线方程，并求截面 C 的挠度及截面 B 的转角。
工 程
解 (1) 求约束反力：
力 学
FA F
M
A

3Fl 2
第 7
(2) 确定弯矩方程：
章
(AB 段)
MA A
F
M0=Fl
B
C
FA l/2
l/2
EIz y1 M (x1)

F ( 3l 2
x1)
程
力 学
EIz1 EIz y1 M (x1) dx1
第 7

F( 3l 2
x1) dx1
F( 3l 2
x1

1 2
x12
C1)
章 弯

1

F 2 EI z
(3lx1

x12

C1 )
曲
变
形
EIz y1

EIy1

b l
F(1 2
x2

C1)
EI2

EIy2


a l
F[1 2
(l

x)2

C2 ]
程
力 学
EIy1

b l
F
(1 6
x3

C1x)
EIy2

a l
F[1 6
(l

x)3
C2 (l

x)]
第 连续条件
7
章
弯
x a : y1 y2
曲
y1 y2
变
形




b FB
力
l
学
第 AC 段：
7
章 弯
M1
(
x)

b l
Fx
曲 变 形
EIy1

M1(x)

b l
Fx
CB 段：
M 2 ( x)

a l
F (l

x)
EIy2

M2
(x)

a l
F (l

x)
EI1

EIy1

b l
F(1 2
x2

C1)
EI2

EIy2


a l
F[1 2
(l

x)2
(4) 求最大转角和最大挠度
5
版权所有 钟艳玲 张强
xl:
max

M 0l EI z
(
)
ymax

M 0l 2 2EI z
(
)
例 3 试用积分法求图示梁的转角方程与挠曲线方程，并求 最大转角和最大挠度。设梁的抗弯刚度 EI 为常数。
工 解 (1) 确定弯矩方程
程 力
M (x) qx2
学
2
F 2
(3lx1

x12
C1) dx1

F 2
(
3 2
lx12

1 3
x13
C1x1

D1 )
20
版权所有 钟艳玲 张强

y1

F 2 EI z
(
3 2
lx12

1 3
x13

C1x1

D1 )
(3) 确定转角和挠度方程 (BC 段)
l 2 x2 l : EIz y2 M (x2 ) Fl
程
力
M (x) M0
学
(2) 确定转角和挠度方程
第
7
EIz y M (x) M0
章
弯
EIz EIz y M (x) dx
曲
变
M 0 dx M0x C
形
M0
A
B
l


1 EI z
(M 0 x
C)
4
版权所有 钟艳玲 张强
EIz y (M0x C) dx
3 l) 2
EIz2 EIz y2
M (x2 ) dx2
F
( x2

3 2
l
)
dx2
2

F EI z
( x22 2

3 2
lx2
C2 )

F ( x22 2

3 2
lx2
C2 )
EIz y2 F
( x22 2

3 2
lx2
C2 )
dx2

F ( x23 6
C1

Fl 2 12
C2

5l 2 6
D2


l3 4
1

F 12 EI z
(3x12
l2)
y1

F 12 EI z
( x13

l 2 x1)
工 程 力
2

F 6EI z
(3x22

9lx2

5l 2 )
y2

F 12EI z
(2x23

9lx22
10l 2 x2
3l3)
学
(4) 求截面 C 的挠度

3 4
lx22
C2 x2

D2 )

y2

F EI z
( x23 6

3 4
lx22
C2 x2

D2 )
工 程 力 学
第 7 章
弯 曲 变 形
17
版权所有 钟艳玲 张强
(3) 确定转角和挠度方程 (确定积分常数)
1

1 EI z
(
Fx12 4

C1 )
2

F EI z
( x22 2
例 1 求如图所示悬臂梁的最大挠度和转角。
解 1. 支座反力
工 程
FA= F , MA= Fl
力 学
2. 弯矩方程
第
M(x) = MA - FAx = Fl - Fx
y
MA y Ax
FA
l
F Bx
7
章
3. 挠曲线近似微分方程并积分
MA
Fs(x)
弯
EIy M (x) Fl Fx
A x
M(x) x

C2 ]
9
版权所有
EIy1

b l
F(1 6
x3

C1x

D1 )
钟艳玲 张强
EIy2

a l
F[1 6
(l

x)3

C2 (l

ห้องสมุดไป่ตู้
x)

D2 ]
F
A
B
C
工 程
FA a
b FB
力
l
学
第 AC 段：
CB 段：
7
章 弯
EI1

EIy1

b l
F(1 2
x2

C1)
EI2

EIy2


a l
F[1 2
26
2
2
版权所有 钟艳玲 张强
例 1 求如图所示悬臂梁的最大挠度和转角。
y
工 程 力 学
第 7 章
弯 曲 变
5. 挠曲线和转角方程
EIy Fl x2 F x3 26
EI EIy ' Flx F x2
2
6. 最大挠度和转角 (在 B 截面处)
xl:
MA y
F
Ax
Bx
FA
l
MA A
弯 曲
x 1l:
y( l ) Fb(3l2 4b2 )
变
2
2
48EI
形
可用中点处挠度作为 梁的最大挠度，误差 13 不超过 3%。
版权所有 钟艳玲 张强
b/l
例 4 试用积分法求图示梁（ EI 为常数）的转角方程与挠曲 线方程，并求截面 C 的挠度及截面 A 的转角。
工
程 解 (1) 求约束反力

3 2
lx2
C2 )
y1

1 EI z
(
Fx13 12
C1x1

D1 )
y2

F EI z
( x23 6

3 4
lx22
C2 x2

D2 )
边界条件和连续条件： A
x1 0 :
y1 0
x1 x2 l : y1 y2 0 FA
1 2
F
B
C
l
l/2
FB
D1 0

1 2
M
0x2

Cx

D
y

1 EI z
(1 2
M0x2
Cx
D)


1 EI z
(M 0 x
C)
工 程 力
y

1 EI z
(1 2
M0x2

Cx

D)
学 (3) 确定积分常数
M0
第
A
7
x 0: 0 C 0
B
章
y0 D0
l
弯 曲 变 形
M0x
EI z
y M0x2 2EI z
(2) 确定转角和挠度方程
第 7 章
EI z
y

M
(x)

qx2 2
弯 曲 变 形
6
版权所有 钟艳玲 张强
EIz EIz y M (x) dx
qx2 dx qx3 C
2
6
EIz y
( qx3 C) dx 6
qx4 Cx D
24
q
A
l
B
1 ( qx3 C)
弯 曲
0 x1 l 2 : M (x1) M A FAx1
变 形

F (
3l 2

x1 )
19
版权所有 钟艳玲 张强
(BC 段)
l 2 x2 l :
M
( x2
)

M
A

FA x2

F
( x2

l 2
)
Fl
(3) 确定转角和挠度方程 (AB 段)
工
0 x1 l 2 :
EIz 6
y
1
qx4 (

Cx

D)
EIz 24
1 ( qx3 C) y 1 ( qx4 Cx D)
EIz 6
EIz 24
工 (3) 确定积分常数
程 力 学
第 7
x l : 0 C ql3
q
6A y 0 D ql4
l
8
B
章
弯
1 ( qx3 ql3 )
F
第
7
3
A
B
C
章
x2 2 l :
弯 曲
yC y2 x2 3l 2
FA
l
l/2
FB
变 形

F 12EI z
2(
3 2
l)3
9l(3 2
l)2
10l 2 ( 3 2
l
)

3l
3



Fl3 8EI z
(5) 求截面 A 的转角
18
版权所有 钟艳玲 张强
x1 0 :
Fl 2