二重积分的计算习题课
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z
解： V 6 2 x 3 y dxdy
D
dy 6 2 x 3 y dx
1 1 0 0
7 . 2
y
o
1 y
1
D
o
x
1
1
x
8
例1. 设由锥面
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积. 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
z 2
y ya
( x 2 y 2 )dx
P155:15(4)
D
x y dxdy d d
2 2 0 a
2
b
7
P155:8 求由四个平面x 0, y 0, x 1, y 1围成的柱体被
平面z 0及2 x 3 y z 6截得的立体的体积.
y
y 2ax x 2
D
2a
2a cos
x
y 2ax x 2 2a cos 0 2 则 D： 0 2a cos
原式 ( x y )d x d y= d
2 2 D
o
=
2 0
2 a cos
2 .积分区域D为圆域或者为圆域的一部分时；
0
外限定限方法------投影法 3 .在直角坐标系下积不出来时； 内限定限方法---平行线穿越法
1
3.计算二重积分的步骤及注意事项
• 画出积分域,写出边界曲线的方程,求出交点坐标； • 选择坐标系 区域边界应尽量多为坐标线. 被积函数关于坐标变量易分离.
0 x
1
x
1 2
解(3):
y x 4 y x 2 tan sec 0 则 D： 4 0 tan sec
2 2 1 2 D
0 x 1 D： 如图： 2 x y x
y
y x2
y x 4 D tan sec o x 1
0
2 d
2 0
3!! 3 4 a 4a cos d 4a 4!! 2 4
4 4
4
4
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x 2 0
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
d x 1 x
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x
2
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
0
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
0 x
1
x
1 2
解(1):
0 x 2a 如图： D： 2 0 y 2ax x
原式 ( x y ) d x d y = d
4 0
tan sec
0
1 d = tan sec d
5
4 0
= 2 1
P155:15(1)
计算
D
x2 1 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 围成． 2 y x
按Y-型区域计算可以吗?
1
o
D
1
x2
2
x
6
P155:15(2)
D
2 1 1 1 x2 y2 2 d x d y d d 2 2 2 0 0 1 x y 1
P155:15(3)
( x y )dxdy dy
2 2 D a
3a
1 x 0 D2： 1 x y 1 x
y
x y 1
1
D
x y 1
o
x y 1
0 1 x 1 x 1
1 x x y 1 1
则有 e
D
x y
d dx
0
1
1 x x 1
e
x y
e
0
1 0
1
x y 1 x
2 x 1
d y d x
0 x y 1 x
e x y d y
d x e x 1 1
)dx (e
1 0
(e e
D D1
2 x 1
x y x y 问： e d 4 e d ？
1 e )d x e . e
1
3
V 2 x y d x y d
2 2
D
2
2
D
D
o x
y
d
0
2
1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
2 2 ρd d ρd
0 0
2
1
y
x2 y2 1
1
o D
x
9
P155:10
计算曲面z x 2 2 y 2及z 6 2 x 2 y 2所围成的立体的体积.
1 解: X-型 D : y x , 1 x 2. x y 2 2 2 x x x d d x 1 2 d y 2 1 1 x y D y y
y x
x x ( ) 1 dx 1 y x
2 2
2 3
x
9 ( x x )dx . 1 4
• 确定积分序
积分域分块要少.
累次积分好算为妙(首先内积分易积). “平行线穿越法” “射线穿越法”
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等)
2
P154:2(3)
x y e d , 其中D ( x , y ) x y 1 D
.
1
0 x 1 解: X-型 D1： x 1 y 1 x
二重积分复习课
1. f ( x , y )d xdy D 极坐标系下计算
X 型区域(先y后x) 直角坐标系下计算 Y 型区域(先x后y)
d 1 ( ) DD 2.何时用极坐标？
y0 1 ( x )
0
y
y 2 ( x)
2 ( )
y
x 2 ( y)
D
( )
极点在区域D的外部 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部
D
( )
xo c 2 2 1 .当被积函数中含 f ( x y )或者f ( )时； x o x o a y bx x x
x 1 ( y)
D
解： V 6 2 x 3 y dxdy
D
dy 6 2 x 3 y dx
1 1 0 0
7 . 2
y
o
1 y
1
D
o
x
1
1
x
8
例1. 设由锥面
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积. 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
z 2
y ya
( x 2 y 2 )dx
P155:15(4)
D
x y dxdy d d
2 2 0 a
2
b
7
P155:8 求由四个平面x 0, y 0, x 1, y 1围成的柱体被
平面z 0及2 x 3 y z 6截得的立体的体积.
y
y 2ax x 2
D
2a
2a cos
x
y 2ax x 2 2a cos 0 2 则 D： 0 2a cos
原式 ( x y )d x d y= d
2 2 D
o
=
2 0
2 a cos
2 .积分区域D为圆域或者为圆域的一部分时；
0
外限定限方法------投影法 3 .在直角坐标系下积不出来时； 内限定限方法---平行线穿越法
1
3.计算二重积分的步骤及注意事项
• 画出积分域,写出边界曲线的方程,求出交点坐标； • 选择坐标系 区域边界应尽量多为坐标线. 被积函数关于坐标变量易分离.
0 x
1
x
1 2
解(3):
y x 4 y x 2 tan sec 0 则 D： 4 0 tan sec
2 2 1 2 D
0 x 1 D： 如图： 2 x y x
y
y x2
y x 4 D tan sec o x 1
0
2 d
2 0
3!! 3 4 a 4a cos d 4a 4!! 2 4
4 4
4
4
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x 2 0
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
d x 1 x
P155:13(1)(3)
(1) dx
0 2a 2 ax x
2
把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值.
2 2
0
( x y )d y
(3) dx 2 ( x 2 y 2 ) d y
0 x
1
x
1 2
解(1):
0 x 2a 如图： D： 2 0 y 2ax x
原式 ( x y ) d x d y = d
4 0
tan sec
0
1 d = tan sec d
5
4 0
= 2 1
P155:15(1)
计算
D
x2 1 d . 其中 D 由 y x , y , x 2 围成． 2 y x
按Y-型区域计算可以吗?
1
o
D
1
x2
2
x
6
P155:15(2)
D
2 1 1 1 x2 y2 2 d x d y d d 2 2 2 0 0 1 x y 1
P155:15(3)
( x y )dxdy dy
2 2 D a
3a
1 x 0 D2： 1 x y 1 x
y
x y 1
1
D
x y 1
o
x y 1
0 1 x 1 x 1
1 x x y 1 1
则有 e
D
x y
d dx
0
1
1 x x 1
e
x y
e
0
1 0
1
x y 1 x
2 x 1
d y d x
0 x y 1 x
e x y d y
d x e x 1 1
)dx (e
1 0
(e e
D D1
2 x 1
x y x y 问： e d 4 e d ？
1 e )d x e . e
1
3
V 2 x y d x y d
2 2
D
2
2
D
D
o x
y
d
0
2
1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
2 2 ρd d ρd
0 0
2
1
y
x2 y2 1
1
o D
x
9
P155:10
计算曲面z x 2 2 y 2及z 6 2 x 2 y 2所围成的立体的体积.
1 解: X-型 D : y x , 1 x 2. x y 2 2 2 x x x d d x 1 2 d y 2 1 1 x y D y y
y x
x x ( ) 1 dx 1 y x
2 2
2 3
x
9 ( x x )dx . 1 4
• 确定积分序
积分域分块要少.
累次积分好算为妙(首先内积分易积). “平行线穿越法” “射线穿越法”
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等)
2
P154:2(3)
x y e d , 其中D ( x , y ) x y 1 D
.
1
0 x 1 解: X-型 D1： x 1 y 1 x
二重积分复习课
1. f ( x , y )d xdy D 极坐标系下计算
X 型区域(先y后x) 直角坐标系下计算 Y 型区域(先x后y)
d 1 ( ) DD 2.何时用极坐标？
y0 1 ( x )
0
y
y 2 ( x)
2 ( )
y
x 2 ( y)
D
( )
极点在区域D的外部 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部
D
( )
xo c 2 2 1 .当被积函数中含 f ( x y )或者f ( )时； x o x o a y bx x x
x 1 ( y)
D