速度投影
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O'
M
vO'
vO'
[vM ]O'M [vO' ]O'M [vMO' ]O'M
由于vMO'⊥O'M，可知[vMO']O'M=0，代入上式，可得
[vM ]O'M [vO' ]O'M
这个定理不但适用于刚体的平面运动，而且能适用于刚体的任何运动，它 反映了刚体上任意两点间距离保持不变的特征。
8.3 用瞬心法求平面图形内各点速度
A
解：轮II做平面运动，其上点A的速度为
vA
v A 0 OA 0 (r1 r2 )
以A为基点，分别分析三点B、C、D的
vB v BA
B
vA vA
D
vCA
A II
C
0
O
速度，分别画出速度合成图，由于vD=0，而
v DA
I
vD v A vDA
vDA 0 (r1 r2 ) r2 r2
8.3.2 平面图形上速度瞬心的求法
如图给出了各种条件下速度瞬心的求法。
A
B
vA
A
vA vB
P
P
vB
B
A
vA vB
B
P
P
若轮子沿着固定的轨 道只滚不滑，那么轮 子和轨道接触点在瞬, 时处于静止，因此该 点就是此瞬时的速度 瞬心。
在某瞬时，如果平面图形内各点的速度相等，称此时刚体做瞬时平移。必 须注意，做瞬时平动的刚体，在其平面图形上没有速度瞬心，此瞬时刚体内各 点的速度相等，但加速度不相等。
BA
A
vA
解：杆AB做平面运动，先进行速度分析，以A为基点分析点B的速度。
vB vA tan
故杆AB的角速度为
vBA vA / cos
AB
vBA
BA
vA l cos
然后再进行加速度分析和计算，以A为基点分析点B的加速度。
n 列 aBA 方向的投影方程
n aB cos aAcos(90 ) aBA
vA
如果取速度瞬心C为基点，图形上任一点的速度就等于该点随图形绕点C 转动的速度。如图所示，点A、B、D的速度大小为
vA AC
vB BC
vD DC
A
vB
B
C
A D
vA
vA vD vB
B
C
平面图形的运动可以看成绕速度瞬心的瞬时转动。利用速度瞬心求解平面 图形上点的速度的方法，称为速度瞬心法。
vM vO' vMO'
M
vO'
O'
vO'
即刚体在平面运动时，平面图形内任一点M的速度vM等于基点O' 的速度vO’ 与该点M 绕基点转动的速度vMO’的矢量和。式中三种速度，一共有六个量，只 要知道其中任意四个量，可以求出另外两个量。
【例8-1】 如图所示，杆AB长为l，其A端沿水平轨道运动，B端沿铅直轨道运 动。在图示瞬时，杆AB与铅直线成夹角 ，A端具有向右的速度vA，求此瞬时 B端的速度及杆AB的角速度。 解：杆AB做平面运动，以A为基点分析点B的速度，画出点B的速度合成图
y
O1
O O
A
B
x
刚体平面运动的实例演示
8.1.2 刚体平面运动的简化
根据平面运动的定义可知，在刚体运动过程中，此平面图形必在平面II内
运动。在刚体内任取一条垂直于平面图形S的直线A1A2做平动。点A的运动代表
了A1A2上所有各点的运动。过平面图形S作无数条垂线，这无数条垂线与平面 图形有无数个交点，这无数个交点的运动代表了无数条直线的运动。刚体的平
AB
2 aBA aA vAsin l lcos l 2cos3
【例8-6】如图所示的半径为R的轮子在水平面上做纯滚动，已知轮心O的速度
与加速度分别为vO和aO，求轮子转动的角速度和角加速度，并求轮与水平面接
触点C的加速度。
O
aO vO
O
aC
aO
n aCO
，
C
aCO
O
vA
A
v A OA PA AB
可得做平面运动的杆AB角速度
vB
B
AB
滑块B的速度Hale Waihona Puke Baidu表示为
OA r PA PA
vB PB AB
而由正弦定理，可知
AB PA PB sin(90 ) sin(90 ) sin( )
y
平面运动中平动部分与基 点位置的选择有关，而转动部 分却与基点位置的选择无关。
S
y' B
B'
B''
A''
A'
A x'
平面图形转动无须标明绕哪一 点转动。
O
II
I
x
8.2 用基点法求平面图形内各点速度
8.2.1 用基点法求平面图形内一点的速度
可用点的速度合成定理求点M的速度，即
v MO'
vM
C
aO
解：轮子在水平面上做纯滚动，轮子和水平面的接触点C为其速度瞬心。
根据轮心O的速度和加速度，轮子的角速度和角加速度可分别表示为
vO R
d d vO 1 dvO a O ( ) dt dt R R dt R
O
aO vO
O
aC
aO
n aCO
C
aCO
C
aO
n 以轮心O为基点，分析点C的加速度，由加速度合成定理 aC aO aCO aCO ，
r2 20 (r1 r2 )
8.2.2 速度投影定理
速度投影定理：刚体上任意两点M和O'的速度在此两点连线上的投影彼此 相等，即
[vM ]OM [vO ]OM
证明:如图所示，以O'为基点分析动点M 的速度，由速度合成定理，可得
v MO'
vM
vM vO' vMO'
将上式投影到直线O'M上，有
即
AB
P
cos PA l cos
代入可得
sin( ) PB l cos
O
vA
A
AB
r PA
r cos l cos
r sin( ) cos
vB
B
vB PB AB
例8-4 如图所示的圆轮转动的角速度为 求圆轮中心O和轮缘上两点A、B的速度。
8.3.1 平面图形上速度瞬心
在某瞬时，平面图形内速度等于零的点称为速度瞬心。如图所示的刚体作 平面运动，过点A作vA的垂线AC。以A为基点 分析点C的速度，由速度合成定理，有
vCA
C
vC v A vCA
当 vCA=ωAC=vA，点C的速度等于零。 所以点C为图示平面图形的速度瞬心。
A
vA
aMO
M
a MO aO aM
O
a
n MO
aO
n aM aO aMO aO aMO aMO
【例8-5】 如图所示杆AB长为l，A端具有向右的速度vA和向右的加速度aA， 求此瞬时B端的速度和加速度及杆AB的角速度和角加速度。
vA
B
B
v BA
vB
BA
A vA
aA
y
M
xO' f1 ( t ) yO' f 2 ( t ) f (t ) 3
上式称为刚体平面运动方程。
O
O'
x
如果图形中点O'固定不动，则平面图形绕基点O' 做定轴转动；如果线段O'M 的方位不变，则平面图形作平动。由此可见，刚体的平面运动可以看成随基点平
动和绕基点的转动的合成。
解得
aBx
2 9 0 r
19 3 2 22 3 2 aBy 0 r AB 0 3 3
BC
26 3 3
2 0 r
8.5 运动学综合应用举例
【例8-8】如图所示的圆轮在水平地面上做纯滚动，圆轮的半径r=0.5m，杆O1A
C A D
y
B
30
0
v BC
30
v BA
B
O
0
vA
x
vC
解：本机构中杆AB和杆BC均做平面运动，分别取杆AB的点A和杆BC的点C为 基点,作出点B的速度合成图如图所示。由速度合成图可知：
vBx v A vBC cos 30 vBy vBA vBC sin 30 vC
故由点D的速度合成图，可知 vDA vA 0 (r1 r2 ) ,故轮II的角速度为
II
由B、C两点的速度合成图，有
2 2 vB v A vBA
20 (r1 r2 )
vC vA vCA 0 (r1 r2 )
0 (r1 r2 )
r2
vBx 3 0 r，vBy 3 0 r， AB 3 0， BC 2 0
y
C A D
B
30
0
a BC
aBA
30
n a BC
O
0
30
n a BA
B
n aA
n aC
x
，
再由加速度合成图可知：
n n n aBx aBA aC aBC sin30 aBC cos30 n n aBy aBA a A aBC cos30 aBC sin30
画出C点的加速度合成图如图所示。其中：a 由图可知：
2 vO R
n CO
2 vO ， aCO R aO ， R R 2
n aC aCO
其方向垂直向上。由此可知，速度瞬心C的加速度不等于零。
【例8-7】如图所示为一平面铰链机构。已知OA=√3r， AB=BC=r，角速度为ω0。 CD=2r，角速度为ω0，转向如图所示。在图示位置时杆OA与杆AB垂直，试求图 示瞬时点B的速度和加速度以及杆AB、杆BC的角速度和角加速度。
面运动,可简化为平面图形在其自身平面内的运动。
A1
S
II A
I
A2
8.1.2
刚体平面运动的简化
8.1.3 刚体平面运动方程
如图所示为一平面图形在其自身平面Oxy平面上的运动。要确定平面图形
(刚体)的位置,只需确定其中任一直线的位置。而要确定此直线在平面Oxy的位
置，只须确定点O′的位置和夹角即可，即
刚体平面运动的概述和运动 分解
8.1 8.2 8.3 平面运动概述 用基点法求平面图形内各点速度 用瞬心法求平面图形内各点速度
8.4
8.5
用基点法求平面图形内各点的加速度
运动学综合应用举例
8.1 平面运动概述 8.1.1 刚体平面运动的特征
左图所示的行星轮绕固定轮的滚动，右图所示的曲柄连杆机构中连 杆的运动等，这些刚体的运动既不是平动，也不是定轴转动，但它们 的运动有一个共同特征，即刚体在运动过程中，其上任一点与某一固 定平面的距离始终保持不变。这种运动称为刚体的平面运动。
P
vA PA 2 1.5 9.42m / s
其方向分别垂直于三点O、A、B和点P连线，并且与轮子转动的方向一 致。方向如图所示。
8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度
如图所示，用一平面图形表示一刚体做平面运动。设某瞬时，平面图形内
某一点O的加速度为aO，平面图形的角速度为ω ，角加速度为ε ，求平面图形 内任一点M的加速度aM。
B
aA
n a BA
a BA
解得
aB
aB a A tan
vA l cos
3
aBsin aAcos aBA
2
BA
A
aA
列 aBA 方向的投影方程
解之得
a
BA
2 aA vAsin aBsin aAcos cos lcos3
所以，AB杆的角加速度为
2rad / s
，试用速度瞬心法
解：圆轮做平面运动，轮与地面的接触点 P为轮的速度瞬心。因此，三点O、A、B的速 度可分别表示为
A
vA
vO PO 2 0.75 4.71m / s
vB
B
O
vO
vB PB 2 2 0.75 6.66m / s
8.1.4 平面运动的分解
设有平面图形S在其自身平面内做平面运动，连线AB的位置可代表平面图 形的位置。设平面图形S在△t 时间内从位置I 运动到位置II，其内的直线由位 置AB移到A' B'。可将直线AB位置的变化分成两步来完成。如图所示 。从上 面的分析可知,平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
A
vA
B
vB
A B
vA vB
【例8-3】 曲柄滑块机构图所示，已知AB=l，OA=r，杆OA转动的角速度为ω , 杆OA与水平线间的夹角为 ，杆AB与水平线间的夹角为 。求杆AB转动的角 速度ωAB和滑块B的速度vB。
AB
P
解：连杆AB做平面运动，P为杆AB的 速度瞬心。由于A点的速度可表示为
如图所示。
B
由速度合成图可知
vA
vB v A tan
v BA vB
vBA v A / cos
故杆AB的角速度为
BA
A
vA
BA
vBA
BA
vA
l cos
【例8-2】 如图所示的行星轮系中，已知大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II 沿轮I只滚动而不滑动，半径为r2，系杆OA角速度为ω0。试求轮II的角速度ωII vC 及其上B、C两点的速度 v
M
vO'
vO'
[vM ]O'M [vO' ]O'M [vMO' ]O'M
由于vMO'⊥O'M，可知[vMO']O'M=0，代入上式，可得
[vM ]O'M [vO' ]O'M
这个定理不但适用于刚体的平面运动，而且能适用于刚体的任何运动，它 反映了刚体上任意两点间距离保持不变的特征。
8.3 用瞬心法求平面图形内各点速度
A
解：轮II做平面运动，其上点A的速度为
vA
v A 0 OA 0 (r1 r2 )
以A为基点，分别分析三点B、C、D的
vB v BA
B
vA vA
D
vCA
A II
C
0
O
速度，分别画出速度合成图，由于vD=0，而
v DA
I
vD v A vDA
vDA 0 (r1 r2 ) r2 r2
8.3.2 平面图形上速度瞬心的求法
如图给出了各种条件下速度瞬心的求法。
A
B
vA
A
vA vB
P
P
vB
B
A
vA vB
B
P
P
若轮子沿着固定的轨 道只滚不滑，那么轮 子和轨道接触点在瞬, 时处于静止，因此该 点就是此瞬时的速度 瞬心。
在某瞬时，如果平面图形内各点的速度相等，称此时刚体做瞬时平移。必 须注意，做瞬时平动的刚体，在其平面图形上没有速度瞬心，此瞬时刚体内各 点的速度相等，但加速度不相等。
BA
A
vA
解：杆AB做平面运动，先进行速度分析，以A为基点分析点B的速度。
vB vA tan
故杆AB的角速度为
vBA vA / cos
AB
vBA
BA
vA l cos
然后再进行加速度分析和计算，以A为基点分析点B的加速度。
n 列 aBA 方向的投影方程
n aB cos aAcos(90 ) aBA
vA
如果取速度瞬心C为基点，图形上任一点的速度就等于该点随图形绕点C 转动的速度。如图所示，点A、B、D的速度大小为
vA AC
vB BC
vD DC
A
vB
B
C
A D
vA
vA vD vB
B
C
平面图形的运动可以看成绕速度瞬心的瞬时转动。利用速度瞬心求解平面 图形上点的速度的方法，称为速度瞬心法。
vM vO' vMO'
M
vO'
O'
vO'
即刚体在平面运动时，平面图形内任一点M的速度vM等于基点O' 的速度vO’ 与该点M 绕基点转动的速度vMO’的矢量和。式中三种速度，一共有六个量，只 要知道其中任意四个量，可以求出另外两个量。
【例8-1】 如图所示，杆AB长为l，其A端沿水平轨道运动，B端沿铅直轨道运 动。在图示瞬时，杆AB与铅直线成夹角 ，A端具有向右的速度vA，求此瞬时 B端的速度及杆AB的角速度。 解：杆AB做平面运动，以A为基点分析点B的速度，画出点B的速度合成图
y
O1
O O
A
B
x
刚体平面运动的实例演示
8.1.2 刚体平面运动的简化
根据平面运动的定义可知，在刚体运动过程中，此平面图形必在平面II内
运动。在刚体内任取一条垂直于平面图形S的直线A1A2做平动。点A的运动代表
了A1A2上所有各点的运动。过平面图形S作无数条垂线，这无数条垂线与平面 图形有无数个交点，这无数个交点的运动代表了无数条直线的运动。刚体的平
AB
2 aBA aA vAsin l lcos l 2cos3
【例8-6】如图所示的半径为R的轮子在水平面上做纯滚动，已知轮心O的速度
与加速度分别为vO和aO，求轮子转动的角速度和角加速度，并求轮与水平面接
触点C的加速度。
O
aO vO
O
aC
aO
n aCO
，
C
aCO
O
vA
A
v A OA PA AB
可得做平面运动的杆AB角速度
vB
B
AB
滑块B的速度Hale Waihona Puke Baidu表示为
OA r PA PA
vB PB AB
而由正弦定理，可知
AB PA PB sin(90 ) sin(90 ) sin( )
y
平面运动中平动部分与基 点位置的选择有关，而转动部 分却与基点位置的选择无关。
S
y' B
B'
B''
A''
A'
A x'
平面图形转动无须标明绕哪一 点转动。
O
II
I
x
8.2 用基点法求平面图形内各点速度
8.2.1 用基点法求平面图形内一点的速度
可用点的速度合成定理求点M的速度，即
v MO'
vM
C
aO
解：轮子在水平面上做纯滚动，轮子和水平面的接触点C为其速度瞬心。
根据轮心O的速度和加速度，轮子的角速度和角加速度可分别表示为
vO R
d d vO 1 dvO a O ( ) dt dt R R dt R
O
aO vO
O
aC
aO
n aCO
C
aCO
C
aO
n 以轮心O为基点，分析点C的加速度，由加速度合成定理 aC aO aCO aCO ，
r2 20 (r1 r2 )
8.2.2 速度投影定理
速度投影定理：刚体上任意两点M和O'的速度在此两点连线上的投影彼此 相等，即
[vM ]OM [vO ]OM
证明:如图所示，以O'为基点分析动点M 的速度，由速度合成定理，可得
v MO'
vM
vM vO' vMO'
将上式投影到直线O'M上，有
即
AB
P
cos PA l cos
代入可得
sin( ) PB l cos
O
vA
A
AB
r PA
r cos l cos
r sin( ) cos
vB
B
vB PB AB
例8-4 如图所示的圆轮转动的角速度为 求圆轮中心O和轮缘上两点A、B的速度。
8.3.1 平面图形上速度瞬心
在某瞬时，平面图形内速度等于零的点称为速度瞬心。如图所示的刚体作 平面运动，过点A作vA的垂线AC。以A为基点 分析点C的速度，由速度合成定理，有
vCA
C
vC v A vCA
当 vCA=ωAC=vA，点C的速度等于零。 所以点C为图示平面图形的速度瞬心。
A
vA
aMO
M
a MO aO aM
O
a
n MO
aO
n aM aO aMO aO aMO aMO
【例8-5】 如图所示杆AB长为l，A端具有向右的速度vA和向右的加速度aA， 求此瞬时B端的速度和加速度及杆AB的角速度和角加速度。
vA
B
B
v BA
vB
BA
A vA
aA
y
M
xO' f1 ( t ) yO' f 2 ( t ) f (t ) 3
上式称为刚体平面运动方程。
O
O'
x
如果图形中点O'固定不动，则平面图形绕基点O' 做定轴转动；如果线段O'M 的方位不变，则平面图形作平动。由此可见，刚体的平面运动可以看成随基点平
动和绕基点的转动的合成。
解得
aBx
2 9 0 r
19 3 2 22 3 2 aBy 0 r AB 0 3 3
BC
26 3 3
2 0 r
8.5 运动学综合应用举例
【例8-8】如图所示的圆轮在水平地面上做纯滚动，圆轮的半径r=0.5m，杆O1A
C A D
y
B
30
0
v BC
30
v BA
B
O
0
vA
x
vC
解：本机构中杆AB和杆BC均做平面运动，分别取杆AB的点A和杆BC的点C为 基点,作出点B的速度合成图如图所示。由速度合成图可知：
vBx v A vBC cos 30 vBy vBA vBC sin 30 vC
故由点D的速度合成图，可知 vDA vA 0 (r1 r2 ) ,故轮II的角速度为
II
由B、C两点的速度合成图，有
2 2 vB v A vBA
20 (r1 r2 )
vC vA vCA 0 (r1 r2 )
0 (r1 r2 )
r2
vBx 3 0 r，vBy 3 0 r， AB 3 0， BC 2 0
y
C A D
B
30
0
a BC
aBA
30
n a BC
O
0
30
n a BA
B
n aA
n aC
x
，
再由加速度合成图可知：
n n n aBx aBA aC aBC sin30 aBC cos30 n n aBy aBA a A aBC cos30 aBC sin30
画出C点的加速度合成图如图所示。其中：a 由图可知：
2 vO R
n CO
2 vO ， aCO R aO ， R R 2
n aC aCO
其方向垂直向上。由此可知，速度瞬心C的加速度不等于零。
【例8-7】如图所示为一平面铰链机构。已知OA=√3r， AB=BC=r，角速度为ω0。 CD=2r，角速度为ω0，转向如图所示。在图示位置时杆OA与杆AB垂直，试求图 示瞬时点B的速度和加速度以及杆AB、杆BC的角速度和角加速度。
面运动,可简化为平面图形在其自身平面内的运动。
A1
S
II A
I
A2
8.1.2
刚体平面运动的简化
8.1.3 刚体平面运动方程
如图所示为一平面图形在其自身平面Oxy平面上的运动。要确定平面图形
(刚体)的位置,只需确定其中任一直线的位置。而要确定此直线在平面Oxy的位
置，只须确定点O′的位置和夹角即可，即
刚体平面运动的概述和运动 分解
8.1 8.2 8.3 平面运动概述 用基点法求平面图形内各点速度 用瞬心法求平面图形内各点速度
8.4
8.5
用基点法求平面图形内各点的加速度
运动学综合应用举例
8.1 平面运动概述 8.1.1 刚体平面运动的特征
左图所示的行星轮绕固定轮的滚动，右图所示的曲柄连杆机构中连 杆的运动等，这些刚体的运动既不是平动，也不是定轴转动，但它们 的运动有一个共同特征，即刚体在运动过程中，其上任一点与某一固 定平面的距离始终保持不变。这种运动称为刚体的平面运动。
P
vA PA 2 1.5 9.42m / s
其方向分别垂直于三点O、A、B和点P连线，并且与轮子转动的方向一 致。方向如图所示。
8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度
如图所示，用一平面图形表示一刚体做平面运动。设某瞬时，平面图形内
某一点O的加速度为aO，平面图形的角速度为ω ，角加速度为ε ，求平面图形 内任一点M的加速度aM。
B
aA
n a BA
a BA
解得
aB
aB a A tan
vA l cos
3
aBsin aAcos aBA
2
BA
A
aA
列 aBA 方向的投影方程
解之得
a
BA
2 aA vAsin aBsin aAcos cos lcos3
所以，AB杆的角加速度为
2rad / s
，试用速度瞬心法
解：圆轮做平面运动，轮与地面的接触点 P为轮的速度瞬心。因此，三点O、A、B的速 度可分别表示为
A
vA
vO PO 2 0.75 4.71m / s
vB
B
O
vO
vB PB 2 2 0.75 6.66m / s
8.1.4 平面运动的分解
设有平面图形S在其自身平面内做平面运动，连线AB的位置可代表平面图 形的位置。设平面图形S在△t 时间内从位置I 运动到位置II，其内的直线由位 置AB移到A' B'。可将直线AB位置的变化分成两步来完成。如图所示 。从上 面的分析可知,平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
A
vA
B
vB
A B
vA vB
【例8-3】 曲柄滑块机构图所示，已知AB=l，OA=r，杆OA转动的角速度为ω , 杆OA与水平线间的夹角为 ，杆AB与水平线间的夹角为 。求杆AB转动的角 速度ωAB和滑块B的速度vB。
AB
P
解：连杆AB做平面运动，P为杆AB的 速度瞬心。由于A点的速度可表示为
如图所示。
B
由速度合成图可知
vA
vB v A tan
v BA vB
vBA v A / cos
故杆AB的角速度为
BA
A
vA
BA
vBA
BA
vA
l cos
【例8-2】 如图所示的行星轮系中，已知大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II 沿轮I只滚动而不滑动，半径为r2，系杆OA角速度为ω0。试求轮II的角速度ωII vC 及其上B、C两点的速度 v