一元二次不等式

专题：一元二次不等式★★

考纲解读

2 min.

►理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关联；初步会用不等式解决一些简单的实际问题。在运用不等式知识解决一些简单实际问题的过程中，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义。在探索不等式解法的过程中，体会不等式、方程和函数之间的联系。

【解读】 对一元二次不等式（组）的解法必须熟练掌握，能够准确地解出一元二次不等式（组）；对含字母参数的问题能正确地进行分类讨论，在此基础上理解“三个二次”即二次方程、二次不等式与二次函数之间的关系，强化数形结合思想，这是高中数学的重点内容。“三个二次”贯穿整个高中数学的学习，应引起高度的重视。

知识梳理

6 min.

一. 什么是一元二次不等式？

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，其一般形式是： 2

2

00ax bx c ax bx c ++>++<或 二. 怎样解一元二次不等式？

在研究一元二次不等式的情况时，我们只要研究2

00)ax bx c a ++>>（

的解的情况。教材中是从因式分解的角度求2

00)ax bx c a ++>>（

的解集，还可以用配方法以及考察2

00)ax bx c a ++>>（函数图 0>∆

0=∆ 0<∆

二次函数

c

bx ax y ++=2（0>a ）的图

象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程 20ax bx c ++= ()0a >的根

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根a

b x x 221-

== 无实根

20(0)ax bx c a ++>>的解集

{}2

1

x x x x x ><或

⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-≠a b x x 2

R

20(0)ax bx c a ++<>的解集

{}21

x x x

x <<

∅

∅

典例精讲

15 min.

例1. （★★）不等式组⎩⎨⎧<-<-0

30

122x x x 的解集是（ ）

A ．｛x ｜－1＜x ＜1}

B ．｛x ｜0＜x ＜３}

C ．｛x ｜0＜x ＜1}

D ．｛x ｜－1＜x ＜３}

►点评：一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基础。

解下列不等式

例2. （★★）解下列一元二次不等式：

(1) 2

2320x x --＞； (2) 2

3620x x -+-＞ (3) 2

4410x x -+≤； (4) 2

230x x -+-＞.

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

例3. （★★）解不等式：2

666x x -≤--＜

►规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

课堂检测

14 min.

1.（★★）不等式202

m

x mx ++

＞恒成立的条件是( ) A ． 2m ＞ B ． 2m ＜ C ． 0m ＜或2m ＞ D ． 02m ＜＜

2.（★★）解不等式组：（1）223710102520x x x x ⎧--≤⎪⎨-+⎪⎩＞ ； （2）22

230

54x x x x

⎧--⎪⎨-⎪⎩＞＞ 。

3.（★★）解下列不等式或不等式组。

2(1)440x x ++≤ 211

(2)1032

x x --≥

2(3)84x x +≤ 2(4)1573x x <-+<

222310(5)121760x x x x ⎧-+<⎪⎨-+≥⎪⎩ 2

2564(6)280

x x x x ⎧+>⎪⎨--≤⎪⎩

回顾总结

3 min.

一元二次方程和二次函数的关系，完成下表：

0>∆

0=∆ 0<∆

二次函数

c

bx ax y ++=2（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程 20ax bx c ++= ()0a >的根

有两相异实根

)(,2121x x x x <

有两相等实根a

b x x 221-

== 无实根

20(0)ax bx c a ++>>的解集

20(0)ax bx c a ++<>的解集