第六章--定积分分解
第六章 定积分
第六章定积分基本要求一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。
二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数。
三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题。
四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。
习题六2、利用定积分的性质证明下列不等式：（1）⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x ；证明：∵]4,0(π∈x ∴x x x 23sin sin ,1sin 0≤<<.当0=x 时，0sin sin 23==x x∴⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x □（2）3sin 626ππππ≤≤⎰xdx .证明：∵]2,6[ππ∈x ∴1sin 21≤≤x ∴⎰⎰⎰≤≤26262621ππππππdx xdx dx ，即3sin 626ππππ≤≤⎰xdx □3、估计下列定积分的值： （1）⎰-202dx e xx；解：∵]2,0[∈x 令41)21(22--=⇒-=x y x x y ，即函数有最小值41-=y又∵2,020====x x y y ∴函数有最大值2=y∴22412222412222e dx e edx e dx edx e xxxx ≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰----（2）⎰4342sin ππxdx .解：∵]43,4[ππ∈x ∴1sin 212≤≤x∴⎰⎰⎰≤≤43443424341sin 21ππππππdx xdx dx 即2sin 44342ππππ≤≤⎰xdx4、计算下列函数的导数)(/x g ：（1）⎰=x t tdt x g 1sin )(； 解：xxx g sin )('= （2）⎰=xtdt x g 124sin )(；解：22'4'sin )1(sin )(xxx x x g -=⋅=（3）⎰+-=xx du u u x g 3211)(； 解： 12)12(213)13(3)2(1212)3(1313)('''+--+-=+--+-=x x x x x x x x x x x g （4）⎰+=2tan 411)(x xdt tx g .解; xx xx x x x x x g 428'4'242'tan 1sec 12)(tan )(tan 11)()(11)(+-+=+-+=4、求曲线⎰++=x dtt y t 0211的凹向区间：解：由题知曲线定义域为ℜ∈x∵2'11x x y ++=令0)1(2122''=+++-=x x x y 得21-=x∴曲线在)2,(--∞上凹，在),2(+∞-下凹6、计算下列定积分： (1)⎰-+-0324)1465(dx x x ；解：原式231)1436(0325=+-=-x x x(2)⎰-3142)11(dt tt ； 解：原式8128)311(313=+-=t t(3)()()⎰-+-11231dx x x ；解：原式2)22()23(1123112=--=--=--⎰x xx dx x x (4)⎰--9111dx x x ；解：原式9123239191])1([32)1()1)(1(1-+=-+=-+---+=⎰⎰x x dx x x dx x x x x x x )2813(34+=(5)⎰--212||dx x x ；解：令1,00212==⇒=-x x x x ， ∴原式⎰⎰⎰-+---=-21212012)()()(dx x x dx x x dx x x611)23()23()23(212310230123=-+---=-x x x x x x (6)⎰--+-252411dx x x .解：原式36)3()1(253252=-=-=----⎰x x dx x7、计算下列定积分： （1）⎰+412111dx xx；1255324)11(32)11(11412341-=+-=++-=⎰xx d x （2）⎰--32232)(13dx x x x ； 解：原式81)(1)()(132332323=--=--=⎰x x x x d x x （3）⎰⋅202cos cos sin πxdx x e x ；解：原式4412cos 412sin 21122cos 202cos 202cos --=-=-==⎰⎰e e e x d e xdx e xx x πππ（4）⎰-+22621sin ππdx xxx ； 解：令621sin x x x y +=，则621sin xxx y +=是奇函数，且该积分为对称区间上的积分 ∴原式0=（5）⎰-211dx x x ；解：原式1516)35(2)(1035102412=+=+=⎰=-=t t dt t t tx tdt dx（6）⎰+130321xdx；解：原式6432331231212332=======⎰=+=t tdt tx dtt dx （7）⎰-2221x x dx ；解：原式1243tan sec tan sec 134sec tan πππππ=-=⋅⋅======⎰==tdt t t t tx dtset dx （8）⎰242csc ππxdx x ；解：原式2ln 214sin ln 4cot cot )cot (24242424+=+=+-=-⎰⎰ππππππππππx xdx x x x xd *(9)⎰23212arcsin dx xx ； 解：原式⎰⎰-+-=-=232122321232111arcsin 1)1(arcsin dx x x x x x d x)332ln(9323cot csc ln 9323csc 33323636sin cos ---==---=++-=====⎰==ππππππππt t tdt tx xdt dx *(10)⎰edx x 1|ln |；解：原式1ln ln 111=-==⎰⎰eeedx x x xdx*(11)⎰πn dx x x 0|sin |；解：原式 +++-=⎰⎰⎰+ππππππk k xdx x xdx x xdx x 2220sin sin sin+-++-=⎰⎰⎰+ππππππk k x xd x xd x xd 2220cos cos cos++-+-++-=⎰⎰⎰++ππππππππππππk k k k xdx x x xdx x x xdx x x 22222200cos cos cos cos cos cos++++++++++=0]2)12[(0)2(0πππππk kπππππ2])1(2[2n n n =+-+++= *(12)()()⎰+--422114dx x x x .解：原式881ln23)21(23)21(ln32ln 449)21(13)2(214424242242=++-+++=-++++=⎰⎰x x x dx x x d x 8、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积：(1)x y x y 2,32=-=；解：曲线交点如右图所示332)233(]2)3[(133132=--=--=--⎰x x x dxx x S(2)2,1,5,2=-=+==y y x y x y ；解：曲线交点如右图所示233)523()]5([2123212=+-=--=--⎰y y y dyy y S(3)0,,===x e y e y x；解：曲线交点如(3)图所示1)()(101=-=-=⎰x xe ex dxe e S(4)4,22+-==x y x y ；解：曲线交点如(4)图所示17)624(]2)4[(2432242=--=--=--⎰y y y dy y y S（3）图（4）图2x -x 2(5) y ax 2=；)0(,2>=a x ay ； 解：曲线交点如(5)图所示3)332()(2032312aa x x a dxax ax S aa =-=-=⎰(6) 2,2=+=y x x y ； 解：曲线交点如(6)图所示29)322(])2[(1232122=--=--=--⎰x x x dx x x S (7)2,,1===x x y xy ； 解：曲线交点如(7)图所示2ln 23)ln 2()1(21221-=-=-=⎰x xdxxx S (8)1,,===-x e y e y x x ；解：曲线交点如(8)图所示21)()(101-+=+=-=--⎰ee e e dx e e S x x x x (9))0(ln ,ln ,0,ln >>====a b b y a y x x y ；解：曲线交点如(9)图所示ab edye S b ay bay -===⎰ln ln ln ln* (10)x y x y x y 2,,2===.解：曲线交点如(10)图所示 67)3(2)2()2(21321221212=-+=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x S*9、求曲线233+-=x x y 在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与x 轴垂直的y =2x =y=lnby直线及x 轴所围成的平面图形的面积. 解：令0332'=-=x y 得驻点1,121=-=x x又∵x y 6''= ∴06,061''1''>=<-==-=x x y y∴11-=x 为极大值点，12=x 为极小值点.如右图得4)2234()23(1124112=+-=+-=--⎰x x x dx x x S .10、求下列诸曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1） 0,4,1,4====y x x xy ；绕x 轴；解：所谓图形见(1)图阴影部分πππ1216)4(41412=-==⎰xdx x V（2） πxy x y 2,sin ==； 绕x 轴；解：所谓图形见(2)图阴影部分6)342s i n 4121(2]322c o s 1[2])2()[(s i n 220322022222ππππππππππ=--=--=-=⎰⎰x x x dxxx dxxx V（3）4,1,0,====x x y x y ；绕y 轴；解：所谓图形见(3)图阴影部分ππππππ5124531)(112425212212=-=-⨯⨯+⨯⨯=⎰y dy y V*(4)66,10622-+-=+-=x x y x x y ；绕y 轴.解：所谓图形见(4)图阴影部分，（2）图662-+x x106+-xππππ2416)3(2424324])33()33[(23223323222-=---=-=----+=⎰⎰y dyy dy y y V11、已知某产品的边际成本85.1006.0)(2'+-=x x x c ，固定成本150)0(=C 万元，其中x 为产品的件数，求多少万元？解：∵4020'10150)85.1006.0()0()()(⨯++-=+=⎰⎰xxdx x x C dx x C x C423402310150843002.010150)843002.0(⨯++-=⨯++-=x x x x x x x∴生产2000件这种产品的总成本为:6.1451)2000(=C （万元） 12、已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率（边际收益）为0,100200)(''≥-==x xx R R（1） 求生产了50个单位时的总收益；（2） 如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.解：∵0,100200)(''≥-==x xx R R ∴2002000)200200()0()100200()(2020x x x x R dx x x R xx-=+-=+-=⎰（1）∴5.9987)50(=R （2）设已生产了100个单位，在生产100个单位时的总收益为R ∆. ∴19850)100()200(=-=∆R R R13、某产品的总成本C C （万元）的变化率（边际成本）1'=C ，总收益R （万元）的变化率（边际收益）为生产量x （百台）的函数x x R R -==5)(''. （1） 求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大？（2） 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 解：14、判断下列广义积分的敛散性.如收敛，则求其值. (1)⎰∞--12)32(1dx x ；解：原式21)3211(lim 21321lim 21)32()32(1lim 21112=----=--=--=-∞→-∞→-∞→⎰a x x d x a a a a a∴该积分收敛. (2)()()⎰∞+++0321dxx x ；解：原式0)32ln 32(ln lim 32ln lim )3121(lim 00=-++=++=+-+=+∞→+∞→+∞→⎰b b x x dx x x b bb bb∴该积分收敛.(3)⎰+∞∞--dx xe x2；解：原式⎰⎰⎰⎰----=+=-+∞→--∞→+∞-∞--b c x b c a x a c x cx x d e x d e dx xe dx xe)(lim 21)(lim 2122222232ln )](lim )(lim [21)lim lim (21222222=-+--=+-=--+∞→---∞→-+∞→--∞→c b b a c a b c x b c axa e e e e e e ∴该积分收敛.(4)⎰-102)12(1dx x ；解：原式∞=+-=-+--=--+--=--+--=+++→+-→-+→⎰⎰⎰⎰εεεεεεεε1lim 211)121121(lim 21])12()12(1)12()12(1[lim 21)12()12(121)12()12(1210121210021012122012122102x x x d x x d x x d x x d x ∴该积分发散.(5)⎰10ln xdx x ；解：原式)2ln (lim 21)ln (lim 21ln lim211220110120εεεεεεεεεx xdx x x xdx --=-==+++→→→⎰⎰ 21)12(lim 2120-=-=+→εε ∴该积分收敛.*(6) ⎰-+40461dx x x . 解：原式]31)21(21([51)3121(5142402040⎰⎰⎰⎰+--+-=+--=dx x dx x dx x dx x x 37ln )2ln lim 2ln lim (51)37ln 2ln lim 2ln lim (51224202+---=--+-=+-+-→→→→b a x x b a b b a a ∵2ln lim 2--→a a 发散 ∴该积分发散.15、计算：（1）)3()4(2)7(ΓΓΓ；解：原式30!2!32!6=⨯⨯=（2）)29()23()3(ΓΓΓ； 解：原式10516)21(21)21(1058)27(27)21(21!2=ΓΓ=ΓΓ⨯=（3）⎰+∞-04dx e x x ；解：原式24!4)5(==Γ= （4）⎰+∞-0222dx e x x解：原式162)23(8282224102102422π=Γ=========⎰⎰∞+-∞+-==du e u du e u u u u x du udx 第六章 单 元 测 验 题1、设dt t x g dt t x f xx g ])sin(1[)(,11)(cos 02)(03⎰⎰+=+=，计算)2('πf .解：∵)]sin(cos 1[sin ))](cos sin(cos 1[)(),()(11)(2'2''3'x x x x x g x g x g x f +-=+=+=且1)0sin 1(1)2(,0)]sin(1[)2('002-=+⨯-==+=⎰ππg dt t g∴1)1(011)2()2(11)2('3'-=-⨯+=+=πππg g f 2、已知)(x f 在1=x 某邻域内可导，且2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ，求 3111)1(])([lim x dtdu u f t xtx -⎰⎰→解：原式)]()(2[lim 61)1(2)]([)(lim 31)1(3)(lim '111211x xf x f x x f x du u f x duu f x x xx x x +=---+-=--=→→→⎰⎰∵2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ∴原式31=3、计算下列积分. （1）⎰+3)1(1dx xx ； 解：原式32arctan 2)(112332π==+=⎰x x d x （2）dx x x ⎰-++112)12(；解：原式⎰⎰⎰⎰++++-=++++-=--120121212)169()12()12()12(dx x x dx x x dx x x dx x x328)33()3(10230123=++++-=-x x x x x x（3）⎰-2141)ln 1(ln e ex x x dx ；解：原式6)1()21()21(11062141sin 21cos 2221412ln ππ=-=======--=-====⎰⎰⎰=--===du dt t dt tt u t ududt tx dte dx t（4）⎰+∞-++131xx e e dx；解：原式bx b bx xb bx x b e e e e e e de e dx e e e e 1122122arctan 21lim 1lim 1lim 1+∞→+∞→+∞→=+=+=⎰⎰ 224)1arctan (arctan lim 1ee e e b b π=-=+∞→ 4、求函数⎰+-=xedt t t t x f 12ln )(2在区间],[2e e 上的最大值. 解：∵12ln )(2'+-=x x x x f ∴函数在],[2e e 无驻点和一阶不可导点 又∵⎰⎰⎰-----=--=+-=e x ex x e xet d t t tt td dt t t t x f )21()21()21(11ln 11ln 12ln )(222xx e e x x e t t x x e ex1ln 1ln 1ln 1121)21(21)21(ln21211ln 11-+-----=+---⨯----=∴⎰=+-=ee dt t t t ef 012ln )(2，ee e ef 1ln 11)(2+++= ∴其最大值为ee e ef 1ln 11)(2+++= 5、过曲线)0(2≥=x x y 上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴围成图形的面积为121，求 （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V . 解：（1）设切点A 的坐标为),(b a ∴2a b = 切点A 的切线方程为a aby x a x a f b y +-=⇒-=-2))(('- ∴其阴影部分面积为⎰-+-=b dy y a a b y 0)2(121右边⎰-+-=20)22(a dy aba y a y30232121])2(324[2a y ab a y a y a =-+-= ∴11=⇒=b a（2）切线方程为：12-=x y （3）阴影部分及相应交点如右图ππ301))12((121214=--=⎰⎰dx x dx x V。
微积分第六章定积分
第六章 定积分定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到17世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来．下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用．第一节 定积分概念一、 定积分问题举例 １． 曲边梯形的面积设f (x )是定义在区间［a ,b ］上的非负连续函数，由曲线y =f (x )及直线x =a ,x =b 和y =0所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．图6-1为了利用已知图形(比如说矩形)的面积公式，可以先在［a ,b ］内任意插入n 个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b ．这样整个曲边梯形就相应地被直线x =x i (i =1,2,…,n -1)分成n 个小曲边梯形，区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n -1,x n ］,第i 个小区间的长度为Δx i =x i -x i －１（i =1,2,…，n )．对于第i 个小曲边梯形来说，当其底边长Δx i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似．若任取ξi ∈［x i -1,x i ］,用f (ξi )作为第i 个小矩形的高(图6-1)，则第i 个小曲边梯形面积的近似值为ΔA i ≈f (ξi )Δx i ．这样，整个曲边梯形面积的近似值就是11()n ni i i i i A A f x ξ===∆=∆∑∑．从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式1()niii f xξ=∆∑与整个曲边梯形的面积也会越接近，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，当λ→0时，和式1()niii f xξ=∆∑ 的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑．2． 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度v =v (t )是时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］上t 的连续函数，且v (t )≣0，计算在这段时间内物体所经过的路程s ． 我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s 不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，物体运动的速度函数v =v (t )是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内的路程．对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间［Ｔ１，Ｔ２］内任意插入n -1个分点Ｔ１＝t 0＜t 1＜t 2＜…＜t n -1＜t n =T 2,把区间［Ｔ１，Ｔ２］分成n 个小区间［t 0,t 1］,［t 1,t 2］,…，［t n －１，t n ］，各小区间的长度依次为Δt 1,Δt 2,…，Δt n ,在时间段［t i －１，t i ］上的路程的近似值为v (τi )Δt i (i =1,2,…，n )，(其中τi 为[t i -1,t i ]上的任意一点.)整个时间段［Ｔ１，Ｔ２］上路程的近似值为s ≈v (τ1)Δt 1+v (τ2)Δt 2+…+v (τn )Δt n1()ni i i v t τ==∆∑ ．当分点越密时，1()niii v tτ=∆∑就会与s 越接近，因此记{}1max i i nt λ≤≤=∆,当λ→0时，和式1()niii v tτ=∆∑的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内所走过的路程．即1lim ()ni i i s v t λτ→==∆∑．二、 定积分定义从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积A 及变速直线运动的路程s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如面积01lim()niii A f x λξ→==∆∑,路程01lim()niii s v tλτ→==∆∑.抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．定义 设函数f (x )在［a ,b ］上有界，在［a ,b ］中任意插入n -1个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n =b ,把区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n －１，x n ］,各小区间的长度依次为Δx 1=x 1-x 0,Δx 2=x 2-x 1,…，Δx n =x n -x n -1,在每个小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ,作乘积f (ξi )Δx i (i =1,2,…,n )，再作和式lim ()i i S f x λξ→=∆． （6-1-1）记λ=max ｛Δx 1,Δx 2,…，Δx n ｝,如果不论［a ,b ］怎样分法，也不论［x i －１，x i ］上点ξi 怎样取法，当λ→0时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分(简称积分)，记作()d baf x x ⎰,即()d lim ()bi i af x x f x I λξ→=∆=⎰， (6-1-2)其中f (x )叫做被积函数，f (x )d x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，［a ,b ］叫做积分区间．注 当和式1()niii f x ξ=∆∑的极限存在时，其极限值仅与被积函数f (x )及积分区间［a ,b ］有关，而与积分变量所用字母无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论．如果f (x )在［a ,b ］上的定积分存在，我们就说f (x )在［a ,b ］上可积．由于这个定义是由黎曼(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式1()niii f x ξ=∆∑也称为黎曼和．对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x )在［a ,b ］上满足怎样的条件，f (x )在［a ,b ］ 上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件．定理1 设f (x )在区间［a ,b ］上连续，则f (x )在［a ,b ］上可积．定理2 设f (x )在区间［a ,b ］上有界，且只有有限个间断点，则f (x )在［a ,b ］上可积． 利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下： 曲线y =f (x ) (f (x )≣0)、x 轴及两条直线x =a 、x =b 所围成的曲边梯形的面积A 等于函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分．即()d baA f x x =⎰．物体以变速v =v (t )［v (t )≣0］作直线运动，从时刻t =T 1到时刻t =T 2,这物体经过的路程 s 等于函数v (t )在区间［Ｔ１，Ｔ２］上的定积分，即12()d T T s v t t =⎰．三、 定积分的几何意义在［a ,b ］上f (x )≣0时，我们已经知道，定积分()d baf x x ⎰在几何上表示曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在［a ,b ］上f (x )≢0时，由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分图6-2()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在［a ,b ］上f (x )既取得正值又取得负值时，函数f (x )的图形某些部分在x 轴上方，而其他部分在x 轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在x 轴上方的图形面积赋以正号，在x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分()d baf x x ⎰的几何意义为：它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和．图6-3例1 利用定积分的几何意义，计算x ⎰．解 显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义知，x ⎰就是图6-3所示半径为1的圆在第一象限部分的面积，所以2144x ππ=⋅=⎰．四、 定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定：(1) 当a =b 时，()d baf x x ⎰=0;(2) 当a ＞b 时，()d baf x x ⎰= -()d abf x x ⎰．由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反．下面我们讨论定积分的性质．下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰．证1[()()]d lim [()()]nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰ 0011lim ()lim ()nni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑()d ()d bbaaf x xg x x =±⎰⎰．性质1对于任意有限个函数都是成立的．类似地，可以证明：性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰ (k 是常数)．性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a ＜C ＜b ，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．证 因为函数f (x )在区间［a ,b ］上可积，所以不论把［a ,b ］怎样分，积分和的极限总是不变的．因此，我们在分区间时，可以使c 永远是个分点．那末，［a ,b ］上的积分和等于［a ,c ］上的积分和加［c ,b ］上的积分和，记为[,][,][,]()()()iiiiiia b a c c b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑．令λ→0，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．按定积分的补充规定，不论a ,b ,c 的相对位置如何，总有等式()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰成立．例如，当a ＜b ＜c 时，由于()d ()d ()d c b caabf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰,()d ()d ()d bc caa bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰()d ()d cbacf x x f x x =+⎰⎰．性质4 如果在区间［a ,b ］上f (x )≡1，则1d d bbaax x b a ==-⎰⎰．这个性质的证明请读者自己完成．性质5 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≣0，则()d 0baf x x ≥⎰(a ＜b )．证 因为f (x )≣0，所以f (ξi )≣0(i =1,2,…，n )．又由于Δx i ≣0(i =1,2,…，n ),因此1()niii f x ξ=∆∑≣0,令λ=max ｛Δx 1,…，Δx n ｝→0，便得到要证的不等式．推论1 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≢g (x ),则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证 因为g (x )-f (x )≣0，由性质5得[()()]d baf xg x x -⎰≣0．再利用性质1，便得到要证的不等式．推论2()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证 因为-︱f (x )︱≢f (x )≢︱f (x )︱,所以由推论1及性质2可得()d ()d ()d b b baaaf x x f x x f x x -≤≤⎰⎰⎰，即()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．注 ︱f (x )︱在［a ,b ］上的可积性可由f (x )在［a ,b ］上的可积性推出，这里我们不作证明．性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间［a ,b ］上的最大值及最小值，则m (b -a )≢()d baf x x ⎰≢M (b -a ) (a ＜b )．证 因为m ≢f (x )≢M ,所以由性质5推论1得d ()d d bbbaaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰．再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范例2 估计定积分221d +1xx x ⎰的值． 解 因f (x )=2+1xx 在［１，２］上连续，所以在［１，２］上可积，又因为 2221()0(+1)x f x x -'=≤ (1≢x ≢2)，所以f (x )在［１，２］上单调减少，从而有21()52f x ≤≤， 于是由性质6有2121()d 52f x x ≤≤⎰． 性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间［a ,b ］上连续，则在积分区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使下式成立：()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a ≢ξ≢b ）． 这个公式叫做积分中值公式．证 把性质6中的不等式各除以b -a 得1()d bam f x x M b a ≤≤-⎰．这表明，确定的数值1()d ba f x xb a-⎰介于函数f (x )的最小值m 及最大值M 之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得函数f (x )在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d ()baf x x f b a ξ=-⎰ (a ≢ξ≢b )．两端各乘以b -a ，即得所要证的等式．图6-4积分中值公式有如下的几何解释：在区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得以区间［a ,b ］为底边、以曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f (ξ)的一个矩形的面积(图6-4)．显然，积分中值公式()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a ＜b 或a ＞b 都是成立的．例3求10limn n x →+∞⎰．解 由于当0≢x ≢1/2时，有n ≢x n ,所以≢120n x ⎰≢120d n x x ⎰．又由积分中值定理，有121limd lim02n nn n x x ξ→+∞→+∞==⎰（０≢ξ≢1/2)， 故10lim0n n x →+∞=⎰．习题6-11． 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积． 2． 利用定积分的几何意义求定积分： (1)102d x x ⎰;(2) 0x ⎰（a ＞0）． 3． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d x x ⎰与1(1)d x x +⎰．4． 估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰．第二节 微积分基本公式在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算．为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法． 一、 积分上限函数设函数f (t )在［a ,b ］上可积，对于x ∈［a ,b ］，则函数f (t )在［a ,x ］上可积．定积分()d xaf t t⎰对每一个取定的x 值都有一个对应值，记为F (x )=()d xaf t t ⎰, a ≢x ≢b ,F (x )是积分上限x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分．积分上限函数具有下述重要性质．定理1(原函数存在定理) 设函数f (x )在［a ,b ］上连续，则积分上限函数()()d xaF x f t t=⎰就是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，即d ()()d ()d xaF x f t t f x x '==⎰,a ≢x ≢b ．证 我们只对x ∈(a ,b )来证明(x =a 处的右导数与x =b 处的左导数也可类似证明)． 取｜Δx ｜充分小，使x +Δx ∈(a ,b )，则ΔF =F (x +Δx )-F (x )=()d ()d x xxaaf t t f t t +∆-⎰⎰()d ()d ()d x x xxaxaf t t f t t f t t -∆=+-⎰⎰⎰()d x xxf t t -∆=⎰．因f (x )在［a ,b ］上连续，由积分中值定理，有ΔF =f (ξ)Δx ,ξ在x 与x +Δx 之间，即ΔF/Δx =f (ξ)．由于Δx →0时，ξ→x ，而f (x )是连续函数，上式两边取极限有00limlim ()lim ()()x x x Ff f f x x ξξξ∆→∆→→∆===∆,即F ′(x )=f (x )．另外，若f (x )在［a ,b ］上可积,则称函数ψ(x ) ()d bxf t t =⎰, x ∈［a ,b ］为f (x )在［a ,b ］上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式()d ()d bxxbf t t f t t =-⎰⎰转化为积分上限函数而获得．例1 设f (x )∈C （（-∞,+∞））,且满足方程1618120()d ()d 89xx x f t t t f t t =++⎰⎰，求f (x )．解 在方程两端对变量x 求导得21517()()22f x x f x x x =-++，即 (1+x 2)f (x )=2x １５(1+x 2), 故f (x )=2x １５．例2 计算下列导数：(1)sin 0d ()d d x f t t x ⎰; (2) 32d e d d x tx t x -⎰． 解 (1) ()sin sin 00d d dsin ()d ()d d dsin d x x xf t t f t t x x x=⎰⎰ (sin )cos f x x = ．(2) 332200d de d e d e d d d x x t t tx x t t t x x ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2300d de d e d d d x x t tt t x x --=-+⎰⎰232e 2e 3x x x x --=-+ 2322e 3e x x x x --=-+．对于一般情形，我们有下述结论：设f (x )∈C (［a ,b ］),u (x )和v (x )为可导函数，且u (x )∈［a ,b ］,v (x )∈［a ,b ］，则有()()d ()d (())()(())()d u x v x f t t f u x u x f v x v x x''=-⎰． 读者可利用复合函数求导法则证明此结论． 例3 求21cos 2e d limt xx t x-→⎰．解 易知这是一个型的未定式，我们用洛必达法则来计算 ()22cos 11cos 22e d e d limlim()xt t xxx x ttxx --→→'-='⎰⎰2cos 0e sin 1lim 22ex x x x -→==． 例4 求02()()d limxx f t x t t x →-⎰,其中f (x )是(－∞，＋∞)内的连续函数．解 由于()()d ()d ()d xxxf t x t t x f t t tf t t -=-⎰⎰⎰,且 00lim()d 0xx f t t →=⎰故 ()22()d ()d ()()d limlim()xxxxx x x f t t tf t tf t x t t xx →→'--='⎰⎰⎰()d ()()lim2xx f t t xf x xf x x→+-=⎰()d ()1limlim(0)222xx x f t t f x f x→→===⎰． 二、 微积分基本公式现在我们用定理1来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理2设函数f (x )在［a ,b ］上连续，F (x )是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰． (6-2-1)证 因为F (x )与()d xaf t t ⎰都是f (x )在［a ,b ］上的原函数，所以它们只能相差一个常数C ，即()d ()xaf t t F x C =-⎰．令x =a ,由于()d 0aaf t t =⎰，得C = -F (a ),因此()d ()()xaf t t F x F a =-⎰．在上式中令x =b ，得()d ()()baf t t F b F a =-⎰．为方便起见，以后把F (b )-F (a )记成()bF x a，于是(6-2-1)式又可写成 ()d ()babf x x F x a=⎰．通常称公式(6-2-1)为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式，它表明：一个连续函数在［a ,b ］上的定积分等于它的任意一个原函数在［a ,b ］上的改变量．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．下面我们举几个应用公式(6-2-1)来计算定积分的简单例子．例5 计算120d x x ⎰．解 由于313x 是x 2的一个原函数，故由公式(6-2-1)有112311d 33x x x ==⎰． 例6 计算． 解x x =20sin cos d x x x π=-⎰2204(sin cos )d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=++--2=．习题6-21． 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x-⎰； (3) cos 2sin cos()d x x t t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22d sin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0)． 2． 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x→⎰; (2) 2020sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰．3． 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数．4． 当x 为何值时，I (x )= 2e d xt t t -⎰有极值?5． 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩(4){}222max 1,d x x -⎰．6． 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰． 第三节 定积分的换元法由上节知道，计算定积分()d baf x x ⎰的简便方法是把它转化为求f (x )的原函数的增量，在第五章中，我们知道用换元法可以求出一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分．我们有下面的定理．定理 假设f (x )在［a ,b ］上连续，函数x =φ(t )满足条件： (1) 当t ∈［α，β］时，a ≢φ(t )≢b ，且φ(α)=a ,φ(β)=b ， (2) φ(t )在［α，β］上具有连续导数，则有()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰． （6-3-1）公式(6-3-1)叫做定积分的换元公式．证 由假设知，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两端的定积分都存在，而且由上节定理1知，被积函数的原函数也都存在．所以(6-3-1)式两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算．现假设F (x )是f (x )的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰,又由复合函数的求导法则知Φ(t )=F (φ(t ））(t ∈（α，β））是f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数，所以(())()d (())(())()()f t t t F F F b F a βαϕϕϕβϕα'=-=-⎰,故()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰．这就证明了换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(1) 用x =φ(t )把原来变量x 代换成新变量t 时，原积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2) 求出f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数Φ(t )后，不必像计算不定积分那样把Φ(t )变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别 代入Φ(t )中，然后相减就行了．例1计算x ⎰（a ＞0）． 解 设x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,且 当x =0时，t =0;当x =a 时，t =2π． 于是222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224a at t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦．换元公式也可反过来使用．为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位置，同时把t 改记为x ，而x 改记为t ，得(())()d ()d f x x x f t t ββααϕϕ'=⎰⎰．于是，我们可用t =φ(x )来引入新变量t ,而α=φ(a ),β=φ(b )．例2计算4x ⎰． 解 设t,则x =212t x -=,d x =t d t ,且当x =0时，t =1;当x =4时，t =3,于是343210111(3)d (3)223tx t t t =+=+⎰⎰127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦． 例3 计算520cos sin d x x x π⎰．解 设t =cos x ,则d t = -sin x d x ,且当x =0时，t =1;当x =2π时，t =0，于是1601555201001cos sin d d d 66t x x x t t t t π⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．在例3中，如果我们不明显地写出新变量t ,那末定积分的上、下限就不要变更．55220cos sin d cos d(cos )x x x x x ππ=-⎰⎰260cos 11(0)666x π⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦． 例4设f (x )∈C (［－a ,a ］)，试证： (1)[]0()d ()()d aaaf x x f x f x x -=--⎰⎰；(２) 当f (x )为奇函数时，()d 0aaf x x -=⎰；(3) 当f (x )为偶函数时，0()d 2()d aa af x x f x x -=⎰⎰．证 (1) 由于()d ()d ()d aaaaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰，在()d af x x -⎰中，设x = -t ，则()d ()d ()d a aaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰．故[]0()d ()d ()d ()()d aaaaaf x x f x x f x x f x f x x -=-+=-+-⎰⎰⎰⎰．(2) 当f (x )是奇函数时，f (-x )+f (x )=0,因此()d 0aaf x x -=⎰．(3)当f (x )是偶函数时，f (-x )+f (x )=2f (x ),因此()d 2()d a aaf x x f x x -=⎰⎰．利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．例5 求下列定积分44d 1sin xxππ-+⎰．解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例4(1)知402444004d 11()d 2sec d 2tan 21sin 1sin 1sin x x x x xx x xπππππ-=+===+-+⎰⎰⎰．例6 设函数f (x )在［０，１］上连续，试证(1)2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰;特别地，220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰ (n 为非负整数)；(2)00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰,并由此计算20sin d 1cos x x x x π+⎰． 证 (1) 设x =2t π-,则d x = -d t ,且当x =0时，t =2π; x =2π时，t = 0,于是0202(sin )d (sin())d 2f x x f t t πππ=--⎰⎰220(cos )d (cos )d f t t f x x ππ==⎰⎰．特别地，取f (x )=x n 在［０，１］上连续，由上述证明有220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰.(2) 设x =π-t ，则d x = -d t ,且当x =0时，t =π；x =π时，t =0;于是(sin )d ()(sin())d ()(sin )d xf x x t f t t t f t t πππ=-π-π-=π-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππ=π-=π-⎰⎰⎰⎰．因此0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰．利用结论(2)得222000sin sin d cos d d 1cos 21cos 21cos x x x xx x x x xπππππ==-+++⎰⎰⎰ 20arctan(cos )24x πππ=-=． 例7 设f (x )是(-∞，+∞)内的连续函数，且满足()d 1cos xtf x t t x -=-⎰,求f (x )．解 由u =x -t ,故t =x -u ,d t = -d u ,且当t = 0时，u = x ;t = x 时，u =0．于是00()d ()()d ()()d xxxtf x t t x u f u u x u f u u -=--=-⎰⎰⎰()d ()d x xx f u u uf u u =-⎰⎰,因此f (x )满足()d ()d 1cos x xx f u u uf u u x -=-⎰⎰．上式两边对x 求导，得()d sin xf u u x =⎰．两边对x 求导，得f (x )=cos x ．例8 设函数f (x )= 21,101cos e ,0x x x x x -⎧-≤≤⎪+⎨⎪≥⎩,求41(2)d f x x -⎰．解 设u =x -2,则当x =1时，u =-1;当x =4时，u =2．于是4211(2)d ()d f x x f u u --=⎰⎰20210d e d 1cos u uu u u --=++⎰⎰2024101111tan e tan e 22222u u ---=-=-+． 习题 6-31． 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)x x 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰; (6)2e 1⎰(7)1; (8)x ;(9)ln 3ln 2d e e x xx --⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)1x ⎰; (12) 22x ππ-⎰．2． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰．3． 证明下列等式： (1)23211()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)； (3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰．4． 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数．5． 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增．第四节 定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数u =u (x )，v =v (x )在区间［a ,b ］上具有连续导数u ′(x )，v ′(x )，则有(uv )′＝u ′v +uv ′．分别求等式两端在［a ,b ］上的定积分，并注意到()d bb a auv x uv '=⎰,便得d d b bb aaa uvu v x uv x ''=+⎰⎰,移项，就有d d bbb a aauv x uv vu x ''=-⎰⎰,或简写为 d d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰．这就是定积分的分部积分公式．例1 计算120arcsin d x x ⎰．解1201120arcsin d arcsin x x x xx =-⎰⎰112222011(1)d(1)262x x -π=+--⎰12011212ππ==． 例2 计算2e 2eln d (1)xx x -⎰． 解2222e e e e e 2eee l n 1l n dd l n d ()(1)11(1)x x x x x x x x x x =-=-+----⎰⎰⎰ 2e e 111d e +11x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭⎰ []2e e1ln(1)ln e +1x x =+--1ln(e +1)1e +1=+-． 例3计算x 1⎰．解 先用换元法．令t则x =t 2,d x =2t d t ,且当x =0时，t =0;当x =1时，t =1,于是02e d t x t t 11=⎰⎰．再用分部积分法计算上式右端的积分：1100e d de e e d e e 1t t t t tt t t t t 111==-=-=⎰⎰⎰．因此2e d 212t x t t 11==⨯=⎰⎰．例4 设f (x )在［a ,b ］上可导，且f (a )=f (b )=0, 2()d 1baf x x =⎰,试求()()d baxf x f x x '⎰．解[]21()()d ()d ()d ()2bbb aaa xf x f x x xf x f x x f x '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰⎰ 2211()()d 22b b a axf x f x x =-⎰ 110122=-⨯=-．例5 证明220sin d cos d nnx x x x ππ=⎰⎰;并求20sin d n n I x x π=⎰．证 令x =2t π-，则当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．故 022002sin d sin ()d cos d 2nnn x x t t x x ππππ=--=⎰⎰⎰．1220sin d sin d cos nn n I x x x x ππ-==-⎰⎰201220sincos cos (1)sin cos d n n x xx n x x x ππ--=-+-⎰2220(1)sin (1sin )d n n x x x π-=--⎰2(1)(1)n n n I n I -=---,由此得到递推公式：21n n n I I n--=． 又易求得200d 2I x ππ==⎰,210sin d 1I x x π==⎰,故当n 为偶数时13312422n n n I n n --π=- , 当n 为奇数时1342253n n n I n n --=- ． 习题6-41． 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰．2． 计算下列定积分：(1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx xππ⎰; (5) 220e cos d xx x π⎰; (6) 221log d x x x ⎰;(7)π2(sin )d x x x ⎰; (8) e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰． 3． 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 20()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰．第五节 定积分的应用本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．一、 建立定积分数学模型的微元法由定积分定义可知，若f (x )在［a ,b ］上可积，则对于［a ,b ］的任一划分a =x 0＜x 1＜…＜x n =b 及［x i -1,x i ］中任一点ξi ，有1()d lim ()nbi i ai f x x f x λξ→==∆∑⎰， （6-5-1）这里Δx i =x i -x i -1(i =1,2,…，n ),λ={}1max i i nx ≤≤∆，此式表明定积分的本质就是某一特定和式的极限．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，前面我们所介绍过的曲边梯形面积的计算问题就是归结为定积分来计算的，其归结过程概括地说就是“划分作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部上近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代表“变”，这就是我们建立定积分数学模型的基本方法，也是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．根据定积分的定义，如果某一实际问题中的所求量Q 符合下列条件：(1) 建立适当的坐标系和选择与Q 有关的变量x 后，Q 是一个与定义在某一区间［a ,b ］上的可积函数q (x )有关的量；(2) Q 对于区间［a ,b ］具有可加性，即如果把区间［a ,b ］任意分成n 个部分区间［x i -1,x i ］(i =1,2,…，n ),则Q 相应地分成n 个部分量ΔQ i ,而Q =1nii Q ∆=∑．(3) 部分量ΔQ i 可近似表示为q (ξi )Δx i (ξi ∈［x i -1,x i ］)，且ΔQ i -q (ξi )Δx i =o (Δx i )． 那么，我们即可获得所求量Q 的定积分数学模型：1lim ()()d nbi i ai Q q x q x x λξ∆→===∑⎰,其中λ={}1max i i nx ≤≤∆,Δx i =x i -x i -1．而在实际建模过程中，为简便起见，通常将具有代表性的第i 个小区间［x i -1,x i ］略去下标，记作［x ,x +Δx ］，称其为典型小区间，然后求出相应于这个小区间的部分量ΔQ 的近似值．如果ΔQ 能近似地表示成［a ,b ］上一个可积函数在x 处的值q (x )与Δx 的积，且ΔQ =q (x )Δx +o (Δx ), （6-5-2）就把q (x )Δx 称为Q 的微元(或称元素)，记作d Q =q (x )Δx ． (6-5-3)事实上，对任意x ∈［a ,b ］,若用Q (x )记为区间［a ,x ］所对应的部分量，则Q (a )=0,Q (b )=Q ,且［x ,x +Δx ］所对应的部分量为ΔQ =Q (x +Δx )-Q (x )． (6-5-4)由(6-5-2)式与(6-5-4)式表明(6-5-3)式右端q (x )Δx 即为Q (x )的微分，从而Ｑ＝Ｑ（b )-Q (a ) ()()d =()d Q b bQ a aQ q x x =⎰⎰． (6-5-5)对自变量x 来说，注意到我们有d x =Δx 的规定，因此，习惯上我们将［x ，x +d x ］作为典型小区间．上述建立定积分数学模型的方法称为微元法．值得注意的是，在利用上述微元法建模的过程中，证明ΔＱ-q (x )Δx =o (Δx )是十分关键的．但对于一些初等问题，这一事实往往比较明显，因此也就常常省去了这一步．下面，我们利用微元法来解决一些实际问题． 二、 定积分的几何应用1． 平面图形的面积 由定积分的几何意义我们知道：若f (x )∈C (［a ,b ］)且对任意x ∈［a ,b ］有f (x )≣0,则()d baf x x⎰表示由曲线y =f (x )，直线x =a 和x =b 及x 轴所围曲边梯形的面积．一般地，由平面曲线所围平面图形的面积，在边界曲线为已知时，均可用定积分来求得．图6-5设一平面图形由连续曲线y =f (x ),y =g (x )及直线x =a 和x =b (a ＜b )所围(图6-5)．为了求该平面图形的面积A ，我们在［a ,b ］上取典型小区间［x ,x +d x ］，相应于典型小区间的面积部分量ΔA 近似地等于高为︱f (x )-g (x )︱,宽为d x 的窄矩形的面积(图6-5)，从而得到面积微元d A =︱f (x )-g (x )︱d x , 所以 =()()d baA f x g x x -⎰． (6-5-6)类似地，若平面图形由连续曲线x =ψ(y ),x =φ(y )及直线y =c 和y =d (c ＜d )所围成(图6-6)，则其面积A 为=()()d dcA y y x ψϕ-⎰． (6-5-7)图6-6我们看到(6-5-6)式的积分是以x 为积分变量，(6-5-7)式的积分是以y 为积分变量． 例1 计算由抛物线y =-x 2+1与y =x 2-x 所围图形的面积A ．图6-7解 两抛物线交点由221,y x y x x⎧=-+⎨=-⎩ 解得13(,)24-及(1，0)，于是图形位于直线x = 12-与x =1之间(图6-7)．取x 为积分变量，由(6-5-6)式得12212(1)()d A x x x x =-+--⎰1212(21)d x x x =-++⎰3211221()32x x x -=-++=98． 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围图形的面积A ． 解 两线交点由22,4y x y x ⎧=⎨=-⎩图6-8解得为(2，-2)及(8，4)．这时宜取y 为积分变量，因图形(图6-8)位于直线y = -2和y =4之间，于是由(6-5-7)式得22344224d (4)18226y y y A y y y --=+-=+-=⎰.例3 求由曲线y =sin x ,y =cos x 及直线x =0, 2x π=所围图形的面积A ．图6-9解 两线交点由sin ,cos y x y x =⎧⎨=⎩解得(4π,如图6-9所示． 取x 为积分变量，由(6-5-6)式有4204(cos sin )d (cos sin )d A x x x x x x πππ=-+-⎰⎰424(sin cos )(cos sin )x x x x πππ=++--＝1)．例4 求椭圆22221x y a b+=所围图形的面积A ．图6-10解 因为椭圆关于两坐标轴对称(图6-10)，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，再由(6-5-6)式，即有4A x =⎰． 应用定积分换元法，令x =a cos t (0≢t ≢π2), 则 y =b sin t , d x =-a sin t d t ． 当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．于是 024sin (sin )d A b t a t t π=-⎰2204sin d 44abt t ab ab ππ===π⎰．2． 旋转体的体积Ｖ图6-11考虑介于过x 轴上点x =a 及x =b 且垂直于x 轴的两平行平面之间的立体(图6-11)，设在x (a ≢x ≢b )处垂直于x 轴的截面面积可以用x 的连续函数A (x )来表示．为了求其体积，我们在［a ,b ］内取典型小区间［x ,x +d x ］，用以底面积为A (x )，高为d x 的柱体体积近似于典型小区间［x ,x +d x ］对应的体积部分量，则得体积元素d Ｖ=A (x )d x ， 从而 ()d baV A x x =⎰(6-5-8)类似地，对于介于过y 轴上点y =c 及y =d 且垂直于y 轴的两平行平面之间的立体，若在y (c ≢y ≢d )处垂直于y 轴的截面面积可以用y 的连续函数B (y )来表示，则其体积为()d dcV B y y =⎰． (6-5-9)图6-12现在考虑旋转体，所谓旋转体就是由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的 立体．如图6-12所示，设旋转体是由曲线y =f (x ),直线x =a ,x =b (a ＜b )和x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，则对任意x ∈［a ,b ］，相应于x 处垂直于x 轴的截面是一个圆盘，其面积为πf 2(x )，从而由(6-5-8)式知其体积2()d bx aV f x x =π⎰． (6-5-10)类似地，若旋转体是由曲线x =φ(y ),直线y =c ,y =d (c ＜d )和y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，则其体积为2()d dy cV y y ϕ=π⎰． (6-5-11)例5计算由椭圆22221x y a b+=所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体(称为旋转椭球体，见图6-13)的体积．解 这个旋转体实际上就是半个椭圆y =x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的立体，于是由公式(6-5-10)得2223222222022204()d 2()d 2()33aa ax a b b b x V a x x a x x a x ab a a a -=π-=π-=π-=π⎰⎰ 特别地，当a =b 时就得到半径为a 的球的体积343a π.图6-13 图6-14例6 求由曲线y =2x -x 2和x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．解 如图6-14所示，y =2x -x 2的反函数分为两支，1x = (0≢y ≢1)和1x = (0≢y ≢1)．由(6-5-11)式，所得旋转体的体积为((22111d 1d y V y y =π-π⎰⎰((221011d y ⎡⎤=π-⎢⎥⎣⎦⎰312844(1)3y y 2=π=-π-=π3⎰． 三、 定积分的经济学应用1． 由边际函数求总函数设某产品的固定成本为C ０，边际成本函数为C ′(Ｑ)，边际收益函数为R ′(Q ),其中Q 为产量，并假定该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法易知：总成本函数C (Q )＝00()d QC Q Q C '+⎰; 总收益函数R (Q )= 0()d QR Q Q '⎰;总利润函数L (Q )=[]0()()d QR Q C Q Q C ''--⎰．例7设某产品的边际成本为C ′(Q )=4+4Q(万元/百台)，固定成本C 0=1(万元)，边际收益R ′(Q )=8-Q (万元/百台)，求：(1) 产量从100台增加到500台的成本增量； (2) 总成本函数C (Q )和总收益函数R (Q )；(3) 产量为多少时，总利润最大?并求最大利润．解 (1) 产量从100台增加到500台的成本变化量为2555111()d (4)d 41948Q Q C Q Q Q Q ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ (万元)． (2) 总成本函数200()()d (4)d 14148Q QQ Q C Q C Q Q C Q Q '=+=++=++⎰⎰,总收益函数200()()d (8)d 82Q QQ R Q R Q Q C Q Q Q '=+=-=-⎰⎰．(3)总利润函数2225()()()(8)(41)41288Q Q L Q R Q C Q Q Q Q Q =-=--++=-+-,5()44L Q Q '=-+．令L ′(Q )=0，得惟一驻点Q =3．2(百台)，又因L ″(3．2)= - 54＜0，所以当Q =3．2(百台)时，总利润最大，最大利润为L (3．2)＝5．4(万元)．2． 消费者剩余和生产者剩余图6-15市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线来描述．供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量，一般假定价格上涨时，供应量将会增加．因此，把供应量看成价格的函数，这是一个增函数，即供给曲线是单调递增的．需求曲线则反映了顾客的购买行为．通常假定价格上涨，购买量下降，即需求曲线随价格的上升而单调递减(图6-15)．需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量或供给量．在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用P *和Ｑ*表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E ．在图6-15中，P ０是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为P ０时，供给量是零，只有价格高于P ０时，才有供给量；P １是需求曲线的截距，当价格为P １时，需求量是零，只有价格低于P １时，才有需求；Q １则表示当商品免费赠送时的最大需求量．在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P *更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(C S )．由图6-15可以看出：C S =()d Q D Q Q P Q ***-⎰，式中，()d Q D Q Q *⎰表示消费者愿意支出的货币量．P Q **表示消费者的实际支出，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者剩余．同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格P *低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS )，如图6-15所示，有PS 0()d Q P Q S Q Q ***=-⎰．例8 设需求函数D (Q )=24-3Q ，供给函数为S (Q )=2Q +9,求消费者剩余和生产者剩余． 解 首先求出均衡价格与供需量． 由24-3Q =2Q +9,得Q *=3， P *=15．C S 32300327(243)d 153(24)4522Q Q Q Q =--⨯=--=⎰;。
第六章 定积分(2)
若 f ( x ) g( x ) ，
y
y f ( x)
y g( x )
a o
x x dx
b
x
面积元素： dA [ f ( x ) g( x )] dx ,
A [ f ( x ) g( x )] dx
a
b
3
一般地，
y
y f ( x)
y g( x )
a o
b
围成的平面图形的面积. 解 交点 x 1 , 由对称性,
x2 y 2
2
y
1 y 1 x2
3Βιβλιοθήκη 1 213o
2
1
3
x
x 1 1 x ) dx S 2 ( ) dx 2 ( 2 2 1 0 1 x 2 1 x 2 2 3 . 3 3
16
二、平行截面面积为已知的立体的体积 一个立体, 夹在平面 x a 和 x b 之间, 被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为A( x ) ,则该立体的体积为
a
27
b
y
y f ( x)
V y 2 x f ( x ) dx
a
b
o a
b
x
y
上例：
2
1 2 0
y 2x2
Vy 2 x 2 x dx .
o
1
x
28
例13 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图 形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积. 2 解 V y 2 x( x 1)( x 2) dx . 1 2 y y
y
a x
利 用 圆 面 积
9
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
第6章定积分 - 精品课程网
2、 直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/ cm2 的蒸气，设温度保持不变，要
使蒸气体积缩小一半，问需要作多少功？
3、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相齐，计 算闸门的一侧所受的水压力。
⎩x,
当x ∈[0,1)时，求 Φ(x) =
x
f (t)dt 在[0，2]上的表达式，并讨论
当x ∈[1,2]时.
0
Φ(x) 在（0，2）内的连续性。
∫ ∫ 8、 设 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 且 f(x)>0,F(x)=
x
f (t)dt +
x
dt
, x ∈[a,b]. 证 明 ：
a
b f (t)
∫b) π sin 2 kxdx = π . −π
∫ 5、设 k 及 l 为正整数，且 k ≠ l,证明 π cos kx sin lxdx = 0. −π
∫ 6、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且 f ′(x) ≤ 0, F (x) = 1
x
f (t)dt. 证明在(a,b)
x−a a
4、 设有一长度为 L，线密度为 ρ 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质
量为 m 的质点 M，试求这 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是W = k mMh 其中 k R(R + h).
是引力常数，M 是地球的质量，R 是地球的半径；
积。
2、 证明：由平面图形 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为：
∫ V = 2π
第六章 定积分及其应用
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x
1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i
高等数学 第六章 第7节 定积分的几何应用(中央财经大学)
一、微分元素法)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素 ,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程 , ,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时. 分问题来处理常可将问题归结为定积 . 具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时A取极限”—求和—近似“分划—,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成 , ,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证,采用按照定积分的概念]. ,[ )( 111i i i ni i i ni i x x x f A A −==∈∆≈∆=∑∑ξξ便有关系式, ,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见i i, , ]d ,[ ] ,[ 1且取称之为典型小区间表示为小区间x x x x x i i +−, 则有为区间的左端点x i ξ. d )(x x f A ≈∆, )( d )( 记为或积分元素的微分元素为量通常称A x x f. d )(d x x f A =( 0d , 相当于取极限过程对区间的可加性由量→x A ] ,[ d , 0)||||上“无限累加”起来在区间将微分元素b a A x →∆] ,[ )(上的值：在区间就得到量即作定积分b a A. d )(d ∫∫==babax x f A A. ,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之一、平面图形的面积1解解解解y2解3解二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某 . ,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体 . , 间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间I:旋转体的特点 ,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴. 图形均为圆截口1 y1 y2解Oaa b解解2πy三、平行截面面积为已知的几何体的体积解解。
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
第六章 定积分的应用(教学笔记)
2 .选择积分变量并定区间：选取 x 为积分变量，则 0 ≤ 3 .给出面积元素在 0 ≤ x ≤ 2 上， 在 2 ≤ x ≤ 8 上， 4 .列定积分表达式
4
−4
事实上, 也可以选择 x 为积分变量, 积 分 区 间 为 [0， 如图, 当小区间 8] . 面积微元为 [ x, x + dx] 取 在 [0， 2] 中 时 ,
dA = [ 2 x − (− 2 x )]dx , 而当小区间取
在 [2， 8] 中 时 , 面 积 微 元 为
4
y
y = 2x
(8,4)
dA = [ 2 x − ( x − 4)]dx , 因此, 积分区间
须分成 [0， 即所给图形由 2] 和 [2， 8] 两部分,
o
x=4 -y
y = − 2x
x
直线 x = 2 分成两部分, 分别计算两部分的面积再相加, 得所求面积, 即
A = ∫ [ 2 x − (− 2 x )]dx + ∫ [ 2 x − ( x − 4)]dx
解：
a 0 x = a cos t , (0 ≤ t ≤ 2π ) ， S = 4 ∫ ydx = 4∫π b sin td (a cos t ) = π ab 0 2 y = b sin t ,
或S = 4
∫
b
0
xdy = 4 ∫ 2 a cos td (b sin t ) = π ab
n
i
的极限
方才是精确值 A 。关键是确定 ∆ Ai ≈ f (ξ i ) ∆ x i ( ∆ Ai − f (ξ i ) ∆ xi = o ( ∆ xi ) )
6.5.1定积分分部积分法
△ 冗1
冗In 2
——llnsec x 10 =-82 0 8 4
经济数学--微积分
o
定积分分部积分法
三、举例-幕函数乘对数函数
经济数学
例5 计算 J： (In x)3 dx
：一 解原式=x (In x )3
J 3(ln x)2 dx
】 =e _ 3 x(In x)2
-1J2 In xdx
J =e - 3(e - 2 In xdx)
) =1 [[xf '(2 x )]1 -1 (2 x dx
1
1
=2 f'(2) - 4 [f (2 x )]0
=2 - 4 [f (2) - f (0)] = 2.
经济数学
fx2 sin t i
“ ——d t, 求[xf (x )dx.
*
解因为沖没有初等形式的原函数， t
无法直接求出f (x),所以釆用分部积分法
f兀
2
2x
Jo o
si1n 2 ■xdxd
cos2x
x sin 2 xdx = 2 Jo
=1
JO
x cos
2
x
兀1
2
1,
cos 2 xdx
2 Jo o
= ——sin2 x71
n
24
02
3
勿 2 1 + cos 2x ,
例3计算f x dx.
00 2
解原式万 d ( x + § sin 2 x)
经济数学--微积分
—厂 f X x)=
-2 x = ,
xx
1
1
.・J0 xf(x)dx = 2 f⑴ _ -J： x2f，(x)dx
第六章 定积分
n
f (ξi ) ∆xi
叫做f ( x)在区间[a, b]上的定积分。
[a, b] : 积分区间
定积分是特殊和式的极限
前言
积分学两大问题： 积分学两大问题： 求原函数： 求原函数：
∫ f (x)dx = F(x) + C
计面积： 计算面积： A =
∫
b
a
f ( x)dx
微 积 分 基 本 定 理
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 63
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 73
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 133
播放
例1
计算抛物线y = x 2 , 直线x = 1和x轴所围成的 曲边梯形的面积。
1 解： 把区间[0,1]n等分，则∆xi = (1) n i i 2 y （2）取ξ = ， f (ξ ) = ( )
i
n
i
n
i 2 1 作乘积 f (ξi )∆xi = ( ) ⋅ n n n i2 1 1 n 2 (3) S ≈ ∑ 2 ⋅ = 3 i n n i =1 i =1 n
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 43
定积分的分部积分法
(3) 4 3 xdx; 1
(4) (sin x cos x)dx; 0
(7)
2
sin 2
x
dx;
0
2
1
(8) (
x 1 3x )dx.
0
第三节 定积分的换元法
例1 求 4 dx .
0 1 x
解法1
dx 1
x
令
x
t
2tdt 1 t
2
(1
1
1
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ; dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5)
0 1
3x4 3x2 1 x2
1dx;
(6) 4 tan2 xdx; 0
4 dx
1 x x
2 2tdt 1 t2 t
2 2dt 2 d (t 1) 2
1 t 1 1 t 1
2
ln(t
1)
|12
2(ln
3
ln
2)
2
ln
3 2
.
例4 求 2 3cos2 xsin xdx. 0
解 设u cos x，则du sin xdx，当x 0时，u 1；当x 时，u 0.于是 2
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
微积分 第六章 第一节 定积分的概念与性质
b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.
高等数学 第六章 第1、2节 定积分的概念(中央财经大学)
，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复. 形面积的定义同时，也告知了平面图想方法是：解决曲边梯形面积的思. 取极限—求和—代替—分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所. ],[ )( 上的定积分在区间这种极限值，称为函数b a x f定积分符号：. )(lim d )(10∑∫=→∆=n i i i b a x f x x f ξλ 定积分号；—∫b a 积分下限；—a积分上限；—b d )(被积表达式；—x x f )(被积函数；—x f d 积分变量；—中的x x. ],[积分区间—b a ) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明. ] ,[ )( , T ),( d )( )1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分b a x f x x f i ba ξ∫ . d )(d )(d )()2(⋯===∫∫∫ba b a b a t t f y y f x x f 号无关：定积分与积分变量的记喂!下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.定理 1. ]),([)( ]),,([)( b a R x f b a C x f ∈∈则若, ],[ )( 上单调、有界在若b a x f. ]),([)( b a R x f ∈则)( , ],[ )(第一类且仅有有限个上有界在b a x f. ]),([)( ,b a R x f ∈则间断点定理 2O xya b c �. ]),([|)(| ]),,([)( b a R x f b a R x f ∈∈则若. 3 的逆不真定理⎩⎨⎧−= . 1, , 1 )( ,为无理数，为有理数例如x x x f 定理 3, ],[ ],[ ]),,([)( b a d c b a R x f ⊂∀∈则若. ]),([)(d c R x f ∈O xya b c d 定理 4]),,([)(),( 则若b a R x g x f ∈ . ]),([)()( ),()( ),(b a R x g x f x g x f x kf ∈⋅±定理 5为常数）k (三. 定积分的性质由于定积分是一种和式的极限, 所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可积, 所出现的定积分均存在.: ,定积分反号交换积分上、下限. d )(d )(∫∫−=abbax x f x x f 1 性质)( 2 线性性质性质, d )(d )(d )]()([∫∫∫±=±ba b a b a x x g x x f x x g x f βαβα. ,为常数、式中βα)( 3 保号性性质. 0d )( ],,[ ,0)( ≥∈≥∫ba x x fb a x x f 则若(小于零的情形类似. )1 3 的推论性质. d )(d )( ,],[ )()( ∫∫≥∈≥babax x g x x f b a x x g x f 则若2 3 的推论性质∫∫≤babaxx f x x f d |)(| |d )(|证(f)( 4 对区间的可加性性质∫∫∫+=bcc abaxx f x x f x x f d )(d )(d )(. ,b c a <<其中注意：不论a, b, c 大小关系如何，上式仍然成立！)( 5 估值定理性质,, ],[ )( , 则最小值上的最大在分别为设b a x f m M. )(d )()(a b M x x f a b m ba −≤≤−∫. 0d )(=∫bax x f 时当补充规定：b a =证)( 6 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 , ],[ , ],[ b a b a ∈∃ξ. d )()(d )()(∫∫=babax x g f x x g x f ξ )( ]),,([)( ]),,([)( x g b a R x g b a C x f 且若∈∈解f t3。
大学微积分教材_第六章
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
(x) x f(t)dt，x[a,b] a
G(x)
x
0a
x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x的 一 个 矩 形 的 面 积 。
一般称 1
b
f(x)dx为连续函数f(x) 在[a,b]
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
性质2
b
b
k(fx)dxk f(x)dx
(k为常数)
a
a
性质1,2合称线性性质.
b
c
b
性质3 af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, abc,
c
b
c
af(x)d xaf(x)d xbf(x)d x
b
a
（ 2） 当 ba时 ，f(x)d xf(x)d x.
a
b
5. 定积分的几何意义：
f(x)0,
b
f (x)dx A
曲边梯形的面积
a
f(x)0, bf(x)dxA曲边梯形的面积的负值 a
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当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi} 0 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
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铃Байду номын сангаас
二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结
为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解
x2
o a x0x1
xi1 xi xi
xn b
xn1 x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点
在每个小区间 [xi1, xi ](i 1, 2, , n) 上任取一点 i
(xi1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[xi1, xi ] 的长度为底
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铃
作窄矩形 (如右图).
上任取一 点
n
i (xi1 i xi ), 作和式 Sn f (i )xi i 1
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铃
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中
学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的
面积来求曲边梯形AabB的面积.
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铃
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b]
来说是一个变量, 其最大值与最小值之差较大; 但从区间
[a, b]的一个局部(小区间)来看, 它也是一个变量;
第六章 定积分
§6.1定积分的概念 §6.2定积分的性质 §6.3微积分基本定理 §6.4定积分的计算方法 §6.5反常积分 §6.6定积分的几何应用
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铃
第六章 定积分
前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数, 这样一个积分学的基本问题——不定积分.
这一章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分. 本章的主要问题有: 1.什么是定积分? 2.定积分有哪些性质? 3.定积分与不定积分有何关系? 4.如何计算定积分和应用定积分?
则该窄矩形的面积 f (i )xi
近似等于 Si , 即
f (i )xi Si
III.求和、取极限 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加,
n
n
就得曲边梯形的面积的近似值, 即 S Si f (i )xi
i 1
i 1
记各小区间的最大长度为 max{x1, x2 , , xn}
决数学、物理、工程及经济等众多领域中的不少实际问题,
将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象, 就有定积分的定义:
定义1.设ƒ(x)在[a, b]上有定义, 点a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a, b]任意地划分为n个小区间; 每个小区间 [xi1, xi ]
的长度为 xi xi xi1(i 1, 2, , n), 在每个小区间 [xi1, xi ]
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铃
§6.1 定积分的概念
一.引例(曲边梯形的面积)
定义1. 在直角坐标系中,由一条连续曲线
y
y=ƒ(x)和三条直线x = a、 x = b和y = 0 (x轴)
所围成的图形, 称为曲边梯形, 如右图
y=ƒ(x)
A
B
AabBA (与直边梯形AabB的区别) .
x=a
x=b
问题:
o a y=0 b x
b
a
f (x)dx C 常数,
它仅与被积函数ƒ(x)和积分区间[a, b]有关, 而与积分变量
的字母无关, 即
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铃
b
b
b
a f (x)dx a f (u)du a f (t)dt
注2. 极限过程 ,既0 保证了分点个数无限增多(
)n,
又保证了区间分割无限细密(即所有小区间的长度都趋于0).
b
f (x)dx
b
a
n
即
a
f (x)dx I
lim 0 i1
f (i )xi
其中ƒ(x)为被积函数, ƒ(x)d x称为被积表达式, x 称为积分
变量, a称为积分下限, b称为积分上限, [a, b]称为积分区
n
间Sn f (i )xi 称为积分和.
i 1
注1.若ƒ(x)在区间[a, b]上可积,则定积分
但因ƒ(x)连续, 从而当Δ x →0时, Δy→0, y
故可将此区间的高近似看为一个常量,
y=ƒ(x)
A
C
B
Δy {
从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH
DH
的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积. o a
EF
x x+Δx b x
因而, 如果把区间[a, b]任意地划分为n个小区间, 并
在每一个区间上任取一点, 再以该点的高来近似代替该小
区间上窄曲边梯形的高, 从而每个窄曲边梯形就可近似地
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铃
视为一个小窄矩形, 而且全部窄矩形的面积之和也可作 为曲边梯形面积的近似值.
要想得精确值, 只需区间[a, b]的分法无限细密(即每 个小区间的长度Δ x →0)时, 全部窄矩形的面积之和的极 限一定是曲边梯形面积的精确值.
若只有 n 则不能保证区间分割无限细密.
注3. ƒ(x)在区间[a, b]上可积的充要条件是极限
n
lim
0 i1
f (i )xi
常数
且此极限值与[a, b]的分法和 的i 取法无关.
因此, 对于可积函数ƒ(x), 若要用定义来计算ab f (x)dx,
则可选择较为方便的区间分法和 i 的取法, 使得计算简便.
xn b
xn1 x
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结束
铃
记第 i 个小区间的长度为xi xi xi1(i 1, 2, , n),
过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄
曲边梯形(如上图). 若用S表示曲边梯形的面积,
y y=ƒ(x)
Si 表示第i个窄曲边梯形(阴影
部分)的面积, 则有
n
S S1 S2 Sn Si i 1
从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:
I.化整为零(或分割)——任意划分
(如右图)用分点
y
y=ƒ(x)
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将区间[a,b]任意地划分为n个小区间
[x0 , x1],[x1, x2 ], ,[xn1, xn ],
x2
o a x0 x1
xi1 xi xi