函数及其表示课件

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第二章
函数、导数及其应用
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求下列函数的定义域： x－10 (1)y＝ x＋1＋ ； lg2－x (2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
解析： x－10 (1)要使函数y＝ x＋1＋ 有意义， lg2－x
x＋1≥0， x－1≠0， 应有 2－x＞0， 2－x≠1.
2a＋b＝b＋1 1 故有 ⇒a＝b＝ . 2 a＋b＝1
1 1 因此，f(x)＝ x2＋ x. 2 2
x≥－1， －1≤x＜2， 即x≠1， 有 x≠1. x＜2，
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1或1＜x＜2}．
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(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f(x)的定义域是(1,3)．
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∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，
故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
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(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
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知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念． 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方 函数及其表 法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 示 3.了解简单的分段函数，并能简单的应用．
1.会求一些简单的函数的定义域与值域． 函数的定义 2.理解函数最大值、最小值及其几何意义． 域与值域 单调性 理解函数的单调性及其几何意义．
5. x为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．
解析： 由已知可得x≥0，则当x＝0时，ymin＝－5， ∴y≥－5. 答案： [－5，＋∞) 第二章 函数、导数及其应用
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函数、导数及其应用
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1．求函数定义域的步骤 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式 有意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条件， 建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际问题给
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函数、导数及其应用
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(2)方法一：设t＝ x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1 ＝( x＋1)2－1. ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)．
)
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3．下列各组函数中表示同一函数的是( A．f(x)＝x与g(x)＝( x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝ x3
x2 C．f(x)＝x|x|与g(x)＝ 2 －x
)
3
x＞0 x＜0
x2－1 D．f(x)＝ 与g(t)＝t＋1(t≠1) x－1
对数与 对数函 数
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知识点
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幂函数、 函数与方 程
1.了解幂函数的概念． 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象， 了解它们的变化情况． 3.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 4.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似 解． 会运用函数图象理解和研究函数的性质．
解析： A中定义域不同，B中解析式不同，C中定义域不同． 答案： D
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x2＋1x≤0 4．设函数f(x)＝ ，若f(x)＝10，则x＝________. －2xx＞0
解析： 当x＞0时，－2x＜0，故不合题意； 当x≤0时，x2＋1＝10，∴x＝－3. 答案： －3
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1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2.能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ， y＝ 的导数． 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复 合函数)的导数．
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会 求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过 三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题．
程组，通过解方程组求出f(x)．
【提醒】 求函数的解析式一定要注意函数的定义域，否则会导致错解．
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(1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)的解析式； (2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2fx x－1，求 f(x)．
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解析：
(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b， 即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．
a＝2， a＝2， ∴ 解得 b＋5a＝17， b＝7，
∴f(x)＝2x＋7.
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1 1 (3)在f(x)＝2fx x－1中，用 代替x， x 1 1 得fx ＝2f(x) －1， x 1 2fx 1 ＝ 将f x －1代入f(x)＝2fx x－1中， x
2 1 可求得f(x)＝ x＋ . 3 3
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【变式训练】
lgx2－2x 1.(1)求函数f(x)＝ 2 的定义域； 9－x
(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
解析： (1)要使函数有意义，则只需要：
x2－2x＞0， x＞2或x＜0， 即 2 9－x ＞0， －3＜x＜3，
解得－3＜x＜0或2＜x＜3. 故函数的定义域是(－3,0)∪(2,3)．
出时，注意自变量x的实际意义．
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2．求抽象函数的定义域时： (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由 不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
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4．函数的表示法： ． 5．分段函数
解析法
、
图象法

列表法 、
若函数在其定义域的不同子集上，因
对应关系
不同而分别用
几个不同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部
分组成，但它表示的是
一个
函数．
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1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( A．[1，＋∞) C．(1,2)
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【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x) 的表达式． 解析： (1)∵f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x， 令1－cos x＝t，则cos x＝1－t. ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1－cos x≤2，∴0≤t≤2，
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
函数的 图象
函数的应 用
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知识点 导数及 导数的 运算
奇偶性
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
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知识点 指数与 指数函 数
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求函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的 取值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其
1 他未知量，如f(－x)、f x 等，要根据已知等式再构造其他等式组成方
解析：
)
B．(－∞，2) D．[1,2)
x－1≥0 x≥1 要使函数有意义，只须 ，即 ， 2－x＞0 x＜2
∴1≤x＜2.
答案： D
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2．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该函数的值域为( A．{－1,0} C．{y|－1≤y≤0} 解析： 代入求解． 答案： A B．{0,1,2} D．{y|0≤y≤2}
于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 定义域 相
同，并且
对应关系
完全一致，我们就称这两个函数 相等
．
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【思考探究】 数？ 提示：
2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函
不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相
同，但不是相等函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为R，值域都 为[－1,1]，显然不是相等函数．因此判断两个函数是否相等，关键是看 定义域和对应关系．
如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个 元素x ，在集合B中 都有 唯一确定 的 元素y与之对应
称 f：A→B 为从集合A到集 称对应 f：A→B 为从集合A 合B的一个函数 到集合B的一个映射 y＝f(x)，x∈A 第二章 对应f：A→B是一个映射 函数、导数及其应用
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【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合
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(2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，
x2－3x＋2≥0， x≤1或x≥2， 即 2 即 x －3x－4≤0， －1≤x≤4.
解得－1≤x≤1或2≤x≤4. 故f(x2－3x)的定义域是[－1,1]∪[2,4]．
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导数的 应用
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第1课时 函数及其表示
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1．函数与映射的概念
函数
两集合A、 设A、B是两个非空 数集 B
映射
设A、B是两个非空 集合
对应关 系f： A→B
名称 记法
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如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一 个 数x，在集合B中 都有唯一 确定 的 数f(x) 和它对应
是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．
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函数、导数及其应用
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2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， 集合A 叫做函数的定
义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫 做 函数的值域． 3．函数的构成要素为： 定义域 、 对应关系 和 值域 ． 由