完整版三角形的中位线经典练习题及其答案

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三角形的中位线基础题30道选择题附详细答案

9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）．．．2=．．．7+9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）2．（2014•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）3．（2014•泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）4．（2014•宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）MN=MN=AB5．（2014•牡丹江一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB 于点D，则CD的长为（）AB=4EO=1.5=47．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）AB8．（2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）BC EF=则新三角形的周长为AC BC EF=（∴等边三角形的中位线长是：12．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）EF=．C D．×（14．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF15．（2013•潮安县模拟）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）DAB=4BC=216．（2013•南岗区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，若△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为（）DPG=ANAP=AC=17．（2012•台州）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）18．（2012•聊城）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）D=BC=19．（2012•佛山）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图AC EF=AC EF=AC．cm ∴相似比是21．（2012•朝阳）如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为（）BC AC EF=AB BC EF=23．（2012•邵阳）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（）ABAC24．（2012•德城区三模）如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于（）DMN=25．（2012•黄埔区一模）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为（）AD=BD=AC BCAB=2AC=2BC=226．（2012•长宁区一模）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）D．AD=，的周长为边长的．27．（2012•盐田区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=（）．29．（2011•黔南州）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）+2BE=CE=AB=3AC=330．（2011•义乌市）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）BC。

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。

在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。

2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。

2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。

解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。

2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。

2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。

解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。

利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。

2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。

2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。

解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。

通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。

3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。

专题11 三角形中位线定理(解析版)

专题11 三角形中位线定理【考点归纳】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：【好题必练】一、选择题1．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．2．（2020秋•安丘市期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【答案】B．【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴＝＝＝，∴△DEF∽△CAB，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积＝2，∴△DEF的面积＝，故选：B．3．（2020秋•长春期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED 的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝60°，又∵DE为中位线，∴DE＝BC＝2，BD＝AB＝2，DE∥BC，∴DF＝BD•sin∠B＝2×，∴四边形BCED的面积为：DF×（DE+BC）＝××（2+4）＝3．故选：B．4．（2020秋•长春期末）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF 的周长为（）A．4.5B．9C．10D．12【答案】B．【解析】解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．5．（2020秋•绿园区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（）A．5m B．10m C．20m D．40m【答案】C．【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，∴AB＝2CD＝20（m），故选：C．6．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【答案】D．【解析】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．二、填空题7．（2020春•兴化市期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC＝6，则DE的长为．【答案】3【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×6＝3，故答案为：3．8．（2020春•姜堰区期中）已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为cm．【答案】12【解析】解：∵△DEF的周长为6cm，∴DE+DF+EF＝6，∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点∴DE、DF、EF是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AB＝2EF，AC＝2DF，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（DE+DF+EF）＝12（cm），故答案为：12．9．（2020春•建湖县期中）如图，AB∥CD，AB＝7，CD＝3，M、N分别是AC和BD的中点，则MN的长度．【答案】2【解析】解：延长DM交AB于E，∵AB∥CD，∴∠C＝∠A，在△AME和△CMD中，，∴△AME≌△CMD（ASA）∴AE＝CD＝3，DM＝ME，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵DM＝ME，DN＝NB，∴MN是△DEB的中位线，∴MN＝BE＝2，故答案为：2．10．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，BC＝14，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上一点，连接AF、CF，若DF＝12，∠AFC＝90°，则AC＝．【答案】10【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝7，∴EF＝DF﹣DE＝5，在Rt△AFC中，AE＝EC，∴AC＝2EF＝10，故答案为：10．11．（2020•凤山县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为．【答案】1【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴EF＝CD＝1，故答案为：1．三、解答题12．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．【答案】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴EB＝ED，∵EB＝ED，F是BD中点，∴EF平分∠BED．【解析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，证明EB＝ED，根据等腰三角形的三线合一证明结论．13．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，E，F分别是BD，CD的中点．求证：AD∥EF．【答案】证明：∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF∥BC，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴AD∥EF．【解析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理得到AD∥BC，根据平行公理的推论证明结论．14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AC的中点，AB＝6，求DE的长．【答案】解：∵D为BC的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB＝3．【解析】根据三角形中位线定理解答．15．如图，在△Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【答案】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．【解析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DF∥AC，证明四边形DECF是矩形，根据矩形的性质证明．16．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，求△ABC的周长【答案】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，∵△DEF的周长为10，即EF+DE+DF＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（EF+DE+DF）＝20．【解析】根据三角形中位线定理得到AB＝2EF，AC＝2DE，BC＝2DF，根据三角形周长公式计算，得到答案．。

三角形的中位线经典练习题及其答案

第二讲三角形的中位线之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边, 而且即是_______．3．一个三角形的中位线有_________条．△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, 则线段CD是△ABC的＿＿＿,线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图, D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm, 那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm, 那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示, EF是△ABC的中位线, 若BC=8cm, 则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm, 5cm, 6cm, 则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．8．在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=•5, •BC=•12, •则连结两条直角边中点的线段长为_______．9．若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm, 则原三角形的周长为（）A ．4.5cmB ．18cmC ．9cmD ．36cm10．如图2所示, A, B 两点分别位于一个水池的两端, 小聪想用绳子丈量A, B 间的距离, 但绳子不够长, 一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到A, B 的点C, 找到AC, BC 的中点D, E, 而且测出DE 的长为10m, 则A, B 间的距离为（）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1, 连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形, •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形, 依此类推, 第2010个三角形的周长是（）A 、20081B 、20091C 、220081D 、22009112．如图3所示, 已知四边形ABCD, R, P 分别是DC, BC 上的点,E, F 分别是AP, RP 的中点, 当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时, 那么下列结论成立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增年夜B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中, E, D, F 分别是AB, BC, CA 的中点,AB=6, AC=4, 则四边形AEDF•的周长是（）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示, □ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O, AE=EB,B G A E FH D C图5 求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中, AB =4cm , AD =10cm , 点P 在边BC 上移动, 点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在BC 上且CD=CA, CF 平分∠ACB, AE=EB, 求证：EF=12BD ．17．如图所示, 已知在□ABCD 中, E, F 分别是AD, BC 的中点, 求证：MN ∥BC ．18．已知：如图, 四边形ABCD 中, E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图, 点E, F, G, H 分别是CD, BC, AB, DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形.20．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O, F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．21.如图5, 在四边形ABCD 中, 点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合）, G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．证明四边形EGFH 是平行四边形；22如图, 在四边形ABCD 中, AD=BC, 点E, F, G分别是AB, CD, AC 的中点.求证：△EFG 是等腰F G D C三角形.23.如图, 在△ABC中, 已知AB=6, AC=10, AD平分∠BAC, BD⊥AD于点D, E•为BC中点．求DE的长．24．已知：如图, E为□ABCD中DC边的延长线上的一点, 且CE ＝DC, 连结AE分别交BC、BD于点F、G, 连结AC交BD于O, 连结OF．求证：AB＝2OF．25．已知：如图, 在□ABCD中, E是CD的中点, F是AE的中点, FC与BE交于G．求证：GF＝GC．26．已知：如图, 在四边形ABCD中, AD＝BC, E、F分别是DC、AB边的中点, FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．创作时间：二零二一年六月三十日。

专题1三角形中位线

专题1：三角形中位线【经典例题】例1：如图3，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= °．例2：如图，点P是四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠CBD=45°，∠ADB=105°，探究EF与PF之间的数量关系，并证明。

例3：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接DC，点M，P，F分别为DE，DC，BC的中点，△ADE可以绕点A在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB＝10，则△PMF的面积S的变化范围是．练习：1.如图，点分别是三边上的中点．若的面积为12，则的面积为．2.如图，∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC ，点E 在BC 上，CD=CE ，点P ，M ，N 分别为AB ，AD ，BE 的中点，试探究:PM 与PN 之间的数量关系和位置关系.3.如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AD ＝6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（）A ．8B ．7C ．6D ．51题 3题 4题4. 如图,ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF= 厘米.【经典例题】例4已知：如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．D E F ，，ABC △ABC △DEF △例5如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC,△BEF 为等腰直角三角形、∠BEF=90°，M 为AF 的中点，求证:12ME CF =。

中位线练习题

中位线练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，若AB=5，AC=7，BC=6，则DE的长度是多少？A. 3B. 4C. 5D. 62. 若三角形的一条中位线长为4，且这条中位线平行于三角形的一边，那么这条边的长度是多少？A. 2B. 4C. 8D. 不能确定3. 在三角形中，中位线的性质是什么？A. 与对边平行且等于对边的一半B. 与对边垂直且等于对边的一半C. 与对边平行且等于对边的两倍D. 与对边垂直且等于对边的两倍二、填空题4. 若三角形的一边长为10，其对应的中位线长为5，则该三角形的面积是______。

5. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，若AB=6，BC=8，BD的长度为4，那么AC的长度是______。

三、简答题6. 描述三角形中位线的性质，并给出证明。

7. 若三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如何证明DE是三角形ABC的中位线？四、计算题8. 在三角形ABC中，已知AB=8，AC=6，BC=10，求三角形ABC的中位线长度。

9. 若三角形ABC的一边长为12，其对应的中位线长为6，求三角形ABC的面积。

五、证明题10. 在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，证明DE是三角形ABC的中位线。

11. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，证明DE等于BC的一半。

六、综合题12. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=5，AB=7，AC=8，求BC的长度。

13. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，且BD=4，AB=6，求AC的长度。

七、拓展题14. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，且DE=4，求三角形ABC的周长。

15. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=3，AB=5，求AC 的长度。

答案提示：- 选择题：1. B 2. C 3. A- 填空题：4. 24 5. 8- 简答题：6. 三角形的中位线平行于对边，并且等于对边的一半。

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)

专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。

7、三角形的中位线 - 答案

三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。

(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.(3)用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中ABCD ，对角线相交于点O ，H 为边AD 上的中点，菱形的周长为36，则OH 长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴3649AB =÷=，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为ABD △的中位线，∴1 4.52OH AB ==，故选：A．2．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于点D ，若3AE =，1DF =，则边BC 的长为()A．7B．8C．9D．10【答案】B 【详解】解：EF 是ABC 的中位线，3AE =，∴EF BC ∥，2BC EF =，3BE AE ==，EDB DBC ∴∠=∠，BD 平分EBC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，3ED BE ∴==，1DF = ，314EF ED DF ∴=+=+=，8BC ∴=，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 的点B '处，折痕AD 交BC 点D ，第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若14BC =，MP MN +=．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：AM MD =，MN AD ⊥，AD BC ⊥，GN BC ∴∥，AG BG ∴=，∴GN 是ABC 的中位线，1114722GN BC ∴==⨯=，PM GM = ，7MP MN GM MN GN ∴+=+==，故答案为：7．4．如图，在ABC 中，52ACB ∠=︒，点D，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且90AFC ∠=︒，则FAE ∠的度数为（）A．52︒B．68︒C．64︒D．69︒【答案】C 【详解】解：∵点D，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，AE CE =，∴52AED ACB ==︒∠∠，∵90AFC ∠=︒，AE CE =，∴AFC △是直角三角形，∴AE EF =，∴180180526422AEF FAE EFA ︒-∠︒-︒∠=∠===︒，故C 正确．故选：C．5．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，E，F，G 分别是AB，DC，AC 的中点．若64ACB ∠=︒，22∠=︒DAC ，则EFG ∠的度数为．【答案】21︒【详解】解：∵F 、G 分别是CD 、AC 的中点，∴FG AD ∥，12FG AD =，∴22FGC DAC ∠=∠=︒，∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴GE BC ，12GE BC =，∴64AGE ACB ∠=∠=︒，∴180116EGC ACB ∠=︒-∠=︒，∴22116138EGF ∠=︒+︒=︒，∵AD BC =，∴GF GE =，∴()1180138212EFG ∠=⨯︒-︒=︒；故答案为：21︒．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图ABC 中，E，F 分别是AB ，AC 的中点，过F 作FG AB ∥交BC 于点G，若EF FG =，且 2.5EF =，4AC =，则阴影部分的面积为．【详解】解：如图，连接BF ，E，F 分别是AB ，AC 的中点， 2.5EF =，∴=25BC EF =，FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴=2AB FG ，G 是BC 的中点，EF FG =，∴BA BC =，F 是AC 的中点，∴BF AC ⊥，122AF AC ==，∴22225221BF AB AF =-=-=，∴14212212ABC S =⨯⨯= ， E，F 分别是AB ，AC 的中点，∴1212ABC S S == 阴影面积，故答案为：21．2．如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，F 是BC 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC 的面积为18cm 2，则△DEF 的面积是cm 2【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E 是AC 的中点，△ABC 的面积的为18cm 2，∴△AEB 的面积12=⨯△ABC 的面积＝9（cm 2），∵点D 是AB 的中点，∴△DEB 的面积12=⨯△AEB 的面积＝4.5（cm 2），∵D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE BC，∴△DEF 的面积＝△DEB 的面积＝4.5（cm 2），故答案为：4.5．3．ABC 中，点D、E、F 分别为边BC CA AB 、、的中点，作DEF ．若ABC 的面积是12，则DEF 的面积是（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，取BH 中点为G，连结DG，EM⊥DF 于M，∵D 、F 分别是ABC 的AB 、AC 边的中点，∴12DF BC =，DF∥BC，∵D、G 为AB、BH 中点，∴DG∥AH，且DG=12AH ，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=12AH ∵S △ABC=1122BC AH ⋅=∴111111132222424DEF ABC S DF EM BC AH BC AH S ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯=⨯⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△．故选择B．4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E，作BC 的垂线交BC 于点F，若AB CE ，且DFE △的面积为2，则BC 的长为（）A．B．5C．D．【答案】D 【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∵DE BC ∥，∴AE=CE，DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF AH ∥，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=12AH，∵△DFE 的面积为2cm 2，∴12DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB•2AB=16，（负值舍去），，=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F 分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD 的面积为20，则△BEF 的面积为（）A．2B．94C．5D．9【答案】D 【详解】如图，连接AC，过点B 作EF 的垂线交AC 于G 点，交EF 于H 点，∵E、F 分别是AD、CD 的中点∴EF//AC，△ACD 中，AC 边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∵△ABC 为等腰三角形∴△ABG 和△BCG 为等腰直角三角形∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S △ABC＝12·AB·BC=12ABCD 的面积为20∴S △ACD＝20－16＝4，∴16===424ABC ACD S BG S GH ，∴1=8GH BG =12，∴BH＝BG+GH＝92，又∵11==×8=422EF AC ，∴S △BEF ＝119··=×4×=9222EF BH ．故选：D．6．如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm．【答案】4【详解】解：取CG 的中点，∵点H 是CG 的中点，DE 是ABC 的中位线，∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =，在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF GDF HEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(SAS)DFG EFH ≌，∴FG FH =，EFH DGF S S = ，∵GH CH =，∴3FC FH =，∵CEF △的面积为212cm ，∴21124cm 3EFH S =⨯= ，∴2=4cm DGF S ，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接BD 、AC 交于点O ，四边形EFGH 是菱形，∴EF FG GH HE ===，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF ∴是三角形ABD 的中位线，12EF BD ∴=，EF BD ∥，同理，12EH AC =，∥EH AC ，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形ABCD 为菱形，点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E、F、G、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B 【详解】解：顺次连接菱形ABCD 各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：12GF BD =且GF BD ∥，12EH BD =且EH BD ∥，EF AC ∥，∴EH FG =，EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，则EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C 【详解】解：如图所示，ABCD 是等腰梯形，E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，连接AC ，BD ，∵E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，∴HE AC ∥，12HE AC =，GF AC ∥，12GF AC =，同理：12EF BD =，∴HE GF =且HE GF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即AC BD =，∴EH EF =，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C．5．如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH 是矩形，则原四边形ABCD 必须满足条件（）．A．AB AD=B．AB AD ⊥C．AC BD =D．AC BD⊥【答案】D 【详解】如图，连接AC BD ，，∵E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，∴EF AC HG ，EH BD FG ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴当EFGH 有一个角为直角时，即证明四边形EFGH 是矩形．∵当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形．故选D．6．如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E、G、F、H 得到四边形EGFH ，要使四边形EGFH 是菱形，可添如条件．【答案】AB CD =（答案不唯一）【详解】解：∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，∴11,22FH GE AB GF EH CD ====，∵四边相等的四边形是菱形，∴当AB CD =时，FH GE GF EH ===，此时四边形EGFH 是菱形；∴可添加的条件为：AB CD =；故答案为：AB CD =（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在ABC 中，AB BC =，D、E、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．求证：四边形BDEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明： D、E、F BC 、AC 、AB 边上的中点111,,222BD DC BC AE EC AC AF BF AB ∴======且得到DE ，EF 是ABC 的中位线，∴DE AB ∥，FE BC ∥且11,22DE AB EF BC ==EF BD∴=∴四边形BDEF 是平行四边形AB BC= ∴BF BD=∴四边形BDEF 是菱形．2．已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，点M，N，P，Q 分别是,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形MNPQ 是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设AC 与BD 交于点O，AC 与QM 交于点F，BD 与PQ 交于点E，∵AB AD =，CB CD =，∴点A 与点C 都在BD 的垂直平分线上，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒，∵点M，N，N，P，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴MQ BD ∥，PQ AC ∥，∴四边形OEQF 是平行四边形，又90AOD ∠=︒，∴四边形OEQF 是矩形，∴90MQP AOD ∠=∠=︒，同理：90QMN MNP ∠=∠=︒，∴四边形MNPQ 是矩形．3．已知：如图，在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，G，H 分别是OB ，OC 的中点，连接GH EF FG EH ，，，．求证：FG EH ∥．【答案】∵在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，∴EF 是ABC 的中位线，∴12EF BC EF BC =∥，，∵G，H 分别是OB ，OC 的中点，∴GH 是OBC △的中位线，∴12GH BC GH BC =∥，，∴EF GH EF GH =∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴FG EH ∥．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点依次连接起来，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接AC ．∵E，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =．∵G，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH AC ∥，12GH AC =．∴EF GH ∥，EF GH =．∴四边形EFGH 是平行四边形．(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），连接AC ，BD ，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明．②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①AC BD =，见解析；②AC BD⊥【详解】（1）四边形EFGH 是平行四边形，理由如下：∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =，∴EF HG ∥，EF HG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）①当AC BD =时，四边形EFGH 是菱形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴12EF AC =，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴12GF BD =，∴当AC BD =时，EF FG =，∴平行四边形EFGH 是菱形；②当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴GF BD ∥，∴当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形；5．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O，E，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD =．求证：OM ON =．【答案】如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G 、F 分别为AD 、CD 的中点，GF ∴是ACD ∆的中位线，12GF AC ∴=，同理可得，12GE BD =，AC BD = ，1122GF GE AC BD ∴===．GFN GEM ∴∠=∠，又EG OM ∥，FG ON ∥，OMN GEM GFN ONM ∴∠=∠=∠=∠，OM ON ∴=．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F ∠=∠，在ADE V 和CFE 中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ∴≌△△．AD CF ∴=，12DE EF DF ==．CF BD ∴∥，CF BD =．∴四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC ∴，DF BC =，又12DE DF = ，∴DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF CD ⊥交CD 延长线于点F，若8AC =，5BC =，则EF 的长为．【答案】1.5【详解】解：如图，延长AF ，交于点G，∵CD 是ABC 的角平分线，∴ACF GCF ∠=∠，∵AF CD ⊥，∴90AFC GFC ∠=∠=︒，在ACF △和GCF 中，ACF GCF CF CF AFC GFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ACF GCF ≌ ，∴8CG AC AF FG ===，，∴853BG CG CB =-=-=，∵AE EB AF FG ==，，∴EF 为ABG 的中位线，∴1 1.52EF BG ==，故答案为：1.5．2．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若6AC =，则AF =（）A．3B．2C．43D．94【答案】B 【详解】解：取BF 的中点H，连接DH ，∵BD DC BH HF ==，，∴12DH FC =，DH AC ∥，∴HDE FAE ∠=∠，在AEF △和DEH △中，AEF DEH AE DE EAF EDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEF DEH ASA ≌△△，∴AF DH =，∴12AF FC =，∵6AC =，∴123AF AC ==，故选：B．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M、N 分别是AB AC 、的中点，延长BC 至点D，使12CD BC =．连接DM DN MN 、、．若6AB =，则DN 的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】解：如图：连接CM∵M，N 分别是AB AC 、的中点，∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN BC MN BC =，∥，∵12CD BC =，∴CD MN =，∵MN BC ∥，∴四边形NDCM 为平行四边形，∴DN CM =，∵90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，∴116322CM AB ==⨯=，∴3DN =．故选：C．4．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点，5DE =，3AC =，则AB 长为（）A．8.5B．8C．7.5D．7【答案】D 【详解】解：延长BD ，CA 交于点F，，∵AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，∴FAD BAD ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90ADF ADB ∠=∠=︒，在ABD △和AFD △中，FAD BAD AD AD ADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD AFD △≌△，∴AB AF =，BD DF =，又E 为BC 中点，5DE =，∴210CF DE ==，又3AC =，∴7AF CF AC AB =-==．故选：D．5．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC的中点．(1)如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：1()2EF AC AB =-；(2)如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)1()2EF AB AC =-【详解】（1）证明：如图1中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，∴,90BAE DAE AEB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵AE AE =，∴()ASA BAE DAE ≌，∴AB AD =，即ABD △是等腰三角形，∵BE AE ⊥，BE DE ∴=，BF FC = ，111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）解：结论：1()2EF AB AC =-，理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥ ，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，AE BP ⊥ ，E ∴为BP 的中点，BE PE =∴，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-；故答案为1()2EF AB AC =-．6．已知：如图①所示，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC 相交，易证FG=12（AB+BC+AC）．（1）BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-；（2）1()2FG BC AC AB =+-【详解】解：（1）图②结论为：1()2FG AB AC BC =+-证明：分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K，在BAF ∆和BKF ∆中，ABD FBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =12FG HK ∴=又∵HK BK BH =-，BH=BC-CH=BC-AC，1()2FG AB AC BC ∴=+-（2）图3的结论为1()2FG BC AC AB =+-．证明：分别延长AF 、AG 交BC 或延长线于K 、H ,在BAF ∆和BKF ∆中，ABD DBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =，12FG KH ∴=又KH BC BK HC BC AC AB =-+=+- ．1()2FG BC AC AB ∴=+-．题型六：最值问题1．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，分别在AD 、BD 上取点P、Q （端点除外），连接PQ ，E、F 分别为AP 、PQ 的中点，连接EF，在P、Q 的运动过程中，线段EF 的最小值为（）A． 1.2B． 1.5D．2【答案】A 【详解】解：连接AQ ，∵E、F 分别为AP 、PQ 的中点，∴12EF AQ =，根据点到直线的距离可得当AQ BD ⊥时，AQ 最小，EF 也最小，∵矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5BD ==，∵1122ABD S AB AD BD AQ =⋅=⋅ ，∴1134522AQ ⨯⨯=⨯⨯，∴125AQ =，∴min 1126255EF =⨯=，故选A．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D、E 分别为CN，MN 的中点，则DE 的最小值是（）A．2B．125C．3D．245【答案】B 【详解】解：连接CM ，∵点D、E 分别为CN，MN 的中点，∴12DE CM =，∴当CM AB ⊥时，CM 最小，即DE 最小，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，∴10AB ===，∴CM 的最小值为245AC BC AB ⋅=，∴DE 的最小值为11225CM =，故选：B．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =分别是边CD BC ，上的动点，连接AE 和EF ，G，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）B．2C．3D．1【答案】B 【详解】连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ==，∵G，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是AEF △的中位线，∴12GH AF =，当AF BC ⊥时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB ∠=︒，∵45B ∠=︒，∴ABF △是等腰直角三角形，∴22AF AB ==⨯，∴GH GH 故选：B．4．如图，矩形ABCD 的边24AB BC ==，，E 是AD 上一点，1DE =，F 是BC 上一动点，M、N 分别是AE EF 、的中点，则MN EN ＋的最小值是．【答案】52【详解】解：2AB = ，4BC =，1DE =，4AD BC ∴==，413AE AD DE =-=-=，延长AB 到A '，使2A B AB '==，连接A F '，则4AA '=，A F AF ¢=，当A '、F 、E 在同一直线上时，A F FE '+最小，最小值为A E '．在Rt AA E ' 中，5A E ==='，即AF FE +最小为5，N Q 、M 分别是EF 、AE 的中点，12NE EF =，=12NM AF ，MN EN ＋的最小值为15522⨯=．故答案为：52.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知ABC 的面积为1，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，L ，依此类推，第2013个三角形的面积为（）A．12011B．12012C．201114D．201214【答案】D【详解】解：如图：过点A 作AG DE ⊥于G，交BC 于H，则AG GH =，D 、E、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，DE ∴、EF 、DF 分别为ABC 的中位线，12DE BC ∴=，12DF AC =，12EF AB =，12GH AH =，12ABC S BC AH =⋅ ，12DEF S DE GH =⋅ ，1144DEF ABC S S ∴== ，同理：第三个三角形的面积=21144DEF S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第四个三角形的面积14=第三个三角形面积314⎛⎫= ⎪⎝⎭，……，∴第2013个三角形的面积为201214，故选：D．2．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边的中点E，作ED AB ∥交AC 于点D，EF AC ∥交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作1S 取BE 边的中点1E ，作11E D FB 交EF 于1D ，11E F EF ∥交BF 于点1F ，得到四边形111E D FF ，它的面积记作2S ，…照此规律作下去，则2022S 的值为．【详解】∵E 是BC 中点，ED AB ∥，EF AC ∥，∴ED、EF 是△ABC 的中位线，∴ED=EF=AD=AF=12AB =12，∴四边形EDAF 是菱形，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC∴菱形EDAF 的高为1224⨯=，∴S 1=124⨯=8=32，同理，四边形111E D FF 也是菱形，FF 1=12BF =14，菱形111E D FF 的高为12，∴S 2=14，S 3=18……S n =212n +，∴20222202212S ⨯+==404523．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB 和OC 为邻边作第一个平行四边形1OBB C ，对角线BC 与1OB 相交于点1A ；再以11A B 和1A C 为邻边作第二个平行四边形111A B C C ，对角线1A 与1B C 相交于点1O ；再以11O B 和11O C 为邻边作第三个平行四边形1121O B B C …依此类推．记第一个平行四边形1OBB C 的面积为1S ，第二个平行四边形111A B C C 的面积为2S ，第三个平行四边形1121O B B C 的面积为3S …则2020S 是（）A．2020962B．20201922C．20191922D．2021962【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，=＝16，∴矩形ABCD 的面积＝12×16＝192；∵四边形1OBB C 是平行四边形，OB＝OC，∴四边形1OBB C 是菱形，∴118BA CA ==，∴1OA 是△ABC 的中位线，∴1OA ＝12AB＝6，∴11212OB OA ==，∴平行四边形四边形1OBB C 的面积＝12×12×16＝12⨯192；根据题意得：四边形111A B C C 是矩形，∴第2个平行四边形111A B C C 的面积111AC A B =´＝8×6＝48＝212⎛⎫⎪⎝⎭×192；同理：第3个平行四边形12OB B C 的面积＝12×8×6＝24＝312⎛⎫⎪⎝⎭×192；．．．，∴第n 个平行四边形的面积是12n⎛⎫⎪⎝⎭×192，则2020S 是202012⎛⎫⎪⎝⎭×192＝20201922，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形ABCD ，R，P 分别是DC BC ，上点，E，F 分别是AP RP ，的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减少C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接AR ，E F 、分别是AP RP 、的中点，EF ∴为APR △的中位线，12EF AR ∴=，为定值，∴线段EF 的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E、F、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB ∠︒∠︒=，=，则FEG ∠=．【答案】30︒【详解】解：∵AD BC =，E，F，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD 的中位线，GF 是ACB △的中位线，11,,22GE AD GF BC ∴==,,,GF BC GE AD ∥∥80,20AGF ACB EGC DAC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,又AD BC = ,EFG FEG ∴∠=∠,()2018080120FGE FGC EGC ︒︒︒︒∠=∠+∠=+-= ,()1180302FEG FGE ︒︒∴∠=-∠=.故答案为：30︒．3．如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．4．如图，在ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，DC ，AB 四条边的中点，连接AD ，DE ，EF ，DG ，若ABC 的面积为16，则CEF △和ADG △的面积之和为．【答案】6【详解】解：点D 是BC 的中点，ABC 的面积为16，182ABD ADC ABC S S S ∴=== ，点G 是AB 的中点，142ADG ABD S S ∴== ，点E 是AC 的中点，142EDC ADC S S ∴== ，点F 是CD 的中点，122EFC EDC S S ∴== ，CEF ∴ 和ADG △的面积之和为6，故答案为：6．4．如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCFADFES S =四边形△．【答案】35【详解】解：取CD 中点G ，则EG 是ACD 中位线，∴1,2EG AD EG AD =∥，2AD BD = ，12BD AD EG ∴==,DFB EFG BDF EGF∠=∠∠=∠ ∴BDF EGF ≌，∴132DF FG CG BF EF CF DF ===∴=，，，设1BDF S ∆=，则3BCF CEF AEF S S S ∆∆∆===，2ADF S ∆=，∴35BCFADFE S S ∆=四边形，故答案为35．5．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，E、F 分别是边,CD BC 上的动点，连接AE EF 、，G、H 分别为AE EF 、的中点，连接GH ．若GH 的最小值为3，则BC 的长为．【答案】【详解】解：连接AF ，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH AF ∥，且12GH AF =，要使GH 最小，只要AF 最小，当AF BC ⊥时，AF 最小，∵GH 的最小值为3，∴6AF =，∵45B ∠=︒，∴45BAF ∠=︒，∴6BF AF ==，∴AB ==∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB ==故答案为：6．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，D 是BC 的中点AE BE ⊥，5AB =，3AC =，则DE 的长为（）A．1B．32C．2D．52【答案】A【详解】延长AC 交BE 的延长线于点F ，如图，AE BE ⊥ ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，AE 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，ABE AFE ∴∠=∠，ABF ∴ 是等腰三角形，5AF AB ∴==，点E 是BF 的中点，532CF AF AC ∴=-=-=，DE 是BCF △的中位线，112DE CF ∴==．故选：A．7．如图，ABC 中，9cm,5cm AB AC ==，点E 是BC 的中点，若AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，求线段DE 的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长CD 交AB 于F ，由题意知，FAD CAD ∠=∠，90ADF ADC ∠=∠=︒，在ADF △和ADC △中，∵FAD CAD AD AD ADF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADF ADC △≌△，∴DF CD =，5AF AC ==，∴D 是CF 的中点，4BF AB AF =-=，又∵E 是BC 的中点，∴DE 是BCF △的中位线，∴122DE BF ==，∴DE 的长为2cm．8．如图，ABC 的周长为64，E ．F ．G 分别为AB ．AC ．BC 的中点，A '．B '．C '分别为EF ．EG ．GF 的中点，A B C ''' 的周长为16．如果ABC ．EFG ．A B C ''' 分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是．【答案】11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据三角形中位线定理分别求出第2个三角形的周长、第3个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，EF ∴、EG 、FG 都是ABC 的中位线，12EF BC ∴=，12EG AC =，12FG AB =，EFG ∴△的周长=164643222⨯==，即第2个三角形的周长是32，同理可得，第3个三角形的周长是211646416222⨯⨯==，⋯⋯，则第n 个三角形的周长是7116422n n --=⨯，故答案为：11642n -⨯9．如图，ABC 中，中线,BD CE 相交于O．F、G 分别为,BO CO 的中点．(1)求证：四边形EFGD (2)若ABC 的面积为12，求四边形EFGD 的面积．【答案】(1)见解析(2)4【详解】（1）证明：∵,BD CE 是ABC 的中线，F、G 分别为,BO CO 的中点，∴,ED FG 分别是,ABC OBC 的中位线，∴1,2ED BC ED BC = ，1,2FG BC FG BC =∥，∴,ED FG ED FG = ，∴四边形EFGD 是平行四边形；（2）解：∵,ED BD 分别是,ABD ABC 的中位线，又∵ABC 的面积为12，∴111123244BDE ABD ABC S S S ===⨯= ，∵四边形EFGD 是平行四边形，中线,BD CE 相交于O，F 为BO 的中点，∴O 为DF 的中点，∴113133EBF EFO EOD BDE S S S S ====⨯= ，1GOF GDO EFO EDO S S S S ==== ,∴44EFGD EFO S S == ，∴四边形EFGD 的面积为4．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF BE =，连接EC 并延长，使CG CE =，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ．(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(2)若CB CE =，80BAE ∠=︒，30DCE ∠=︒，求CBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，BAE BCD ∠=∠，∵BF BE =，CG CE =，∴BC 是EFG 的中位线，∴BC FG ∥，12BC FG =，∵H 为FG 的中点，∴12FH FG =，∴BC FH ∥，BC FH =，∴AD FH ∥，AD FH =，∴四边形AFHD 是平行四边形；（2）解：∵80BAE ∠=︒，∴80BCD ∠=︒，∵30DCE ∠=︒，∴803050BCE ∠︒=︒=-，∵CB CE =，∴()118050652CBE CEB ︒∠=∠=︒-︒=．11．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O．2BD AD =，E，F，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．(1)求证：BE AC ⊥；(2)若2EF =，求EG 的长．【答案】(1)见解析(2)2EG =【详解】（1）解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，2BD BO =．由已知2BD AD =，BO BC ∴=．又E 是OC 中点，BE AC ∴⊥．（2）由（1）BE AC ⊥，又G 是AB 中点，EG ∴是Rt ABE 斜边上的中线．EG ∴=12AB又EF 是OCD 的中位线，EF ∴=12CD ．又AB CD =，2EG EF ∴==．12．如图，四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，(1)求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足,,PA PB PC PD APB CPD ==∠=∠，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD ，∵点E、H 分别为边AB AD 、的中点，∴1,2EH BD EH BD =∥,∵点F、G、分别为BC CD 、的中点，∴1,2FG BD FG BD =∥，∴EH FG EH FG =、∥，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：四边形EFGH 是菱形，理由如下：如图2，连接AC BD 、，。

(完整版)三角形的中位线经典练习题及其答案

八年级三角形的中位线练习题及其答案1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4。

如图△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿，线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点（1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm（2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线,若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1） (2） (3) (4）7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12,•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm,4cm,则原三角形的周长为（） A ．4。

5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示,A ，B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D,E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点,E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC上从点B 向点C 移动而点R 不动时, 那么下列结论成立的是（） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4，在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6,AC=4，则四边形AEDF•的周长是（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中,AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点。

《三角形的中位线定理》练习

《三角形的中位线定理》练习一、选择——基础知识运用1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．142．如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．43．如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（）A．点G是△ABC的重心B．DE∥BCC．△ABC的面积=2△ADE的面积D．BG=2GE4．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关5．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为6m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=12m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2二、解答——知识提高运用6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN= AC。

7．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．则四边形AEFD是什么特殊的四边形？请说明理由。

9．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，BC边上的中点，G，H是AC的三等分点，EG，FH 的延长线交于点D．求证：①DG：EG=2：1；②四边形ABCD是平行四边形。

2022年北师大版八下《三角形的中位线》配套练习(附答案)

6.3 三角形的中位线1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14米，那么A，B间的距离是() A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE ＝60°，那么∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，那么DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.假设△ABC 的周长为10，那么△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD 的周长为16 cm，那么△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)假设DE＝10 cm，那么AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜测．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，那么∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，假设DE＝2，那么EB＝____．11．如图，△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为________．12．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，AB＝10，BC＝15，MN＝3.(1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长．14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点证：GH∥BC且GH＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点证：GF＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2202112. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND ＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC.第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质一．选择题〔共8小题〕1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，那么添加的条件不能为〔〕A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．实数x，y满足，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是〔〕A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，那么∠BDC的度数是〔〕A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°5．等腰三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长是〔〕A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136.如图，给出以下四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有〔〕A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔〕A． 7 B． 11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为〔〕A． 60° B． 120° C． 60°或150° D． 60°或120°二．填空题〔共10小题〕9．等腰三角形的一个内角为80°，那么另两个角的度数是 _________ ．10．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，那么∠ACD= _________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，那么∠B= _________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，那么∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，那么BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，那么∠BAC=_________ °．第14题第15题第16题第17题第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB ，∠A=50°，∠B＝30°，那么∠D的度数为_____.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，那么∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP ，CP=CF，那么∠EPF=_________ 度．三．解答题〔共5小题〕19．：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：〔1〕△ABD≌△ACD；〔2〕BE=CE．21．如下图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB 的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．〔1〕上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？〔用序号写出所有的情形〕〔2〕选择〔1〕小题中的一种情形，说明AB=AC．23．〔1〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、A C于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？〔2〕如图，假设点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜测线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜测．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE〔AAS〕．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：〔1〕∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕；…〔4分〕〔2〕由〔1〕知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE 〔SAS〕，∴BE=CE〔全等三角形的对应边相等〕．〔其他正确证法同样给分〕…〔4分〕21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD〔SAS〕．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、〔1〕答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．〔2〕解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：〔1〕成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．〔2〕∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。

八下 9.5 三角形的中位线含答案

9.5三角形的中位线一. 选择题1.如图，DE是^ABC的中位线，过点C作CF〃BD交DE的延长线于点F,那么下列结论正确的选项是（A. EF=CFB. EF=DEC. CF<BDD. EF>DE假设DE是^ABC的中位线，延长DE交^ABC的外角ZACM的平分线于点F,那么线段DF的长为（）A. 7B. 8C. 9D. 10 3.如图，在^ABC 中，ZACB=90°, AC=8, AB=10, DE 垂直平分AC 交AB 于点E,那么DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3 4.如图，在Z\ABC中，点D, E分别是边AB, AC的中点，AF±BC,垂足为点F,ZADE=30°, DF=4,那么BF 的长为（）A. 4B. 8C. 2扼D. 4扼5.如图，在RtAABC中，ZA=30°, BC=1,点D, E分别是直角边BC, AC的中点，那么DE的长为（）A. 1B. 2C. VS D・ 1+V36.在中，AB=3, BCM, AC=2, D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE,那么四边形DBEF的周长是（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11二. 填空题7.如图，在ZkABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,那么DE=8.如图, AB、CD*目交于点0, 0C=2, 0D=3, AC〃BD, £「是左0DB的中位线,且EF=2,那么AC的长为ZACB=90°, M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,使CD=^BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN=310.如图，ZkABC的面积为12cm2,点D、E分别是AB、AC边的中点，贝I」梯形ADBCE的面积为 ___ cm2.11.在Z\ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么Z\ADE的面积与Z\ABC的面积的比是___ .12.如图，在ZXABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA ±的中点，且AB=6cm, AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于____ c m.13.如图，EF为ZXABC的中位线，AAEF的周长为6cm,那么Z\ABC的周长为__ cm.14.如图，在RtAABC 中，ZA=90°, AB=AC, BC=20, DE 是ZXABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3,点N是线段MC ±的一个动点，连接DN, ME, DN 与ME相交于点0・假设左0MN是直角三角形，那么DO的长是三. 解答题15.如图，/XABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD, 交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证：AE=AF；(2)求证：BE=1 (AB+AC).216.如图，^ABC中，D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连结DE (保存作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，假设DE=4,求BC的长.17.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°, AC=AD, M, N分别为AC, CD的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM=MN；(2)ZBAD=60°, AC 平分ZBAD, AC=2,求BN 的长.18.如图，在Z\ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF〃AB,交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当AABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？A19. D、E分别是不等边三角形ABC （即AB尹BC尹AC）的边AB、AC的中点.0 是Z\ABC所在平面上的动点，连接OB、0C,点G、F分别是OB、0C的中点，顺次连接点D、G、F、E.（1）如图，当点。

初二数学三角形中位线练习题(含答案)

初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为．第8题图第9题图第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==，故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=．故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：如图所示，连接AQ ，点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=，同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+，又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=，故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==．【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=，又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==．故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数．【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠，在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==，故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CM 交AB 于H ，在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==，故答案为：1．三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形，理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。

三角形的中位线专题练习题含答案

三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。

(完整版)三角形的中位线专题训练

三角形的中位线例题精讲例1如图1，D、E、F分别是△ABC三边的中点．G是AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点.求PQ:BE的值.例2如图2，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点．AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：()12MF AC AB=-.例3如图3，在△ABC中，AD是△BAC的角平分线，M是BC的中点，ME⊥AD交AC的延长线于E．且12CE CD=.求证：∠ACB=2∠B.FED CBA图1 图2 图3 图4 图5巩固基础练1. 已知△ABC周长为16，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE的周长等于( )A .1 B. 2 C. 4 D. 82. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE面积是△ABC'面积的( )A .12B.13C.14D.183. 如图4，在四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，则EF与AB+CD的关系是( )A .2EF AB CD=+ B. 2EF AB CD>+ C. 2EF AB CD<+ D. 不确定4. 如图5，AB∥CD，E、F分别是BC、AD的中点，且AB=a,CD=b，则EF的长为.图6 图7 图8 图9 图105. 如图6，四边形ABCD中，AD=BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG=.6.(呼和浩特市中考题)如图7，△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为.7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长.8. 如图8，△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC=300,求证：AD=BE.9. 如图9，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB中点，连接CE、CD.求证：CD=2EC.10.如图10，AD是△ABC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点.求证：(1)DE∥AB; (2)()12DE AB AC=+.提高过渡练1. 如图11，M、P分别为△ABC的AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N，已知PN=1，则PB的长为( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10，则MD的长为( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，P为不同于B、E、C的BC上的任意一点，△DPH为等边三角形.连接FH，则EP与FH的大小关系是( )A. E P>FHB. EP=FHC. EP<FHD.不确定4. 如图14，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，交AB于E,若AB=5，则DE的长为.5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.图11 图12 图13 图14 图156. 已知在△ABC中，∠B=600，CD、AE分别为AB、BC边上的高，DE=5，则AC的长为.7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.图16 图17 图18 图19 图20顶级超强练1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27 图28。

初二数学三角形中位线练习题（含答案）

初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( ) A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16B ．12C ．8D ．43．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10第3题图题图第4题图题图第5题图题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = ． 8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为．第8题图题图第9题图题图第10题图题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【解答】解：A Q 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线， 192AB DE m ∴==，故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( )A ．16B ．12C ．8D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：Q 三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=．故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：如图所示，连接AQ ， Q 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E Q ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=，∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P Q 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=，同理，12PF BC =， AD BC =Q ， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：BD CD ⊥Q ，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+=，E Q 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+，又10AD =Q ，∴四边形EFGH 的周长101020=+=，故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M Q 、N 分别为CA 、CB 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线， 1132MN AB∴==， ②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==．【解答】解：ABC ∆Q 是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC∴=，又DF Q 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=，5DF BE ∴==．故答案为5．8．如图，如图，在四边形在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数．【解答】解：Q 四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E Q 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD Q ，FDC FBG ∴∠=∠，在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FB DFC BFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =Q ，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==，故答案为：3．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CM 交AB 于H ，在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AM AMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =Q ，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH∴==，故答案为：1．三．解答题（共3小题） 11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =Q ，CF 平分ACB ∠，F ∴是AD 中点， AE EB =Q ， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线，12EF BD∴=．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形，理由：D Q 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， 12DE BC ∴=，//DE BC， F Q 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC， DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF ∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE ∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG ∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，M Q 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴MF 是△BCD 的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC ，12ME AC =，AC BD =Q ME MF ∴=MEF MFE ∴∠=∠， //MF BD Q ，MFE OGH ∴∠=∠，同理，MEF OHG ∠=∠， OGH OHG ∴∠=∠ OG OH ∴=．。

三角形的中位线经典练习题及其答案培训讲学

三角形的中位线经典练习题及其答案第二讲三角形的中位线1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．9．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm10．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=12 BD．17．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．18．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．19.如图，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点。

北师大版数学八年级下册：6.3 三角形的中位线同步练习(附答案)

3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（） A ．2B.43C ．3D.32第1题图第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．知识点2三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是m.第8题图第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.参考答案：3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（D ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（D ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（A ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（B ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为8．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DF ∥BC.同理：DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE.求线段DE 的长．解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线． ∴点D 是BC 的中点．又∵点E 是AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AC ＝4.知识点2 三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50 m ，则AB 的长是100m.第8题图第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（C ）A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（B ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（A ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是35°．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.证明：∵E ，F 分别是边BC ，AC 的中点， ∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ，AF ＝FC ，BE ＝EC.∵AD ＝12AB ，∴EF ＝AD.∵∠BAC ＝90°，EF ∥AB ， ∴∠DAF ＝∠EFC ＝90°. 又∵AF ＝FC ，AD ＝FE ， ∴△DAF ≌△EFC （SAS ）． ∴DF ＝EC.又∵BE ＝EC ，∴DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．解：∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF. 又∵CG ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFG ＝90°. 在△AGF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠GAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC ，∴△AGF ≌△ACF （ASA ）． ∴AG ＝AC ＝3，GF ＝CF. ∴BG ＝AB －AG ＝4－3＝1.又∵BE ＝CE ，∴EF 是△BCG 的中位线． ∴EF ＝12BG ＝12.15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，延长BA ，CD ，分别交射线FE 于P ，Q 两点．求证：∠P ＝∠CQF.证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM. ∵点E 是AD 的中点， ∴EM ∥AB ，EM ＝12AB.∴∠MEF ＝∠P.同理可证：FM ∥CD ，FM ＝12CD.∴∠MFE ＝∠CQF. 又∵AB ＝CD ，∴EM ＝FM. ∴∠MEF ＝∠MFE.∴∠P ＝∠CQF.。

专题15 三角形的中位线（含答案）

专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。

位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。

培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。

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