四边形中三角形的中位线的应用
平行四边形的判定——三角形的中位线教学设计
19.1.2 平行四边形的判定——三角形的中位线教学设计丹江口市土台中学刘桂林一、教学目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．3．难点的突破方法：（1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质（例1）时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法．（2）强调三角形的中位线与中线的区别：中位线：中点与中点的连线；中线：顶点与对边中点的连线．1 / 5（3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系；条件（题设）：连接两边中点得到中位线；结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）；作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系．（4）可通过题组练习，让学生掌握其性质．三、例题的意图分析例1是教材P98的例4，这是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判2 / 53 / 5定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4） 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．4 / 5【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由） 例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）．同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5 / 5。
三角形中位线性质的活用
三角形中位线性质的活用三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.利用三角形的中位线可以进行几何求值、证明、作图,且能解决生活实际问题.一、证明例1 如图1,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是 .分析:由三角形的中位线位置关系知GH ∥AD 、 GF ∥BC ,数量关系知 GH =12AD 、GF =12BC .要使四边形EFGH 是菱形, 需证平行四边形EFGH 的GH =GF ,所以四边形ABCD 还应满足的一个条件是AD ＝BC .证明: ∵ 在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点, ∴ GH ∥AD , GF ∥BC , EF ∥AD ,HE ∥BC , ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. 又 GH =12AD 、GF =12BC , ∴ 当AD ＝BC 时, 平行四边形EFGH 的邻边GH =GF . 即 平行四边形EFGH 是菱形. 二、实际问题例2 如图2,ABCD 是校园内一块四边形空地,学校在征集对这块空地种花草的设计中选定了如下方案:把这块四边形空地分成九块,种植三种不同品种的花草,其中E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,P 、Q 、R 、K 分别是EF 、FG 、GH 、HE 的中点,现要在四边形PQRK 中种上红色的花,在△PFQ 、△QGR 、△RHK 、△KEP 中种上黄色的花,在△HAE 、△EBF 、△FCG 、△GDH 中种上紫色的花,已知红黄紫三种花的单价分别是8元/㎡、10元/㎡、12元/㎡,而种红花已用去120元,请用学过的数学知识计算种满四边形ABCD 这块空地的花需要多少元?HGFE DCBA 图1KRQPHGFDC BA图2分析:利用三角形的中位线性质推导出“中点四边形”与原四边形的面积关系,得出结论. 解:由三角形中位线性质,可得顺次连接四边形中点所得四边形的面积是原四边形面积的一半,即四边形PQRK 的面积=12四边形EFGH 的面积=14四边形ABCD 的面积, 又 四边形PQRK 的面积=1208=15㎡,∴ 种黄色花需要10×15=150(元), 种紫色花需要12×30=360(元),∴ 种满这块空地共需要120+150+360=630(元).三角形中位线的应用“三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这就说明三角形的中位线与第三边既有位置关系，又有数量关系，所以，中位线的应用相当广泛。
四边形拓展—中点应用
四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AE BD ⊥交BC 于点E ．求证：2BE CE =．例2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 是中线，AM BD ⊥于M ，交BC 于点E ．求CDE S ∆．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ∠=︒，M 为AB 中点． 若 6.5CM =，17BC CD DA ++=，求梯形ABCD 的面积．BB例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC ∆中，7AC =，4BC =，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ∠=︒+∠．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．EA四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ⊥，垂足为F ．求证：FG DG =．例8．如图，在ABC ∆内取一点P ，使PBA PCA ∠=∠，作PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，AD 上有一点E 使得BE EC ⊥，且45CED ∠=︒．求证：AB CD BC +=．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP ADQ MQNP S S S ∆∆=+四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形例11．如图，在任意五边形ABCDE 中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF 中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF +=+，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A D B E =．求证：CDE AFE ∠=∠．ABE1ADABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD ⊥于点P ，求NPC ∠的度数．2．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ∠=∠，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ⊥，OQ AB ⊥，P Q 、为垂足．求证：DP DQ =．3．如图，在ABC ∆中，2A B ACB ∠+∠=∠，8BC =，D 为AB 的中点，且CD =，求AC 的长．BBD BAFE MABCDM4．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB =5．如图，在ABC ∆中，2ABC C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD =．6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠。
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
冀教版八年级下册数学第22章 四边形 三角形的中位线
知1－练
2
感悟新知
知识点 2 三角形中位线在四边形中的应用
知2－讲
例如2图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点， 连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN.
求证：MNBC. ＝∥1 2
感悟新知
知2－讲
导引：欲证MNB＝∥C1，只需证明MN 是△EBC的中位线2即可．而要证得M，N分别为
∴MN是△EBC的中位线．∴MNBC.
＝∥ 1 2
知2－讲
感悟新知
归纳
知2－讲
(1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理．
感悟新知
归纳
知2－讲
(2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边 形的对角线；③利用三角形的中位线定理．
1 2
感悟新知
3. 如图，△CDE为△ABC沿AC方向平移得到的， 延长AB，ED相交于点F.请指出图中有哪些相等 的线段，有哪些平行的线段.
知1－练
解：相等的线段有AB＝BF＝CD， BC＝DF＝DE，AC＝CE. 平行的线段有AF∥CD，AB∥CD， BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF.
∴DE=DF=BC.
11 22
感悟新知
归纳
知1－讲
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半.
感悟新知
知1－讲
例已1知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对角线 BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点.
求证：△PMN是等腰三角形.
感悟新知
证明：在△ABD中， ∵N，P分别为AB，BD的中点，
平行四边形判定的应用(三角形中位线定理)课件
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相平分。
详细描述
根据三角形中位线定理，如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形的两组对边分别平行，从而判定该四边 形是平行四边形。这一结论可以通过构造两个三角形并应用中位线定理来证明。
利用中位线定理证明四边形的对角线互相垂直
总结词
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相垂直。
通过多做练习题，加深对三角形中位线定理的理解，提高运用能力，以便更好地 解决实际问题。
对未来学习的展望
三角形中位线定理是几何学中的重要定理之一，对于后续学 习其他几何定理和解决几何问题具有重要意义。
在未来的学习中，应继续深入研究和探索三角形中位线定理 的应用，提高自己的几何素养和解题能力。
THANKS.
总结与思考
05
三角形中位线定理与平行四边形判定的关系
三角形中位线定理是平行四边形判定 的一种重要应用，通过三角形中位线 定理可以判断一个四边形是否为平行 四边形。
三角形中位线定理的应用，使得平行 四边形的判定更加直观和易于理解， 有助于解决几何问题。
如何更好地应用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，应充分理解三角形中位线定理的含义和适用条件，掌握其应 用技巧。
第三步
根据已知条件和所证明的平行四 边形性质，我们可以进一步求解 题目中的问题。具体过程如下
解题过程与结果
由于四边形BEDF是平行四边形 ，根据平行四边形的性质，我 们有BE = DF。
由于E和F分别是AC和AB的中 点，根据中位线定理，我们有 BE = 0.5BC和DF = 0.5BC。
因此，我们得出结论：BE = DF = 0.5BC。
考察知识点
数学中位线知识点总结
数学中位线知识点总结一、中位线的概念中位线（median line）是指一个图形中的中轴线或对称轴线。
在数学中，中位线通常指的是统计学中的中位数，它是一组数据中的中间值，即将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
中位线也可以指的是图形中的对称轴线，即将图形分成两个对称的部分的线。
二、中位线在统计学中的应用1. 中位数的计算在一组数据中，中位数是指把数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
如果数据中的个数是奇数，则中位数就是位于中间位置的数值；如果数据中的个数是偶数，则中位数是位于中间两个数值的平均值。
计算中位数是统计学中的常见操作，可用于描述数据的集中趋势。
2. 中位线的代表性与平均数不同，中位数不受极端值的影响，更能反映数据的真实情况。
当数据中存在极端值或异常值时，常常使用中位数来作为代表性指标，以避免这些极端值对总体趋势的影响。
3. 中位数的应用在实际问题中，中位数也常常用于分析人口收入、房价水平、企业利润等各种经济和社会数据，以反映总体的趋势和变化，具有很强的实用价值。
三、中位线的数学性质1. 数据的分布在一组数据中，中位数是数据分布的一个重要指标，它可以直观地反映数据的集中趋势。
当数据中的数值集中在中位数附近时，说明数据的分布比较均匀；当数据中的数值分散在中位数附近时，说明数据的分布比较不均匀。
2. 质数的中位数质数是指除了1和自身外，没有其他正因数的自然数。
在一组质数中，中位数通常是这组数据的中间值，通过求解中位数，可以更好地理解这组质数的分布规律和特点。
3. 数轴上的中位线在数轴上，中位线是指将数轴分成两段长度相等的线段，这两段线段的中点就是中位线。
在数轴上，中位线也被称为中点线，它是数轴的中心线，对称于原点。
四、中位线的几何性质1. 几何图形中的中位线在三角形中，中位线是指连接三角形的一个顶点与对边的中点的线段。
在四边形中，中位线是指连接四边形对角线的交点的一条线段。
在多边形中，中位线是指连接多边形一个顶点与对边的中点的线段。
四边形三角形的中位线ppt
四边形三角形的中位线具有一些特殊的性质，例如它们交于 一点，且该点也是四边形两条对角线的交点。
目的和意义
通过研究四边形三角形的中位线，可以更深入地了解四边形 的性质和特点，进一步理解几何学中的基本概念和原理。
本课题的研究可以为几何学的教学提供更多的素材和案例， 帮助学生更好地掌握四边形的性质和应用。
四边形中位线的应用
应用1
通过四边形中位线可以证明两 个三角形全等。
应用2
四边形中位线可以用于求解一 些几何题。
应用3
四边形中位线在几何作图中有 重要应用，如在作平行四边形
时。
03
三角形的中位线
三角形中位线的定义
三角形中位线是指连接三角形任意两顶点并平行于第三边的直线。 三角形中位线将三角形分成面积相等的两部分。
三角形中位线的性质
三角形中位线平行 于第三边。
三角形中位线的长 度等于第三边上的 中线长度的一半。
三角形中位线将三 角形周长分成相等 的两部分。
三角形中位线的应用
1 2
判断三条直线是否共点
通过三角形中位线可以判断三条直线是否共点 。
证明两个三角形相似
利用三角形中位线的性质可以证明两个三角形 相似。
四边形中位线与对角线有关， 而三角形中位线与对角线无关
。
比较应用
在几何测量中，四边形中位线可以用来计算四边形的周长和 面积。
三角形中位线定理可以用来证明一些几何题和解决一些几何 问题。
05
中位线的应用
在几何中的应用
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半。
梯形中位线定理
在作图中的应用
利用中位线定理作图
三角形中位线定理应用
三角形中位线定理应用I]\~?、t\:□江苏徐勇三角形中位线定理是初中数学中的重要定理,在解决数学问题中有着广泛的应用.一、证明两角相等例1如图1,已知四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F,试证明厶BEN=ANFC.【分析】构造三角形的中位线,根据中位线性质得到平行线,将要说明具有相等关系的两个角用同一三角形中的两角替代，并说明该三角形是等腰三角形.证明:连结,取的中点连接MH、NH.根据三角形中位线的性质，有：MH/IAB,MH=y AB,NH//DC,NH=^DC图1所以厶BEN=/JIMN,厶NFC=ZJINM,又由AB=CD,可得MH=NH,所以ZJIMN=ZJ1NM,故Z.BEN=ANFC.【点评】本题的辅助线具有很强的技巧，先把四边形分成两三角形，再构造中位线,像这样利用过渡线段作中位线的方法常常见到,希望引起重视•二、证明两线段相等例2如图2,已知。
是AABC的边BC的中点，E、F是AC边上的两点，且AB=CE、AF=EF,DF的延长线交BA的延长线于G,求证:AF=AG.【分析】由D、F分别是的中点，联想到三角形的中位线定理，为此可连结BE并取其中点连接图2则在44BE和4BCE中均可应用中位线定理，并把等线段AB=CE转化到AHDF中，问题可迎刃而解.证明:如图2,连结BE,并取中点H,连接HD、HF,则HD/ICE,E.HD=*CE,HF//AB,且H F=^AB■:AB=CE,FH=HD,A2=Z3.又•••HFI/BC,HD//AC,:.Zl=Z2,Z3=Z5=Z4,Zl=A4,AF=AG.【点评】题设中具有线段中点的条件时,常设法构造三角形,以便能够利用三角形中位线定理解决问题.三、证明线段的倍分关系例3已知:如图3,AE为正方形4BCD中ABAC的平分线,血分别交BD、BC于点F、E,AC、BD相交于点0.求证:OF=舟CE.【分析】由正方形ABCD知，点。
初中中位线知识点总结
初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。
2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。
3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。
二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。
2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。
这是因为三角形的三边相等。
3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。
三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。
2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。
3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。
四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。
2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。
3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。
五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。
2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。
3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。
六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。
2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。
七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。
八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。
2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。
人教版-数学-八年级下册三角形的中位线在四边形中的应用
三角形的中位线在四边形中的应用单纯的三角形中位线问题并不复杂，但把它放到四边形中就难多了。
下面通过一些例子来有序地讨论这些问题。
例1.已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？分析：这是个引子问题，也是个基础问题。
只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。
它也有许多引伸。
如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。
想想为什么？例2.已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD+BC ＞2EF 。
分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。
但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。
解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点所以EH=21AD,FH=21BC, 又EH+FH>EF ，所以21AD+21BC>EF,即AD+BC ＞2EF 。
例3.已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。
分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。
解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以ME=21AC,MF=21BD ， ME ∥AC ，MF ∥BD ，又AC ＝BD ，所以ME ＝MF ， 则∠MEF ＝∠MFE.又ME ∥AC ，MF ∥BD ，所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE ，所以∠1＝∠2，OG ＝OH.下面两道题留给同学们思考。
（1）已知：四边形ABCD ，点M 、N 分别是AD 、BC 的中点，点P 、Q 分别是AC 、BD 的中点，且AC ＝BD ，试说明MN ⊥PQ 。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
中位线及其应用
第2讲：中位线及其应用
1、三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段
（2）性质：平行于第三边，并且等于第三边的一半。
证明及书记格式：
（3）证明方法：
方法一：连接三角形两边中点的线段为三角形中位线
方法二:过三角形一边中点且平行于第三边的线段是三角形中位线
2.梯形中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。
证明：
【例题精讲】
【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，证明BD=2EF。
【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.
求证：
1
2
DM AB
A
B
D
B
【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点 证明四边形EFGH 是平行四边形形
【例3】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。
求证：MN ＝21（AB －CD ）
【例4】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
【巩固】已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。
求证：PM ＝PN
A B C P M D A B D C M N A C P M N。
例谈中位线定理在几何问题中的应用
数学·解题研究例谈中位线定理在几何问题中的应用广东珠海市南屏中学（519000） 李小娟［摘 要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。
［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。
下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。
一、利用中位线定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。
［例1］（1）课本再现：如图1所示，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点。
求证：DE ∥BC ，且DE =12BC 。
定理证明：如图2所示，延长DE 至点F ，使得EF =DE ，连接CF 。
请你写出完整的证明过程。
D o cu m图1 图2（2）知识应用：如图3在四边形ABCD 中，AB =6，CD =8，∠BAC =30°，∠ACD =120°点E 、F 、M 分别是AD 、BC 、AC 的中点，求EF 的长。
（1）证明：在△AED 和△CEF 中，ìíîïïDE =FE ，∠AED =∠CEF AE =CE ，，∴△AED ≌△CEF （SAS ），∴AD =CF ，∠A =∠ECF ，∴AB ∥CF ，∵AD =BD ，∴BD =CF ，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF ∥BC ，DF =BC ，∴DE ∥BC ，DE =12BC 。
（2）解：∵点E 、M 分别是AD 、AC 的中点，∴EM 是△ADC 的中位线，∴EM =12CD =4，EM ∥CD ，∴∠EMC +∠ACD =180°，∵∠ACD =120°，∴∠EMC =60°。
三角形的中位线定理及其应用优秀教案
教学设计三角形的中位线教学设计一、教材分析学生已经认识了许多图形的性质，积累了较丰富的空间与图形的经验。
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。
是平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，三角形中位线定理的证明让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后推理论证，总结形成定理，通过多种方法证明定理，渗透了转化思想，对拓展学生的思维有着积极的意义，为后面学习作铺垫。
二、学生分析学生已经掌握了基本的数学知识，并形成了一定的数学技能，能应用学过的数学知识来分析和解决实际问题。
他们已具备了良好的空间想象能力和一定的创新意识，并有强烈的独立思考、自主探索的愿望。
这些对本节课的学习是很有帮助的。
但三角形中位线定理对学生在知识的学习和应用上提出了较高的要求，并且本节所学内容为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。
三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
三、教学目标1.得到三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同；能理解和证明三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
2.通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力3.培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
四、教学环境√简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境□网络多媒体环境教学环境□移动学习□其他五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？）200字本节运用“创设情境——探索实践——交流合作——归纳小结——知识拓展”的教学模式。
同时利用多媒体的动态演示效果使学生三角形中位线定理的直观性与广泛性。
首先通过实例来创设问题情境，在学生思考、实践的基础上，引出课题，对于本节的重、难点，则采取分步思考、小组讨论的方法，并借助几何画板动态演示，通过数据的变化验证猜想成立，体会从特殊到一般的过程。
3.1 平行四边形--三角形的中位线及性质课件
回顾与思考 1
学好几何标志是会
“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求
证(4”)分; 析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD,AD=BC,
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD,AB=CD,
′
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO=CO,BO=DO,
A
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
D
∵AC=DB.
∴AB=DC.
B
C
证明后的结论,以后可以直接运用.
我思,我进步1
挑战分割三角形
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?
A
四个全等的三角形.
请你设法验证.
D
E
连接三角形两边中点的线 B 段叫做三角形的中位线.
猜一猜,三角形中位线有什么性质?
A
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利 用三角形的中位线可转化两组对边分
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D
∴EF∥AC,EF 1 AC. 2
HG∥AC,HG 1 AC. 2
例析三角形中位线定理及其应用
２０２３年４月下半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀例析三角形中位线定理及其应用◉甘肃省白银市第六中学㊀苏东红㊀㊀摘要:与三角形有关的 线 非常多,如高线㊁中线㊁角平分线㊁垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的 角色 ㊁发挥着不同的作用．本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助．关键词:三角形;中位线;作用㊀㊀在北师大版初中数学教材中,三角形的中位线及其定理被安排在了 平行四边形 这一章,属于比较基础且非常重要的知识点．基础是因为难度较小,重要是因为它在解决初中几何问题中往往发挥着重要的作用,是一线教师应着重讲解㊁分析的内容．基于此,本文中首先介绍了三角形的中位线及其定理,然后通过例题分析其具体应用．１三角形中位线及其定理１．１三角形中位线在教材中,三角形的中位线是这样定义的:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．由此不难得知,一个三角形有三条不同的中位线．另外,三角形的中位线与三角形的中线不同:三角形中位线的两个端点分别是三角形两边的中点(如图１Ｇ１),而三角形的中线的两个端点,分别是三角形的顶点和这个顶角对边的中点(如图１Ｇ２)[１]．图１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１Ｇ２１．２三角形中位线定理在教材中,通过研究得到了 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ,这就是三角形中位线定理．由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系．(１)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图１Ｇ１中,有D EʊB C;(２)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图１Ｇ１中,有D E＝１２B C．２三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是初中数学几何部分非常重要的理论知识,对解答几何问题的帮助非常大[２]．下面结合例题分析三角形中位线定理的具体应用．２．１证明两条直线平行图２例１㊀(２０２２钦州)如图２,D E是әA B C的中位线,则әA D E与әA B C的面积比是．分析:由中位线可知D EʊB C,D E＝１２B C,则әA D EʐәA B C,相似比为１ʒ２．根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果．解:ȵD E是әA B C的中位线,ʑD EʊB C,且D E＝１２B C．ʑәA D EʐәA B C,且相似比为１ʒ２．ȵ相似三角形的面积比是相似比的平方,ʑәA D E与әA B C的面积的比为１ʒ４．点评:本题要熟悉中位线定理及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．图３变式１㊀如图３,D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,将әA B C沿着线段D E所在直线折叠,使点A落在点F处．若øB＝５５ʎ,则øB D F＝ʎ．解析:因为D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,所以D E是әA B C的中位线．根据三角形中位线定理,可知D EʊB C,进一步利用平行线的性质得到øB＝øA D E＝５５ʎ．最后,根据折叠前后的两个图形全等这一特点,易得øF D E＝øA D E＝５５ʎ．所以øB D F＝１８０ʎ－øF D E－øA D E＝７０ʎ．答案:７０．点评:本题用到的知识点比较多,如三角形中位线定理㊁平行线的性质㊁图形折叠的性质等,其中判断D E是әA B C的中位线且根据三角形中位线定理得到D EʊB C最关键．由此可见,证明两边互相平行的１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月下半月㊀㊀㊀方法不只有平行线的判定定理,还有三角形中位线定理．２．２证明线段的相等或倍分关系图４例２㊀如图４,在әA B C中,A D 为B C 边上的中线,F 为A C 边上一点,A F ＝１３A C ,连接B F 交A D 于点E ,E F ＝５c m ,求B F 的长．分析:因为A D 为B C 边上的中线,所以D 为B C 的中点,取C F 的中点M ,连接DM ,则DM 为әB C F 的中位线,可得DM ʊB F ,DM ＝１２B F ．再通过证明可得E F 为әA DM 的中位线,则E F ＝１２DM ,从而得到B F ＝４E F ,最后求出B F 的长．解:如图５,取C F 的中点M ,连接DM ．ȵD 为B C 的中点,ʑDM 是әB C F 的中位线．ʑDM ʊB F ,DM ＝１２B F ,即B F ＝２DM ．图５ȵA F ＝１３A C ,ʑA F ＝１２F C ．又ȵF M ＝１２F C ,ʑA F ＝F M ,即F 是AM 的中点．ȵE F ʊDM ,ʑE 为A D 的中点．ʑE F 是әA DM 的中位线．ʑE F ＝１２DM ,即DM ＝２E F ．ʑB F ＝２DM ＝２ˑ２E F ＝４E F ．ȵE F ＝５c m ,ʑB F ＝２０c m ．图６变式２㊀如图６,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,B A ,C D 的延长线分别与E F 的延长线交于点M ,N ．求证:øB M E ＝øC N E ．分析:受例２解题方法的启发,遇到中点就构造三角形的中位线,考虑E ,F 在不同的边上,所以在构造中位线时应连接B ,D ,使得E ,F 两个中点产生联系．解:如图７,连接B D ,取B D 的中点G ,连接G E ,G F ．ȵG ,F 分别是B D ,A D 的中点,图７ʑG F ＝１２A B ,G F ʊB M ．同理可证G E ＝１２C D ,G E ʊC N ．ȵA B ＝C D ,ʑG F ＝G E ．ʑøG F E ＝øG E F ．ȵG F ʊB M ,ʑøG F E ＝øB M E ．ȵG E ʊC N ,ʑøG E F ＝øC N E ．ʑøB M E ＝øC N E ．点评:已知三角形一边中点时,常取另一边的中点,或者连接某线段,构造出三角形的中位线．３总结通过以上几道题的分析和总结,不难发现三角形中位线定理在解决平行㊁线段数量关系中发挥着重要作用．教师在教学中要注意以下两个方面:首先, 遇中点,想中位线 ,让学生充分掌握作辅助线构造三角形中位线的方法．例２和变式２都采用了作辅助线的方法,但例２的方法比较简单,而变式２中的方法比较复杂．这就启示解题者 遇中点,想中位线 是解决这一类问题的通法[３]．当中点数量较多时,可连接某两个点形成一条线段并将之作为 桥梁 ,把若干个中点联系起来,如变式２中的B D ．其次,注重知识网络的构建,利用变式激发学生思维．三角形中位线定理会出现在许多几何题中,与之相关的知识点也非常多[４]．所以,为了结合三角形中位线定理顺利㊁高效地解决问题,一定要及时构建和完善知识网络[５]．当然,利用变式训练学生的思维也非常重要．参考文献:[１]张培恳．不同的课题与学生,需要不同的教法 谈 三角形中位线定理 一课的不同教法[J ]．数学教学通讯,２０１９(２３):３６Ｇ３７．[２]边锋．三角形中位线构造方法的探究与建议[J ]．中学数学,２０２０(２０):３８Ｇ４０．[３]赵蓉．基于问题解决能力提升的初中数学探究性教学策略研究 以 三角形中位线定理 教学为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):３４Ｇ３５．[４]廖志东,林艳霞．简约而不简单 剖析 三角形中位线定理 教学的重㊁难点突破[J ]．中国数学教育,２０２０(Z ３):７Ｇ１０．[５]王松．与三角形中位线相关的典型中考题[J ]．初中生学习指导,２０２１(１７):１４Ｇ１５．Z２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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四边形中三角形的中位线的应用
例1. 已知点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边的中点，试问四边形EFGH 是平行四边形吗？
分析：这是个引子问题，也是个基础问题。
只要连结四边形ABCD 的一条对角线，再利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可解决问题。
它也有许多引伸。
如：当四边形ABCD 满足什么样条件时，连结它四边中点所得到的四边形是菱形？答案是对角线相等。
想想为什么？
例3. 已知：如图，四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，试说明AD BC EF +>2。
分析：本题看条件很简单，如何得结论似乎无处入手。
但只要想到三角形中位线，知道构造三角形，这问题也不难。
解：连结BD ，取BD 中点为H ，连结EH 、FH 。
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点
所以EH AD FH BC =
=1212，
又EH FH EF +>，所以1212AD BC EF +> 即AD BC EF +>2
例4. 已知：如图，四边形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，且AC ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 中点，连结EF 交AC 、BD 于G 、H ，试说明OG ＝OH 。
分析：本题看条件比例3多了一个条件，但解题仍比较困难，这时经验与想象力就很重要了。
解：取BC 中点为M ，连结ME 、MF
因为点E 、F 分别是AB 、CD 的中点
所以ME AC MF BD ==1212，
ME ∥AC ，MF ∥BD
又AC ＝BD ，所以ME ＝MF
则∠MEF ＝∠MFE
又ME ∥AC ，MF ∥BD
所以∠1＝∠MEF ，∠2＝∠MFE
所以∠1＝∠2，OG ＝OH。