因式分解讲义

多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系数原则上是不定的。但对整系数的多项式， 其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的 最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是 单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。
到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例 2．分解因式： x2 y2 x y ____________
解： x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y)
(x y)(x y) (x y) (x y)(x y 1) 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
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ac bd 0 原式 0
说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 1，c2 d 2 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变），其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。
例 3. 分解因式： x3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为 0，这就意味着
形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例 2. 已知 a b c 0，a 3 b3 c3 0 ，
求证： a5 b5 c5 0 证明： a 3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ca) 把 a b c 0，a3 b3 c3 0 代入上式， 可得 abc 0 ，即 a 0或 b 0或 c 0 若 a 0，则b c ， a5 b5 c5 0 若 b 0或 c 0 ，同理也有 a5 b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a，b，c 的值，命题得证。
(2)
两式相减得 xy 0
所以 x 2 y 2 9
说明：按常规需求出 x，y 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
常见题型：
例 1：因式分解： x 3 4xy 2 ________。 解： x3 4xy2 x(x2 4 y2 ) x(x 2 y)(x 2 y)
题型展示： 1、将下列各式分解因式：
（1） 3a(x y) - 2b(x y) ;
（2）12(m n)2 18(m n)3 ;
（3） 3(2x y) 6( y 2x)3 ;
（4） 1 a 2b( p2 q) 3 ab2 (q p2 )2 ;
4
8
2、下列分解因式结果正确的是( )
例 3. 若 x 3 y 3 27，x 2 xy y 2 9 ，求 x 2 y 2 的值。
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解： x 3 y 3 (x y)(x 2 xy y 2 ) 27
且 x 2 xy y 2 9
x y 3，x2 2xy y 2 9 (1)
又 x 2 xy y 2 9
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法 因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
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题型展示：
例 1. 已知： a 1 m 1，b 1 m 2，c 1 m 3 ，
2
2
2
求 a2 2ab b2 2ac c2 2bc 的值。
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例 2：分解因式： 2x 3 y 8x 2 y 2 8xy 3 _________。 解： 2x 3 y 8x 2 y 2 8xy 3 2xy(x 2 4xy 4 y 2 ) 2xy(x 2 y)2
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分 组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析 多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元 二次方程，函数等学习中也有重要作用。
环球雅思学科教师辅导教案
授课主题 教学目标
授课日期及时段
因式分解
1、 使学生理解并掌握因式分解的概念 2、 能够熟练的运用提公因式法公式法、分组分解法、十字相乘法来解决常见的因
式分解题
教学内容
因式分解
知识点一：因式分解的概念及注意事项
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用， 在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
A. 6(x 2) x(2 x) (x 2)(6 x)
B. x3 2x2 x x(x2 2x)
C. a(a b)2 ab(a b) a(a b)
D. 3x2n 6xn 3xn(x 2)
提高练习
1、如果 b－a=－6，ab=7，那么 a2b ab2 的值是( )
A.42
x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑 x 1 这个因式。 解一（拆项）： x3 2x 3 3x3 3 2x3 2x 3(x 1)(x2 x 1) 2x(x2 1) (x 1)(x2 x 3)
解二（添项）： x3 2x 3 x3 x2 x2 2x 3 x2 (x 1) (x 1)(x 3) (x 1)(x2 x 3) 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
例 3. 分解因式： x3 3x2 4x 12 ____________ 解： x3 3x2 4x 12 x3 4x 3x2 12
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x(x2 4) 3(x2 4) (x 3)(x 2)(x 2) 说明：分组的目的是能够继续分解。
提高练习 1. 填空题：
方法二·公式法
【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式
a 2 b2 (a b)(a b)
完全平方公式
a 2 2ab b2 (a b)2
立方和、立方差公式 a 3 b3 (a b) (a 2 ab b2 )
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当 的组合、变形后，方可使用公式。
题型展示： 例 1. 分解因式： m2 (n2 1) 4mn n2 1
解： m2 (n2 1) 4mn n2 1
m2 n2 m2 4mn n2 1 (m2 n2 2mn 1) (m2 2mn n2 ) (mn 1) 2 (m n) 2 (mn m n 1)(mn m n 1)
x 2 (a b)x ab x ax b 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常
数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项 ax2 bx c（a、b、c 都是整数，且 a 0 ）来说，如果存在四个整数 a1，c1，a2 ，c2
满 足 a1a2 a，c1c2 c ， 并 且 a1c2 a2c1 b ， 那 么 二 次 三 项 式 ax2 bx c 即
(2) 8a(x y)2 4b( y x)
6.计算与求值 29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.
7、.先化简，再求值
a(8－a)+b(a－8)－c(8－a)，其中 a=1，b= 1 ，c= 1 . 22
8、已知 2x y 1 ， xy 2 ，求 2x 4 y 3 x3 y 4 的值. 8
说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平 方和平方差公式。
例 2. 已知： a2 b2 1，c2 d 2 1，且ac bd 0 ，求 ab+cd 的值。 解：ab+cd= ab 1 cd 1 ab(c2 d 2 ) cd(a 2 b2 ) abc2 abd 2 cda 2 cdb2 (abc2 cdb2 ) (abd 2 cda 2 ) bc(ac bd) ad(bd ac) (ac bd)(bc ad)
（1）分解因式：a 2 3a b2 3b （2）分解因式：x2 2x 4xy 4y2 4y （3）分解因式：1 mn(1 mn) m3n3
2. 已知： a b c 0，求a3 a2c abc b2c b3的值。
方法四·十字相乘法
【知识精读】 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
方法一·提公因式法
1、提公因式法分解因式的一般形式，如: ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这里的字母 a、b、c、m 可以是一个系数不为 1 的、多字母的、幂指数大于 1 的整式. 2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3、找公因式的一般步骤
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（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 4、注意事项：
a1a2 x 2 a1c2 a2c1 x c1c2 可以分解为 a1x c1 a2 x c2 。这里要确定四个常数 a1，c1，a2 ，c2 ，
B.－42
C.13
D.－13
2、若 4x3－6x2=2x2(2x+k)，则 k=________.
3、.2(a－b)3－4(b－a)2=2(a－b)2(________). 4、.36×29－12×33=________.
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5、分解因式
(1) (x y)( x y) (x y)2
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3. 计算： (2)11 (2)10 的结果是（
A. 2100
B. 210