高等数学第12章习题课

上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
（常数变易法）
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭
复根 i
[(C0 C1x Ck1xk1)cos x (D0 D1x Dk1xk1)sin x]ex
y* 2
就是原方程的特解.
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程 解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型
0 不是根 设 y xkexQm ( x) , k 1 是单根 ,
2 是重根
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
(2) y f ( x, y) 型
特点 不显含未知函数 y. 解法 令 y P( x), y P, 代入原方程, 得 P f ( x, P( x)).
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
设
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2 m
)
(
x
)
sin
x
],
其中
R(1) m
(
x),
R(2) m
(
x)是m次多项式，m
maxl
,
n
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
二、典型例题
例1 求通解
y( x cos y y sin y )dx x( y sin y x cos y )dy.
x
x
x
x
解 原方程可化为
dy dx
y x
cos y
(
y
x sin
y sin x
y cos
y
x y
),
xx x
令 u y , y ux, y u xu. 代入原方程得 x
dx
a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
(4) 一阶线性微分方程
形如 dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0,
上方程称为齐次的．
当Q( x) 0,
dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
解法 作变量代换 u y x
(3) 可化为齐次的方程
形如 dy f ( ax by c )
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1( x) f2 ( x)
而
y* 1
与
y
*分别是方程,
2
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y P( x) y Q( x) y f1( x)
y P( x) y Q( x) y f2 ( x)
的特解,
那么
y* 1
一、主要内容
一阶方程
基本概念
高阶方程
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
习题课
微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
变全 量微
积分因子 可 分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.