数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.

一、作差求和法

例1 在数列{n a }中，31=a ,)

1(1

1++

=+n n a a n n ，求通项公式n a .

解：原递推式可化为：1111

+-

+

=+n n a a n n 则,211112-+=a a 3

1

2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n

a n 1

4-=.

二、作商求和法

例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12

2

1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =

▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为：

)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0，

1

1+=+n n

a a n n 则

,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n

1

. 三、换元法

例3 已知数列{n a }，其中913,3421==

a a ，且当n ≥3时，)(3

1

211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.

解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121

n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )3

1

()31(91)31(2211==⋅=---.

故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n

n a )3

1(2123-=.

例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由

1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为121=---n n b b ，因此}

{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。

由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121

-=

+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ，即)2(2

12

+-=n n a n 四、积差相消法

例5设正数列0a ，1a ，n a …，n a ，…满足

2-n n a a 21---n n a a =12-n a )2(≥n 且110==a a ，求}{n a 的通

项公式.

解 将递推式两边同除以

21--n n a a 整理得：

122

11=----n n n n a a

a a 设n

b =

1-n n a a ，则0

1

1a a b ==1，121=--n n b b ，故有 1212=-b b ⑴1223=-b b ⑵

… … … …

121=--n n b b (1-n )

由⑴2

2

-⨯n + ⑵3

2

-⨯n +…+(1-n )02得1

22

221-++++=n n b =12

-n

，即

1

-n n a a =12-n

. 逐项相乘得：n a =2

)12(-2

2

2

)12()12(-⋅⋅-⋅n

，考虑到10=a ，

故 ⎩

⎨⎧

-⋅⋅--=2

222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n . 五、取倒数法

例6 已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1

211

+=

--n n n a a a ，求通项公式n a 。

解 将1211+=

--n n n a a a 两边取倒数得：

2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是11

1

=a ，公差为2，所以

122)1(11-=⨯-+=n n a n ，即1

21-=n a n . 六、取对数法

例7 若数列{n a }中，1a =3且2

1n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002年上海高考题）.

解 由题意知n a ＞0，将2

1

n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即

2lg lg 1

=+n

n a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，1

21

13

lg 2

lg lg -=⋅=-n n n a a ，即1

23

-=n n

a .

七、平方（开方）法

例8 若数列{n a }中，1a =2且2

13-+=n n a a （n 2≥），求它的通项公式是n a .

解 将2

13-+=n n

a a 两边平方整理得3212=--n n a a 。数列{2n a }是以21a =4为首项，3为公差的等差数列。

133)1(212

+=⨯-+=n n a a n 。因为n a ＞0，所以13+=n a n 。