量子力学第二章电子教案
量子力学授课教案
量子力学授课教案第一章：绪论教学目的：了解经典物理在解释微观世界运动规律时遇到的主要困难以及为克服这些困难所提出的一些新的假设。
教学重点：普朗克假设的基本思想；德布罗意假设的基本思想和数学表述。
教学难点：物质波概念。
教学时数：6课时教学方法：讲述法为主，辅以浏览部分历史人物图片以提高学习兴趣。
量子力学课程介绍一、量子力学研究内容量子力学是研究微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子）运动规律的理论，是在上世纪二十年代总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。
二、量子力学在物理学上地位1、量子力学是物理学三大基本理论之一。
物理学基本理论分三大块：经典物理学---研究低速、宏观物体；相对论---------研究高速运动物体；量子力学------研究微观粒子。
2、相对论、量子力学是近代物理的二大支柱。
3、量子力学与现代科学技术是紧密相连，凡涉及原子分子层次的现代科技都离不开量子力学，如半导体技术、纳米材料、激光、量子通讯、量子计算机等。
现代医学、生物基因工程也与量子力学紧密相关，许多疾病、有关生命现象只有在原子分子层次上才能加以解释。
三、量子力学特点1、抽象独立于经典物理，自成一套系统，脱离人们的日常生活经验，难以理解，如波粒二象性、微观粒子没有运动轨道等。
理论本身一些内容不能直接用实验验证，如薛定谔方程、E=hν等，原因是微观粒子太小，目前实验无法直接观察。
2、理论形式本身不是唯一的。
量子力学目前主要有二种理论形式：薛定谔波动力学；海森堡矩阵力学；另外还有路径积分理论（比较少用）。
其原因是量子力学理论基本上结合实验假设、猜测出来的，主观成份较多。
3、量子力学参考书很多，较适中的有：量子力学教程周世勋量子力学惠和兴量子力学导论曾谨言量子力学曾谨言量子力学基础关洪还有各高校的量子力学教材等。
四、本章概述：本章作为讲述量子力学的绪论，主要介绍在十九世纪末、二十世纪初物理学的研究领域拓展到微观世界时人们发现的经典物理理论在解释微观现象时出现的困难。
张永德教授量子力学讲义第二章（ＰＤＦ）
第二章dinger oSchr &&方程§2.1dinger oSchr &&方程dinger oSchr &&方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
无外场的自由粒子波函数为())Et r p i Ce t r −⋅=rr hr ,ψ由于22p E m=v，这个()t r ,r ψ表达式显然满足下面形式的波动方程()()t r mptt r i ,2ˆ,2r r r hψψ=∂∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr &&方程。
我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方法直接“得到”这个方程：将经典物理学关于自由粒子能量的等式mp E 22r=，按以下对应替换为量子算符（2.1a ） 并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数()t r ,rψ上即可。
对于有外场()r V r的情况，按经典物理学，系统的总能量为()r V mp E r r+=22。
为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”的程式：（2.1b ） 再将所得到的算符方程作用到波函数()t r ,rψ上，就得到与此经典系统对应的量子系统的dinger oSchr &&方程：(2.2)这里用了方程()()()()t r r V t r r V ,,ˆˆr r r r ψψ=。
通常记()()Hr V mr V m p ˆ2222=+Δ−=+r h r ，称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。
于是非相对论量子系统dinger oSchr &&方程可写为(2.3) 其中()()r f r vv =0,ψ为给定的初始条件，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。
这里应当指出三点： 第一， 这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。
量子力学基础教案2
量子力学基础教案2一、教学目标1.了解量子力学的基本概念和历史背景；2.掌握波粒二象性、不确定性原理、量子叠加态等基本概念；3.理解量子力学在物质世界中的基础地位，以及对现代技术和科学研究的影响。
二、教学内容1.量子力学的基本概念；2.波、粒二象性的描述；3.不确定性原理及其应用；4.Schrödinger方程及量子力学的基本数学方法；5.量子力学的实验验证。
三、教学过程与方法1.概念解释法：通过生动的比喻和图像，向学生解释量子力学的基本概念和理论模型。
2.问题引导法：通过针对性的问题和案例，引导学生发现、深入和理解量子力学的深刻意义和实用价值。
3.实验演示法：通过实际的实验仪器和操作演示，帮助学生直观了解量子力学的基本理论和实验结果。
四、教学重点和难点1.量子力学的基本概念；2.不确定性原理及其应用；3.Schrödinger方程及量子力学的基本数学方法。
五、教学评估1.参与课堂讨论，提出问题和解答问题；2.撰写相关论文及报告，对量子力学的基本理论和实践应用进行深入思考和分析；3.通过考试，检验学生对量子力学的知识掌握程度及其理解深度。
六、教学后评价1.总结课程教学的优点和不足，反思教学过程，提升教学效果；2.收集学生的反馈意见，并制定改进措施，促进教学质量的不断提升；3.鼓励学生进行进一步研究和实践，深入了解量子力学在各个领域的应用，并做出自己的贡献。
七、教学资源1.量子力学实验室和设备；2.基本教材和参考书籍；3.研究论文和案例分析；4.计算机模拟和实验软件。
以上是本次量子力学基础教案的详细内容，通过这样的教学过程和方法，可以让学生深入地了解量子力学的基本概念和理论模型，掌握其在物质世界中的基础地位及其对现代技术和科学研究的影响。
在教学实践中，我们需要根据学生的不同需求和理解水平，采取恰当的教学方法和策略，促进学生的学习和思考，完成教学目标和任务。
大学物理学电子教案
2、定量计算
散射的光子
外层电子
入射光子
光子0
电子
碰撞前
碰撞前
光子： hv0
P h hv0
c
电子： e m0c2
光子
）
）
电子
碰撞后
碰撞后
光子： hv
P hv c
电子：e mc2
Pe mv
系统能量守恒：
h 0 m0c2 h mc 2
h
e c
mc 2 h( 0 ) m0c2 (1)
•卢瑟福的原子核模型 •氢原子光谱的巴尔末公式
1、玻尔的基本假设
•普朗克能量子概念
定态假说：电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动，
而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态（定态）并具有一定
的能量。
量子化条件：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时， 只的电子角动量L等于h/(2p )的整数倍的那些轨道才是稳定的
当汞原子从第一激发态跃迁到基态
实验中观察
h E2 E1
到该谱线
ch E2 E1
3108 6.621034 4.9 1.6 1019
2.5107 m
四、结果
• 光电效应 光的波粒二象性
• 光电效应的实验规律 ·光子 爱因斯坦方程
• 光电效应的应用
·光的波粒二象性
19-3 康普顿效应
一、康普顿效应
1、康普顿散射
康单色X射线被物质散射时，散射线中除了有波长与入射 线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长变长的 散射称为康普顿散射或康普顿效应。
2、实验装置
丹麦理论物 理学家，现 代物理学的 创始人之一。
玻尔的成功，使量子理论取得重大发展，推动了 量子物理的形成，具有划时代的意义。
《量子力学II》教案
(r ) e ikr
2 3 d r G (r , r )V (r ) (r ) 2 i (r ) sc (r )
此方程就是 Lippman-Schwinger 方程。 十一、散射问题的 Born 一级近似 利用留数定理，可以求得
G(r r )
可选择 q 方向为 z 轴方向，采用球坐标系，从而得出
6
f ( )
而散射截面为
2 r V (r ) sin qr dr 2 q 0
( ) f ( )
2
4 2 4q 2
0
r V (r ) sin qr dr
比较 Born 近似法和分波法，一般说来,Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒 子散射，因为此时只需考虑 l 较小的那些分波。 十二、全同粒子的散射 （1）无自旋的不同粒子之间的碰撞微分截面
1. 散射的量子力学描述
中心势作用下的 波函数在 r 处的渐近行为是
eikz f ( )
散射截面（又称微分截面或角分布）与散射振幅的关系
eikr r
( )
总截面 t 2
1 dn 2 f ( ) ji d
0
f ( ) sin d 。
ikz
场中径向波函数的 l 分波的表达式
a Rl (kr) ~ 4 (2l 1)i l jl (kr) l hl (kr) 2
（入射波） （散射外行波） 或
Rl (kr) r 4 (2l 1)i l (1 al )ei (krl 2) e i (krl 2 2ikr
4 Im f (0) k
量子力学教案2
§2.1 波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。
到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。
电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。
疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。
在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。
微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。
而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。
量子力学曾谨言第五版第二章讲课稿(知识点)
第一章 波函数与Schr ödinger 方程§1、波函数及其统计解释(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布罗意的“物质波”假说1、德布罗意的“物质波”假说(De Broglie matter-waves in 1923） 先回忆普朗克的“光量子”假说：E h p h νλ=⎧⎨=⎩, 重新换写一下：E ω= 2ωπν=是圆频率p k = k 是波矢量，2k πλ=是由波动性决定粒子性。
德布罗意假说：微观粒子也有波动性，满足关系式：称之为德布罗意关系，是由粒子性决定波动性。
对于具有确定的能量E 和动量p 的自由粒子，其对应的物质波是一个单色的平面波： 平面波是()(),exp r t A i k r t ψω⎡⎤=⋅-⎣⎦，将德布罗意关系E p kω=⎧⎪⎨=⎪⎩)。
因此，由德布罗意假设知，微观粒子的运动状态可用波函数表示。
物质波(matter wave)：与粒子运动相联系的平面波称为物质波或德布罗意波。
而一般可计算得到： 物质微粒的波长1010-<Å，氧原子0.4≈Å、DNA 分子410-≈Å、电子波长1≈Å。
只有当物质波的波长大于或等于光学仪器的特征尺度时，才会观察到干涉或衍射现象。
通常物质微粒的质量和动量较大，因而德布罗意波长非常短超出了可测的范围而不显示波动性，仅在原子尺度下才能显示出波动性。
德布罗意波长(De Broglie wave-length)的计算： [例1] 求做热运动的气体分子的德布罗意波长。
[解] 温度为T 的气体分子热运动动能为32B E k T =，当o 300K T =（室温）时，分子的动能约为0.039eV，相应的物质波波长为h p λ==对于氧分子（2O ），282o p 32329.3810eV m m ≈=⨯⨯，波长0.026nm λ≈，远小于分子的平均自由程，所以分子的热运动可作经典力学处理。
量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2
V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
量子力学课件第二章
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
《量子力学简明教程》授课教案
《量子力学简明教程》授课教案一、第1章：量子力学导论1.1 课程简介介绍量子力学的发展历程及其在现代物理学中的重要性。
解释量子力学与经典力学的区别和联系。
1.2 教学目标让学生了解量子力学的历史背景和发展。
让学生理解量子力学的基本概念和原理。
1.3 教学内容量子力学的历史背景和发展。
量子力学的基本概念：波函数、薛定谔方程、测量问题等。
1.4 教学方法采用讲授法，辅以案例分析、讨论等方式，帮助学生理解和掌握基本概念。
二、第2章：一维势阱与量子束缚态2.1 课程简介研究一维势阱中粒子的行为，探讨束缚态和散射态的性质。
2.2 教学目标让学生掌握一维势阱的基本性质和量子束缚态的解法。
让学生了解束缚态和散射态的区别。
2.3 教学内容一维势阱的基本性质：能级、能态、束缚态和散射态。
量子束缚态的解法：数学表达式、图形表示、解的存在性等。
2.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解一维势阱的性质。
通过实例分析，让学生掌握量子束缚态的解法。
三、第3章：势垒穿透与量子隧道效应3.1 课程简介研究在势垒作用下，粒子穿过势垒的概率问题，探讨量子隧道效应的性质。
3.2 教学目标让学生了解势垒穿透的条件和量子隧道效应的物理意义。
让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
3.3 教学内容势垒穿透的条件：入射粒子的能量、势垒的宽度、形状等。
量子隧道效应的物理意义和数学表达式。
量子隧道效应的应用：纳米技术、扫描隧道显微镜等。
3.4 教学方法采用数值计算、图形演示等方法，帮助学生直观地理解势垒穿透和量子隧道效应。
通过实例分析，让学生掌握量子隧道效应的数学表达式和应用。
四、第4章：哈密顿算符与量子平均值4.1 课程简介引入哈密顿算符的概念，研究量子系统的能量本征值和本征态。
探讨量子平均值的计算方法及其在实际问题中的应用。
4.2 教学目标让学生理解哈密顿算符的概念及其物理意义。
让学生掌握量子平均值的计算方法及其应用。
周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第二章
RETURN
16
三、 波函数的统计解释
1.粒子和波关系
两种错误观点： ①电子波是电子的某种实际结构，即电子是三
维空间连续分布的某种物质的波包。 ②波是由其所描写的粒子分布于空间而形成的
疏密波。
电子所呈现出来的粒子性只是经典粒子概念 中的“颗粒性”，电子呈现的波动性也只是波 动性中最本质的东西——波的“叠加性”。电 子是具有波粒二象性的物质客体。
13
电子的双缝衍射实验
P
s1
dq
q
S
电子源 s2 Q
D
B
以E1和E2分别表示穿过狭缝S1和S2到达P点的 电子波振幅
E1 E0 cost,
E2
E0
cos(t
2πd
sinq )
上图中光程差S2 Q=d sinq ,在P 点电子波振幅为
E
E1
E2
2E0
cos( πd
sinq ) cos(t
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
q Bh mc
(n 0,1, 2,L )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
电子衍射实验： （德布罗意假说验证，1927年）
电子枪
探测器
q
q
↕d
2d sinq k
11
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
量子力学导论第二版教学大纲
量子力学导论第二版教学大纲课程概述本课程是一门介绍量子力学基本概念和原理的导论课程。
通过本课程的学习，学生将了解到量子力学的历史背景、数学基础、基本假设和理论模型，以及一些应用。
课程目标1.掌握量子力学的基本数学原理和概念。
2.了解量子力学的历史背景和基本实验现象。
3.理解量子力学的基本假设和理论模型。
4.探究量子力学在现代科技中的应用。
课程安排第一周：量子力学的历史背景和实验基础•量子力学的发展历史•黑体辐射定律和普朗克常数•康普顿散射和光子的波粒二象性•库仑场和光电效应实验第二周：量子力学的数学基础•算符的定义和性质•算符的本征值和本征态•希尔伯特空间和内积•薛定谔方程和波函数第三周：量子力学的基本假设和理论模型•爱因斯坦对光子的解释和波粒二象性•德布罗意假设和波动性•不确定性原理和可观测量•费米-狄拉克统计和泡利不相容原理第四周：量子力学的基本应用和进展•原子和分子的能级结构和光谱•量子力学与化学反应动力学的应用•量子力学与纳米技术的关系•量子计算和量子通信的前沿进展教学方法本课程采用传统讲授与情境教学相结合的教学方法。
课堂上教师将通过课件、实验演示等方式进行基础概念的讲授，同时将根据实际应用场景进行案例分析和讨论，以便提高学生的实践能力。
作业与评估学生将通过以下方式完成课程评估：1.平时作业：包括课堂练习、课外阅读和实践任务等，占总评分的20%；2.期中考试：占总评分的30%；3.期末考试：占总评分的50%。
展望与建议量子力学作为现代物理学的基础理论之一，在科技领域发挥着越来越重要的作用。
随着科学技术的不断进步，在量子力学的研究和应用方面肯定还会不断涌现新的成果和新的突破。
因此，希望学生在课程学习之后能够保持对科学知识的好奇心和研究兴趣，不断深入学习并积极参与到实际应用中去。
量子力学简明教程授课教案
量子力学简明教程授课教案第一章：量子力学概述1.1 量子力学的发展历程1.2 量子力学的基本概念1.3 量子力学与经典力学的比较第二章：波函数与薛定谔方程2.1 波函数的概念2.2 薛定谔方程的建立2.3 薛定谔方程的求解方法第三章：量子态的叠加与测量3.1 量子态的叠加原理3.2 量子态的测量3.3 测量结果的概率解释第四章：一维势阱与量子束缚态4.1 一维势阱的经典问题4.2 量子束缚态的能量与波函数4.3 束缚态的跃迁与吸收、发射现象第五章：量子力学在原子物理中的应用5.1 氢原子的能级与光谱5.2 多电子原子的能级结构5.3 激光原理与激光器第六章：量子力学在分子物理中的应用6.1 分子轨道理论的基本概念6.2 分子轨道的能级与形状6.3 分子间相互作用与化学键第七章：量子力学在凝聚态物理中的应用7.1 晶体结构的基本概念7.2 电子在晶体中的能带结构7.3 半导体与超导体的量子性质第八章：量子力学在量子计算中的应用8.1 量子比特与量子电路8.2 量子门的操作与量子计算的基本原理8.3 量子算法与量子计算机的优势第九章：量子力学在量子通信中的应用9.1 量子态的传输与量子纠缠9.2 量子密钥分发与量子通信的安全性9.3 量子通信的未来发展与应用第十章：量子力学在粒子物理中的应用10.1 粒子物理的基本概念10.2 量子场论的基本原理10.3 粒子的产生与衰变过程重点和难点解析一、量子力学的发展历程难点解析：理解量子力学与经典力学的本质区别，以及量子概念的引入对物理学带来的革命性变革。
二、波函数与薛定谔方程难点解析：解薛定谔方程的技巧，特别是束缚态和散射态的求解，以及如何从解中提取物理信息。
三、量子态的叠加与测量难点解析：量子测量理论，包括测量结果的概率解释和量子纠缠现象。
四、一维势阱与量子束缚态难点解析：理解量子束缚态的概念，以及如何计算束缚态的能量和波函数。
五、量子力学在原子物理中的应用难点解析：如何用量子力学解释氢原子的光谱线系列，以及激光产生的物理过程。
量子力学第二章PPT课件
17
( r,t )d ( r,t ) 2d 1
满足此条件的波函数 rr,t 称为归一化波函数。
又因
(rv,t) 2 d C2
(rv,t)
2
d
1
其中 于是
1
C
(rv,t) 2 d
称为归一化常数
(r,t) (r,t) 2
(r,t) 2 (r,t) 2 d
归一化消除了波函数常数因子的一种不确定性。 18
第二章 波函数及薛定谔方程
§1 波函数及其统计解释 §2 态叠加原理 §3 薛定谔方程 §4 定态 §5 一维定态问题
1
学习要求
1.理解微观粒子运动状态的描述 及其统计解释。
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
数随时间演化的规律
薛定谔方程。
波函
4.掌握定态及其性质。
归一化常数 A 1/ 2 h
归一化的平面波：
1/ 2 e 1/ 2
i(
Px
x
Et
)
Px
22
归一化：
2
Px (x,t) dx (Px Px)
同理，三维平面波： v(rv,t)
1
i ( PvrvEt )
eh
P
(2 h)3/2
归一化：
v P
(rv,
t
)
2
d
vv
3(P P)
3 3ei(2x h) / h , 6 (4 2i)ei2x / h.
2.已知下列两个波函数
1
(
x)
A
sin
n 2a
(
x
a)
0
| x | a | x | a
2011-09级量子力学第2章
量子力学 第二章
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
A
=
A1 A2 A3
=
1 [2πh]3 / 2
= e δ hi [E′−E ]t ( pr − pr′) = δ ( pr − pr′)
Ψ pr ( rr , t )
=
1 [2πh ]3 / 2
ei h
[
pr
•
rr
−
Et
]
=
Φ
pr
(
rr
)e
−
i h
Et
其中
Φ
pr ( rr )
=
1 [2π h ]3 / 2
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情
况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C|Ψ(r,t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2 dτ
这即是要求描写粒子 量子状态的波函数Ψ 必须是绝对值平方可 积的函数。
积分是有限值
14
量子力学 第二章
因为在t时刻，空间任意两点r1和r2 处找到粒子的相对
几率之比是：
CCΨΨ((rrrr12
, ,
t) t)
2
=
ΨΨ((rrrr12
, ,
t t
) )
2
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t)描述的是同一几率波，所以 波函数有一常数因子不定性。
量子力学教案(PPT)(物理与电子工程学院)
光电效应无法由经典物理解释。因按照光的电磁理论光的能量只 决定于光的强度，而与光的频率无关。
目录 退出 18
二、Einstein的光量子论及光的波粒二象性
Planck的能量子概念提出之初并不引人注目，对其量子论引 起人们注意的是到1905年爱因斯坦用量子论合理解释光电效 应，即光的量子论。光量子论的具体内容：
（1）光辐射场由光量子（光子）组成，每一个光子的能量与辐射场 的频率关系为：
E=h =hw, h h 1.05451034 J.S 2
（2）光子的动量与辐射场的波长有如下关系：
pr
2 vh
nr
h
nr
r hk ,
r k
2
v
nr
2
nr
为波矢
c
c
目录 退出 19
描述粒子的物理量E和P分别与描述波的物理量频率v(w)与波长（ ）由
维恩公式在高频段与实验相吻合，而在低频段与实验有明显的偏差。
目录 退出 13
（二）瑞利（J. W. Rayleigh）——金斯（J. H. Jeans）公式 瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物理学得出另外一个公式：
Evdv 8 kTv2dv
c3
k＝1.381023 J / K 为Boltzman常数.
目录 退出
8
2、量子论的提出
⑴、背景 物理学出现了一些物理现象与经典理论解释相矛盾。如黑体辐射问
题，光电效应，原子系统出现的线状光谱及原子的稳定性，固体与分子的 比热问题等，这些物理现象都不能用经典物理理论给予圆满的解释。
正是在这样的背景下，德国物理学家马克思.普朗克为了合理解释黑体 辐射能谱，而在1900年12月14日提出了一个崭新的物理概念——量子论。
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观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brvor处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
平方成比例
(rv,t) dW (rv,t) C (rv,t) 2 d
必须注意
称为几率密度(概率密度)
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
电子源
衍射实验事实：
O
感
Q光
Q
屏
（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒 性，长时间亦显示衍射图样;
（2） 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，
这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
电子仿照杨氏双缝实验
思考：电子双缝干涉实验难 示衍射图样.
波动观点
粒子观点
明纹处: 电子波强(x,y,z,t)2大 电子出现的概率大
暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小 电子出现的概率小
可见，波函数模的平方 rr,t 2与粒子 t时刻在 rr
处附近出现的概率成正比。
Ae h
德布罗意波
★如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(rr,t ) 中 运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常 量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较 复杂的波描写，一般记为：(rr ,t)
• 三个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复变函数。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象， 单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能 理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定 性以及能量量子化这样一些量子现象。
波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而 抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
由不同频率的波合成一个波包
440 Hz + 439 Hz
为什么波包会扩散？dω/dk
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。
例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小
可见， rr,t 和 rr,t 描述的是同一几率波，所
粒子三个位置：1、现实主义的(realist) 2、不可知论的(agnostic) 3、正统的(orthodox)
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (rr,t) 来描述，函数 (rr,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
v P
(rv,
t
)
i ( PvrvEt )
≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念 中的粒子。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
5.通过对三个实例的讨论,掌握定态薛定谔方程 的求解。
§2.1 波函数的统计解释
一、微观粒子状态的描述—波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的归一化条件 四、粒子动量取值的概率分布 五、坐标和动量的期望值 六、量子态—量子力学的基本假设
一、微观粒子状态的描述—波函数
微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述 必有别于经典力学对粒子运动状态的描述。这就要 求创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经 典物理中截然不同的物理图像。
第二章 波函数及薛定谔方程
§1 波函数及其统计解释 §2 态叠加原理 §3 薛定谔方程 §4 定态 §5 一维定态问题
学习要求
1.理解微观粒子运动状态的描述 及其统计解释。
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
数随时间演化的规律
薛定谔方程。
波函
4.掌握定态及其性质。
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：
波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方） 与粒子在该点出现的概率成比例。
设粒子状态由波函数 (rv, t) 描述，波的强度是
(rv,t) 2 *(rv,t)(rv,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
dW (rv,t) C (rv,t) 2 d
（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
三、波函数的归一化条件
令
(rv,t) C(rv,t)
t
时刻，在空间任意两点
r r1
和
rr2 处找到粒子的
相对几率是：
CC((rrrr12
, ,
t) t)
2
((rrrr12
, ,
t) t)
2
rr,t 和C rr,t 所描写状态的相对几率是相
同的，这里的 C 是常数。
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态）
（2）波函数一般用复函数表示。
(2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
二、波函数的统计解释
电子小孔衍射实验
P
P
电子源
O
感
Q光
Q
屏
X
v
P
a
1 0
电子单缝衍射实验
I
▲ 两种错误的看法
（1） 波由粒子组成
如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形 成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单 个电子衍射实验。