运筹学 第四章

OR3 13
x1-1/4x3+1/4x4=3/4; x2+3/4x3+1/4x4=7/4
ⓑ将该约束方程所有系数和常数分解为 整数和正分数之和，并将整系数项归写 整数和正分数之和，并将整系数项归写 于方程左边，真分数项写于右边； x1-x3=3/4-(3/4x3+1/4x4) =3/4x2-1=3/4-(3/4x3+1/4x4) 1=3/4Ⓒ考虑整数条件约束。以上方程左边为 整数，右边为非正数，即方程右边≤ 整数，右边为非正数，即方程右边≤0。 这就是所求的割平面方程。即 3/43/4-(3/4x3+1/4x4) ≤0，即-3x3－x4 ≤-3 ≤0，即OR3 14
OR3 6
选取非整数解X 的一个非整数分量x 选取非整数解X*(0)的一个非整数分量xi*＝bi，其小 数部分为d ，以该非整数分量的相邻整数b 数部分为di，以该非整数分量的相邻整数bi－ di和 bi－ di＋1为边界将原问题分枝为两个子问题，并 抛弃这两个整数之间的非整数区域： Ⓐ在原LP模型中添加分枝约束xi≤ bi－ di,构成第 在原LP模型中添加分枝约束xi≤ 一个子问题；ⓑ在在原LP模型中添加分枝约束 一个子问题；ⓑ在在原LP模型中添加分枝约束 xi≥ bi－ di＋1，构成第二个子问题。 ④对上面两个子问题按照LP方法求最优解。若某 ④对上面两个子问题按照LP方法求最优解。若某 个子问题的解是整数解，则停止该子问题的分枝， 并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相 比较以决定取舍。 ⑤重复③④步直至获得原问题最优整数解为 止。
用对偶单纯形法求解, 用对偶单纯形法求解,得新的最优解。若 此时得到整数解，则解题过程完毕。否则， 重复第3 重复第3，4步，直至获得原问题最优整数解 为止。此题计算得x 为止。此题计算得x1=1,x2=1,停止计算。此时 最优解为：X 最优解为：X*=(1,1)T, Z*=2. OR3 15
4.4 0—1整数规划问题 0—
OR3
24
匈牙利法（又叫画圈法）
1、指派模型的标准型： ①目标函数为最小化； 目标函数为最小化； ②系数矩阵为方阵，且其所有元素为非负。 系数矩阵为方阵，且其所有元素为非负。 2、标准型指派问题的求解： （1）原理：找出一组位于系数矩阵中不 同行，不同列的零元素，对其画圈，对应 的xij=1；未画圈的元素对应的xij=0，此时， =1；未画圈的元素对应的x =0，此时， 目标函数最优。找出并画圈的零元素称为 独立零元素。
OR3
9
割平面法求解步骤
①先不考虑整数约束，变成一般的LP问 先不考虑整数约束，变成一般的LP问 题，求其最优解，记为X* 题，求其最优解，记为X*(0)。 ②若求得的最优解X* ②若求得的最优解X*(0)刚好是整数解， 则该整数解就是原IP的最优解，否则， 则该整数解就是原IP的最优解，否则， 转下步。 ③寻求割平面方程： Ⓐ从最优表中抄下非整数解的约束方程：
CB XB b 1 x1 ¾ 1 x2 7/4 5/2 1 x1 1 0 0 1 x2 0 1 0 0 x3 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 ¼ 1/4 -1/2
2、该解不是整数解，转入下一步； 3、ⓐ从最优表中抄下非整数解的约束方程： x1-1/4x3+1/4x4=3/4; x2+3/4x3+1/4x4=7/4
货物 甲 乙 托运限制
OR3
体积 5 4 24
重量 利润 2 20 5 10 13
21
关于固定费用问题
某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选 择，如选定投资高的生产方式，由于产量大，因而分配到 每件产品的变动成本就降低；反之，如选定投资低的生产 方式，将来分配到每件产品的变动成本可能增加，所以必 须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令：xj表示采用第j 种方式时的产量；cj表示采用第j种方式时每件产品的变动成 本；kj表示采用第j种方式时的固定成本。为了说明成本的特 点，暂不考虑其它约束条件。采用各种生产方式的总成本 分别为：
k j + c j x j 当 x j > 0 = . j = 1,2,3 P j 0 当xj = 0
在构成目标函数时，为了在同一问题中讨论，应引入0—— 1变量。
OR3 22
4.5 指派问题
例4 甲乙丙丁四个人完成A、B、C、D四 甲乙丙丁四个人完成A 项任务，每人完成一项任务，不同的人 做不同的工作效率不同，如何指派不同 的人去做不同的工作使效率最高？
OR3 7
例题
例1. maxZ=5x1+7x2 7x1+24x2≤84 3x1+2x2 ≤18 x1，x2 ≥0且为整数 ≥0且为整数
OR3
8
4.3 割平面法
基本思想：新增加一些线性( 基本思想：新增加一些线性(不等式）约 束条件，称为割平面，去“切割”相应 的LP的可行域，并使切掉部分都是非整 LP的可行域，并使切掉部分都是非整 数解，所有整数解都被保留下来。当这 种割平面足够多时，使相应LP和原IP具 种割平面足够多时，使相应LP和原IP具 有相同的最优解。那么，相应LP的最优 有相同的最优解。那么，相应LP的最优 解也就是原IP的最优解。 解也就是原IP的最优解。
OR3
10
Ⓑ将该约束方程所有系数和常数分解为整数和 正分数之和； Ⓒ将整系数项归写于方程左边，真分数项写于 右边； ⓓ 考虑整数条件约束。以上方程左边为整数， 右边为非正数，即方程右边≤ 右边为非正数，即方程右边≤0。这就是所求的 割平面方程。 ④将割平面方程标准规范化，加到原最优表中， 用对偶单纯形法求新的最优解。 ⑤重复第3 ⑤重复第3，4步，直至获得原问题最优整数解 为止。
割平面方程：割平面方程：-3x3－x4 ≤-3
4、将割平面方程标准规范化，加到原最优表中。
CB XB 1 x1 1 x2 0 x5 b ¾ 7/4 -3 5/2 1 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 0 x3 x4 -1/4--1/4 ¼ ¾ ¼ -3 -1 -1/2 -1/2 0 x5 0 0 1 0
某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简 化为0 化为0或1，1代表选择，0代表不选择。 代表选择，0 例3. 某城市拟在其东、西、南三个区域设立邮 局，各地区都有几个具体的地点可供选择。要 求不超过总投资100万元的条件下，做出盈利 求不超过总投资100万元的条件下，做出盈利 最大的决策。 地区 地点 投资 盈利 选点数
4.2 整数规划图解法
x2
33 22 11 (4,1) B 1
OR3
2
3
（4.8,0) A 4 5 6 5x1+4x2=24
7 x1 2x1+5x2=13
4
图解法的启示
A（4.8，0）点是LP问题的可行解，不是 4.8， ）点是LP问题的可行解，不是 IP问题的可行解，B IP问题的可行解，B（4，1）才是IP的最 ）才是IP的最 优解; 优解; 纯整数规划的可行解就是可行域中的整 数点； 非整数点不是可行解，对于求解没有意 义，故切割掉可行域中的非可行解，不 妨碍整数规划问题的优化； IP问题的最优解不优于LP问题的最优解。 IP问题的最优解不优于LP问题的最优解。
OR3 2
问题举例（整数规划模型）
某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每 箱的体积、重量、可获利润以及托运所 受限制如下表：
货物 甲 乙 托运限制 体积 重量 利润 3） 每箱（百斤） 每箱（百元） 每箱（米 5 2 20 4 5 10 24 13
请问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大？
OR3 3
OR3
Z值 0 4 －1 3 7
约束条件
① ② ③ ④
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
过滤条件 Z ≥0 Z ≥4
√ √
√ √ √ √ √ √
Z≥7
由上表可知，最优解X*=(1,0,1)T，最优值Z*=7.
20
相பைடு நூலகம்排斥的约束条件
现设运输有车运和船运两种方式，设用 车运的体积限制为：5x1+4x2 ≤24，用船运的 ≤24，用船运的 体积限制为： 7x1+3x2 ≤45，这两个条件是互 ≤45，这两个条件是互 相排斥的，怎样在同一个问题中表示呢？
第四章
整数规划
本章要求 理解整数规划的含义 掌握分枝定界法的思想和方 法 掌握0 掌握0-1变量的含义和用法 掌握指派问题的算法
OR3 1
4.1 整数规划问题的提出
决策问题中经常有整数要求，如人 数、件数、机器台数、货物箱 数……如何解决？四舍五入不行， ……如何解决？四舍五入不行， 枚举法太慢 问题分类：纯整数规划、混合整数 规划、0 规划、0-1整数规划 专门方法：分枝定界法、割平面法、 隐枚举法、匈牙利法
数模： 数模 minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
OR3
任务 人 时间 甲 乙 丙 丁
A B C 4 10 7 2 7 6 3 3 4 4 6 6
D 5 3 4 3
23
指派问题的特点：
把m项工作分派给n个人去完成，既发挥 项工作分派给n 各人特长又使总效率最高。 这是一类特殊的0 这是一类特殊的0－1规划问题。可采用 隐枚举法，但比较麻烦，对于指派问题 有一种专门的解法——匈牙利法。 有一种专门的解法——匈牙利法。
OR3 18
隐枚举法举例：求解下列0 隐枚举法举例：求解下列0－1整数规划 maxZ=3x1-x2+4x3 x1+3x2-2x3 ≤4 ① x1+4x2+x3 ≤4 ② 2x2+x3 ≤6 ③ x1+x2 ≤1 ④ x1,x2,x3=0或1 =0或
OR3 19
解：求解过程列表如下：
（ x1,x2,x3 ） （0，0，0） （0，0，1） （0，1，0） （0，1，1） （1 ， 0 ， 0 ） （1 ， 0 ， 1 ） （1 ， 1 ， 0 ） （1 ， 1 ， 1 ）
OR3 5
4.3 分枝定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。一 次分枝变成两个可行域，分别求最优解。 分枝定界法的步骤： ①先不考虑整数约束，变成一般的LP问 ①先不考虑整数约束，变成一般的LP问 题，求其最优解，记为X 题，求其最优解，记为X*(0). ②若求得的最优解X*(0)刚好就是整数解， 若求得的最优解X 则该整数解就是原IP的最优解，否则， 则该整数解就是原IP的最优解，否则， 转入下一步。 ③对原问题进行分枝，寻求整数最优解。
OR3 11
例题
例2：求解整数规划： maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3x1+x2 ≤ 4 x1,x2≥0,且为整数 ≥0,且为整数 解法如下：
OR3 12
1、先去掉整数约束条件，当成一般LP问题求解， 、先去掉整数约束条件，当成一般LP问题求解， 得最优解：x 得最优解：x1=3/4,x2=7/4,z=5/2. 最终单纯形表如下：
OR3
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求解0 求解0—1规划的隐枚举
隐枚举法的步骤： 1、先用试探的方法找出一个初始可行解X0，其 、先用试探的方法找出一个初始可行解X 目标函数值为Z 目标函数值为Z0； 2、对原有约束增加一个过滤条件：以目标函数 （若目标函数是最小化，则Z≤Z Z≥Z0（若目标函数是最小化，则Z≤Z0）作为过 滤条件加到原有约束集中。 3、求解加入过滤条件的新问题。 按照隐枚举法的思路，依次检查各种变量的组 合，每找到一个可行解，求出它的目标函数值Z 合，每找到一个可行解，求出它的目标函数值Zi， ，则将过滤条件换为Z 若Zi > Z0，则将过滤条件换为Z≥Zi。
OR3 25
（2）标准型指派问题的求解步骤： P129-130 129第一步：变换系数矩阵，使其每行每列都出现0 第一步：变换系数矩阵，使其每行每列都出现0 元素。方法如下： ①从系数矩阵的每行元素减 去该行的最小元素； ②再从所得系数矩阵的每 列元素中减去该列的最小元素。 第二步：试指派。 ①从只有一个零元素的行（列）开始，给这个 零元素加圈，记作ⓞ 零元素加圈，记作ⓞ ，表示该行（列）所代表 的人只有一种任务可分派。然后划去该ⓞ 的人只有一种任务可分派。然后划去该ⓞ所在列 （行）其它的所有零元素，记作0 （行）其它的所有零元素，记作0，表示该列所 代表的任务已指派完毕；不必再考虑； ②给只有一个0元素列（行）的0加圈，记作ⓞ ②给只有一个0元素列（行）的0加圈，记作ⓞ ， 然后划去ⓞ所在行的其它零元素，记作0 然后划去ⓞ所在行的其它零元素，记作0 。 ③反复进行① ②操作，直到所有0元素都被圈出 ②操作，直到所有0 OR3 或划掉为止。 26
OR3
东区 A1 A2 B1 B2 C1 C2 ≥1
西区 A3 A4 A5 B3 B4 B5 C3 C4 C5 ≤2
南区 A6 A7 B6 B7 C6 C7 ≥1
约束 100万元 100万元 最大化
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求解0 求解0—1规划的隐枚举法
隐枚举法：不需要列出所有组合，只需 关心目标函数值得最优可行组合。按目 标值从优到劣依次列出组合，逐个检验 其可行性；最先满足所有约束条件的组 合为最优解，劣于最优解的组合即使可 行，也不列出检验而隐去。