高二数学分班考试数学试卷(含答案)

高二数学寒假清北班入学考试
满分：100分 时量：40分钟
一、选做题：（共5个小题，每题7分，共35分）
1.函数x x x y cos sin +=在下面哪个区间内是增函数 （ ）
A.（2π,2π3）
B.（π,2π）
C.（2π3, 2
π5） D.（2π,3π） 2.如果双曲线2
42
2y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是 （ ） A.364
B.362
C.62
D.32 3.过抛物线0)(a ax y 2>=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则q
p 11+等于 （ ） A.2a B.a
21 C.4a D.a 4 4.三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=a ，=b ，=
1AA c ， 则等于 （ ）
A ．)(21c b a ++
B ．)(21c b a -+
C ．)(21c a +
D ．)(2
1b c a -+ 5.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ) A.2z z y -= B.222z x y =+ C. 2z z x -≥ D.z x y ≤+
二、填空题：（共5个小题，每题7分，共35分）
6.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，2=，则C
的离心率为 .
7.设23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值等于 . 8.4
21dx x
⎰等于 . 9.已知复数=-+=z z i z 2,1则
____________. 10.设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n
21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于 .
三、解答题：（共3个小题，共14+15+15=45分）
11.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=
2
1AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.
（Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；
（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.
12.已知曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y .若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且ABO ∆ 面积为2，求实数k 的值.
高二数学寒假清北班入学考试（答案）
一、选做题：（共5个小题，每题7分，共35分） B A C D C
二、填空题：（共5个小题，每题7分，共35分）
6. 33
7. 310
8. ln 2
9. i 2- 10. 221121+-+n n 三、解答题：（共3个小题，共14+15+15=45分）
11.证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图. 则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12），N （12,0,0），S （1,12,0）. （Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--,
因为110022CM SN •=-
++=， 所以CM ⊥SN .
（Ⅱ）1(,1,0)2
NC =-,
设a =（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量， 则10,2210.2
x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). 因为1
122cos ,232a SN --
==⨯SN 与片面CMN 所成角为45°. 12. 解：设),(11y x A 、),(22y x B ，
由⎩⎨⎧-==-1
122kx y y x 得022122=-+-kx )x k (
由⎪⎩⎪⎨⎧>-+=∆≠-0
)k 1(84k 0k 1222 得)2,1()1,1()1,2(k ---∈ ∴ 2212211212k
x x ,k k x x --=⋅--=+ 而AB 与Y 轴交于点)1,0(D -;则 22121212121=-=+=
+=x x x x S S S ΔOAB ΔOAD ΔOAB 8221=-∴)x (x 由此得2
6k ,0k ±==. 75分以上可以上清北班。