第二节截面法求内力
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第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
第二节截面法求内力
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆件各截面处的内力。
F1 A F2
B
C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
讨论： 图示阶梯杆AD受三个集中力F 作用，设AB、 BC、CD段的横截面面积分别为A、2A、 3A，则三段杆的横截面上（） （A）轴力不等，应力相等； （B）轴力相等，应力不等； （C）轴力和应力都相等； （D）轴力和应力都不等。
m
1、确定要截开的次 数和位置
2、任选取一段为研 究对象 3、假设出截面上的 内力 4、用平衡方程求出 截面上的内力
F A
m
F B FN F FN 选左段时：∑Fx=O －F+FN＝0 FN＝F 选右段时：∑Fx=O F－FN＝0 FN＝F
F
例1：试求图3—1所示杆件指定各截面上的内力大 小。 解：(1)计算截面1—1的内力.
截面法求内力
学习目标：
1、掌握“截面法”的定义； 2、正确理解和应用截面法求内力的一
般步骤；
一、什么是截面法？
截面法：将受外力作用的杆件假想地切
开，用以显示内力的大小，并以平衡条 件确定其合力的方法，称为截面法。它
是分析杆件内力的唯一方法。
如图AB杆受两个力，一个向左，一个向右， 大小均为F。作用点分别为A和B。
3 F1 A
2 F2
2 C
1
F3 1 D
3 B
FN3
F1
Hale Waihona Puke F2 （c）F3练习：求杆件各处的内力。
F１＝
2
1
F2＝
02截面法求内力基本方法
例1. 求以下桁架各杆的内力
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
截面法求梁的内力
受力特点：
荷载和支座反力都与杆件轴线垂直
受到作用面与杆件轴线平行的力偶的作用
5/25/2018
轴线
变形特点：
5/25/2018
杆件轴线在变形前为直线，变形后为 曲线
板
梁
柱
梁和板是工程中常见的受弯构件
5/25/2018
提出问题：变形后伸长还是缩短？
轴线
5/25/2018
壹
二、截面法求梁的内力
(2)截开，代替
(2)截开，代替
剪力和弯矩均假定为正，绘出研究对象的受力分析图。
Q
M
(3)平衡
Y 0
5-Q 0
得Q=5kN 正剪力
得M=10kN· m 正弯矩
M
1
0
M 5 2 0
注意：对截开点求矩能使计算简单
课后作业
1.求1-1截面上的弯矩和剪力。
2.求1-1截面上的弯矩和剪力。
课内练习：判断剪力和弯矩的正负（微观判别方法）
5/25/2018
宏观判别方法
弯曲变形伸长还是缩短？
受弯构件
本节小结
• 1.弯曲变形的受力特点与变形特点
• 2. 工程中常见的受弯构件
• 3.截面法求受弯构件内力步骤 • 4.弯矩剪力正负号规定
本节内容完毕！ 谢谢！
梁 横 截 面 上 有 哪 些 内 力 ？
剪力 Q=5kN
力偶，弯矩M=5x 逆时针
结论：
受弯构件截面内力有两个：剪力、弯矩
中性层
弯矩正负号规定
弯矩：下侧受拉为正，上侧受拉为负
剪力正负号规定
剪力：顺时针为正，逆时针为负
【案例1】
简支梁如图所示，求1-1截面弯矩和剪力。
02截面法求内力基本方法
ED杆内力如何求?
小结：
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法
采取最简捷的途径计算桁架 内力
如何 计算？
FP
返 回 章
静定组合结构
特点 既有桁架杆，又有弯曲杆 一般有一些关键的联系杆
求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆
组合结构的计算
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形
横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
结构力学规定
正
MAB A端
FNAB
FQAB
一、根据维数分类 1. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作 用线都在同一平面内
2. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
二、按外型分类 1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 抛物线桁架 4. 梯形桁架
截面法计算内力的步骤
截面法计算内力的步骤截面法计算内力的步骤如下：1.确定截面：根据结构的几何形状和所需计算的截面位置，确定需要计算的截面。
2.建立截面坐标系：在确定的截面处，建立适当的坐标系，通常使用弯矩轴线和剪力轴线作为坐标轴。
3.计算剪力：在截面上计算受力情况，包括剪力和轴向力。
剪力可以通过受力平衡或应力分布方法进行计算。
4.计算弯矩：在截面上计算受力情况，包括弯矩和轴向力。
弯矩可以通过剪力和轴向力的计算结果进行进一步计算。
5.建立平衡方程：根据截面上的剪力和弯矩的计算结果，建立平衡方程。
平衡方程可以根据结构的具体情况建立，通常需要考虑截面上的所有力和力矩的平衡条件。
6.解平衡方程：解平衡方程以确定未知内力。
解方程时可能需要考虑结构的刚度和惯性等物理特性。
7.确定内力值：根据解出的未知内力和已知的剪力和弯矩的计算结果，确定内力值。
内力可以是拉力或压力，也可以是弯矩。
以上步骤可以帮助您使用截面法计算内力。
需要注意的是，具体的计算步骤可能会因结构的不同而有所差异，因此在进行内力分析时需要结合具体情况灵活运用各种方法。
截面法计算内力的优点和缺点如下：优点：1.简单易行：截面法是一种简单直观的方法，易于理解和计算。
2.可适用于多种结构形式：截面法可以适用于多种结构形式，如梁、板、柱等，因此在工程实践中得到广泛应用。
3.可以考虑多种内力：截面法不仅可以计算剪力和弯矩，还可以考虑拉力、压力等其他内力。
4.可用于静力分析和动力分析：截面法不仅可用于静力分析，即求结构在恒定载荷下的内力，还可用于动力分析，即求结构在动载荷下的内力。
缺点：1.精度有限：截面法是一种近似方法，其精度取决于所取的截面和所用的简化假定。
对于复杂结构，可能需要采用更精确的方法进行内力分析。
2.对经验要求高：使用截面法进行内力分析需要具备一定的工程经验和对结构的理解，否则可能会出现误差或遗漏。
3.对初始条件敏感：截面法的计算结果对初始条件（如初始剪力和弯矩）较为敏感，因此在进行内力分析时需要注意初始条件的设定。
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
材料力学内力和截面法
材料力学内力和截面法
课程导入：
工程实例
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成（力或力偶）
2.截面法
求内力的一般方法------截面法 步骤： （1）截开；
（2）代其作用线 均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号 FN表示。
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 （背离截面）；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 （指向截面）。
4.轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位 置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴 力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截 面位置的关系，称为轴力图。
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取分离
前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移 动或用静力等效的相当力系替代。
5.例题
试作图示杆的轴力图。
解：求支反力 FR=10kN
横截面1-1：注意假设轴力为拉 力
横截面2-2：
横截面3-3：此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
课程导入：
工程实例
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成（力或力偶）
2.截面法
求内力的一般方法------截面法 步骤： （1）截开；
（2）代其作用线 均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号 FN表示。
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 （背离截面）；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 （指向截面）。
4.轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位 置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴 力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截 面位置的关系，称为轴力图。
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取分离
前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移 动或用静力等效的相当力系替代。
5.例题
试作图示杆的轴力图。
解：求支反力 FR=10kN
横截面1-1：注意假设轴力为拉 力
横截面2-2：
横截面3-3：此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
简述截面法求内力的步骤
截面法求内力的步骤简介截面法是一种用于计算结构内力的方法，广泛应用于工程领域。
它通过将结构切割成若干个截面，分析每个截面上的受力情况，从而确定结构中各个部分的内力分布。
本文将详细介绍截面法求内力的步骤，包括确定切割截面、计算受力平衡、绘制剪力图和弯矩图等内容。
步骤一：确定切割截面在进行截面法计算之前，首先需要确定切割截面的位置。
通常情况下，选择合适的切割截面位置可以简化计算，并且使得结果更加准确。
切割截面的位置应该选择在结构受力变化较大或者存在集中荷载作用的地方。
步骤二：计算受力平衡在确定了切割截面之后，需要对每个切割截面进行受力平衡计算。
根据静力平衡原理，对于一个处于静止状态的结构，在任意一个切割截面上受到的外部作用力和内部反作用力之和应该为零。
可以利用受力平衡方程来计算切割截面上的内力。
步骤三：绘制剪力图剪力是指结构中某一截面上的内力，它与截面上的受力平衡有关。
在截面法求解内力时，常常需要绘制剪力图。
剪力图是以结构轴线为横坐标，剪力值为纵坐标的图形表示。
绘制剪力图的步骤如下：1.选择合适的坐标系，通常选取结构轴线作为横坐标。
2.根据受力平衡计算出每个切割截面上的剪力值。
3.将计算得到的剪力值绘制在相应位置上。
4.连接各个点，即可得到完整的剪力图。
步骤四：绘制弯矩图弯矩是指结构中某一截面上的内力，它与截面上的受力平衡和几何形状有关。
在截面法求解内力时，常常需要绘制弯矩图。
弯矩图是以结构轴线为横坐标，弯矩值为纵坐标的图形表示。
绘制弯矩图的步骤如下：1.选择合适的坐标系，通常选取结构轴线作为横坐标。
2.根据受力平衡和几何形状计算出每个切割截面上的弯矩值。
3.将计算得到的弯矩值绘制在相应位置上。
4.连接各个点，即可得到完整的弯矩图。
步骤五：计算其他内力除了剪力和弯矩之外，还有其他一些常见的内力需要计算，如轴力、扭矩等。
根据受力平衡和结构几何形状，可以通过类似的方法计算出这些内力，并绘制相应的图形。
步骤六：分析结果在完成内力计算之后，需要对结果进行分析。
《截面法求内力》课件
通过使用截面法求内力，工程师可以 更好地了解结构的受力状态，优化结 构设计，提高结构的承载能力和安全 性。
截面法求内力的基本步骤
确定截面位置
根据结构的特点和受力情况，选择适 当的截面位置。
进行截面分析
对所选截面进行详细的分析，包括该 截面的受力状态、约束条件以及与周 围结构的相互作用关系等。
计算内力
截面法的优缺点
截面法的优点在于简单易懂，易于操作，适用于各种形状和尺寸的构件。然而，截面法也存在一些局限 性，如对于复杂结构和多跨连续梁的计算可能较为繁琐，需要借助其他分析方法。
截面法求内力的展望
截面法的进一步研究和改进
随着科技的发展和工程实践的深入，截面法的研究也在不断进步。未来可以进一步研究截 面法的精度和可靠性，提高其计算效率和准确性。同时，可以结合数值分析方法和其他现 代技术手段，对截面法进行改进和优化。
《截面法求内力》 ppt课件
contents
目录
• 截面法求内力概述 • 截面法求内力的基本原理 • 截面法求内力的具体操作 • 截面法求内力的实例解析 • 截面法求内力的注意事项与优化建议 • 总结与展望
01
CATALOGUE
截面法求内力概述
截面法求内力的定义
截面法求内力是指在结构分析中，通过在结构上选择适当的截面，并按照一定的 步骤和方法，计算出该截面所承受的内力（如轴力、剪力和弯矩等）的方法。
内力计算
计算内力时，应考虑所有可能的受力情况， 避免遗漏。
边界条件
正确处理结构的边界条件，如固定、自由、 简支等，对分析结果至关重要。
优化建议
简化模型
使用软件辅助
在保证分析精度的前提下，尽量简化模型 ，减少计算量。
利用专业软件进行内力分析，可以大大提 高计算效率和准确性。
截面法求内力的基本步骤
确定截面位置
根据结构的特点和受力情况，选择适 当的截面位置。
进行截面分析
对所选截面进行详细的分析，包括该 截面的受力状态、约束条件以及与周 围结构的相互作用关系等。
计算内力
截面法的优缺点
截面法的优点在于简单易懂，易于操作，适用于各种形状和尺寸的构件。然而，截面法也存在一些局限 性，如对于复杂结构和多跨连续梁的计算可能较为繁琐，需要借助其他分析方法。
截面法求内力的展望
截面法的进一步研究和改进
随着科技的发展和工程实践的深入，截面法的研究也在不断进步。未来可以进一步研究截 面法的精度和可靠性，提高其计算效率和准确性。同时，可以结合数值分析方法和其他现 代技术手段，对截面法进行改进和优化。
《截面法求内力》 ppt课件
contents
目录
• 截面法求内力概述 • 截面法求内力的基本原理 • 截面法求内力的具体操作 • 截面法求内力的实例解析 • 截面法求内力的注意事项与优化建议 • 总结与展望
01
CATALOGUE
截面法求内力概述
截面法求内力的定义
截面法求内力是指在结构分析中，通过在结构上选择适当的截面，并按照一定的 步骤和方法，计算出该截面所承受的内力（如轴力、剪力和弯矩等）的方法。
内力计算
计算内力时，应考虑所有可能的受力情况， 避免遗漏。
边界条件
正确处理结构的边界条件，如固定、自由、 简支等，对分析结果至关重要。
优化建议
简化模型
使用软件辅助
在保证分析精度的前提下，尽量简化模型 ，减少计算量。
利用专业软件进行内力分析，可以大大提 高计算效率和准确性。
工程力学2(材料力学)习题解答
《工程力学2习题解答》建筑1001班陈飞力学教研室编著1-2. 试求图示结构mm 和nn 两截面上的内力，并指出AB 和BC 两杆属何种基本变形。
解：（1）求约束反力：取杆AB 为研究对象∑∑∑=⨯-⨯==-+===0233 003 000BCABCAAN M N Y Y X X 解得：kN Y kN N A BC 1 2==（2）求m-m 截面内力：将杆AB 沿截面m-m 截开, 取左半部分kNm Y M kN Y Q A m-m A m m 11 1=⨯===-AB 杆发生弯曲变形。
（3）求n-n 截面内力：取杆BC 为研究对象，截开n-n 截面kN N N BC n n 2==-BC 杆发生拉伸变形1-3. 拉伸试件A 、B 两点的距离l 称为标距，在拉力作用下，用引伸仪量出两点距离的增量为Δl =5×10-2mm 。
若l 的原长为l =10cm ，试求A 、B 两点间的平均应变。
解：平均应变为42105100105Δ--⨯=⨯==l l m ε1-4. 图示三角形薄板因受外力而变形。
角点B 垂直向上的位移为0.03mm ，但AB和BC 仍保持为直线。
试求沿OB 的平均应变，并求AB 、BC 两边在B 点夹角的变化。
解：（1） 求OB 方向的平均线应变n4105.212003.0Δ120-⨯=====l l mmOA OB m ε （2）求AB 与BC 两边的角应变4105.2'22-⨯=-=OB AO arctg πγ2-1. 试求图示各杆1-1、2-2、3-3截面的轴力， 并作轴力图。
解: (a)（1）求约束反力kNR R X 500203040 0==-++-=∑（2）求截面1-1的轴力kNN NR X 500011==+-=∑（3）求截面2-2的轴力kNN NR X 10040 022==++-=∑（4）求截面3-3的轴力(a) (b)kNN NR X 2003040 033-==+++-=∑（5）画轴力图(b)（1）求截面1-1的轴力01=N（2）求截面2-2的轴力 PN4022==（3）求截面3-3的轴力PN P P NX 304 033==-+=∑（4）画轴力图2-2. 作用图示零件上的拉力P=38kN ，试问零件内最大拉应力发生于哪个横截面上？并求其值。
第二章 杆件的内力·截面法
3
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
二、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3
B T1 x M3 B
2 2
M1 C
3
3
M4
D
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
3 3
A
M4 D
T3 M 4 6.37kN m
x
扭矩图 M2 M3 B M1 C M4
q(x) — 分布力
L
M — 集中力偶
L
F — 集中力
3、外伸梁：overhanging beam q — 均布力
L （L称为梁的跨长）
L
弯曲内力的确定（截面法）
a A l F F B [例]已知：如图，F，a，l。
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
FAX A FAY
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Fy 0, FAY Fs 0.
m x
Fs
M
Fs FAY
C
(F ) 0, M FAY x 0.
M FAY x F (l a) x l
F (l a ) l
C
Fs
M
F
∴ 弯曲构件内力： Fs －剪力， M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
F
x
0
FD FC FB FA FN1 0
内力的计算——截面法截面法PPT课件
如图211所示受到轴向拉伸和轴向压缩的杆件ab和bc当杆ab受到外力包括载荷和约束反力拉伸作用而产生伸长变形时其内部材料的分子之间因相对位置改变而产生相互作用力来抵抗这种伸长变形这种相互作用力将随外力增大而加大但有一定限度如果超过了这个限度时杆件就会发生过大变形或被拉断
一、任务描述
在工程实际中，构件受到轴向拉伸或压缩地实例很多。如图2-1-1a所示 的悬臂式吊车中，AB和BC两杆就是受到轴向拉伸和压缩的构件。AB和BC 两杆铰接于B点。α=30°，在B铰接点悬吊一重G=20kN的物体，试分析计算， 在外力作用下AB和BC两杆件截面上的内力。（不计杆的自重）
7、轴向拉伸或压缩的概念
杆件受到沿轴线方向的拉力 或压力作用，杆件变形是沿轴 向的伸长或缩缩
特点：
受力特点——作用于杆件两端的外力大小相 等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。
变形特点——杆件变形是沿轴线方向伸长或 缩短。
构件特点——等截面直杆。
第11页/共21页
第19页/共21页
小结：
拉伸、压缩杆件内力计算的方法与步骤 用静力学平衡方程计算相关杆件所受外力。 用截面法求解杆件的内力：截开、代替、平衡。 为了使应用静力学方程计算出的内力不仅在大小而且在方向 上与材料力学内力的规定统一， 通常采用“设正法”画截面上的内力。即无论截面上的内力 是拉力还是压力，一律按正的内力 （即背离横截面）画出。这样用平衡方程式求出的内力若为 正，则为拉力，反之则为压力。
轴力的正负规定：
当轴力的指向离开截面时，杆受拉，规定轴力为正；反之， 当轴力指向截面时，杆受压，规定轴力为负。即拉为正，压为 负。
第16页/共21页
10、轴力图
直观地表明各截面上轴力沿轴线的变化，横坐标X轴表示 杆截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力的大小。
一、任务描述
在工程实际中，构件受到轴向拉伸或压缩地实例很多。如图2-1-1a所示 的悬臂式吊车中，AB和BC两杆就是受到轴向拉伸和压缩的构件。AB和BC 两杆铰接于B点。α=30°，在B铰接点悬吊一重G=20kN的物体，试分析计算， 在外力作用下AB和BC两杆件截面上的内力。（不计杆的自重）
7、轴向拉伸或压缩的概念
杆件受到沿轴线方向的拉力 或压力作用，杆件变形是沿轴 向的伸长或缩缩
特点：
受力特点——作用于杆件两端的外力大小相 等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。
变形特点——杆件变形是沿轴线方向伸长或 缩短。
构件特点——等截面直杆。
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小结：
拉伸、压缩杆件内力计算的方法与步骤 用静力学平衡方程计算相关杆件所受外力。 用截面法求解杆件的内力：截开、代替、平衡。 为了使应用静力学方程计算出的内力不仅在大小而且在方向 上与材料力学内力的规定统一， 通常采用“设正法”画截面上的内力。即无论截面上的内力 是拉力还是压力，一律按正的内力 （即背离横截面）画出。这样用平衡方程式求出的内力若为 正，则为拉力，反之则为压力。
轴力的正负规定：
当轴力的指向离开截面时，杆受拉，规定轴力为正；反之， 当轴力指向截面时，杆受压，规定轴力为负。即拉为正，压为 负。
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10、轴力图
直观地表明各截面上轴力沿轴线的变化，横坐标X轴表示 杆截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力的大小。
02.2.内力·截面法·及轴力图
FN 图
F +
第15页
武生院建筑工程学院：材料力学
课堂练习：试求出下列图形当中1-1、2-2、 3-3截面上的轴力， 并画出轴力图。.
(1)
1F
2F
3
(2)
10KN
1 1
10KN
2 2
6KN
3 3 6KN
1
2
3
第16页
一般来说：正值的轴力画上轴线上方，负值画在轴线下 方。
第5页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
第6页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处 的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴 力。
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
第9页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FNm , a xFN250kN
第10页
武生院建筑工程学院：材料力学
例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
第7页
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解：
第二章 向拉伸和压缩
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
第8页
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F +
第15页
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课堂练习：试求出下列图形当中1-1、2-2、 3-3截面上的轴力， 并画出轴力图。.
(1)
1F
2F
3
(2)
10KN
1 1
10KN
2 2
6KN
3 3 6KN
1
2
3
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一般来说：正值的轴力画上轴线上方，负值画在轴线下 方。
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第二章 轴向拉伸和压缩
F
F
(c)
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置的关系。
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第二章 轴向拉伸和压缩
注意：杆受多个轴向外力作用时，应以外力作用点处 的横截面作为特征截面，将梁分成若干段来求整段梁的轴 力。
FN2=50 kN(拉力)
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。 FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
第9页
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第二章 轴向拉伸和压缩
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。 FNm , a xFN250kN
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例题2-1 试作此杆的轴力图。
(a)
等直杆的受力示意图
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解：
第二章 向拉伸和压缩
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左 边为分离体，假设轴力为 拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
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机械基础——第二节截面法求内力讲述
三、梁弯曲时的内力
P
P P P
P P P
P
1、弯曲变形的概念
杆件在载荷作用下，其轴线由原来的直线弯曲成 曲线，这种变形称为弯曲。 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
（一）平面弯曲
梁有一个纵向对称面。 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲。
1、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴 扭转轴的内力称为扭矩
2、扭矩可利用截面法、并建立平衡方程求得 M M x M T-M=0 →T=M
T
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
伸出右手，四指沿扭矩转动的 方向，大拇指即为扭矩的方向 离开截面扭矩为正， 指向截面扭矩为负。
_
指向截面
+
离开截面
用截面法求扭矩时，先按正向假设。
4、扭矩图
将扭转轴各个截面扭矩沿轴线方向分布情况 用图形表示。
Y
637N· m
＋
X
－
318N· m 795N· m
例3-2 图示为一传动轴，主动 轮B输入功率PB=60 kW，从动 轮A、C、D输出功率分别为 PA=28 kW，PC=20 kW， PD=12 kW。轴的转速n=500 r/min，试绘制轴的转矩图。
（二） 梁的基本类型
1、载荷的简化 # 集中力 # 均布载荷 # 集中力矩 正负号规定： 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 集中力矩逆时针为正、顺时针为负。
2、约束的简化
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可
以简化为三种基本形式：
FX FY
FX FY
M
FY
固定铰支座
截面法求内力讲解
l
l
(a ? x ? l)
x A FAy
M0
C
B
a
l
b FBy
? MA ? 0
? Fy ? 0
FBy
?
?
M0 l
FAy
?
M0 l
M0 l
+
FQ图
M 0b l
M0a l
M图
A M0 l
FQ
M
FQ
FQ
?
M0 l
M M ? M0 x
l
(0 ? x ? a) (0 ? x ? a)
B
FQ
?
M0 l
(a ? x ? l)
FAy 70 +
A
A
4m
2m 2m
FBy
A
EC D 10 10 -
B 70
50 50
FQ
FQ图（单位kN）
M
F
EC D
B
q FQ FQ ? 70 ? 20x
M ? 70x ? 10x2
M
40 B
FQ ? ?10
50 M ? 160 ? 10x
(0 ? x ? 4) (0 ? x ? 4)
(4 ? x ? 6) (4 ? x ? 6)
100 120 100 122.5
M图（单位kN.m）
FQ M
FQ ? ?50 (6 ? x ? 8)
B 50 M ? 400 ? 50x (6 ? x ? 8)
叠加法
条件：结构线弹性、小变形
荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载
时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。
静定结构的内力—截面法求静定平面桁架内力(建筑力学)
截面法求静定平面桁架内力
2、 截面法
对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因 为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在 简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。
截面法所选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是一
个平面一般力系，可以建立三个平衡方程：
0
A
FP
FP I
C 1
0 2a
00
3a
D 4I
2.5FP
a
a
取截面I－I以左为隔离体：
FP
FP I
C
1 0 2a
52
0A
00
3a
1
D 4I
Fx 0， 2.5FP
a
a
FN 1 FN 4 Fx 3 Fx 2 0， FN 1 (2.75FP 0.75FP 0.5FP )
1.5FP (压)。
Fx 2 0.5FP ； Fx 3 0.75FP； FN 4 2.75FP。
结 论：
结点法和截面法是计算桁架的两种基本方法，各有其优缺点。 结点法：适用于求解桁架全部杆件的内力，但求指定杆件内力时，一般来说比较 繁琐。 截面法：适用于求指定杆件的内力，但用它来求全部杆件的内力时，工作量要比 结点法大得多。 应用时，要根据题目的要求适当选择计算方法。
FP
FP I
C
1 0 2a
Fx3 Fy3 / 2 0.75FP。
0A
00
3a
l
5
FN 3 Fy 3 l y 1.5FP 2
2.5FP
a
D 4I a
1.68FP (压)。
MC 0，
FN 4
1 2a
2、 截面法
对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因 为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在 简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。
截面法所选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是一
个平面一般力系，可以建立三个平衡方程：
0
A
FP
FP I
C 1
0 2a
00
3a
D 4I
2.5FP
a
a
取截面I－I以左为隔离体：
FP
FP I
C
1 0 2a
52
0A
00
3a
1
D 4I
Fx 0， 2.5FP
a
a
FN 1 FN 4 Fx 3 Fx 2 0， FN 1 (2.75FP 0.75FP 0.5FP )
1.5FP (压)。
Fx 2 0.5FP ； Fx 3 0.75FP； FN 4 2.75FP。
结 论：
结点法和截面法是计算桁架的两种基本方法，各有其优缺点。 结点法：适用于求解桁架全部杆件的内力，但求指定杆件内力时，一般来说比较 繁琐。 截面法：适用于求指定杆件的内力，但用它来求全部杆件的内力时，工作量要比 结点法大得多。 应用时，要根据题目的要求适当选择计算方法。
FP
FP I
C
1 0 2a
Fx3 Fy3 / 2 0.75FP。
0A
00
3a
l
5
FN 3 Fy 3 l y 1.5FP 2
2.5FP
a
D 4I a
1.68FP (压)。
MC 0，
FN 4
1 2a
《截面法求内力》课件
适用范围广：适用 于各种类型的结构 ，如梁、板、壳等
便于分析：可以方 便地分析结构的局 部应力和应变，为 优化设计提供依据
缺点
适用范围有限：仅适用于线弹 性材料，不适用于塑性材料
计算复杂：需要求解多个方 程，计算量大
精度有限：对于复杂结构，截 面法求解的内力可能与实际值
有较大偏差
难以处理非均匀材料：对于非 均匀材料，截面法求解的内力
梁的内力分析
梁的受力分析：确定梁的受力情况，包括轴力、剪力和弯矩 截面法求内力：利用截面法求解梁的内力，包括轴力、剪力和弯矩 实例分析：选取一个具体的梁结构，进行内力分析，包括轴力、剪力和弯矩的计算 结论：总结梁的内力分析方法，以及如何利用截面法求解梁的内力
圆轴的内力分析
圆轴的受力情况： 轴向力、扭矩、弯 矩等
截面法的应用范围
材料力学：用于求解材料的 应力和应变
结构力学：用于求解杆件的 内力、应力和变形
土木工程：用于计算桥梁、 隧道、建筑物等结构的内力
机械工程：用于计算机械零 件的内力、应力和变形
截面法求内力的 步骤
确定截面位置
确定截面位置：选择合适的截面位置，以便于计算内力 截面形状：选择合适的截面形状，如矩形、圆形等 截面尺寸：确定截面的尺寸，如长度、宽度、厚度等 截面材料：确定截面的材料，如钢、铝、混凝土等 截面受力：确定截面所受的力，如拉力、压力、剪力等 截面内力：根据截面所受的力，计算截面内力，如轴力、剪
截面法求内力的步 骤：确定截面、建 立平衡方程、求解 内力
实例分析：某圆轴 在轴向力、扭矩、 弯矩作用下的内力 分析
结论：截面法求内 力是一种有效的方 法，可以准确计算 出圆轴的内力。
截面法求内力的 注意事项
相关主题
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2 F 3F 2F
A
B
FN2
C
2F
∵杆件平衡， ∴∑Fx=O ， 即 -FN2 - 2F=0 ∴ FN2= -2F， 内力FN2压力。
（b）
练习：求杆件各处的内力
1
F２＝
2
F１ ＝
F３ ＝
1
2
例2：如图所示，已知F1=32KN，F2=20KN， F3=40KN，求1-1、2-2、3-3截面上的轴力。
复习旧知
1、杆件有哪几种基本变形？ 2、拉伸和压缩的受力特点是什么？
轴向拉压变形、剪切变形、扭转变形、弯曲变 形
受力的特点：作用在杆上的外力合力的作用线沿 杆件轴线。
3、拉伸和压缩的变形特点是什么？
变形的特点：沿杆件轴线方向产生纵向伸长（拉 伸时）或缩短（压缩时）。
提出问题
当杆件受到拉伸、压缩变形时，就会在杆件 内部产生抵抗变形的力即内力，其内力究竟有多 大？用什么方法才能知道该作用力的大小方向呢？
截面法求内力
学习目标：
1、掌握“截面法”的定义； 2、正确理解和应用截面法求内力的一
般步骤；
一、什么是截面法？
截面法：将受外力作用的杆件假想地切
开，用以显示内力的大小，并以平衡条 件确定其合力的方法，称为截面法。它
是分析杆件内力的唯一方法。
如图AB杆受两个力，一个向左，一个向右， 大小均为F。作用点分别为A和B。
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆件各截面处的内力。
F1 A F2
B
C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
讨论： 图示阶梯杆AD受三个集中力F 作用，设AB、 BC、CD段的横截面面积分别为A、2A、 3A，则三段杆的横截面上（） （A）轴力不等，应力相等； （B）轴力相等，应力不等； （C）轴力和应力都相等； （D）轴力和应力都不等。
3 F1 A
2 F2
2 C
1
F3 1 D
3 B
FN3
F1
F2 （c）
F3
练习：求杆件各处的内力。
F１＝
2
1
F2＝
1
2
小 结
综上所述，求杆件内力的方法——截面法可 概述如下： ①截：在需求内力的截面处，沿该截面假想 地把构件切开。 ②取：选取其中一部分为研究对象。 ③代：将弃去部分对研究对象的作用，以截 面上的未知内力来代替。 ④平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡 方程，以确定未知内力的大小和方向。
解：(1)计算截面1—1 的内力.
3
2
1
F1 A
F2
2 C FN1 （a） 1 D
F3
3 B
沿截面1—1假想地将杆件截成两段， 取右段为研究对象，
F3
用内力FN1代替左端对右端的作用。
∵杆件平衡， ∴∑Fx=O 即F3-FN1=0 ∴ FN1=F3=40kN，内力FN1拉力。
解：(2)计算截面2— 2的内力. 沿截面2—2假想 地将杆件截成两段，A 取右段为研究对象， 用内力FN2代替左端 对右端的作用得受力 图（b）。
3 F1
2 F2
2 C
1
F3 1 D
3 B
FN2
F2 （b）
F3
∵杆件平衡， ∴∑Fx=O ， 即F3-F2-FN2=0 ∴ FN2=20kN， 内力FN2拉力。
解：(3)计算截面3—3 的内力. 沿截面3—3假想 地将杆件截成两段， 取右段为研究对象， 用内力FN3代替左端对 右端的作用得受力图 （c）。 ∵杆件平衡， ∴∑Fx=O ， 即F3-F2-F1-FN3=0 ∴ FN3=-12kN， 内力FN3实际为压力。
m
1、确定要截开的次 数和位置
2、任选取一段为研 究对象 3、假设出截面上的 内力 4、用平衡方程求出 截面上的内力
F A
m
F B FN F FN 选左段时：∑Fx=O －F+FN＝0 FN＝F 选右段时：∑Fx=O F－FN＝0 FN＝F
F
例1：试求图3—1所示杆件指定各截面上的内力大 小。 解：(1)计算截面1—1的内力.
以截面1—1假想 1 2 2F 地将杆件截成两 F 3F 段， 2 1 A C B 取左段为研究对 F 象， FN1 用内力FN1代替右 ∵杆件平衡， 端对左端的作用， ∴∑Fx=O ，即FN1—F=0 用平衡方程求解。 ∴ FN1=F， 内力FN1拉力。
解：(2)计算截面2—2的内力. 沿截面2—2假想地将杆件截成两段， 取右段为研究对象， 用内力FN2代替左端对右端的作用力.