四种命题相互关系-PPT课件

则 ( p q) 2 4 , ∴ p2 q 2 2 pq 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（ a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
反证法：
• 要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明 A 的反面（非 A ）是错 误的，从而断定A是正确的。 • 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “ 若 pq 2 , 则 p q 2 . ”
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
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可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。



练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 有 根据垂径定理的推论， OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
这表明原命题的逆否命题为真命题 , 从而原命 题也为真命题.
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
王新敞