矩阵特征值的意义

矩阵特征值的意义

数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么？？

矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。

两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念

• 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中

• 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y

• 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=

• 例如，对系统 ，若输入

• 则 •

• 若输入 ，则 • 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。

基于此给出特征值与特征向量的概念：

• 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得

则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4312A ⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=31x x Ax y 5315155314312=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛==⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=52x x Ax y λ≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==269524312λx

Ax λ=λλ