两直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，让我们来看直线交点坐标公式。
设直线1的方程为y=m1x+c1，直线2的方程为y=m2x+c2、这里，m1和m2分别是直线1和直线2的斜率，c1和c2是它们的截距。
要计算两条直线的交点坐标，我们可以将直线1和直线2的方程联立，解出x和y的值。
具体步骤如下：1.将直线1和直线2的方程联立：m1x+c1=m2x+c22.移项得：m1x-m2x=c2-c13.合并同类项：(m1-m2)x=c2-c14.求解x的值：x=(c2-c1)/(m1-m2)5.将x的值带入直线的方程，求解y的值：y=m1x+c1或y=m2x+c2这样，我们就可以得到两条直线的交点坐标(x,y)。
下面，让我们来看直线之间的距离公式。
设直线1的方程为Ax+By+C1=0，直线2的方程为Ax+By+C2=0。
这里，A、B和C1、C2分别是直线1和直线2的系数。
要计算两条直线之间的距离，我们可以使用以下公式：d=，C2-C1，/√(A^2+B^2)其中，C2-C1，表示C2和C1的绝对值。
√(A^2+B^2)表示A^2+B^2的平方根。
需要注意的是，当A^2+B^2=0时，即直线1和直线2平行，此时它们没有交点。
接下来，我将给出两个实际应用的例子，以帮助读者更好地理解直线的交点坐标和距离公式。
例子1：两条直线的交点设直线1的方程为y=2x+3，直线2的方程为y=-x+1、我们需要计算这两条直线的交点坐标。
将直线1和直线2的方程联立，可得：2x+3=-x+1移项得：3x=-2解出x的值得到：x=-2/3将x的值带入直线的方程，可得：y=2*(-2/3)+3=-1/3所以，这两条直线的交点坐标为(-2/3,-1/3)。
例子2：两条直线的距离设直线1的方程为2x+3y-4=0，直线2的方程为4x-6y+8=0。
我们需要计算这两条直线之间的距离。
根据直线之间的距离公式，可以计算得到：d=，(-6)-3(4)，/√(2^2+3^2)=6/√13所以，这两条直线之间的距离为6/√13通过以上例子，我们可以看到直线的交点坐标公式和距离公式的实际应用。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
直线的交点坐标与距离公式(3课时)
有惟一解，有无数组解，无解，则两直 线的位置关系如何？
知识探究（二）：过交点的直线系
思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2： 2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能 将这些直线的方程统一表示吗？
y-2=k(x+2)和x=-2 思考2:方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 （m，n不同时为0）表示什么图形？
圆内接四边形，试求m的值。
作业：
P109 习题3.3A组：1，3，5. P110 习题3.3B组：1.
3.2.2 两点间的距离
设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 1. l1 l2 A1A2+B1B2=0 2. l1 // l2
点A的坐标是方程组的解
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
思考2：对于两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 ,若方程组
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C 2 0
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
1. 2.
l1 l2 A1A2+B1B2=0 l1 // l2
K 1=K2且b1 ≠b2 (2)当B1=B2=0时,A 1C2=A 2C1
思考3:上述直线l1与直线l2的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何 值时，方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 分别表示直线l1和l2？ 思考4:方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一 般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 可怎样表示？ m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
2.3.1 两条直线的交点坐标~2.3.2 两点间的距离公式(解析版)..
2.3直线的交点坐标与距离公式2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式知识梳理知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )．(1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0.(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.题型探究题型一、求相交直线的交点坐标1．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为()A ．3320x y -++=B ．33360x y -++=C ．3340x y ---=D ．333120x y ---=【答案】A【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：()231y x -=＋，即3230x y -=＋＋．故选：A ．2．经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【详解】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______．【答案】270x y ++=【详解】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =，所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=4．设三直线1:3420l x y +-=；2:220l x y ++=；3:340l kx y +-=交于一点，则k 的值为______．【答案】1【详解】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与2l 交于点(2,2)-，依题意可知，23240k -+⨯-=，解得1k =.故答案为：1.题型二、方程组解的个数与直线位置关系1．两条直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点坐标就是方程组1112220,{0A xB yC A x B y C ++=++=的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当1112220,0A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解只有一组时，这两条直线1l 和2l 有一个公共点，它们的位置关系为相交．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解有无数组时，这两条直线1l 和2l 有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩无解时，这两条直线1l 和2l 没有公共点，它们的位置关系为平行．2．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数=a ________【答案】2-【详解】由题意关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线461x y +=和直线32ax y -=平行，故4612603D a a ==--=-，所以2a =-，此时直线32ax y -=即464x y +=-，确实与461x y +=平行，故满足题意，所以实数2a =-.故答案为：-2.3．若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.【答案】6a ≠【详解】由2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩，可得()660a y -+=，由关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，则6a ≠故答案为：6a ≠4．若关于x 的二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______．【答案】2-【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯，解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-题型三、由直线交点的个数求参数1．已知两定点()2,3M -，()3,2N --，直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³B ．5k ≤-C ．51k -≤≤D ．1k ³或5k ≤-【答案】D【详解】如图所示：()()()23225,11213PM PN k k ----==-==---，因为直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，所以l 的斜率k 的取值范围是1k ³或5k ≤-.故选：D2．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==--(0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点，则5423a -<<故选:C.题型四、两点间的距离1．已知点()2,4A ，()5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．0【答案】C【详解】因点()2,4A ，()5,4B ，则22||(25)(44)3AB =-+-=，所以A ，B 两点之间的距离等于3.故选：C2．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求证：ABC 是等腰三角形．【详解】∵22(31)(42)8AB =-+-=，22(53)(04)20BC =-+-=，22(51)(02)20AC =-+-=，∴AC BC =，∵421,31AB k -==-021512AC k -==--，∴AB AC k k ≠，∴,,A B C 三点不共线，∴ABC 是等腰三角形．3．已知点(1,3)A -，(2,6)B ，若在x 轴上存在一点P 满足PA PB =，则点P 的坐标为___________．【答案】()5,0【详解】设(),0P x ，则22(1)9(2)36x x ++=-+，解得5x =，∴点P 的坐标为()5,0，故答案为：()5,0．跟踪训练1．判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；（2）l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.【详解】（1）解方程组230210x y x y ++=⎧⎨--=⎩得11x y =-⎧⎨=-⎩所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).（2）解方程组202230x y x y ++=⎧⎨++=⎩①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1//l 2.2．若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.【答案】1-【详解】由题意，直线2100x y --=，43100x y +-=，280ax y ++=交于一点，所以210043100x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩，所以直线280ax y ++=过点()4,2-，得()42280a +⨯-+=，求解得1a =-.故答案为：1-3．已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈，若直线l 与直线10x y -+=，2380x y +-=三线共点，求k 的值.【答案】13【详解】由102380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=，2380x y +-=的交点为()1,2，将()1,2代入()120R kx y k k -++=∈，解得13k =.4．若关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =__________．【答案】3-【详解】因为关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线96mx y m +=+与直线+=x my m 平行，所以290m -=，解得3m =±，当3m =时，两直线重合，故答案为：3-.5．已知关于,x y 的方程组()222(1)1,(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1()a a R ≠-∈【详解】由方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足22(2)(1)(1)0a a a a -+-+≠，即2(1)0a -+≠，解得1()a a R ≠-∈.故答案为：1()a a R ≠-∈.6．关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【详解】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没．有．交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．()(),15,-∞-+∞B ．(][),15,-∞-⋃+∞C ．()1,5-D ．[]1,5-【答案】A【详解】如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；故选：A8．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C9．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=.（1）若直线1l ，2l ，3l 交于一点，求实数m 的值；（2）若直线1l ，2l ，3l 不能围成三角形，求实数m 的值.【答案】（1）1m =-或23；（2）1m =-或23或4或16-.【详解】（1）∵直线1l ，2l ，3l 交于一点，∴1l 与2l 不平行，∴4m ≠，由4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，得4444x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即1l 与2l 的交点为44,44m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入3l 的方程，得8434044m m m m--⋅-=--，解得1m =-或23.（2）若1l ，2l ，3l 交于一点，则1m =-或23；若12//l l ，则4m =；若13//l l ，则16m =-；若23//l l ，则不存在满足条件的实数m .综上，可得1m =-或23或4或16-.10．直线l 的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（）A ．2B ．2C ．22D ．4【答案】C【详解】由题设，直线:1(1)l y x -=--，整理得:20+-=l x y ，所以，直线l 与坐标轴交点为(2,0),(0,2)，故直线被坐标轴所截得的线段长是22(20)(02)22-+-=.故选：C11．已知(1,2),(,6)A B a ，且||5AB =，则a 的值为（）A ．4B ．4-或2C ．2-D ．2-或4【答案】D【详解】易知22(1)(62)5a -+-=，∴4a =或2a =-.故选：D.12．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，我们假设有两条直线分别为L1和L2，它们可以表示为以下形式的参数方程：L1:P1=P0+t1*d1L2:P2=P0+t2*d2其中，P1和P2分别是L1和L2上的两个点，P0是直线的起点，d1和d2是直线的方向向量。
t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
要求两条直线的交点坐标，我们需要找到使L1和L2重合的参数值t1和t2、我们可以通过两个参数方程组相等来解这个方程组：P1=P2=>P0+t1*d1=P0+t2*d2化简上述方程，我们可以得到：P0+t1*d1-P0=P0+t2*d2-P0即：t1*d1=t2*d2这个方程告诉我们，d1和d2这两个方向向量成比例，它们的比例系数即为两个参数t1和t2的比值。
所以，我们可以将其表示为：d1=k*d2其中，k为比例系数。
在上述方程中，我们可以用矩阵的形式来表示方程：[d1,-d2]*[t1;-t2]=0其中，[d1,-d2]和[t1;-t2]分别是一个2x1的矩阵和一个2x1的列向量。
我们可以将上述方程拓展为一个矩阵方程：[A]*[x]=0其中，[A]是一个2x2的矩阵，其元素为[d1,-d2]。
[x]是一个2x1的列向量，其元素为[t1;-t2]。
根据行列式的定义，只有当[A]的行列式为0时，方程[A]*[x]=0有非零解。
计算[A]的行列式可得：det([A]) = ad1 - bd2对于两条直线相交的情况，其中ad1 - bd2不等于0。
形式上，我们可以将[A]*[x]=0表示为：[U]*[S]*[V^T]*[x]=0其中，[U]和[V]是正交矩阵，[S]是一个对角矩阵，其对角线元素为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到：[U]*[S]*[V^T]=[R]*[T]其中，[R]是一个旋转矩阵，[T]是一个平移矩阵。
我们可以将解表示为：[x]=[V]*[T[2,:]]其中，[T[2,:]]表示[T]矩阵的第二行。
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
两直线的交点坐标及距离公式
3x y 4 0
如何求数轴上两点之间的距离？
A B
x1
x2
| AB || x2 x1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(1)、y1 y2
y
(2)、x1 x2
y
A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 ).
y1
A( x1 , y1 )
x1 o
x2
x
o
x
B( x2 , y 2 ).
y2
| AB || x2 x1 |
| AB || y2 y1 |
探究1：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 | AB | ?
(3) x1 x2 , y1 y2
o y
B( x2 , y2 ).
| y2 x y1 |
两点间的距离公式 A( x1 , y1|)x 2 x1 | P( x2 , y1 ).
| AB |
x2 x1 y2 y1
2
2
探究2：已知A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ).如何求 A, B中点的坐标?
144 25
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线P1P2 的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式可作怎样的变形？
y2 y1 k ( x2 x1 )
1 | P1 P2 | 1 k | x2 x1 | 1 2 | y2 y1 | k
y
B( x2 , y2 ).
x
M ( x0 , y0 ).
《直线的交点坐标与距离公式》课件
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
2--7 = 0,
= 3,
解:(1)方程组
的解为
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1 = 0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0.
1
∴λ=5.
1
∴所求方程为 x+2y-2+5(3x-2y+2)=0,
1
所以 3 ＝
≠ 4 ，解得 λ＝5，
－2
6 4 18
所以直线 l 的方程为5x－5y＋ 5 ＝0，即 3x－2y＋9＝0.
归纳总结
求过两直线交点的直线方程的方法
1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线
交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直
线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.
线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射
光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解:设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A'(x0,y0),
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 课件
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间的 距离公式．
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解法二：∵l 过 l1 与 l2 的交点， ∴设 l 的方程为 x－2y＋3＋λ(2x＋3y－8)＝0， 即(2λ＋1)x＋(3λ－2)y＋(3－8λ)＝0， ∵l 与直线 3x＋4y－2＝0 平行，
∴83－λλ－－32λλ－32＋≠2112＝－34
，∴λ＝10，
∴l 的方程为 x－2y＋3＋10(2x＋3y－8)＝0， 即 3x＋4y－11＝0.
直线恒过定点问题
求证：不论 m 为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过一个定点.
[思路分析] 既然 m 不论取何值，直线恒过定点，可以任取 m 的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出 定点，最后证明直线恒过该点．
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[解析] 解法一：取 m＝1，得直线 y＝－4. 取 m＝12，得直线 x＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 恒过点(9，－4)． 将 x＝9，y＝－4 代入方程， 左边＝(m－1)·9－4·(2m－1)＝m－5＝右边， ∴直线恒过点(9，－4)．
(2)上面的直线系方程可改写成(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为参数)．这个参数形式的方程在解题中较为常 用．
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
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【直解线析 的交】点（为1）A当(1斜, 率 53不),B存(1在, 时13，0 )直, 线方程为x=1,与两 ∴|AB|= 5 10 5 2 .∴x=1不是所求直线.
3 3 3
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-
1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交
由点到直线的距离公式得
=
,
1
12 + k 2
22 + (-1)2
解得k= 2 (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0.
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1.中心对称
（1）若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点
坐标公式得
x=2a-x1 y=2b-y1.
（2）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上 取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率 解得λ=
3 5 5
2 2 3
1,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.
5
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考点2 距离问题
已知点P（2，-1）. （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距 离是多少？
3
∴直线l的方程为y-2=-
1
(x+1),
3
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.
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解法二:当AB∥l时,有k=kAB=-1 (x+1),即x+3y-5=0.
1，直线l的方程为y-2=
3
3
当l过AB的中点时，AB中点坐标为 （-1,2）,
∴直线AB的方程为x=-1.
5 =5.
5
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（1）点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式 是常用的公式，应熟练掌握.
（2）点到几种特殊直线的距离： ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|. ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|. ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|. ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
两条直线无交点,即
平行 ，③当A1B2-A2B1=0且
A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共
点,即 重合 .
2、距离公式
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 .
3
1=0.
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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直 线,而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.
解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+2y1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得
【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求系 数即可.
【解析】（1）①当l的斜率k不存在时显然成立， ∴l的方程为x=2; ②当l的斜率k存在时， 设l:y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.
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2k 1
2
由点到直线距离公式得 1 k2
,
∴k= 3,∴l:3x-4y-10=0. 4
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求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
3x+2y-1=0 【解析】解法一:先解方程组
5x+2y+1=0,
得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为53
求出l的斜率为-
5 3
,
于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=- 5 (x+1),即5x+3y-
即2x+y-9=0.
= 3-1 3-4
3x-y-1=0
x=2
{ 解
2x+y-9=0,
{得 y=5,
即l与AB′的交点坐标为P（2，5）.
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(2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为
3 24
(
, 5
5).
∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,
C1 - C2 d= A2 + B2 .
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考点1 两直线交点问题
一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和 4x+3y+6=0截取的线段长为 2，求这条直线的方程.
【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已 知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即 可.
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学案2 两直线的交点坐标与 距离公式
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考点1 考点2 考点3 考点4
考纲解读
两直线的交 点与距离公 式
1.能用解方程组的方法求两条相交 直线的交点坐标.
2.掌握两点间的距离公式、点到直 线的距离公式，会求两条平行直线 间的距离.
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考向预测
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已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2)，求： （1）点A关于直线l的对称点A′的坐标； （2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
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【解析】 （1）设A′(x,y)，再由已知
2
x
y
x 1
22 1 3 3 y
1 2
1
0
2
2
解得
x
y
33
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1、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ，
②当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（或B1C2-B2C1≠0）时,
故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与
PO垂直的直线，由l⊥OP，得k1kOP=-1,
所以kl=
1 k op
2
.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大
距离为
为(a,b),则kBB′ ·kl=-1,即3· a =-1.∴a+3b-12=0 ①
又由于线段BB′的中点坐标为(
α
,
b - 4),且在直线l上,
2a
∴3× α - b - 4-1=0.即3a-b-6=0 ②
解①②得2 a=3,ba=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为 y - 1 x - 4,
|P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′|<|AB′| =|PA|-|PB′|=|PA|-|PB|; 对于（2），若Q′是l上异于Q的点，则 |Q′A|+|Q′C|=|Q′A|+|Q′C′|>|AC′|=|QA|+|QC|.
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【解析】 (1)如图所示,设点Bb关- 4于l的对称点B′的坐标
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求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相 等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
| 2k - 3 + k + 2 | | -4k - 5 + k + 2 |
即kx-y+k+2=0.由题意知
= k2 +1
k2 +1
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=- 1.
点坐标分别是
A( 3k 7 , 5k 8 )，B(3k 12 , 8 10k ).
3k 4 3k 4
3k 4 3k 4
由|AB|2=
5
2
5k
2
=2,
3k 4 3k 4
得k=7或k=- 1 .
7
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
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求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解 法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直 线，然后再依其他条件求解.
（2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ 为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他 条件求解.
两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对 称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线的方程.
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2.轴对称
（1）点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0 对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2 的直线垂直于对称轴l，由方程组
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
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考点3 对称问题 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.