两直线的交点坐标与距离公式

13 4
13
A 33 , 4 13 13
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(2)在直线m上取一点如M（2，0），则M（2，0）关
于直线l的对称点必在m′上，设对称点为M′(a,b)，
则
2
a
2 3 b
2
2
b02
0 1
1
0
a2 3
M 6 , 30 13 13
设m与l的交点为N，由
2x-3y+1=0 3x-2y-6=0,
3
1=0.
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解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直 线,而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.
解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+2y1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得
(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.
其斜率 解得λ=
3 5 5
2 2 3
1,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.
5
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考点2 距离问题
已知点P（2，-1）. （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距 离是多少？
从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、 两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行 线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有 选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题.客 观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识 交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力.
预测2012年高考仍将以点到直线的距离、两点间 的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以 选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的 理解能力.
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{y=2x+3
解法三: 由 y=x+1 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),
∴设直线l2的方程为yBiblioteka Baidu1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0.
在直线l上任取一点(1,2),
由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,
| k - 2 + 2k -1 | | 2 - 2 + 3 |
(2)点到直线的距离
平| A面x0上+ 一By点0 +PC(|x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离
d=
A2 + B2
.
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(3)两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离. ②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
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考点3 对称问题 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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{ y=2x+3
【解析】解法一:由
得直线l1与l2的交点坐标为
y=x+1
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点
A
x1
2
x2
+B
y1
2
y
2
+C=0
y2 y1 A =-1,
x2 x1 B
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B＝
0,x1≠x2).
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(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若 已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线 l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称 的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2;若已知直 线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距 离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可 求出l1的对称直线.
为(a,b),则kBB′ ·kl=-1,即3· a =-1.∴a+3b-12=0 ①
又由于线段BB′的中点坐标为(
α
,
b - 4),且在直线l上,
2a
∴3× α - b - 4-1=0.即3a-b-6=0 ②
解①②得2 a=3,ba=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为 y - 1 x - 4,
5 =5.
5
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（1）点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式 是常用的公式，应熟练掌握.
（2）点到几种特殊直线的距离： ①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|. ②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|. ③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|. ④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.
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求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相 等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
| 2k - 3 + k + 2 | | -4k - 5 + k + 2 |
即kx-y+k+2=0.由题意知
= k2 +1
k2 +1
即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=- 1.
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1、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ，
②当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（或B1C2-B2C1≠0）时,
两条直线无交点,即
平行 ，③当A1B2-A2B1=0且
A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共
点,即 重合 .
2、距离公式
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 .
由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点
P2(
x + x0 2
,
y +y0 2
)在直线l上.
∴
{ y0 -y x0 - x
·1=-1
变形得
y + y0 = x + x0 +1,
2
2
代入直线l1:y=2x+3得x+1=2×(y-1)+3,
{x0=y-1 y0=x+1,
整理得x-2y=0.
∴所求直线方程为x-2y=0.
由点到直线的距离公式得
=
,
1
12 + k 2
22 + (-1)2
解得k= 2 (k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0.
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1.中心对称
（1）若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点
坐标公式得
x=2a-x1 y=2b-y1.
（2）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上 取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的
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求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
3x+2y-1=0 【解析】解法一:先解方程组
5x+2y+1=0,
得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为53
求出l的斜率为-
5 3
,
于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=- 5 (x+1),即5x+3y-
|P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′|<|AB′| =|PA|-|PB′|=|PA|-|PB|; 对于（2），若Q′是l上异于Q的点，则 |Q′A|+|Q′C|=|Q′A|+|Q′C′|>|AC′|=|QA|+|QC|.
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【解析】 (1)如图所示,设点Bb关- 4于l的对称点B′的坐标
两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对 称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线的方程.
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2.轴对称
（1）点关于直线的对称
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0 对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2 的直线垂直于对称轴l，由方程组
C1 - C2 d= A2 + B2 .
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考点1 两直线交点问题
一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和 4x+3y+6=0截取的线段长为 2，求这条直线的方程.
【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已 知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即 可.
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学案2 两直线的交点坐标与 距离公式
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规律探究
考点1 考点2 考点3 考点4
考纲解读
两直线的交 点与距离公 式
1.能用解方程组的方法求两条相交 直线的交点坐标.
2.掌握两点间的距离公式、点到直 线的距离公式，会求两条平行直线 间的距离.
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考向预测
故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与
PO垂直的直线，由l⊥OP，得k1kOP=-1,
所以kl=
1 k op
2
.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大
距离为
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已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2)，求： （1）点A关于直线l的对称点A′的坐标； （2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.
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【解析】 （1）设A′(x,y)，再由已知
2
x
y
x 1
22 1 3 3 y
1 2
1
0
2
2
解得
x
y
33
B(x1,y1)一定在l2上,由
{ y1 -3 x1 =-1 y1 + 3 = x1 +1
{得 x1=2 y1=1,
即B(2,1).
22
∴l2的方程为y-1=
1 2
+ +
1 2
(x-2),即x-2y=0.
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解法二:设所求直线上一点P(x,y),
则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.
点坐标分别是
A( 3k 7 , 5k 8 )，B(3k 12 , 8 10k ).
3k 4 3k 4
3k 4 3k 4
由|AB|2=
5
2
5k
2
=2,
3k 4 3k 4
得k=7或k=- 1 .
7
故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.
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求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解 法：
（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直 线，然后再依其他条件求解.
（2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2 交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ 为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他 条件求解.
得N（4，3）.
又∵m′经过点N（4，3），
∴方程为9x-46y+102=0.
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考点4 直线中的最值问题 在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
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【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满 足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l 的交点Q满足(2).事 实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则
【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求系 数即可.
【解析】（1）①当l的斜率k不存在时显然成立， ∴l的方程为x=2; ②当l的斜率k存在时， 设l:y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.
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2k 1
2
由点到直线距离公式得 1 k2
,
∴k= 3,∴l:3x-4y-10=0. 4
即2x+y-9=0.
= 3-1 3-4
3x-y-1=0
x=2
{ 解
2x+y-9=0,
{得 y=5,
即l与AB′的交点坐标为P（2，5）.
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(2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为
3 24
(
, 5
5).
∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,
【直解线析 的交】点（为1）A当(1斜, 率 53不),B存(1在, 时13，0 )直, 线方程为x=1,与两 ∴|AB|= 5 10 5 2 .∴x=1不是所求直线.
3 3 3
(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-
1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交
3
∴直线l的方程为y-2=-
1
(x+1),
3
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.
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解法二:当AB∥l时,有k=kAB=-1 (x+1),即x+3y-5=0.
1，直线l的方程为y-2=
3
3
当l过AB的中点时，AB中点坐标为 （-1,2）,
∴直线AB的方程为x=-1.