立体几何中的排列组合问题解法举隅

立体几何中的排列组合问题解法举隅

立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解

例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）

A. 12对

B. 24对

C. 36对

D. 48对

解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧

棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1

6C 种; 第二步, 从底面6

条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B.

二．分类求解

例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( )

A. 30种

B. 33种

C. 36种

D. 39种

解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033

5

C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.

例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.

解 分三类：

①如果用5种颜色有55A 种染色方法.

②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A 、C 同色，只要考虑染S 、A 、B 、D 四顶点，有45A 种染法，而B 、D 同色仍有45A 种染

法，用四色共有245A 种染法.

③如果用3种颜色，A 、C 同色，B 、D 同色，只要考虑S 、A 、B 三个顶点，有35A 种染法.

由加法原理知共有55A ＋245A ＋35A ＝420种染法. 三、剔除求解

例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）

A. 150种

B.147种

C.144种

D.141种

解 从10个点中任取4点，有4

10C 种取法，再剔除掉共面的取法.

① 共面的四点在四面体的某一个面内，有46C 种取法，4个面共有446C 种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.

故不共面的取法共有410C －446C －6－3＝141种，故选D.

例5 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A 1B 异面的有多少条？

解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体

48C -12＝58个.

图1

B

A

D

C

S

图2

A

B

C D

B 1

D 1

C 1 A 1

（2）如图2， A 1BD 这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A 对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有38C －8＝48种.

（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB 1A 1中的两点组合有24C 个，再去掉过A 1不在面ABB 1A 1内的四条直线与过B 的4条直线，还要去掉与之平行的D 1C.

所以共有1442

4

28----C C ＝13条. 四、构造模型求解

例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？

解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？

解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到

1743)12(48=⨯-C 对异面直线.

五、联想有关命题求解

例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）

A.0

B.6

C.8

D.24

解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.

六、综合有关知识求解

例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ） A.200个 B.190个 C.185个 D.180个

图3

C

E C 1

解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成4

10C ＝210

个四面体，其中四点在同一平面内的有三类： ① 每一底面的5点中选4点的组合方法有452C 个. ② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有25C 个.

③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB ∥E 1C 1），这样

共面的四点共有152C 个.

故四面体的个数为1

5254541022C C C C ---＝180个，故选D.

例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？

解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：

① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有245C 1

5C 个. ②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有15C 1

6C 个. ③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有15C 1

6C 个.

④以图3中ABC 1E 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有215C 1

6C 个. 故可构成的四棱锥共有245C 15C ＋15C 16C ＋15C 16C ＋215C 1

6C ＝170个.

例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？

解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有48C －6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有48C －6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有48C －6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.