八年级(上)第二章实数复习教案
北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案
第二章实数复习教案教学目的知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进展实数的相关运算.4.理解二次根式、最简二次根式的概念,理解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法那么,会用它们进展有关的简单四那么运算.过程与方法:1.体验从详细情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.经历数系扩大、探务实数性质及其运算规律、借助计算器探究数学规律等活动过程.3.理解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能务实数的相反数与绝对值.4.理解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.情感态度与价值观:1.开展抽象概括才能,并在活动中进一步开展学生独立考虑、合作交流的意识和才能.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,进步应用意识,开展解决问题的才能,从中体会数学的应用价值.教学重难点【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探究一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进展化简,并能利用化简进展有关实数的简单四那么运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用. 知识总结 实数分为:{实数分类{ 有理数{整数分数无理数{正无理数负无理数平方根{定义:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 叫做a 的平方根表示:若x 2=a ,则x =±√a 算术平方根:若x 2=a ,则a 的算术平方根为√a 立方根{定义:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 叫做a 的立方根表示:若x 3=a ,则x =√a 3二次根式{定义:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式重要性质{(√a )2=a (a ≥0)√a 2=|a |(√a 3)3=a√a 33=a 积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则{√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)√a b =√a √b(a ≥0,b >0)√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)√a √a=√a a (a ≥0,a >0)专题讲座:专题一 实数的相关概念、性质和运算【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法那么和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的根底.实数是中学数学的重要根底,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.以下各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?√23,√53,3.14159265,√9,-π,√3-1,(-√5)2,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).〔解析〕 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数. 解:3.14159265,√9,(-√5)2是有理数.√23,√53,-π,√3-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.[知识总结] 此题考察有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.[易错提示] (-√5)2=5,是有理数,不是无理数.【针对训练1】 以下各数-13,√13,43π,√-0.0013,(√2)2中,是无理数的是 .〔解析〕 根据无理数的定义判断.故填 √13,43π.[解题策略] 判断是不是无理数时,不要只看外表形式,如√-0.0013=-0.1,(√2)2=2都是有理数.计算.(1) √110-√40; (2) 5√12-9 √13+12√48.〔解析〕 此题主要考察实数的运算法那么及二次根式的化简. 解:(1) √110-√40=√10-√4·√10=√1010-2√10=-19√1010.(2)5√12-9√13+12√48=5√4·√3-9√3+12√16·√3=10√3-9·√33+2√3=10√3-3√3+2√3=9√3. 【针对训练2】 (1)a ,b 满足√a -2+|b +3|=0,求(a +b )2021的值; (2)y =√2x -4-2√4-2x +3,求x y 的值.解:(1)∵√a -2≥0,|b +3|≥0,且√a -2+|b +3|=0,∴√a -2=0,|b +3|=0,∴a =2,b =-3,∴(a +b )2021=(2-3)2021=(-1)2021=-1.(2)∵2x-4≥0,4-2x ≥0,∴2x-4=4-2x =0,∴x =2,∴y =0-0+3=3,∴x y =23=8.[解题策略] 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.【针对训练3】 ΔABC 中,AB =17,AC =10,BC 边上的高AD =8,那么边BC 的长为多少?〔解析〕 分ΔABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况.解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.[知识总结]此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在进步学生运用分类讨论的思想解决数学问题的才能.专题二与二次根式有关的规律探究题【专题分析】二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探究题.在解决此类题目时,通过条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.1,√2,√3,√6按如下图的方式排列.假设规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,那么(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A.1B.2C.2√3D.6〔解析〕 假设将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,√2,√3,√6这四个数循环排列的数列,那么(m , n ) 是第(1+m -1)(m -1)2+n =m (m -1)2+n 个数,即 (4, 2) 是第4×(4-1)2+2=8 个数,8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是 √6.(21, 2) 是第21×(21-1)2+2=212 个数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的数是√6,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.应选D .【针对训练4】 观察以下各式及其验证过程,然后答复后面的问题.√2+23=2√23,验证:√2+23=√83=√22×23=2√23;√3+38=3√38,验证:√3+38=√278=√32×38=3 √38.(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜测√4+415的变形结果并进展验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用a (a 为任意自然数,且a ≥2)表示的等式,并给出验证.〔解析〕 (1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子一样,根号内的分母是分子的平方减去1.解:(1) √4+415=4 √415.验证如下:√4+415= √6415= √42×415= 4 √415.(2) √n +nn 2-1=n √nn 2-1.验证如下: √n +n n 2-1=√n (n 2-1)+nn 2-1=√n 3n 2-1=n √nn 2-1.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2,擅长考虑的小明进展了以下探究:设a +b √2=(m +n √2)2(其中a ,b ,m ,n 均为正整数),那么有a +b √2=m 2+2n 2+2mn √2,∴a =m 2+2n 2,b =2mn.这样小明就找到了一种把局部形如a +b √2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探究并解决以下问题:(1)当a ,b ,m ,n 均为正整数时,假设a +b √3=(m +n √3)2,用含m ,n 的式子分别表示a ,b ,那么a = ,b = ;(2)利用所探究的结论,找一组正整数a ,b ,m ,n 填空: + √3=( + √3)2;(3)a +4√3=(m +n √3)2,且a ,m ,n 均为正整数,求a 的值. 〔解析〕 (1)根据完全平方公式运算法那么,即可得出a ,b 的表达式.∵a +b √3=(m +n √3)2,∴a +b √3=m 2+3n 2+2mn √3,∴a =m 2+3n 2,b =2mn.(2)首先确定好m ,n 的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a ,b 的值.设m =1,n =1,那么a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然后即可确定a的值.解:(1)m2+3n22mn(2)421 1(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,∵4=2mn,且m,n为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.【针对训练5】研究以下算式,你发现有什么规律?√1×3+1=√4=2;√2×4+1=√9=3;√3×5+1=√16=4;√4×6+1=√25=5……请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.解:√n(n+2)+1=√(n+1)2=n+1(n为正整数).【针对训练6】先观察以下等式,再答复以下问题:①√1+112+122=1+11-11+1=112;②√1+122+132=1+12-12+1=116;③√1+132+142=1+13-13+1=1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜测√1+142+152的结果,并验证;(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).解:(1) √1+142+152=1+14-14+1=1120.验证:√1+142+152=√1+116+125=√1+25400+16400= √441400=1120.(2) √1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1=1+1n(n+1)(n为正整数).[方法归纳]找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.专题三实数与数轴【专题分析】数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.如下图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O',点O'所对应的数值是.〔解析〕圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.【针对训练7】假设√a2=-a, 那么实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧B.原点右侧C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧〔解析〕当a≤0时,√a2=-a.应选C.【针对训练8】实数a, b在数轴上的位置如下图,化简|a-√5|+|b-√2|.〔解析〕由数轴可知1<a<2<√5,-1<b<0<√2.解:原式=√5-a+√2-b=√5+√2-a-b.[方法归纳]数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.。
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案一、教学目标：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的运算规则，包括加、减、乘、除、乘方和开方等。
3. 能够运用实数解决实际问题，提高运用数学知识解决问题的能力。
二、教学内容：1. 实数的定义及分类2. 有理数和无理数的特点3. 实数的运算规则4. 实数在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：实数的定义及分类，实数的运算规则，实数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：实数的运算规则，特别是乘方和开方运算。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数的定义、分类和运算规则。
2. 运用案例分析法，分析实数在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作意识。
4. 利用信息技术手段，如PPT、网络资源等，辅助教学。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾实数的定义及分类，引导学生思考实数在生活中的应用。
2. 讲解实数的运算规则，通过例题展示运算过程，让学生熟练掌握。
3. 开展小组讨论：让学生运用实数解决实际问题，分享解题心得。
4. 总结课堂内容：回顾本节课所学，强调实数的重要性。
5. 布置作业：设计适量作业，巩固课堂所学。
6. 课后反思：根据学生作业完成情况，总结教学效果，调整教学策略。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成质量，评估学生对实数运算规则的掌握程度。
3. 测试评价：组织单元测试，评估学生对实数知识的整体掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：实数相关章节教材，用于引导学生学习。
2. PPT：制作精美PPT，辅助讲解实数概念和运算规则。
3. 网络资源：收集相关实数应用案例，供学生课后拓展学习。
4. 练习题库：准备各类实数练习题，巩固学生所学知识。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解实数的定义及分类。
2. 第3-4课时：讲解实数的运算规则。
八年级数学上学期第二章实数复习课教案
八年级数学上学期第二章实数复习课教案教学目标1、实数的分类（两种分类方法：按概念分和按大小分）；2、无理数的意义；3、平方根、立方根的意义；4、无理数的化简；5、实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算；6、在数轴上用作图的方法找出无理数所对应的点教学重难点重点：系统的掌握第二章的知识（掌握实数的意义、分类、混和运算以及比较大小、估算、在数轴上表示无理数）。
难点：1.实数的混和运算；2.在数轴上表示无理数。
教学过程一、出示教学目标1、实数的分类（两种分类方法：按概念分和按大小分）；2、无理数的意义；3、平方根、立方根的意义；4、无理数的化简；5、实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算；6、在数轴上用作图的方法找出无理数所对应的点二、概述本章内容引导学生系统地回顾本章所学的所有内容：本章我们分别学习了6节内容：第一节，数怎么又不够用了。
在这一节中我们引入了无理数，并学习了无理数的概念（问：无理数的概念世什么？）。
第二节，平方根。
在这一节中我们学习了无理数的表示方法、平方根的意义（问：平方根的意义世什么？怎样求一个正数和0的平方根？负数有平方根吗？）。
第三节，立方根。
在这一节中我们学习了一个任意数的立方根（问：立方根与平方根有什么区别？）。
第四节，公园有多宽。
在这一节中我们学习了平方根和立方根的实际运用（问：怎样对一个无理数进行估值？比较大小的方法？）。
第五节，用计算器开方。
在这一节中我们进一步学习了计算器的用法。
第六节，实数。
在这一节中我们学习了实数的意义和分类，以及实数的混合运算（实数怎样分类？）。
三、分类完成目标（一）问题导学一1、理解无理数的意义；2、会区分无理数和有理数练一练1.在实数0.3 ，，0 ，，0.123456 … 中，其中无理数的个数是（）A.2B.3C.4D.52.边长为1的正方形的对角线长是（）A. 整数B. 分数C. 有理数D. 不是有理数3、下列说法中正确的是（ ）A.和数轴上的点一一对应的数是有理数B.数轴上的点可以表示所有的实数C.带根号的数都是无理数D.不带根号的数都是无理数4、下列说法正确的是（ ）A.两个无理数的和是无理数B.有理数与无理数的差都是有理数C.带分数线的数一定是有理数D.开方开不尽 的数是无理数（二） 问题导学二1、理解平方根和立方根的意义 ；2、会运用平方根和立方根的意义解题。
(完整版)《实数》复习课教案
《实数》复习课教案一、教学目标1．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，能用平方或立方运算求某些数的平方根或立方根；2．会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方及开方运算；3．了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义；4．了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数范围．会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算．二、教学重难点1．平方根和算术平方根的概念、性质，无理数与实数的意义；2．算术平方根的意义及实数的性质．三、教学准备课件、计算器．四、教学过程一、知识疏理,形成体系（课前要求学生对本章知识进行总结）师：本章的主要内容是开方运算．从定义出发解题是解本章有关题目的基本方法，我们注意掌握用计算器进行数的计算的方法的同时，还必须注意区分清楚有理数与无理数的概念，掌握实数的四则运算．下面，我们以组为单位小结一下本章的知识点．生：我们认为这一章主要学习了一种新的运算——开方，开方与乘方是互为逆运算的关系．开方包括开平方与开立方．通过开平方可求一个非负实数的平方根；通过开立方可求一个实数的立方根．依据这一思路，我们画出的知识结构图是：()⎩⎨⎧−−−−−→←立方根开立方算术平方根平方根开平方开方乘方互为逆运算________ 师：好!他们组是以运算为线索总结的，侧重总结了开方运算，还有补充吗？ 生：我们认为平方根、算术平方根、立方根的定义、性质也都非常重要．因此我们是这样总结的：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→←.00;;___00;.;00:,的立方根是方根负数有一个负的立方根正数有一个正的立性质定义立方根开立方的算术平方根是的正的平方根正数性质定义算术平方根负数没有平方根的平方根是们互为相反数根一个正数有两个平方性质定义平方根开平方开方乘方互为逆运算a 师：当求一个非负数的平方根时，可能会出现无理数，使得数的范围从有理数扩大到实数，所以实数的意义、分类以及相关的内容也需总结．生：我们是这样总结的：1．分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负有理数正有理数有理数实数02．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点又都可以表示成一个实数，它们之间是一一对应的．师：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．二、强化基础，巩固拓展．（也可以由学生提出典型薄弱题型进行讲解） 1．求下列各数的平方根：（1）972；（2）25；（3）252⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 师：本题要审清是求哪个实数的平方根，只有非负实数才有平方根． 生：（1）是求925的平方根；（2）是求5的平方根；（3）是求254的平方根． 由学生独立完成．2．x 取何值时，下列各式有意义．（1）x -2； （2）12+x ．师：a 在什么情况下有意义？生：对于a ，必须满足a ≥0，它才有意义，所以被开方数必须是非负数． （1）2－x ≥0；（2）x 2＋1≥0．师：如何求出x 的范围呢？生：我们讨论后，得出如下结论：（1）x ≤2；（2）不论x 取什么实数，x 2≥0，x 2＋1＞0，即x 的取值范围是：x 为全体实数．3．求下列各数的值：（1）()23π-；（2）122+-x x （x ≥1）．师：如何化简2a 呢？生：我们认为首先应考虑2a 中a 的范围．（1）当a ≥0时，2a ＝a ；（2）当a ＜0时，2a ＝－a ．师：求下列各数的值，必须先确定a 的范围．生：因为3－π＜0，所以()23π-＝－（3－π）＝π－3．师：如何化简122+-x x 呢？生：将122+-x x 化为2a 的形式，即()22112-=+-x x x再考虑x －1的范围，由学生独立完成．4．已知：|x －2|＋3-y ＝0，求：x ＋y 的值．师：认真审题，考虑一下所给的这些数有什么特点．生：|x －2|和3-y 都是非负数．师：两个非负数的和可能是0吗？生：只有当两个非负数都取0时，其和才为0，其他情况下，都大于0． 由学生独立完成．师：哪些数为非负数呢？生：实数a 的绝对值，表示为|a |，|a |是非负数；实数a 的平方，表示为a 2，a 2是非负数；非负实数a 的算术平方根表示为a ，a 是非负数．师：非负数有什么特点？生：（1）几个非负数的和仍为非负数；（2）若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0．师：绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，解题时要注意这一隐含条件，不可把0漏掉．5．计算：32725-+（精确到0.01）． 师：无理数是开方开不尽的数，那么如何计算呢？生：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．因为精确到0.01，所以在计算过程中可用2.236代替、5，1.732代替3． 由学生独立完成．6．在实数2-、13.0 、3π、71、0.80108中，无理数的个数为_______个． 师：如何判断一个数是无理数？生：一个无理数不能表示成分数形式，或者说成数位无限，且不循环． 7．|x |＜2π，x 为整数，求x师：|x |＝2π，x 的值是多少？生：当x ＝2π，x ＝－2π时，|x |＝2π，所以|x |＜2π时，x ＝±2π．师：|x |＝2π的含义？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离等于2π．师：|x|＜2π的含义呢？生：实数x在数轴上所对应点到原点的距离小于2π．师：结合数轴，你能说出满足|x|＜2π这一条件的点在数轴的什么位置上吗？生：→在如图所示的范围内，因为x为整数，所以x＝6、5、4、3、2、1、0、－1、－2、－3、－4、－5、－6．师：非常好!三、查缺补漏，归纳提升．1．通过今天的探究学习，你们有哪些收获？2．非负数的和等于零的条件是：当且仅当每个非负数的值都等于零．此性质在解题时经常会被用到．3．对于本章的内容你还有那些疑问？四、作业1．教科书第19页复习题A组五、板书设计第6章实数1．知识疏理2．巩固训练3．归纳提升六、教学反思（略）七、课堂小卷（1）填一填:1.16的平方根记作_______,等于________.16________.3.31-2-3(1)_______.55.两个无理数的和为有理数,这两个无理数可以是______和_______.6.若│x 2-则x=_______,y=_______.7.已知x 的平方根是±8，则x 的立方根是________.（2）选一选:8.4的平方根是（ ）A.2B.-2C.±29.下列各式中,无意义的是（ ）B. 10.下列各组数中,互为相反数的一组是（ ）A.-2与B.-2C.-2与-12D.│-2│与2 11. 下列说法正确的是 （ ）A.1的平方根是1;B.1的算术平方根是1;C.-2是2的平方根;D.-1的平方根是-1（3）做一做：12. 求下列各数的平方根:（1）81;（2）1625;（3）1.44;（4）214; （513. 求下列各式中的x:①x 2=1.21; ②27（x+1）3+64=0.14. a≥0a 的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x 的取值范围吗？试试看:（1 （2; （3 （415.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b 的平方根.。
北师大版数学八年级上册第二章实数单元复习课课件
④8的立方根是___2____.
图Z2-2
6. (202X湘潭)在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为
_3_（__答__案__不__唯__一__）____.（任意写出一个即可）
7. 下列数中：①-|-3|；②-0.3；③
④
⑦0；⑧1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0），⑨
无理数是__③__④__⑧___，整数是__①__⑥__⑦___，负分数是___②__⑨____.（
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无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
运算：实数的运算法则及运算律对二次根式仍然适用
专题1 平方根、立方根
1. （202X南京）3的平方根是( D )
A. 9
B.
C.
D. ±
2.
的算术平方根的倒数是（ C ）
A.
B. ±
C.
D. ±
3.有理数8的立方根为（ B ）
A.-2
B.2
C.±2
D.±4
4. 下列计算正确的是（ D ）
A.
=-3 B.
+(7-c)2=0，求-2a-b-c的立方根.
解：因为|a+3|+
实数(单元复习)标准教案
实数(单元复习)标准教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解和掌握实数的定义及分类，包括有理数和无理数；（2）熟练运用实数的基本性质，如加、减、乘、除、乘方等；（3）掌握实数的运算规则，如负数的运算、分数的运算、根式的运算等。
2. 过程与方法：（1）通过复习和练习，提高学生对实数的认识和理解；（2）培养学生运用实数解决实际问题的能力；（3）引导学生运用数形结合的方法，加深对实数概念的理解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生沟通交流能力；（3）引导学生认识数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 实数的定义及分类；2. 实数的基本性质；3. 实数的运算规则；4. 实数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数的定义及分类，实数的基本性质和运算规则，实数在实际问题中的应用。
2. 教学难点：实数的概念理解和运用，实数的运算规则，实数在实际问题中的运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解和掌握实数的定义及分类，实数的基本性质和运算规则；2. 采用案例分析法，分析实数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识；3. 采用小组讨论法，激发学生的思考，提高学生的团队合作精神；4. 采用练习法，巩固学生对实数的理解和运用。
五、教学过程1. 引入：通过数轴，引导学生回顾实数的概念，理解实数的定义及分类；2. 讲解：讲解实数的基本性质和运算规则，结合实际例子，让学生深刻理解；3. 案例分析：分析实数在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值；4. 小组讨论：引导学生进行小组讨论，分享各自的思考和理解，提高团队合作精神；5. 练习：布置练习题，巩固学生对实数的理解和运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂中的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，了解学生的学习状态和理解程度。
2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对实数的理解和运用能力，发现并纠正学生的错误。
北师大版八年级上册第二章实数复习教案
3、实数与数轴①无理数：小数。
②实数：和统称为实数。
③实数与数轴上的点的对应关系：与数轴上的点是一一对应的。
4、二次根式①一般地，我们把形如叫做二次根式。 叫．
②最简二次根式:一般地，被开方数不含，也不含。
③二次根式的乘除法法则：
=（ ≥0， ≥0）; =（ ≥0， ＞0）
④同类二次根式：一个二次根式，化简为最简二次根式后，如果被开方数
⑤二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成(2)把各个同类二次根式
回顾知识点，以便更好地运用；
课程
讲授
课程
讲授
专题一：平方根、算术平方根、立方根的概念
1、4的平方根是；-8的立方根是；| -4 |的算术平方根是；
2、平方根是本身的数是，立方根是本身的数是
3、已知2 -1的平方根是±3，4是3 + -1的算术平方根，求 +2 的值。
专题二：平方根、立方根有意义的条件、非负性
1、下列式子中无意义的是（）
A： B： C： D：
2、已知 ,求 。
专题三：解方程、计算
1、计算（1）
（2）
2、求下列各式中X的值：
（1） （2）
专题四：实数
1、将下列各数填入相应的集合内。－7，0.32, ，0， ， ， ， ，0.1010010001…
①有理数集合｛…｝
②无理数集合｛…｝
③负实数集合｛…｝
2、已知 互为相反数， 互为倒数， 。求 的值。
专题五：估算1、比较下列各组数的大小：（1） 与22017学年上学期
八年级数学备课组教案
教师
授课时间
2017年1月日
八年级数学上册第二章实数复习教案北师大
第二章课题第二章总复习课型教学目标掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
灵活运用二次根式的性质、运算法则。
重点二次根式的加减乘除的混合运算。
难点二次根式的加减乘除的混合运算。
新课导入这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课程讲授第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即ax=2，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a±表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a-叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a±（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00=，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。
aa=2==⎩⎨⎧-aa<≥aa()aa=2（0≥a）⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ，则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
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八年级（上）第二章复习 实数
一·实数的组成
实数又可分为正实数，零，负实数
2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应 二·相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数称为相反数。
数a 的相反数是-a 。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a 的绝对值为
3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a 的倒数为
a
1
.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0,；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.
三、平方根与立方根
1.平方根：如果一个数的平方等于a ，这个数叫做a 的平方根。
数a 的平方根记作
（a ≥0） 特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a 的正的平方根也叫做a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a ，则称这个数为a 立方根 。
数a 的立方根用 表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
正确理解：
、 、 、
几个性质： 、 、 、
四·实数的运算
1. 有理数的加法法则：
a ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：
a ）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b ）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正
c ）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0 4.有理数除法法则：
a ）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0实数都得0。
b ）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:
在a n 中，a 叫底数，n 叫指数
a ）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0
b ）a 0=1
（a 不等于0） 6.有理数的运算顺序： a ）同级运算，先左后右
b ）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减 五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2）比差法：若a-b>0则a>b ；若a-b<0则a<b ；若a-b=0则a=b 3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b ；a/b<1则a<b
B.两个数均为负数时，a/b>1则a<b ；a/b<1则a>b
C.一正一负时，正数>负数 4）平方法：a 、b 均为正数时，若a 2>b 2，则有a>b ；均为负数时相反 5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）
二次根式知识点归纳
定义：一般的，式子
a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
其中“
”叫做二次根号，
二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、a （a ≥0)是一个非负数。
即
a ≥0
2、()
a a =2
（a ≥0)
3、
()
()002<≥⎩
⎨⎧-==a a a a a a
4、 (a ≥0，b ≥0) 反过来: (a ≥0，b ≥0)
5、 (a ≥0，b ＞0)
反过来， (a ≥0，b ＞0)
一、选择题
1. 如在实数0，－ ， ，｜－2｜中，最小的是（ ）.
A ．32
-
B ． －3
C ．0
D ．｜－2｜
2. 四个数－5，－0.1，１
２
，３中为无理数的是( ).
A. －5
B. －0.1
C. １
２
D.
３
3. (－2)2的算术平方根是（ ）.
A ． 2
B ． ±2
C ．－2
D ．
2
4. 若二次根式12x +有意义,则x 的取值范围为( )
A.x≥
12 B. x≤12 C.x≥12- D.x≤1
2
- 5. 已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 （ ） (A)0>m (B)0<n
(C)0<mn (D)0>-n m
6. 下列运算正确的是（ ）
A ．(1)1x x --+=+
B ．954-=
C ．
3223
-=- D ．222
()a b a b -=-
a ±a a -a
±3a | |a 2a a =()
2a a =33a a =3a ()
33a a =()
0≥a 33
2
-0m 1n ab
b a =∙b a ab ∙=b
a b
a =
b a b a =
7.若0)3(12
=++-+y y x ，则y x -的值为 （ ） A ．1
B ．－1
C ．7
D ．－7
8.下面计算正确的是（ ）
A.3333+=
B.2733÷=
C.2+3= 5
D.2
(2)2-=-
9. 下列计算正确的是（ ）
（A ） ()088=-- （B ） （C ）0
11--=（） （D ）
10. 下列说法正确的是（ ）
A.0
)2(π
是无理数
B.33
是有理数
C.4是无理数
D.3
8-是有理数
11. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，O A 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） （A ）2.5 （B ）2 2 （C ） 3 （D ） 5
12. 对于实数a 、b ，给出以下三个判断：（ ）
①若
b
a =，则
b a =． ②若b a <，则 b a <． ③若b a -=，则 2
2)(b a =-．其中正确的判断的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
13. 设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ） A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5
二、填空题
14. 已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += ．
15．一个正数的平方根为m -
2与63+m ,则=m ，这个正数是 . 16. 比较下列实数的大小：①
140 12
② 5.0；
17.按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是___ ．
18. 如图，是一个数值转换机.若输入数为3，则输出数是______.
19. 规定一种新的运算： ，则=⊗21____.
三、解答题 20、计算:（1） （2）
21. 计算：（1） （2） （3）
22. 计算：（1）|－1|－128－(5－π)0 （2）.
23.计算：(1)
2
14
181
22-+- (2) 2)352(- (3) 14510811253++- (4)28
4
)23()21(01--+-⨯-
24. 已知：3x 22x y --+-=，求：4
y x ）（+的值。
25.解方程 （1）27)1(32
=-x ； （2）0125
81
33
=+
x
输入数 （ ）2-1 （ ）2+1 输出数 减去5 b
a b a 1
1+=⊗1221=⨯）（）
（--22-|-|=016|-4|+2011-3
0)
2(4)2011(23-÷+---2
1
5-2
03)12(1+-+-20
(2)(2011)12-+--202
(3)9+--()()2
2011031313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭。