数学建模食堂排队问题PPT课件

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3
4
4
5
7
8
9 10
服务 76.44 101.9 101.9 101.9 127.4 127.4 127.4 127.4 127.4 50.96
排队 0
0 3.08 16.08 6.6 19.6 8.6 0
0
0
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给食堂管理部门的建议
按就餐人员到达时间设置窗口:12:00前２ 个,12:00后3个,12:05后4个,12:15后5 个,12:35后4个,12:40后2个.调整后,就餐人 员排队等待时间仅为原来的一半,排队造成 的不满也将明显减少;同时,食堂窗口所需要 的人力成本也相应地减少.
食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的 关系,可以按如下示意图表示
顾客
到达 等待服务
接受服务
排队规则
服务时间
服务系统
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离开
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我们假设学生到食堂就餐的时刻是随机的,用N(t) 表示[0,t)时间内到达该服务系统的顾客数, 用V(n)表 示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量 {V(n), n=1,2,…}.
μ ——单位时间内受到服务的顾客数,即平 均服务率;
1/μ ——每位顾客的平均服务时间; Lq ——等待队长的期望值; Wq ——等待时间的期望值.
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模型求解
假设食堂有4个服务窗口,对该食堂进行讨论.
在12:00至12:40之间,每4分钟为1个时段,统计到达 人数,如下表.
时段
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数
2
35
8
3
1
1
求得平均服务时间为:
1/μ=(2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1× 27.5)/(50×60) =9.42（秒）=0.157(分钟)
所以平均服务率为:
μ = 6.37 (顾客/分钟)
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• 结果分析 上述模型求出的平均服务时间为 9.4秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期 望值为12.88顾客,明显偏长,但实际上,高峰 期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰 期,用餐人数比闲时明显增多(如下图所示), 且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等 待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟) 要久.
每个工作人员的打饭效率相同。 每个窗口的饭菜相同。 食堂打饭服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学
生不会在未打好饭之前离去.
这样,得到一个输入过程为最简单流,服务 时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无 限,顾客数无限的等待制排队模型.
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这里,对有关符号的数量指标加以说明:
λ ——单位时间内平均到达的顾客数,即平 均到达率;
数学建模作业
食堂排队问题建模
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演讲人：马朋博 学号：20130067 班级:试1301 同组成员：高记远 许童心 韩敏 曾航
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引言
在学校，我们常常可以看到这样的情景：下课
后，许多同学争相跑向食堂去买饭，为数不多的食
堂窗口前很快就排满了长长的队伍。所以增加窗口
数量，减少排队等待时间，是同学们十分关心的问
到达人数 68 93 105 118 134 147 136 113 89 47
求得平均到达率为: λ= (68+93+105+118+134+147+136+113+89+47)/(10×4×4) = 5.94 (人/分钟)
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相应地,对50名顾客接受服务的时间进行统计,得到 下表.
时间(秒) 0～5 5～10 10～15 15～20 20～25 25～30
题。然而就食堂角度来看，虽然可以赢得更多同学
到该食堂来就餐。但同时也会增加食堂的运营成本。
因此，我们将根据综合食堂中午的拥挤状况建立数
学模型，为其拥挤状况找到一个比较合理的解决方
案。
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摘要
首先，我们分析了一些调查数据，发现学生流符 合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此，我 们的模型就变成了排队理论模型。
因此,由排队论的有关知识, t时刻到达服务系统 的人数为k 的概率为:
P(N(t)=k)= (t) k et ,k=1,2…,其中λ＞0, k!
第n位顾客所需的服务时间不超过t的概率服从负 指数分布:
P(V(n)≤t)=
1
eut
,t
0
其中μ＞0.
0,t 0
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为了使模型便于求解,我们假定：
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到 达 人 数
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时11 段
窗口设置改进
现假设各时段内的用餐人数是均匀增加的,根据各时 段的到达人数分别求出每个时段需要的窗口数,如下 表所示.
窗 口 数
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时12段
所以
时 12:00 ←12:05 间←
←12:15
12:35 →
12:40 →
窗口 3
4
4
wenku.baidu.com
4
5
4
时段 1
根据模型求解得到的数据，我们对模型分析后发 现，解决本模型的关键就在于分析学生平均排队 时间，如果对其窗口数进行关系拟合，就两者之 间的关系进行分析。
针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系，比 较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间 所带来的收益之间的关系。
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模型的建立与分析
我们假设食堂的座位数是足够的，不需要添加 新的桌椅。所以解决食堂拥挤状况，主要解决排长 队的问题。就此问题建立模型，进行分析。
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某些饭菜受欢迎而有一些却不受欢迎,这样 使得某些窗口前排队过久引起不满,而另有 一些窗口空闲造成资源浪费,增加了食堂的 运营成本,建议食堂提高烹调技艺,全面改善 饭菜质量.
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