结构力学之能量原理

3势能驻值原理应用 势能驻值原理应用 3.1 利用势能驻值原理推导位移法典型方程 位移法的基本未知量向量为{Z} ={Z1 Z2 …… Zn}T 设：位移法的基本未知量向量为 在位移法基本结构中， 在位移法基本结构中，各杆任一截面的位移方程可表示为
v = ∑vi ⋅ Zi + v p
i =1
n
上式中， 为基本结构由于Z 时引起的各杆任一截面的 上式中， i 为基本结构由于 i=1时引起的各杆任一截面的 v 位移方程。 位移方程。vp为基本结构在荷载作用下任一截面的位移方 程。 与广义荷载F 与广义荷载 p相应的广义位移也可表示为
（12-3） ）
根据应变余能密度的定义， 应变余能密度 根据应变余能密度的定义，则应变余能密度u*N为
U* 1 * uN = = ∫δ ⋅ dFN = ∫ε ⋅ dσ V A⋅ dx
（12-4） ）
即应力∼ 应变曲线中OAC所围的面积。 所围的面积。 即应力∼ 应变曲线中 所围的面积
dσ
σ
C
A B
O
§12.1 杆件的应变能及应变余能计算
1 应变能密度和应变余能密度 1.1 应变能密度 单位体积内的应变能称为应变能密度 应变能密度定义 :单位体积内的应变能称为应变能密度 单位体积内的应变能 例如简单拉伸杆件，取出dx微段 其拉伸曲线如图(a) 微段， 例如简单拉伸杆件，取出 微段，其拉伸曲线如图 所示
2 2 2
一根杆的应变能为
2 2 2 1 du GA dv dϕ （ ） U = ∫ u1dx = ∫ EA + + ϕ + EI ⋅ dx 12-11） 2 dx k dx dx
当忽略较小的剪切变形后, 当忽略较小的剪切变形后
i =1
n
1 n ′ E p = ∑∫ EI ∑vi′′⋅ Zi + v′p dx − ∑ Fp ∑∆i ⋅ Zi + ∆ p 2 i=1 e p i=1
n
2
根据势能驻值条件得
∂E p ∂Z i
= 0 (i = 1, 2 L n )
n ∑ v ′′ ⋅ Z j + v ′p vi′′ − ∑ F p ∆ i = 0 ′ dx 即 ∑ ∫ EI j e j =1 p
γ
dv =0, ϕ =− , 则 dx
（12-12） ）
2 2 du 2 d v 1 U = ∫ u1 dx = ∫ EA + EI ⋅ 2 dx dx 2 dx
定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 定义：单位杆长上的应变余能为杆件的应变余能密度， 表示。 用u*1表示。 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时， 当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变余能密度为
∑ ∫ EI ⋅ v ′′⋅ v′′ dx = ∑ ∫ M
i p e e
i
⋅ κ p dx = U pi
代表了当Z 时基本结构的 代表了当 i=1时基本结构的
内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率） 内力（弯矩）在单独在荷载作用下基本结构的变形（曲率） 上所做的内力虚功。 上所做的内力虚功。 而当Z 时基本结构的外力 时基本结构的外力（ 而当 i=1时基本结构的外力（r1i、 r2i …… rni ）在单独在 荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为0。 荷载作用下基本结构的变形上所做的外力虚功为 。所以 根据虚功方程得
∑ ∫ EI ⋅ v ′′⋅ v ′′ dx = ∑ ∫ M
i p e e
i
⋅ κ p dx = U pi = W pi = 0
′ EI ⋅ vi′′⋅ v ′′dx Z j + ∑ ∫ EI ⋅ vi′′⋅ v′p dx − ∑ Fp ∆ i = 0 或 ∑∑ ∫ j e p j =1 e
1 1 2 k 1 2 2 U = ∫ u dx = ∫ FN + FQ + M dx GA EI 2 EA
* * 1
（12-15） ）
§12.2势能原理
1 势能的定义 杆件结构的势能E 杆件结构的势能 p定义为
Ep = U + E* p
（12-16） ）
上式中， 为杆件结构的应变能 对于刚架而言， 为杆件结构的应变能， 上式中，U为杆件结构的应变能，对于刚架而言，通常仅 考虑弯曲应变能， 考虑弯曲应变能，则
ε
应力∼ 图(b) 应力∼ 应变曲线
对于线弹性材料， 对于线弹性材料，σ=E.ε有，则
1 2 1σ2 * uN = ∫σ ⋅ dε = Eε = = uN 2 2E 0
2 杆件的应变能和应变余能
ε
（12-5） ）
象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时， 象纯拉伸一样，当杆件处于纯剪切和纯弯曲时，其应 变能密度分别为
v ′′ = −κ j 为Zj=1时的基本结构变形（曲率）。则 时的基本结构变形（ ）。则 时的基本结构变形 曲率）。 j
∑ ∫ EI ⋅ v ′′⋅ v ′′dx = U
i j e
ij
为基本结构Z 时的内力 弯矩） 时的内力（ 为基本结构 i=1时的内力（弯矩）
在Zj=1时的变形（曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。 时的变形（ 时的变形 曲率）上所做的内力虚功（虚应变能）。 而当Z 时基本结构的外力 时基本结构的外力（ 而当 i=1时基本结构的外力（r1i、 r2i …… rni ）在Zj=1时的 时的 位移上所做的外力虚功为W 位移上所做的外力虚功为 ij=rij×1=rij。 根据虚功方程U 根据虚功方程 ij =W ij得
′ EI ⋅ vi′′⋅ v ′′dx Z j + ∑ ∫ EI ⋅ vi′′⋅ v′p dx − ∑ Fp ∆ i = 0 或 ∑∑ ∫ j e p j =1 e
n
因为， 时的基本结构的内力（ 因为， ⋅ vi′′ = − M i 为Zi=1时的基本结构的内力（弯矩）， 时的基本结构的内力 弯矩）， EI
* u1 = ∫ ε ⋅ dFN + ∫ γ ⋅ dFQ + ∫ κ ⋅ dM 0 0 0 FN FQ M
（12-13） ）
对于线弹性材料，用类似的方法， 对于线弹性材料，用类似的方法，可以得
1 k 1 2 2 u = FN + FQ + M2 2 EA 2GA 2 EI
* 1
（12-14） ）
一根杆的应变余能为
E = −∑ F p ⋅ ∆
* p p
（12-18） ）
上式中p为荷载的序号， 方向上的位移。 上式中 为荷载的序号，∆为Fp方向上的位移。 为荷载的序号
2 势能驻值原理 势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中， 势能驻值原理：在所有几何可能的位移状态中，真实的 位移应使结构势能为驻值。 位移应使结构势能为驻值。 这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件， 这一能量原理说明，如果位移满足全部的变形协调条件， 而且还能使势能为驻值， 而且还能使势能为驻值，则与此位移相应的内力必然满 足全部的静力平衡条件。 足全部的静力平衡条件。即说明势能驻值条件与平衡条 件是等价的。 件是等价的。 可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中， 可以证明，在小变形、线弹性的稳定平衡问题中， 满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。 满足几何方程、物理方程和静力平衡方程的解是唯一的。 此时真实的位移不仅使势能取得极值， 此时真实的位移不仅使势能取得极值，而且该极值为极 小值。这就是最小势能原理。 小值。这就是最小势能原理。
n
时的基本结构外力， 当Zi=1时的基本结构外力，在基本结构单独在荷载作用下 时的基本结构外力 的变形上所做得的虚功为0， 的变形上所做得的虚功为 ，而在基本结构单独在荷载作 用下的外力在Z 时的基本结构的变形上所做的虚功为 用下的外力在 i=1时的基本结构的变形上所做的虚功为
d v 1 U = ∑ ∫ EI ⋅ 2 dx dx e 2
2
2
（12-17） ）
上式中e为结构中杆件的排序号。 为结构的荷载势能， 上式中 为结构中杆件的排序号。E*p为结构的荷载势能， 为结构中杆件的排序号 通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置， 通常以结构未变形前的荷载位置为起始位置，则
1.2 应变余能密度 应变余能密度定义 :单位体积内 单位体积内 的应变余能称为应变余能密度 称为应变余能密度。 的应变余能称为应变余能密度。 仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为 仍以简单拉伸杆件为例，应变余能为
dFN
FN dx
δ
图(a)简单拉伸曲线 简单拉伸曲线
U * = W * = ∫ δ ⋅ dFN
FN dx
应变能U为 应变能 为
U = W = ∫ FN ⋅ dδ
δ
dδ O dε B
（12-1） ）
σ
C
A
ε
图(a)简单拉伸曲线 简单拉伸曲线
应力∼ 根据应变能密度的定义， 应变能密度为 根据应变能密度的定义，则应变能密度为 图(b) 应力∼ 应变曲线 U 1 uN = = ） ∫ FN ⋅ dδ = ∫ σ ⋅ dε （12-2） V A ⋅ dx 即应力∼ 应变曲线中OAB所围的面积。 所围的面积。 即应力∼ 应变曲线中 所围的面积
rij = ∑ ∫ EI ⋅ vi′′⋅ v ′′dx j
e
′ EI ⋅ vi′′⋅ v ′′dx Z j + ∑ ∫ EI ⋅ vi′′⋅ v′p dx − ∑ Fp ∆ i = 0 或 ∑∑ ∫ j e p j =1 e
n
′ 又因为 v ′p = −κ p 为单独在荷载作用下的基本结构的变形 曲率）。 （曲率）。
∆ = ∑∆i ⋅ Zi + ∆ p
i =1
n
∆ = ∑∆i ⋅ Zi + ∆ p
上式中， 为基本结构由于Z 时引起的与广义荷载相应 上式中， ∆ i为基本结构由于 i=1时引起的与广义荷载相应 的广义位移。 的广义位移。△p为基本结构在荷载作用下引起的与广义 荷载相应的广义位移。 荷载相应的广义位移。 则结构的势能为
uQ = ∫ τ ⋅ dγ ; uM = ∫ σ ⋅ dε
0
0
γ
ε
定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度， 定义：单位杆长上的应变能为杆件的应变能密度， 表示。 用u1表示。 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时， 则当杆件同时承受拉伸、剪切和弯曲时，其杆件的应 变能密度为
ε u1 = ∫ σ ⋅ dε ⋅ A + ∫ τ ⋅ dγ ⋅ A + ∫ ∫ σ ⋅ dε dA 0 0 A 0
du = ε dx dv = γ −ϕ dx dϕ =κ dx
（12-9） ）
将上式代入（ 将上式代入（12-7）式得 ）
1 du 1 GA dv 1 dϕ u1 = EA + ） + ϕ + EI ⋅ （12-10） 2 dx 2 k dx 2 dx
显然有
∂u1 = EA ε = F N ∂ε ∂u1 GA = γ = FQ ∂γ k ∂u1 = EA κ = M ∂κ
（12-7） ）
（12-8） ）
设：杆截面形心的轴向位移为u，横向位移为 ，截面的转 杆截面形心的轴向位移为 ，横向位移为v， 角为ϕ。则几何方程为
即
ε
γ
u1 = ∫ FN ⋅ dε + ∫ FQ ⋅ dγ + ∫ M ⋅ dκ
0 0 0
ε
γ
κ
（12ห้องสมุดไป่ตู้6） ）
对于线弹性材料， 对于线弹性材料，有FN=EA.ε ， FQ=GA.γ /k（k为截面形状 （ 为截面形状 系数）， ），M=EI .κ 。则 系数），
1 1 GA 2 1 2 u1 = EAε + γ + EI ⋅ κ 2 2 2 k 2
结构力学
第12章 能量原理
主要内容
1 杆件的应变能及应变余能计算 2 结构势能定义及势能原理 3 结构余能定义及余能原理
能量的概念大家早已了解， 能量的概念大家早已了解，在第六章分析静定结构 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用： 的位移计算中，曾介绍了虚功方程的两种应用：虚设单 位力求位移和虚设单位位移求未知力。 位力求位移和虚设单位位移求未知力。在本章中将介绍 基于能量原理基础上的解题方法。 基于能量原理基础上的解题方法。