等腰三角形重难点分析

一、本章的地位和作用全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，全等三角形既是研究封闭图形的开端,又是研究相似三角形、四边形的基础，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

二、本章知识结构见PPt三、课程学习目标全等三角形的概念和性质、对应元素的识别，全等三角形的5种判定以及尺规作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线等，这8个目标中我们最容易落实的是知识目标，最难落实的是第8个目标，要教会学生研究图形的方法：从识图开始到概念到性质到判定，再到应用，让学生建立研究图形的经验，体会合情推理和演绎推理这两种方式, 感悟图形运动变化的思想和说理方法的多样性。

将研究图形的方法和表述这两个目标落实到位，学生在学习时便很轻松。

四、本章的重难点本章重点：三角形全等的判定本章难点：1. 学生识图能力的培养.2.三角形全等的判定和应用，按照规定的格式正确地写出推理过程.在后面的教法建议中我会和大家分享我的想法。

五、课时安排建议及新旧教材对比本章教学大约需要13课时，分配如下：见PPt,新教材将探索三角形全等的条件由原来的5课时增加到现在的8课时.增加的3课时分别为:1.增加了SAS的巩固复习（需要经过一些推导得到SAS的条件）2.旧教材ASA，AAS共1课时,新教材将ASA，AAS各立1节3.增加了ASA，AAS的综合应用后面的教法建议中将和大家一起探讨这8个课时编排的意图。

4. 在SAS判定定理之后增加了阅读材料——图形的运动与“SAS”，用图形运动的方法来确认SAS的正确性.这是4个增加的内容，另外新教材还将例题、阅读材料的位置、数学活动的内容作了一些变化，另外作图要求也比原来要高。

六、学法指导与教法建议从学习全等三角形的过程来看，跟学习平行线的过程基本一样，都遵循了这样一个过程：今后学习其他几何图形，基本都遵照这一顺序.教法建议：1.借助媒体，让变换更直观寻找对应元素时，用变换、运动的观点识别图形，借助于多媒体让图形动起来，变抽象为直观，从中体会图形变换的思想，逐步培养学生动态研究几何的意识.2.重视活动，让感悟更深刻第一章9-10页操作活动，让学生剪一个三角形，在在白纸上描下来。

把这个三角形与描出来的三角形叠合以后再平移开来，翻折过去，再旋转，这个操作活动让学生体会两个重合的三角形怎样通过平移、翻折、旋转改变成不同的位置分开来。

第10页讨论这个活动与刚才的操作互逆，这个是把两个全等的三角形如何重合起来?怎样改变两个三角形的位置，使它们重合。

前面是合在一起，把它们拉开来；这里是分开来要把它们合起来，这两个活动都是为了感悟图形的运动变化——平移、翻折、旋转。

接下来11页上专门写了个阅读关于图形的运动：平移、翻折、旋转这三种基本变换。

上面三个材料：操作、讨论和阅读体现了图形变换的思想，适当加强了图形运动的方法来研究图形的性质。

这一系列活动的意图在于帮助学生以后能从较复杂图形中“找出”2个全等图形，从而为“证明”提供了方向。

像后面阅读材料中几个图形就复杂了，通过前面的研究和铺垫，他就能顺利看出这两个图形是通过平移、旋转还是翻折以后重合的？这样他的演绎推理就有一个正确的方向。

这是全等的第一块内容，通过操作、讨论阅读感悟两个图形怎样可以重合。

这一章的第二块内容，就是关于全等的第一个判定定理“SAS”，课标是作为基本事实，教材是如何处理“SAS”这个基本事实的呢？通过了一系列的安排。

第一：13页上的剪纸，怎样在一个长方形的纸上剪下一个直角三角形，使得剪下的所有直角三角形都能重合?这是一个剪纸活动，这里让学生感悟：因为在长方形纸上剪一个直角三角形，有一个角相等是直角了，所有直角边一样长就可以重合，就能感悟“SAS”的关系了。

接下来是交流：在图1-6中，这些直角三角形能完全重合吗？观察角等了，边有什么关系，哪两个三角形可能重合？第三个是作图，根据两边和夹角的已知条件画图，画三角形，每个人画出来的三角形都能重合吗？形状、大小一样吗？三个层次：剪纸、观察、作图感悟SAS，课本把SAS作为基本事实，在教学中应该让学生自己去实践一下，如果仅仅是告诉学生“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”，这一句话就可以把这些事情全部抹掉，那么这个基本事实就变成了一种硬性的没有由来的规定。

这里我们可以充分利用教材的设计组织探究和学习，当然如果你要创造性使用教材也是未尝不可，只是这里我觉得教材的处理还是恰到好处的。

这种设计是为了让学生认识到数学中的一个基本事实（或者是公理），它必须是有由来的，有实践依据的。

进而课本在“读一读”里面又写了一个“图形的运动与SAS”。

这个阅读用图形运动的方法证实了“SAS”定理。

它可以不是一个公理。

，边等了就可以重合了，∠∠，BA这条线就落在上了，，所以A点一点落在上，所以△ABC移过去与△完全重合，那就说明两边及其夹角对应相等的两个三角形全等的。

所以SAS实际上可以不作为一个公理，按照课标它是基本事实，课本中用图形运动的方法来确认SAS这个结论。

教材对SAS这个判定方法的处理是通过剪纸、观察、作图感悟类似于合情推理的方式认可了“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”，得到基本事实，再用理性的方法感悟了SAS真的可以判定全等，这个阅读可以带着学有余力的学生好好看一下，尽管不作为统一要求。

最后一个数学活动课本33页，关于三角形全等的条件，建议老师们认真组织学生开展活动，特别是对数学感兴趣，学得好的学生。

将这个数学活动弄清楚，回头再去看前面的那些判定太简单了，对课本知识的理解就驾轻就熟了。

这个数学活动中，后面提出的一个问题，在两个三角形中，如果有4对元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗？这个问题是有迷惑性的，如果这些问题弄清楚了，那么关于三角形全等的条件的问题就简单了。

3.循序渐进，让学习更轻松有了这个判定之后我们又讲了ASA、AAS、SSS这些判定。

在这章中要非常仔细，现在的几何教学不仅是演绎、推理、论证，还有几何直观、空间想象、合情推理能力。

如果看重演绎推理能力，那么在这8节教学中要非常仔细的处理好，这一段是学生学习演绎推理、论证能否顺利过关的非常重要的一个阶段。

这8个课时应该采用“小步子、多层次”慢慢地往前走，不要急于求成、不要急于搞形式化的训练，先把演绎推理论证的逻辑关系弄清楚，进而把最简单的书写规范化，然后再慢慢往前走。

尽管我们很多老师已经在七年级时对说理和证明进行了一定的格式化统一和训练，但此处编者的意图还是明显的，循序渐进，由浅入深，小步子切入，多渠道、多层次反复，有利于学生在发展知识、技能的同时，获得情感态度等非智力因素的发展，并关注了学习过程的强化，和思维发展的渗透，有利于学生在演绎推理方面能力的发展。

下面一起看一下这8节中的8个例题。

例1判定两个三角形全等是有2个条件直接可用的：一边一角，由图形可以直接得到公共边，这是最低层次的训练，3个条件，2个已经给你了，一个是看图直接得到的。

例2有了一点变化了，两个直接可用条件，1个隐含条件，所隐含的是对顶角，涉及到前面学习的“对顶角相等”的性质。

例3两个直接可用条件，1个需要转化的条件，怎么转化，由“平行”到角，然后才可以利用，比对顶角复杂了，例3的图形与例1、例2比起来，直观性远不如例1、例2，这里层次体现出来了。

再看例4，3个条件都要转化了，中点的条件要转化，平行的条件要转化，难度上去了，从例3到例4在教学中还可以再铺1-2个台阶，这样慢慢让学生拾级而上，这里ASA同样可以用图形运动的方法去证实。

一边等了，两个角∠∠，∠∠，角的另外两边就重合了，根据两边相交只有一个交点，BA、CA相交的点A与、交点就是同一点。

ASA也就证实了。

当然我们不需要让学生学会这个证明。

这里我将例5、例6倒了一下，例6有一个直接可用条件，2个条件需要转化，它的难度在哪里？要证明的结论延伸了。

它不再是三角形全等了，这里要证明的是边等。

有了明确的目标，分析才能有目标——要证两边等就是证明所在的三角形全等。

例5需要综合运用三角形的性质和判定，给出的条件时三角形全等，然后要证明对应的高相等，这都需要进行分析。

例7实际上是证明了等腰三角形的两个底角相等，现在的教材等腰三角形的有关性质是在全等三角形HL定理之后，因而需要做一个铺垫。

在证明HL定理时可以借助这个结论，这是教材编排体系上的变化带来的一个问题，例7是为了证明HL作准备的。

这是全等三角形里面的8个课时的具体编排。

再看HL，修订后的教材对HL做了精心的考虑，看三个卡通人物，上面两个卡通人物体现了分类的思想。

两个直角三角形，有一对内角（直角）相等，判定两个三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？你能把所有的情况都罗列出来吗？直角三角形是特殊的三角形，判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法？就引出了斜边直角边。

当有一对内角相等时，第一个卡通人是两条直角边，第2个卡通人是有一条边等，1边等再加1角等，除了这些之外，还有什么可能呢？两条边相等，除了两条边是直角边之外，还可以一条是直角边，一条是斜边，所以就产生了第三个卡通人的疑问。

在教学时应引导学生感悟“分类”的思想方法，以及“特殊与一般”的关系。

这种关系在教学时不要太像知识一样告诉学生，应让学生自己学会探索应该怎么去考虑，到底有多少可能的情形。

这样处理才能体现课标说的把基本思想融合在知识的教学中。

例8一定要学会分析，因为证明的结论不是全等，而且证明过程要两次全等，这个例题达到了课程标准规定的最高难度。

从例1-例8，一定要小步子，多层次，让每个学生都能够跨好每一步。

如果这一段能顺利的过去，那么从总体上讲几何往下学演绎推理的问题就少了。

4.渗透方法，让思想更灵活本章的难点主要就是证明问题，包括推理的过程和符号语言的规范使用.如何理性的思维和规范的表达，课本采用的是分析法和综合法，用箭头表示向上怎么想，向下怎么想。

分析时我们有两种方法：（1）从条件到结论，抓住条件，给你什么样的条件，你又什么样的想法（2）抓住结论，要得到这个结论需要什么样的条件。

学生学会这两种方法，一切问题都能解决。

学生有了证明两个三角形全等的思路，结合题目的条件和结论，就能够选择恰当的判定方法解决问题.例如：在解决这道题时：已知：如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.问AE与CE有什么关系？证明你的结论.分析：直观看，AE=CE，因此要证它们所在的三角形全等.即要证△ADE和△CFE全等.已知一边相等,而且这两个三角形有一组对顶角相等，已知一边一角，我们可以再找一边用SAS或者再找一角用ASA或者AAS，但是发现这组边相等就是我们要求证的，所以我们只能找一角相等，而题目给出的是平行条件，因此找角容易，进一步分析得到用AAS或ASA都可证.推理的分析很重要，刚开始要给学生多做例子，并严格要求学生规范书写.在学习过程中对于学习有困难的学生，一定要及时进行补偿教学，降低对他们的难度、放慢节奏、鼓励其分析、帮其建立思考和敢于面对的信心，此处在承认学生差异的同时，将分层落实到实处。