Gauss-Bonnet定理

π 的外角, 因此公式(3.5)中的 θi = 2πp . 最后由(3.5)得到
i=1
p
K dA +
kg ds = 2π(1 − p),
D
i=1 Ci
(3.9)
149
这就是复连通区域的 Gauss-Bonnet 公式.
3.3.2 整体Gauss-Bonnet 公式 假设 D 是曲面 M 上的一个区域, 它的边界是由互不相交的 n 条单纯分段光滑闭 曲线组成. ( 即由 A1A2, A2A3, · · · , AnA1 等有限段光滑曲线弧连接而成的自身不相 交的曲线, 这些弧之间除连接点外没有交点 ). 由拓扑学知, 我们一定可把 D 三角剖 分, 即把 D 分割成许多以三条曲线段为边界的曲面三角形. 如果 M 是可定向的, 我们 依曲面的法向量为方向, 依右手规则可定出每个三角形的边界的定向, 这时内部边界 的定向刚好相互抵消 ( 以上事实这里不予严格证明 ). 经过这样剖分后, 我们得出三个数: F —三角形个数, E —边的条数, V —顶点的 个数. 称整数 F − E + V 为区域 D 的 Euler-Poincare 示性数, 记为
cos
θ
+
√1 2E
∂ ln G ∂u
sin
θ,
(3.2)
将上式两边绕曲线 C 积分一周得到
kg ds =
C
dθ +
C
C
√1 2E
G
(−Ev
du
+
Gudv).
(3.3)
现在我们先考察(3.3)式右端的第二个积分. 利用微分学中的 Gauss-Green 定理: 若
P (u, v) 和 Q(u, v) 是定义在简单区域 D ⊂ R2 上的可微函数, D 的边界 ∂D : u = u(s), v =
v(s) , 则
(P du + Qdv) =
∂D
D
∂Q ∂u
−
∂P ∂v
du dv
对(3.3)式右端的第二个积分来说, 这时取
P = − √Ev , Q = √Gu ,
2 EG
2 EG
145
结合正交网时高斯曲率的计算公式我们得到
C
√1 2E
G
(−Ev
du
+
Gudv)
=
∂D
√1 2E
G
(−Ev
du
+
§3.3 Gauss-Bonnet 定理
Gauss-Bonnet 定理也许是曲面微分几何中最深刻的定理. 此定理的最初形式是由
Gauss 在一篇著名的讨论曲面上测地三角形(即其三边均为测地弧)的文章中叙述过. 大体
上说, 一个测地三角形 ∆ 的三个内角 α1, α2, α3 之和超过 π 的部分等于 Gauss 曲率 K 在 ∆
D
其中 A 是这个测地三角形 ∆ 的面积. 进而, 当 S 是正常曲率曲面 (如球面) 时, K > 0, 所以 测地三角形三内角之和大于 π; 而当 S 是负常曲率曲面 (如伪球面) 时, K < 0, 所以测地三 角形三内角之和小于 π.
【例 1】 在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线. 【证明】 设曲面 S 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地 线 C, 则 C 的测地曲率 kg = 0, 由 Gauss-Bonnet 公式(3.4)知
kg ds = 2π − K dA
C
D
或
kg ds + K dA = 2π.
C
D
这就是曲面上著名的关于简单光滑闭曲线的 Gauss-Bonnet 公式.
(3.4)
如果曲线 C 是曲面 S 上的一条分段光滑闭曲线, 它由 n 段光滑曲线 C1, · · · , Cn 所组成, 设这些光滑曲线的交接处的外角为 θi, (i = 1, · · · , n).
特别地, 当曲面 S 是平面时, 因为 K ≡ 0 , 于是(3.7)式即平面几何中多边形内角之和的公 式. 如当 n = 3 时就得到: 三角形三内角之和等于 π.
147
推论 3.3 如果 S 是常曲率曲面, 其上的一个测地三角形 ∆ 三内角之和为
α1 + α2 + α3 = π + K dA = π + KA.
规定边界的正向: 当沿此方向前进时, 区域 D
始终保持在左侧. 若沿着 γi 剪开即得到一个单 连通区域, 因此允许我们应用(3.5)式, 但在考虑
沿 γi 的积分时, 因两次计入, 符号(方向)相反. 故
p
kg ds = 0.
i=1 γi
γi
与
C0
联结时出现其和等于
π 的两个外角,
n
同样,
γi 和 Ci 联结时也出现两个和等于
这与 S 上的高斯曲率 K ≤ 0 矛盾.
K dA = 2π,
D
【注 1】 例1中必须要求 C 所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转 单叶双曲面上(它的高斯曲率 K < 0 )存在着一条光滑闭测地线, 即曲面上的最小纬圆.
【例 2】 ( Jacobi, 1842 ) 设 r(s) 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线, 如果它的主法 线球面标线 r¯(s) 是单位球面 S2(1) 上的一条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必 定平分 S2(1) 的面积.
D
因为曲线 C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn 的切向量在这些光滑曲线的交接处有“跳跃”(即角亏).
而这些“跳跃”角就是交接点处的外角是 θi. 类似 C dθ = 2π 的证明, 可知切线绕分段光滑
曲线 C 一周后的转角是
n
n
dθ = 2π − θi,
i=1 Ci
i=1
总结上述, 我们可得下述著名的定理:
设曲线 C 的参数方程是 u = u(s), v = v(s), 其中 s 为弧长参数, θ(s) 是曲线 C 在弧长 s 处的切向量与 u -曲线的正向夹角, 可以选取 θ(s) 是 s 的可微函数. 于是由正交网时计算测 地曲率的 Liouville 公式
kg
=
dθ ds
−
√1 2G
∂
ln E ∂v
推论 3.2 如果曲线 C 中每段光滑曲线 Ci 是测地线, 则在由测地线段所围成的单连通 测地 n 边形区域 D 中, 成立如下公式
n
θi +
i=1
K dA = 2π.
D
(3.6)
若用 αi 表示测地 n 边形的外角 θi 所对应的内角, 则有
n
αi = (n − 2)π +
i=1
K dA.
D
(3.7)
3.3.1 局部Gauss-Bonnet 公式 1. 单连通区域上的Gauss-Bonnet公式
144
设曲线 C 是曲面 S 上的一条简单光滑闭曲线, 它所包围的区域 D 是一个单连通区域. 而 D 是 D 对应的 (u, v) 平面上的区域, 记平面区域 D 的边界为闭曲线 ∂D. 我们选取曲面上正 交曲线网作为参数曲线网 (u, v).
146
因为这时
n
kgds =
kg ds,
C
i=1 Ci
n
dθ =
dθ,
C
i=1 Ci
而且对每一条曲线 Ci 都成立 (3.2) 式, 再把它们加起来, 利用 Green 公式后有
n i=1
n
kg ds =
Ci
i=1
n
dθ +
Ci
i=1
Ci
√1 2E
G
(Ev
du
+
Gudv)
n
=
dθ − K dA.
i=1 Ci
d ds
(arctan
τ k
).
因此
k¯g ds¯ = =
d ds
(arctan
τ k
பைடு நூலகம்
)
ddss¯ds¯
r¯(s¯)
r¯(s¯)
=
d ds
(arctan
τ k
)ds
=
0.
r¯(s¯)
( 因为 r¯(s¯) 是闭曲线 ). 再由 Gauss-Bonnet 公式得 ( 因为球面 S2 的总曲率 K ≡ 1 )
I = λ(u, v)(du2 + dv2).
设平面 π 的第一基本形式为 I∗ = (du∗)2 + (dv∗)2 , 显然 (u∗, v∗) 是平面 π 上的直角坐标系,
令 u = u∗, v = v∗ , 这个对应就是曲面 S 和平面 π 之间的共形微分同胚. 这时 S 上的 u -线对
应 π 上的 u∗ -线. 假设 S 上的曲线 C 对应于平面 π 上的曲线 C∗ , 夹角 θ 对应于 θ∗ . 显然 C∗
上的积分, 也就是说
3
αi − π =
i=1
K dA.
∆
(3.1)
3
例如当 K ≡ 0 时, 由(3.1)式我们有 αi = π. 即(3.1)式是平面几何中的 Thales 定理在
i=1 3
曲面上的推广. 再者 K ≡ 1 , 则有 αi − π = ∆ 的面积, 由此可见, 在单位球面上, 测地三
1 · dA = K dA = 2π − k¯g dt = 2π.
D
D
r¯(s¯)
即区域 D 的面积为 2π, 又因为 S2 的面积为 4π, 故证毕.
2. 复连通区域上的Gauss-Bonnet公式
设 D 是曲面 S 上含有 p 个洞的区域, 其边界由 p + 1 条光滑曲线 C0, C1, · · · , Cp 围成, 用 光滑曲线 γi 联结 C0 和 Ci (i = 1, 2, · · · , p) .
是 π 上的一条光滑闭曲线, 而 θ∗ 是 C∗ 与平面 π 上的 u∗ -线之间的夹角, 因这个对应是等角
对应, 所以 θ = θ∗ , 于是有
dθ = dθ∗.
C
C∗
但是在平面 π 上, 根据切线回转定理: 沿单连通区域的边界曲线的正向绕一周后, 边界曲线
的切向量转过了 2π, 即成立 C∗ dθ∗ = 2π . 因此(3.2)式就化为
【证明】 设 s¯是 r¯(s) 的弧长, k¯g 是 r¯(s) 作为 S2 上曲线的测地曲率, D 是 S2(1) 由 r¯(s) 围成的区域之一. 我们首先证明
k¯g
=
d ds
(arctan
τ k
)
ds ds¯
由 Frenet 公式, 得 故有
dr¯ ds¯
=
dβ ds¯
=
(−kβ
+ τ γ) ddss¯,
i=1
角形的内角和大于 π , 并且超过 π 的部分正好是 ∆ 的面积. 类似地, 在伪球面( K ≡ −1 )上, 任何测地三角形的内角和小于 π .
O. Bonnet 在 1848 年把上述定理推广到由一条非测地的简单光滑闭曲线所围成的区域, 进而推广到简单分段光滑闭曲线的情形, 得到了 Gauss-Bonnet 公式.
Gudv)
=
D
=
D
=−
√Ev
+ √Gu
dudv (由Green公式)
2 EG √
v
2 EG √
u
( √E)v + ( √G)u
dudv
Gv
Eu
√
K EG dudv = − K dA, (由Gauss公式)
D
D
√ 其中 dA = EG dudv 是曲面 S 在正交参数网下的面积元素.
再来考察(3.3)式中右端的第一个积分 C dθ , 此处 θ 表示曲线 C 的切向量与 u -线的夹 角. 我们在曲面 S 上取等温参数. 则 S 的第一基本形式为
为了再做整体性推广, 比如说, 推广到紧致曲面 S 上, 则需考虑其拓扑性质. 事实上, Gauss-Bonnet 定理的最重要的特点之一是: 为紧致曲面的拓扑和它的几何量— 曲率的积 分提供一个有价值的联系, 即 S K dA = 2πχ(S) . 尽管 Gauss 曲率 K 依赖于 S 上给定的 黎曼度量, 即第一基本形式, 然而其积分却都是与度量毫无关系的数 2πχ(S) .
χ(D) = F − E + V.
上述定义右边好象与三角剖分有关, 其实不然, χ(D) 与剖分的方式无关, 是曲 面的拓扑不变量. 我们还可指出我们总可把区域 D 三角剖分得很细使每个三角形 落在一个测地坐标系内. 如果分割得不够小, 我们总可再加入一个顶点, 设此点落 在一个 r 多角形内 ( 即有 r 个顶, r 条边的多角形 ) 可得一新的分割. 设这新分割下 面、边、顶的数目为 F¯, E¯, V¯ . 易知 F¯ = F + V − 1, E¯ = E + V, V¯ = V + 1. 故 χ(D) = F¯ − E¯ + V¯ = F − E + V = χ(D). 因此, 我们总可把 D 细分使每个三角形落 在一个测地坐标系内, 故我们又可以假设三角形的每条弧段是测地线.
定理 3.1 (Gauss-Bonnet) 设 C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn 是曲面 S 上一条逐段光滑简单
闭曲线, 而这些光滑曲线段在交接处的外角为 θi, 且 C 围成曲面上的一个单连通区域 D, 那
么成立
n
n
θi +
kg ds +
i=1
i=1 Ci
K dA = 2π.
D
(3.5)
ds ds¯
=
√1 k2 +
τ2
.
(3.8)
148
因为 r¯(s¯) 在球面 S2 上, 故沿 r¯(s¯) , S2 的单位法向量就是 r¯(s¯) 即 β(s¯), 于是
k¯g =
β(s),
dβ(s) ds¯
,
d2β(s) ds¯2
= ( ddss¯)3(−τ k˙ + kτ˙ )
=
ds ds¯