高考物理二轮复习：带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧所有这些问题,其通用解法是:①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆）,③第三步,根据所作的图和题设条件,找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。

类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定(即轨道半径不确定) 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。

【例１】如图所示,长为Ｌ的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场,磁感应强度为B ，板间距离也为Ｌ，板不带电．现有质量为ｍ、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是Ａ.使粒子的速度v ＜＼ｆ(Bq Ｌ，4ｍ） ﻩ B.使粒子的速度v >错误! Ｃ.使粒子的速度v >错误!ﻩ ﻩＤ.使粒子的速度错误!<v <错误!【分析】粒子初速度方向已知,故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图甲），在该直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子,均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】 AB类型 已知参量 类型一 ①⑩ 入射点、入射方向；出射点、出射方向 类型二 ②⑧ 入射点、速度大小；出射点、速度大小 类型三 ③ 入射点、出射点 类型四 ⑦ 入射方向、出射方向 类型五 ⑤⑨ 入射方向、速度大小;出射方向、速度大小; 类型六 ④⑥ 入射点、出射方向；出射点,入射方向 图乙图甲①②入射点 入射方向入射速度大出射点出射方向 ① ② ③ ④ ⑧ ⑨ ⑤⑥⑦⑩粒子擦着板从右边穿出时，圆心在Ｏ点，有 r 12=L 2＋(r 1－错误!)2 , 得 ｒ1=错误!由 ｒ1=ｍv １Ｂq，得 v 1＝＼f(5BqL,4m ) ,所以v >错误!时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在Ｏ′点,有 r 2＝错误!由 r 2＝错误! ，得 v 2＝错误! ,所以ｖ<错误!时粒子能从左边穿出.【易错提醒】容易漏选A ,错在没有将r 先取较小值再连续增大,从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。

【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为ｘ轴和y 轴，交点O 为原点,如图所示。

在y ＞０，０＜ｘ＜a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y >0，x ＞a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B 。

在O 点处有一小孔，一束质量为ｍ、带电量为q （q ＞0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0<x <a 的区域中运动的时间与在ｘ＞ａ的区域中运动的时间之比为２:5,在磁场中运动的总时间为7Ｔ/１２,其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。

试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。

【分析】粒子在0<x <a 的区域中的运动属于初速度方向已知、大小不确定的情况，在垂直初速度的直线(即y 轴）上取不同点为圆心，半径由小取到大，作出一系列圆（如图甲）,其中轨迹圆①与直线x =a 相切，为能打到y 轴上的粒子中轨道半径最大的;若粒子轨道半径大于轨迹圆①，粒子将进入x >a 的区域,由对称性可知,粒子在ｘ>a 的区域内的轨迹圆圆心均在在x =2a 直线上，在x =2a 直线上取不同点为圆心,半径由小取到大,可作出一系列圆(如图乙），其中轨迹圆①＇为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。

【答案】竖直屏上发亮的范围从0到２a ，水平屏上发亮的范围从2ａ到2323x a a =+ 【解答】 粒子在磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中运动半径为：mvr qB=① 速度小的粒子将在x <a 的区域走完半圆，射到竖直屏上。

半圆的直径在y 轴上,半径的范围从0到a ,屏上发亮的范围从0到2a 。

轨道半径大于a 的粒子开始进入右侧磁场，考虑ｒ=a 的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x 轴在D 点相切(虚线）,O Ｄ=２a ，这是水平屏上发亮范围的左边界。

速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C 和'C ,C 在ｙ轴上,有对称性可知'C 在x =2a 直线上。

设t 1为粒子在０<x <ａ的区域中运动的时间,t ２为在x >a 的区域中运动的时间，由题意可知② ①'①图乙 图甲 a 2a 2a a x1225t t =,12712T t t +=由此解得：16T t = ② 1512T t = ③ 由②③式和对称性可得 60OCM ∠= '60MC N ∠= ⑤5'36015012MC P ∠=⨯= ⑥ 所以'1506090NC P ∠=︒-︒=︒ ⑦ 即弧长ＮP 为１/4圆周。

因此，圆心'C 在x 轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为R ,有直角'COC 可得2sin602R a ︒= 233R a = ⑧由图可知OP ＝2a ＋R ,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 2323x a a =+ ⑨【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件——所有在x ＞ａ的区域内的轨迹圆圆心均在在ｘ=２a 直线上，从而造成在x >a 的区域内的作图困难；另一方面,在x >a 的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开始取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x =a 。

类型二:已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小）,但入射速度方向不确定 这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为 圆心,以mvr qB=为半径的圆。

【例2】如图所示，在0≤x≤a 、０≤y≤2a范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点O 处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为ｍ、电荷量为q 的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在x Ｏy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0~090范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /２到ａ之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的 (1）速度的大小；（2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径ｒ大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O ，入射点O 到任一圆心的距离均为r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点Ｏ为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲)。

考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、ｒ为半径作出一系列圆,如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°）,弦长越长,圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。

【答案】66(2)(2)22aqB R a v m α=-=-6-6，，sin =10图乙图甲 ① ②【解答】设粒子的发射速度为v ，粒子做圆周运动的轨道半径为Ｒ,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得:2v qvB m R =，ﻩ解得:mvR qB=当ａ／2<R <ａ时,在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为Ｃ的圆弧，圆弧与磁场的边界相切,如图所示,设该粒子在磁场中运动的时间为t ，依题意，t =T ／4时,∠OC Ａ=π/2设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为α，由几何关系得：sin sin cos 2aR R R a R ααα=-=-，，且 22sin cos 1αα+=解得：(2(2)22aqB R a v m α=-=-，，sin =10【易错提醒】由于作图不仔细而把握不住“轨迹①角都较小时（均小于1８０°），弦长越长,对应粒子在磁场中运动时间最长。

这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。

【分析】以L 为半径、O 点为圆心作“圆心圆”(如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开图甲 图乙始画起（轨迹①），在“圆心圆”取不同点为圆心、以L 为半径作出一系列圆（如图乙)；其中轨迹①与轨迹④对称,在磁场中运动时间相同;轨迹②并不经过ｃ点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长——即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。

【答案】06Bt m q π=，5／6 ,0)45arcsin 12(t t π=【解答】（1）初速度沿Od 方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为ｎ，由几何关系有：6Onp π∠=， 120Tt =粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得R T m Bqv 2)2(π=,TRv π2=得ﻩﻩ6Bt m q π=(2)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O 点距离相等。

在ｔ０时刻仍在磁场中的粒子应位于以Ｏ为园心,O ｐ为半径的弧pw 上。

由图知 56pOw π∠=ﻩﻩ 此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为５/６(3)在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b 点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则ﻩﻩ452sin=θ在磁场中运动的最长时间 045arcsin 122t T t ππθ== 所以从粒子发射到全部离开所用时间为 0)45arcsin 12(t t π=。

【易错提醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹②经过c 点,认为轨迹②对应弦长等于轨迹③对应弦长，于是将轨迹②对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算;虽然计算出来结果正确,但依据错误。

类型三:已知入射点和出射点,但未知初速度大小(即未知半径大小）和方向这类问题的特点是:所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。

【例3】如图所示,无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xO ｙ平面向外，大小为B,沿x 轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上,在y 轴上的A 点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为ｍ、电荷量＋q 的同种粒子,这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线,P 点处在亮线上，已知OA ＝ＯP=l ，求:（1）若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少?(2）若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【分析】粒子既经过A 点又经过P 点,因此ＡＰ连线为粒子轨迹圆的一条弦,圆心必在该弦的中垂线ＯM 上（如图甲)。