第一章—导热理论基础

第一章 导热理论基础

本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律及导

热问题的基本分析方法。

物质内部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列

成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。

物质内部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中

所起的作用是不同的。

导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。

第一节 基本概念及傅里叶定律

1-1 导热基本概念

一、温度场(temperature field)

（一）定义：在某一时刻，物体内各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。

它是空间坐标和时间坐标的函数。在直角坐标系下，温度场可表示为：

),,,(τz y x f t = （1-1）

（二）分类：

1．从时间坐标分：

① 稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，

0=∂∂τ

t ，此时，),,(z y x f t =。（如设备正常运行工况） 稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。

② 非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分

布与时间有关，),,,(τz y x f t =。（设备启动和停车过程）

非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。

2．从空间坐标分： ① 三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩

⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ② 二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态)

,(),,(y x f t y x f t τ

∆t

grad t

③ 一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩

⎨⎧==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线

1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。

2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。

为了直观地表示出物体内部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。

3．等温面（线）的特点：

① 不同的等温面（线）之间是不可能相交的。图1-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒

壁内的等温面（线）的示意图。

② 在连续介质的假设条件下，等温面（线）可以是物体中闭合的曲面或曲线，或者终止

在物体的边界，不可能在物体中中断。。

③ 等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度的相对大小，若每条等温线间的温度间

隔相等时，即t ∆相等，则等温线越疏，表明该区域热流密度越小；反之，越大。

④ 沿等温面（等温线）无热量传递

三、温度梯度(temperature gradient)

从一个等温面上的某点出发，到达另一个等温面，可以有不同的路径，不同路径上的温

度变化率是不同的，温度变化率最大的路径位于该点的法线方向上。为了表示沿等温面法线

方向的温度变化率，引入温度梯度的概念。

梯度（最大的方向导数）：指向变化最剧烈的方向。（向量）

温度变化率是标量，温度梯度是矢量。

温度梯度：定义沿法线方向的温度变化率（沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离

比值的极限）为温度梯度，以gradt 表示。

n

t n t grad n t ∂∂=∆∆=→∆→0lim (1-2) 式中，——等温面法线方向的单位矢量；

n t ∂∂——温度在等温面法线方向的导数。 温度梯度的方向（正向）：是沿等温面法线由低温指向高温。 温度梯度的数值大小：等于温度梯度方向上的导数。 在直角坐标系：

z t y t x t gradt ∂∂+∂∂+∂∂= （1-3） 式中，i ，j ，k 分别表示x 轴、y 轴及z 轴方向上的单位矢量。

温度降度：温度梯度的负值，gradt -，沿温度降低的方向。

四、热流密度矢量

热流密度：它指单位时间单位面积上所传递的热量。在不同方向上，热流密度的大小是

不同的。

1．热流线(heat flux lines)：在温度场中，作与各等温线一一正交的一组曲线，这组曲线

称为热流线。

热流线是表示热流方向的线。在热流线上各点做切线，则热流方向就在该切线上，而某

点热流线的切线方向与该点等温线的法线方向是一致的。所以热流方向是在等温线的法线方

向上。由于热流是从高温处流向低温处，所以热流方向与温度梯度的方向相反。可见，热流

既有大小，也有方向。为此引入热流密度矢量来对热流进行描述。

2．热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点最大热流密度的方向为方向，数值上，等

于沿该方向的热流密度的矢量，称为热流密度矢量，简称热流矢量。其他方向的热流密度都

是热流矢量在该方向的分量。

在直角坐标系中，热流矢量可表示为：

k q j q i q q z y x ++= （1-4）

式中z y x q q q ,,为沿三个坐标轴方向的分热流。

1-2．傅立叶定律(Fourier’s law of heat conduction )

傅里叶于1822 年在对固体导热实验进行总结的基础上，提出了著名的傅里叶定律，它是

导热的基本定律。

1．傅立叶定律的表达式

n

t t grad ∂∂-=-=λλ 式中的比例系数λ即为材料的导热系数（或称热导率），单位)(C m W ︒⋅。负号“-”表

示热流密度矢量与温度梯度的方向刚好相反（是热力学第二定律的体现）。

在直角坐标系，傅立叶定律可以展开为：