力学量期望值随时间的变化 守恒定律
量子力学课件：3.8 力学量期望值随时间的变化 守恒定律
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
Fˆ ,Gˆ 0
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
[1 i Fˆ , Hˆ ] i[Fˆ , Hˆ ] 0
就F^是体系的一个守恒量，是与变换Q相联 系的可观测量。
1.空间平移不变性
设体系具有平移不变性，
Dˆ (a) (x) (x a)
其中平移变换： D(a) e i pˆxa
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
2. 例子（运动恒量举例）
<1>自由粒子的动量
ˆ2 p ˆ 当粒子不受外力，即 H 时 2 ˆ p ˆ, H ˆ ] i [p ˆ ] j[p ˆ ] k[p ˆ]0 ˆ x,H ˆ y,H ˆ z,H 如果 0 ， [p t
dp 0 ，即为量子力学中的动量守恒定律。 则有 dt
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
Байду номын сангаас
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
化。因 完全描写态，知道 ( r , t ) 后，即可求得每一个时刻 t 各 dinger 方 程 ， 故 o 力 学 量 的 变 化 。 而 态 ( r , t ) 的 变 化 遵 从 Schr
2 dinger 方程不仅可以直接描写 ( r , t ) 的变化，而且还能间 Schr o
二、守恒定律
ˆ 1 d F F ˆ 不显含时间 t ，即 ˆ,H ˆ ] 中，如果 F 1. 在运动方程 [F dt t i ˆ dF F ˆ ˆ ＝0，即 F 平均值不随 0 ，并且 [F, H] 0 (即对易)，则有 dt t
力学量的平均值随时间的变化
m
m
则 rˆ(t)rˆ(0)pˆ t
m
例题2 一维谐振子 Hp2/2m1mω2x2
2
x ( t) e i H / x t i H e / ,tp ( t) e i H / p t i H / e t
而 ddtx(t)i1eiH/t[x,H]eiH/t p(t)/m
d dt
p(t)i1eiH/t[p,H]eiH/t
rp 1(rp p r) 2
这是否会影响位力定理得证明
答：从位力定理的证明可以看出;将r·p厄米化后并不能影响到 定理的证明
例题1 设Vx;y;z是x;y;z的n次齐次函数;即
V (c,c x,c y)z cn V (x,y,z)
证明 2T nV
8 FeynmanHellmann定理
设体系的束缚态能级和归一化的能量本征态为 En, n
p (t)p c o t s m xs itn
例题3 求一维谐振子在态Ψn下的动能和势能的平均值
解： 一维谐振子的能量本征值为
En
n
1ω
2
由位力定理知: T V
则 EnHTVn1 2ω
所以 TV1n1ω
2 2
例题4 判断下列说法的正误
(1)在非定态下;力学量的平均值随时间变化错 (2)2 设体系处在定态;则不含时力学量测值的概率不随时间变化对 (3)3设哈密顿量为守恒量;则体系处在定态错 (4)4 中心力场中的粒子处于定态;则角动量取确定的数值错 (5)5 自由粒子处于定态;则动量取确定值错 (6)能级是二重简并的 (7)6一维粒子的能量本征态无简并错 (8)一维束缚态粒子的能量本征态无简并
7 位力定理： 设粒子处于势场Vr;其哈密顿为
H p 2/2 m V (r )
量子力学_第三章3.8力学量期望值随时间的变化__守恒定律
dinger 方程 o 接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由 Schr
推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或 海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得 出一些重要结论。
ˆ 的本征值 C 1 。 所以 P
ˆ (x, t) (x, t) ； P ˆ (x, t) (x, t) 即： P 1 1 2 2
ˆ 的本征函数中本征值为 1 的 为有偶宇称态，本征值为 1 称P 1
的 2 为有奇宇称态。
ˆ 在空间反演不变时的宇称守恒： c. H
ˆ F 1 ˆH ˆ H ˆF ˆ ) dx dx ( F t i
ˆ 1 d F F ˆ,H ˆ] 即： [F dt t i
(1)
ˆ 显含时间而引 此即为海森伯运动方程。 其中右边第一项是由于 F
起的，即使 不随 t 变化这一项也存在；第二项是由于 随 t 变 化而引起的，即使 F 不随 t 变化这一项也存在。
2 2 ˆ L 2 ˆ 2 , H] ˆ [L ˆ2 , ˆ2 , ˆ 2 , U(r)] 0 [L (r )] [L ] [L 2r 2 r r 2r 2 ˆ ,H ˆ ] 0； ˆ2 ,L ˆ ] 0 , [L ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0， ˆ ,H ˆ ] [L ˆ2 , L ˆ ]0 [L [ L [L z x z
y
x
y
ˆ ˆ2 L L 0， x t t dL d L2 所以： 0； x dt dt
ˆ L y
ˆ L z ＝0 t t dL y dL z 0； 0 0； dt dt
3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律
§3.8力学量期望值随时间的变化 守恒定律一. 力学量的平均值随时间的变化关系力学量A 在ψ(x ,t)中的平均值为:*ˆ()(,)(,)A t x t Ax t dx ψψ=⎰ (3。
8.1) 因为ψ是时间的函数Â也可能显含时间，所以Ā通常是时间t 的函数。
为了求出Ā随时间的变化，(1)式两边对t 求导dA dt =***ˆˆˆA dx A dx A dx t t tψψψψψψ∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰ (3.8.2) 由薛定谔方程ψψH t i ˆ=∂∂ ，⇒ ψψH i t ˆ1=∂∂ **)ˆ(1ψψH i t-=∂∂∴ ***ˆ11ˆˆˆˆ()()dA A dx H A dx A H dx dt t i i ψψψψψψ∂∴=-+∂⎰⎰⎰(3.8.3) ***ˆ1ˆˆˆˆ[]A dx AH dx HA dx t i ψψψψψψ∂=+-∂⎰⎰⎰ 因为Ĥ是厄密算符**ˆ1ˆˆˆˆ()A dx AH HA dx t i ψψψψ∂=+-∂⎰⎰ ˆ1ˆˆ[,]dA A A H dt t i ∂∴=+∂(3.8.6) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。
若Â不显含t ，即ˆ0A t∂=∂，则有 1ˆˆ[,]dA A H dt i =(4) 如果Â既不显含时间，又与Ĥ对易（[Â, Ĥ]=0），则由上式有0d A dt= (5) 即这种力学量在任何态ψ之下的平均值都不随时间改变。
证明：在任意态ψ下A 的概率分布也不随时间改变。
概括起来讲，对于Hamilton 量Ĥ不含时的量子体系，如果力学量A 与Ĥ对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。
所以把A 称为量子体系的一个守恒量。
即A 的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A 为运动恒量或守恒量。
守恒量有两个特点：(1). 在任何态ψ(t )之下的平均值都不随时间改变；(2). 在任意态ψ(t )下A 的概率分布不随时间改变。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量详解
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
38力学量平均值随时间的变化
1
[F, H ]
dt t ih
如果算符不显含时间,
F t
0
则
dF
1
[F, H ]
dt ih
若
[F, H] 0
则
dF 0
dt
(3.8-4) (3.8-5)
(3.8-6) (3.8-7)
(3.8-8)
满足上式的力学量,称为体系的运动恒量。
守恒量的特点
守恒量具有如下特点，即体系在任何状态下：
（1）其平均值不随时间而变化；
§3.8力学量平均值随时间的变化 守恒定律
在波函数 描写的状态中,力学量的平均值为
F *(x,t) F (x,t)dx
因波函数是时间的函数,所以
(3.8-1)
d F d
*(x,t) F (x,t)dx
dt dt
* F dx
*
F
dx
*
F
dx
t
t
t
(3.8-2)
由 Schro&&dinger 方程
t
)
(rv,
t
)
(rv,
t
)
对应 P的本征值 1的态，称寄宇称
得出另一态，称其无确定宇称来自称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性
H
(rv)
H
(rv)
则
PH
H
P
即
[P, H ]
0，亦即 P
是一个守恒量，或者说
H
描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。
（2）其概率分布不随时间而变化。
证明特点（2）：
因为 [F, H ] 0
，故
F
,
H
具有共同本征函数系n
力学量平均值随时间的变化守恒定律
定义时间区间为$[t_1, t_2]$，其中$t_1$和$t_2$分别表示时间区间的起始时间和终止时间。
时间变化的数学表达
时间变化
在物理学中，时间的变化通常用时间导数来表示。时间导数可以表示为$frac{d}{dt}$，其中$d/dt$表示 对时间进行微分。
时间导数的物理意义
时间导数描述了物理量随时间变化的速率。如果一个物理量的时间导数为零，则表示该物理量不随时 间变化。
挑战
目录
Part
01
力学量平均值随时间变化的守 恒定律概述
定义与概念
定义
力学量平均值随时间的变化守恒定律 是指在一定条件下，一个力学量的平 均值不会随时间发生变化，即其时间 导数为零。
概念
该定律是物理学中的基本原理之一， 它表明某些物理量在特定条件下具有 恒定的性质，不受时间的影响。
守恒定律的重要性
希望借助现代科技手段，推动实验观测和数据分析的技术 革新，提高对自然现象的认知和理解。
期望在未来的发展中，能够更好地将基础理论研究与应用 实践相结合，发挥力学量平均值随时间变化的守恒定律在 解决实际问题中的价值和作用。
THANKS
感谢您的观看
结合现代科技手段，如人工智能和大数据分析， 对实验数据进行更深入的挖掘和处理，以揭示 隐藏在数据背后的规律和模式。
拓展力学量平均值随时间变化的守恒定律在复 杂系统和非线性动力学领域的应用，如气候变 化、生态系统和脑科学等。
面临的挑战与问题
如何克服实验观测的局限性，获取更精确和全面的数据，以验证和修正理 论模型。
如何理解和解释力学量平均值随时间变化的守恒定律在不同物理体系中的 共性和差异性。
如何将力学量平均值随时间变化的守恒定律与其他物理定律和原理进行有 机整合，构建更为完整和系统的理论框架。
3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律
②,力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
第三章 量子力学中的力学量
6/17
Quantum mechanics
§3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律
1 2 ˆ ˆ H p 如:(1),自由粒子动量 2 ˆ 1 dp dp 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [ p, H ] 0 [ p, H ] 0 dt i dt i
16/17
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
Changing of average value of mechanical quantities with time
二、守恒量与对称性的关系 Relation between symmetry &quantities of conservation
第三章 量子力学中的力学量
力学量的平均值随时间的变化
力学量的平均值随时间的变化
•23 一个质量为m的粒子在中心力场V(r)中运动，试证明
•其中E代表能级，ψ是相应的束缚定态波函数，λ是H中的参量 •(2)对于确定节点（即nr相同）的状态，若轨道角动量越大 •（即l越大），则其能量越高。
•证明: (1)由于
•则
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力学量的平均值随时间的变化
•20 在p表象中计算一维谐振子的定态能量和定态波函数 •解：薛定谔方程为
•在动量表象中有
•即 •其中
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力学量的平均值随时间的变化
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力学量的平均值随时间的变化
•代入薛定谔方程得
•以后的求解见陈<量子力学习题与解答>p97
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力学量的平均值随时间的变化
•21. t=0时刻自由粒子的波函数是 •求此时粒子动量的可能取值、概率和平均值
•解: (1) F是守恒量，即
•(2) |ψ(t)> 是定态
•18. 对于
•α是常数，下列哪些量是守恒量
•答： 守恒量是
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力学量的平均值随时间的变化
•18. 电荷为q，质量为m的无自旋粒子在磁场B中运动，其哈密顿 •算符可近似写成
•(1)指出(不必证明)下列各物理量中的守恒量
•(2)任选一个非守恒量，写出其海森堡运动方程 •(3)写出ω的构造式(用m,q…表示)及B的方向。 •解：（1） 守恒量是
•(2) N个全同Femi子组成的体系
•三个全同Femi子：设三个无相互作用的全同Femi子，处于三个 •不同的单粒子态φk1, φk2, φk3 上，则反对称波函数为
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•Slater •行列式
第五章 力学量随时间的演化与守恒量
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
第五章 力学量随时间的演化与对称性
不能同时取确定值。 （2） Vivial Theorem 维里定理 ） 不显含 t 的力学量，在定态上的平均是与t 无关。
ˆ ˆ ˆ dr ⋅ p [ r ⋅ p, H ] , =0= dt ih
2 ˆ] 1 ˆ ˆ [ r ⋅ p, H p 1 ˆ ˆ ] + [ r ⋅ p, V( r )] = [ r ⋅ p, ih ih 2 m ih
ˆ 不随t变，而取 As 的几率 ∑ cns 2 也不随t变。 A
n
我们称与体系 H 对易的不显含时间的力学量算符 与体系 ˆ
ˆ A
为体系的运动常数。 为体系的运动常数。
各运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们
ˆ 都与 H对易，但它们之间可能不对易。如
p ˆ + V( r ) H= 2m
与
2
ˆ 2 , L x , L y , Lz对易，但 L , L , L 不对易， ˆx ˆy ˆz L ˆ ˆ ˆ
ˆ x, p x
的平均值。 的平均值。
ˆ A=x ˆ ˆ ˆ d < px > [px , H ] ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ih ∂x
m
d <x> dt
2
2
ˆ d < px > ∂V ˆ = =< − >=< Fx > dt ∂x
称为的恩费斯脱定理。 称为的恩费斯脱定理。 我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来 非常相似
第四章
力学量随时间的演化与对称性
1. 力学量随时间的演化，运动常数（守恒 力学量随时间的演化，运动常数（ 恩费斯脱定理（ 量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）。 恩费斯脱定理 ） （1）力学量的平均值随时间变化，运动常数 ）力学量的平均值随时间变化， 力学量的平均值为： 力学量的平均值为： 它随时间变化为
L(三章6讲)守恒定律
H n Biblioteka n n* C n (t ) n (t )d 2 在 (t ) 态下，t 时刻测量 F 得到 Fn 的概率为 C n (t )
d 2 下面证明 C n (t ) 0 dt
d d * d * d 2 * Cn (t ) [Cn (t )Cn (t )] [ Cn (t )]Cn (t ) Cn (t )[ Cn (t )] dt dt dt dt
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
2 ˆ L 2 ˆ H r U ( r ) 2 2 2 r r r 2 r 2
（1）角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易
d d * C (t ) Cn (t ) [Cn (t ) Cn (t )]* dt dt
* n
d d * * C (t ) Cn (t ) n (t )d ( n (t )d ) dt dt
* n
n (t )d (t )d t
* * n
En * * ( n (t )d )* n (t )d i En d 2 * Cn (t ) Cn (t ) Cn (t ) dt i En d 2 * * [C n (t ) C n (t )] C n (t ) dt i d d d 2 * * 得 Cn (t ) Cn (t ) Cn (t ) [Cn (t ) Cn (t )]* 0 dt dt dt
ˆ p
守恒
自由粒子的动量是守恒量——动量守恒
证明：粒子在中心力场中运动的角动量是守恒量
求哈密顿算符在球坐标系中的形式：
ˆ T ˆ V H
第二章2.7力学量随时间的演化与守恒量宇称算符
证：由F为守恒量，得Fˆ , Hˆ 0，故Fˆ与Hˆ有共同
的本征态，它们的本征值方程为
Hˆ E Fˆ f
又G为守恒量，有 Gˆ , Hˆ 0，则
HˆGˆ GˆHˆ EGˆ
故与Gˆ均为Hˆ的本征值为 E的本征态
另外，Gˆ , Hˆ 0，故GˆFˆ GˆFˆ fGˆ (与Gˆ是不同的态
既然两个不同的态具有相同的能级E，可见能级E是简并的。
如，氢原子，Lˆx与Lˆz都是守恒量，但Lˆx，Lˆz 0，故
氢原子的能级是简并的。
氢原子的基态是一个例 外，Lˆx，Lˆz 0，但Lˆx LˆzY00 Lˆz LˆxY00 0
使基态能级并不简并， 因为Y00为常数，任何微分算符 作用于 Y00均为零
（1）经典力学中，d 2 dt
x
2
给出的是坐标x的加速度；在
量子力学中，由于每一时刻x一般没有确定值，d 2 dt
x
2
给出的是坐标平均值的加速度。
（2）经典力学中，位于x的粒子所受的力- U x仅
决定于该点的势场，而且受力的大小与粒子的运动 状态无关；在量子力学中，起作用的是力的平均值
F
*
x,
t
3. 宇称算符的本征值方程
用Pˆ作用于两边得 Pˆ x x x Pˆ 2 x Pˆ x 2 x
2 1，故宇称算符的本征值 为 1
由 1
Pˆ x x Pˆ - x -称 x具有偶宇称； 波函数 - x经Pˆ作用后变号，称 - x具有奇宇称。
U
x
x,
t
d
它要涉及整个势场的作用，而且与粒子所处的
状态 x, t有关。
总之，经典力学中有关 力学量之间的关系式， 在量子力学中将以平均 值和算符的形式出现。
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[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
Hˆ ]
[Lˆx ,
1
2r2
Lˆ2 ]
1
2r2
[Lˆx ,
Lˆ2 ]
0
同理 [Ly , L2] [Lz , L2] 0
所以
d Lˆ2 1 [Lˆ2 , Hˆ ] 0 dt i
d Lˆx dt
1 i
[Lˆx , Hˆ ] 0
d Lˆy dt
1 i
[Lˆy , Hˆ ] 0
d Lˆz dt
②力学量的可能测值的几率分布不随时间变化
如：（i）自由粒子动量
Hˆ 1 pˆ 2
2
d p 1 [ pˆ Hˆ ] 0 dt i
动量守恒 （ii）粒子在中心力场中运动的角动量
Hˆ
2
2r2
r
(r 2
) r
Lˆ2
2r2
U (r)
[L2 , H ]
[L2 ,
1
2r 2
L2 ]
0
[Lˆx ,
例 2： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量：
Hˆ , Lˆ2 , Lˆz .
nlm RnlYlm
Hˆ nlm En nlm
lˆ2 nlm (l 1)l
2 nlm
lˆz nlm m nlm
En
es4 2 2n2
L2 l(l 1) 2
lz m
不对易的意义：不确定关系！
若 [Fˆ，Gˆ ] ikˆ，则：(Fˆ )2 • (Gˆ )2 (k )2 4
[1 i Fˆ , Hˆ ] i[Fˆ , Hˆ ] 0
就F^是体系的一个守恒量，是与变换Q相联 系的可观测量。
1.空间平移不变性
设体系具有平移不变性，
Dˆ (a) (x) (x a)
其中平移变换： D(a) e i pˆxa
显然
[Dˆ , Hˆ ] 0
[1 i apˆ x , Hˆ ] 0
F平均值随时间的变化率
dF dt
*
Fˆ d
t
*
t
Fˆ d
*Fˆ
t
d
注意到 则有
1 Hˆ
t i
* 1 (Hˆ )*
t i
dF dt
*
Fˆ d
t
1 i
*FˆHˆ d
1 i
(Hˆ )* Fˆ d
*
Fˆ
t
d
1 i
*FˆHˆ
d
1 i
*HˆFˆ
d
ห้องสมุดไป่ตู้
*
Fˆ
t
d
1 i
* ( FˆHˆ
HˆFˆ )
1 i
[Lˆz , Hˆ ] 0
角动量守恒定律
（iii）哈密顿不显含时间的体系的能量
Hˆ 0 t
能量守恒
d Hˆ 1 [Hˆ , Hˆ ] 0 dt i
二、守恒量与对称性的关系
设体系状态为 , 满足
i Hˆ
t
设线性变换Q （存在逆变换 Q，1 不依赖于时间） QQ
若与 满足同样形式的运动方程，即
[ pˆx, Hˆ ] 0
即具有空间平移不变性的体系动量守恒。
2.空间旋转不变性 设体系具有空间旋转不变性
Rˆ( ) () ( )
其中转动变换： Rˆ ( ) e i Lˆz
显 然 [R, H ] 0
[lˆz , Hˆ ] 0
具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。
两个易混淆的问题！
§3.8 力学量平均值随时间的 变化 守恒定律
Dr. Xia
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
Fˆ ,Gˆ 0
有共同本征函数，且 组成完备系！
意义：存在共同本征函数，在本征态下同时具有确定值
对易的算符可以同时具有确定值。
为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的 最小（数目）集合称为力学量完全集合。
例 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量：
pˆ x , pˆ y , pˆ z .
i Hˆ
t
称体系具有Q变换不变性。
i Q HˆQ
t
左乘 Q 1 则
i Q1HˆQ Hˆ
t
Hˆ Q1HˆQ
即 QHˆ 或HˆQ
[Q, Hˆ ] 0
即体系在Q变换不具有不变性,则要求 [Q, H^]。 0
考虑到几率守恒
( , ) (Q ,Q ) ( ,QQ ) ( , )
d
即 d F Fˆ 1 (FˆHˆ HˆFˆ ) Fˆ 1 [Fˆ , Hˆ ]
dt t i
t i
力学量平均值随时间的变化率
dF dt
Fˆ t
1 i
[Fˆ
,
Hˆ
]
注： 若 不F^显含t，且 [F^,,则H^] 称0为体F^系的守恒量。
守恒量的特点： ①力学量平均值不随变化，ddFt 。0
QQ QQ I
变换Q应为么正变换。
对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。 令 Qˆ I i Fˆ
（ ，0 是刻画无穷小变换的参量），因为
QQ (1 i Fˆ )(1 i Fˆ ) 1 i(F F ) O( 2 ) I
则有 Fˆ Fˆ
F^为厄米算符，称变换Q的无穷小变换算符。